UNIVERSIDAD TECNICA
PARTICULAR DE LOJA
Karla Ordoñez
Karina Jimenes
Rodrigo Saraguro
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR POR
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
SISTEMAS INFORMÁTICOS Y COMPUTACIÓN
IV Ciclo
MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS
Consideremos la ecuación diferencial lineal
completa
donde
Supongamos que la solución general de la
ecuación diferencial lineal homogénea viene dada
por
Donde
son funciones en la variable x que se determinan
resolviendo el sistema
)(),...(),(21
xcxcxcn
Tomado de: http://ucua.ujaen.es/jquesada/Descargas/MatematicasII/P06EDO.pdf
El proceso se resume en los siguientes pasos:
1. Se calcula forma estándar de la ecuación diferencial, para que el
coeficiente de y’’ sea uno.
2. Resolvemos la ecuación homogénea y obtenemos las raíces de la
ecuación auxiliar y su función complementaria.
3. Se calcula el wronskiano.
4. Calculamos el wronskiano de cada identificación, obteniendo u’ y v’.
5. Integramos para obtener u, v y la solución particular.
6. Para obtener la solución general, sumamos la solución particular mas
la complementaria.
EJEMPLO
y" - 4y' + 4y = (x + 1)e2X
m2 - 4m + 4 = (m - 2)2 = 0
m=2
m=2
Identificamos y1 = e2x y y2 = xe2x
La solución complementaria yc :
yc = c1e2x + c2xe2x
1.
2.
x
xxx
xx
xxe
exee
xeexeeW
4
222
22
22
22,
x
xxx
x
xexexeex
xeW
4
222
2
11
2)1(
0
x
xx
x
exexe
eW
2
22
2
21
12
0
3.
23
23
1
xxu x
xu
2
2
2
5.
xxe
xexu
x
x
2
4
4
'
1
11
1
4
4
'
2x
e
exu
x
x4.
dxxxduu2'
1 dxxduu 1'
2
pcyyy
6.
xxx
pe
xxxex
xe
xxy
2
23
2
2
2
23
26223
)()()()(2211
xyxuxyxuyp
xxxe
xxxececy
2
23
2
2
2
126
• ZILL, Denis. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado, Edición 8. Editor Cengage Learning Editores,
2006. pag 167-171.
•Ecuaciones diferenciales de orden superior Variación de
los parámetros. Tomado el 12 de Noviembre del 2009
Disponible en:
http://ucua.ujaen.es/jquesada/Descargas/MatematicasII/P06
EDO.pdf
BIBLIOGRAFÍA