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MetodoInducaoMatematica_Exemplos
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MTODO DE INDUO MATEMTICA Se pretendemos provar que uma propriedade A(n) se verifica no conjunto IN, devemos
provar que:
9 A(n) verifica-se para o nmero 1 9 supondo-se a propriedade A(n) verificada pelo nmero natural p, arbitrrio, ento a propriedade A(n) verifica-se para p + 1, (ou seja, A(p + 1) verdadeira), o que
se exprime dizendo que a propriedade A(n) hereditria.
Ento, podemos concluir que NnnA ),( , verdadeira.
EXERCCIOS
Recorrendo ao mtodo de induo matemtica, prova que:
1. a soma dos n primeiros termos da sucesso 12 = nun dada por 2nSn =
2. 23)36(...1593 nn =++++
l
3. a sucesso dos nmeros triangulares:
cuja definio por recorrncia
>+==
1npara,1
1
1
nttt
nn
tem o seguinte termo geral 2
2 nntn+=
4. Nnnn
n =++++ ,212
21...
81
41
21
EXEMPLO:
Seja a sucesso definida por recorrncia na
>=
=
+ 1n,21
21
1
1
nn a
a
a
Utilizando o mtodo de induo matemtica, demonstrar que Nnnnan += ,1
DEMONSTRAO
Verifiquemos que vlida para n=1.
11
1;21
11 +== aa , logo vlida
Suponhamos que se verifica para a ordem p, isto ,
1+= p
pap (hiptese de induo)
Ser que se verifica para p+1? Isto , 21
1 ++=+ p
pap ?
Aplicando a hiptese de induo, na definio de recorrncia, vem que:
21
1221
12
11 +
+=++=
+=+ p
p
ppp
ppap
Assim, fica provado que a referida propriedade verificada para n=1 e hereditria, ou seja,
fica provado que vlida para todo o Nn .
Provar, por induo matemtica, que: 23)36(...1593 nn =++++DEMONSTRAO
Verifiquemos que vlida para n=1.
3=3 (proposio verdadeira)
Suponhamos que a propriedade se verifica para a ordem p, isto ,
(hiptese de induo) 23)36(...1593 pp =++++Provemos que se verifica para a ordem p+1, isto , que
ou seja ( 213)3)1(6(...1593 +=+++++ pp ) ( )213)36(...1593 +=+++++ ppSe adicionarmos , n primo que se segue ao 36 +p 36 p , aos dois membros da hiptese de induo, fica-se com , que o mesmo que 36336)36(...1593 2 ++=++++++ pppp
( )21336)36(...1593 +=++++++ ppp Depois de provado que a propriedade verificada para n=1 e hereditria, pode-se concluir
que vlida para todo o Nn
A sucesso dos nmeros triangulares:
cuja definio por recorrncia
>+==
1npara,1
1
1
nttt
nn
tem o seguinte termo geral 2
2 nntn+=
DEMONSTRAO
Comeamos por verificar que a propriedade vlida para n=1.
Na sucesso de recorrncia tem-se que 11 =t
Pelo termo geral 12
1121 =+=t
Como 1=1 proposio verdadeira, a propriedade vlida para n=1.
Mostremos que a propriedade hereditria
Supondo que esta propriedade vlida para a ordem p,
2
2 ppt p+= (hiptese de induo)
provemos que esta propriedade vlida para a ordem p+1, isto que:
( ) ( )2
11 21
+++=+ ppt p que o mesmo que 2232
1++=+ ppt p (1)
Atendendo definio 11 ++=+ ptt pp Substituindo pt pela expresso obtida na hiptese de induo, podemos escrever
2
2312
2
1
2
1++=+++= ++ pptpppt pp (2)
Como (1)=(2), acabamos de provar a hereditariedade desta propriedade
Ficou assim provado que a propriedade verificada para n=1 e hereditria, portanto fica
provado que vlida para todo o Nn