Resolução de Equações
Equações do 2º grau
2 0ax bx c
Chama-se equação do 2º grau a uma
incógnita a toda a equação do tipo:
Com a, b e c números reais e
02 cbxax
0a
Equação na forma canónica
0cbxax2
Termo em x2 Termo em x Termo independente
Relembra…
2 0ax bx c
0 0 0a b c
2 0ax bx 2 0ax c 2 0ax
0 0b c 0c 0b
02 cbxax
Equações do 2º grau incompletas 2 0ax c
Observa o triângulo rectângulo e determina o valor de x.
12 cm15 cm
x cm
Pelo Teorema de Pitágoras sabemos que:
15 122 2 2 x2 2 2225 144 225 144 81 0x x x
Equação do 2º grau incompleta porque b = 0.2 81 81 9x x x
Conjunto-Solução da equação = { -9 , 9}
Resposta: x é 9 porque o valor de um comprimento não pode ser negativo.
9 9x x
Reduz as equações a expressões do tipo
Indica o valor de a , b e c e determina a solução.
ax bx c com a2 0 0
3 2 1 242x x x x 2 2
2 2
2
3 6 24
3 6 24 0
2 18 0
x x x x
x x x x
x
1º reduzir à forma canónica ax bx c2 0
a = 2; b = 0 ; c = -18
2 1818
22 2x x
x x x2 9 9 3
2º Resolver a equação e indicar o conjunto solução.
Conjunto-solução = { - 3 , 3 }
3 3x x
5 2 3 22x x x1º reduzir à forma canónica ax bx c2 0
10 5 3 2 02x x x
5 15 02x a = 5 ; b = 0 ; c = 15
5 152x
x x2 215
53
2º resolver a equação
Equação IMPOSSÍVEL, não há nenhum nº real cujo quadrado seja negativo.
x 3
IMPOSSÍVEL
Equações do 2º grau incompletas2 0ax
A soma de seis com o quíntuplo do quadrado de um número é seis. Qual é o número?
+ 25 x6 = 626 5 6 x
0 é a solução da equação
0S
25 6 6 x25 0 x
2 0
5 x
0 x
2 0 x
A diferença entre o quadrado de um número e o seu quadruplo é zero. Qual é o número?
Equações do 2º grau incompletas2 0 ax bx
-2x 4x = 0
Equações do 2º grau incompletas2 0 ax bx
2 4 0x x a = 1 ; b = -4 ; c = 0
4 0x x
0 4 0x x
0 4 x x
Conjunto-solução = {0,4 }
1º colocar a incógnita em evidência (factorizar)2º Aplicar a lei do anulamento do produto
3º Encontrar as soluções
Resolve a Equação x x
x2
3
3 4
22 3
a = 2 ; b = 3 ; c = 0
1º Reduzir à forma canónica
x x
x2
3
3
2
12
22 6
2 9 36 12 362x x x
2 3 02x x
x x2 3 0
x x0 2 3 0
x x03
2
2º colocar a incógnita em evidência
3º Aplicar a lei do anulamento do produto
30,
2
S
Equações do 2º grau completasFórmula Resolvente
Dada uma equação do tipo
ax bx c com a2 0 0 Podemos encontrar as soluções, utilizando a seguinte fórmula:
xb b a c
a
2 4
2
À expressão que está dentro da raiz quadrada chama-se BINÓMIO DISCRIMINANTE e representa-se por ( delta
)
b a c2 4
1 254
x
2 3 02x x a = 2; b = 1; c = -3
22
32411 2
x
x1 5
4x x
1 5
4
1 5
4
x x x x6
4
4
4
3
21
Duas Soluções
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é positivo, a equação tem duas soluções.
xb b ac
a
2 4
2
Resolve a Equação
3,1
2
S
xb b ac
a
2 4
2
x
12 0
4
2 28 12 102x x 1º Reduzir à forma canónica
2 12 18 02x x a = 2; b = -12; c = 18
x12 12 4 2 18
2 2
2
x12 144 144
4
x x12 0
4
12 0
4x x 3 3 3 é uma raiz
dupla da equação
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é zero, a equação tem uma solução dupla.
Resolve a Equação
xb b ac
a
2 4
2
2
162 x
2 9 2 4x x 1º Reduzir à forma canónica
2 2 5 0x x a = 1; b = -2; c =
5 22 2 4 1 5
2 1x
2 4 204
x
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é negativo, a equação é impossível.
Resolve a Equação
Equação IMPOSSÍVEL, não há nenhum nº real cujo quadrado seja negativo.
Determina o perímetro do triângulo rectângulo.
( 2x+1 )
cm
( x+3 ) cm
( 3x+2 ) cm
Pelo Teorema de Pitágoras:
3 2 2 1 32 2 2x x x
9 12 4 4 4 1 6 92 2 2x x x x x x
4 2 6 02x x
x
2 2 4 4 6
2 4
2
x x2 10
8
2 10
8x x
3
21
33
22 2 5
, cm
x não pode ser
2
3
3 1 2 5 cm 1 3 4 cm
2 1 1 3 cm
Perímetro = 5+3+4 =12 cm
3
2Se x
Solução do Problema
1Se x
( 2x+1 ) cm
( x+3 ) cm ( 3x+2 ) cm
Um Pouco de História
Este matemático Português do
século XVI realizou uma
grandiosa obra na área da
Matemática, Física, Astronomia e
nas suas aplicações à Náutica.
No que diz respeito às equações,
Pedro Nunes resolvi-as com
grande rigor de raciocínio
embora sem usar linguagem
simbólica.
Fim