Resistência dos MateriaisProf. Antonio Dias
Antonio Dias / Cap.2 1
Objetivos
• Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo.
• Expressar a força e sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores.
Antonio Dias / Cap.2 2
2.1 Escalares e Vetores
Antonio Dias / Cap.2 2-3
Figura 2.1
Escalar É uma quantidade caracterizada por um número positivo ou negativo.
Exemplos: massa, comprimento e volume.
Vetor É uma quantidade que tem intensidade (módulo) , direção e sentido.
Exemplos: posição, força e momento.
2.2 Operações Vetoriais
Antonio Dias / Cap.2 2-4
Figura 2.2
Multiplicação e divisão de um vetor por um escalar
Antonio Dias / Cap.2 2-5
Figura 2.3
Adição Vetorial
Antonio Dias / Cap.2 2-6
Figura 2.4
Adição Vetorial
Antonio Dias / Cap.2 2-7
Figura 2.5
Subtração Vetorial
Antonio Dias / Cap.2 2-8
Figura 2.6
R’= A – B = A + (– B)
Decomposição de Vetores
Antonio Dias / Cap.2 2-9
Figura 2.7
2.3 Adição de Forças Vetoriais
Antonio Dias / Cap.2 2-10
2.3 Adição de Forças Vetoriais
Antonio Dias / Cap.2 2-11
Figura 2.8
2-12
Figura 2.9
Direção da força resultante
Intensidade da força resultante
Antonio Dias / Cap.2
Exemplo 2.1: O parafuso tipo gancho da figura está sujeito a
duas forças F1 e F2. Determine a intensidade
(módulo) e a direção da força resultante.
2-13
Figura 2.10
Antonio Dias / Cap.2
2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares
Antonio Dias / Cap.2 2-14
Figura 2.14
F = Fx + Fy F’ = F’x + F’y
Notação Escalar
2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares
Antonio Dias / Cap.2 2-15
Figura 2.15
Notação de Vetor Cartesiano
F = Fxi + Fyj F’ = F’xi - F’yj
Figura 2.16
Notação vetorial cartesiana: F1 = F1xi + F1yj
F2 = -F2xi + F2yj
F3 = F3xi – F3yj
Resultantes de Forças Coplanares
Antonio Dias / Cap.2 2-16
Figura 2.16Vetor resultante:
FR = F1 + F2 + F3
FR = (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j
FR = (FRx) i + (FRy) j
2-17Antonio Dias / Cap.2
Resultantes de Forças Coplanares
FRx = SFx
FRy = SFy
Intensidade da força resultante
Direção da força resultante
22
RyRxR FFF
Rx
Ry
F
Ftg 1
2-18Antonio Dias / Cap.2
2-19Antonio Dias / Cap.2
Exemplo 2.5: Determine os componentes x e y de F1 e F2 que
atuam sobre a lança mostrada na figura abaixo.
Expresse cada força como vetor
cartesiano.
2-20Antonio Dias / Cap.2
2.5 Vetores Cartesianos
Antonio Dias / Cap.2 2-21
Figura 2.20
Componentes Retangulares de um Vetor
Antonio Dias / Cap.2 2-22
Figura 2.21
A = Ax + Ay + Az
Vetor Unitário
Antonio Dias / Cap.2 2-23
Figura 2.22
A = AuA
uA = A / A
Vetores Cartesianos Unitários
Antonio Dias / Cap.2 2-24
Figura 2.23
Representação de um Vetor Cartesiano
Antonio Dias / Cap.2 2-25
Figura 2.24
A = Axi + Ayj + Azk
Intensidade de um Vetor Cartesiano
Antonio Dias / Cap.2 2-26
Figura 2.25
22'
zAAA
22'
yx AAA
222
zyx AAAA
Direção de um Vetor Cartesiano
Antonio Dias / Cap.2 2-27Figura 2.26
Ângulos diretores coordenados:
(alfa)
b (beta)
g (gama)
Ângulos medidos entre a origem
de A e os eixos positivos x, y, z.
A
AxcosA
Aybcos
A
Azgcos
2-28Antonio Dias / Cap.2
2-29
kA
Aj
A
Ai
A
A
A
Au zyx
A
222
zyx AAAA
kjiA )cos()cos()cos( gb AAA
1coscoscos 222 gb
Antonio Dias / Cap.2
2.6 Adição e Subtração de Vetores Cartesianos
Antonio Dias / Cap.2 2-30
Figura 2.28
R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k
2-31Antonio Dias / Cap.2
2-32
Figura 2.29
Exemplo 2.8: Expresse a força F como um vetor cartesiano.
Antonio Dias / Cap.2
2-33
Figura 2.30
Exemplo 2.9: Determine a intensidade e os ângulos diretores
coordenados da força resultante que atua sobre o anel.
Antonio Dias / Cap.2
Exemplo 2.11: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na
figura abaixo. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2,
de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo positivo y
e tenha intensidade de 800 N.
2-34
Figura 2.32
Antonio Dias / Cap.2
2.7 Vetores Posição
Antonio Dias / Cap.2 2-35
Figura 2.33
Vetor Posição: É um vetor fixo que localiza um ponto do
espaço em relação a outro.
2-36
Figura 2.34
r = xi + yj + zk
Antonio Dias / Cap.2
2-37
Figura 2.35
rA + r = rB
r = rB – rA = (xBi + yBj + zBk) - (xAi + yAj + zAk)
r = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB – zA)k
Antonio Dias / Cap.2
2-38Antonio Dias / Cap.2
Exemplo 2.12: Uma fita elástico está presa aos pontos A e B
como mostra a figura 2.36a. Determine seu comprimento e sua
direção, medidos de A para B.
2-39
Figura 2.36
Antonio Dias / Cap.2
2.8 Vetor Força orientado ao longo de uma reta
Antonio Dias / Cap.2 2-40
Figura 2.37
r
rFuFF
A força F é orientada ao longo da
corda AB.
Pode-se definir F como um vetor
cartesiano pressupondo que ele
tenha a mesma direção e sentido que
o vetor posição r orientado do ponto
A para o ponto B da corda.
2-41
A força F que atua ao longo da corrente pode ser representada como um vetor cartesiano
definindo-se primeiro os eixos x, y, z, formando-se um vetor posição r ao longo do
comprimento da corrente e determinando-se depois o vetor unitário u = r/r
correspondente que define a direção tanto da corrente quanto da força. A intensidade da
força é combinada com sua direção, F = Fu.
Antonio Dias / Cap.2
Exemplo 2.13: O homem mostrado na figura puxa a corda com
uma força de 70 lb. Represente essa força, que atua sobre o suporte
A, como vetor cartesiano e determine sua direção.
2-42
Figura 2.38
Antonio Dias / Cap.2
2-43
Exemplo 2.15: A cobertura é suportada por cabos, como
mostrado na foto. Se os cabos exercerem as forças FAB = 100 N e
FAC = 120 N no gancho em A, como mostrado na figura 2.40a,
determine a intensidade da força resultante que atua em A.
Figura 2.40
Antonio Dias / Cap.2
2-44
Figura 2.40
Antonio Dias / Cap.2