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2. Sinais e Sistemas Discretos Notação: x[n] Discreto x(t) Contínuo
n(amostras)
Sinal Discreto x[n]=x(n.T) Sinal Digital xq[n]
Sinal Contínuo x(t)
n
Sinal Amostrado xa(t)
t (ms)-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-3
-2
-1
0
1
2
3
Am
plitu
de
Tempo (mseg)
Sinal Continuo
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-3
-2
-1
0
1
2
3
Am
plitu
de
Sinal Amostrado
Tempo (mseg)
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-3
-2
-1
0
1
2
3Sinal Discreto
Am
plitu
de
Amostra-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-3
-2
-1
0
1
2
3
Amostra
Am
plitu
de
Sinal Digital
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Sistemas:
x(t) y(t)H(s)Contínuo:
xa(t) ya(t)H(z)Amostrado:
x[n] y[n]H(z)Discreto:
xq[n] yq[n]Hq(z)
Digital:
Ex.: Filtros ativos e passivos
Ex.: Filtros a capacitor chaveado
Ex.: Filtros digitais comPrecisão Infinita
Ex.: Filtros digitais comPrecisão Finita
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Sinais Discretos: Sequência de números reais ou complexos.
x[n] não é definido para n não-inteiro
Ex.: x[n]={..., 1.3, 1.6, 2.0, 1.8, 1.7 ...}
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2.1.1. Sequências Básicas e Operações
Soma: z[n]=x[n]+y[n] Produto: z[n]=x[n].y[n] Escalamento: y[n]=.x[n]Operações realizadas amostra a amostra
Deslocamento: y[n]=x[n-no]
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Sinais Discretos Básicos:– Impulso Unitário:
(Delta de Dirac)0, 0
[ ]1, 0
nn
n
p[n]=a-3[n+3]+a1[n-1]+a2[n-2]+a7[n-7]
Sinal arbitrário:
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Generalizando: [ ] [ ]. [ ]k
x n x k n k
-Degrau unitário:
0,0
0,1][
n
nnu
[ ] [ ]n
k
u n k
0
[ ] [ ]k
u n n k
Analogamente: [ ] [ ] [ 1]n u n u n
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Função Exponencial Complexa: x[n]=A.n
• Se A e forem números reais x[n] será RealConsiderando A real positivo
Se 0<<1
Se =1
Se >1
Se -1<<0
Se <-1
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• Se A e forem números complexos x[n] será Complexa
Considerando: . jA A e 0. je
0[ ] . . . .njn jx n A A e e Então:
0 .[ ] . .n j nx n A e
Euler: cos( ) sin( )je j
Logo:
0 0[ ] . cos . sin .n
x n A n j n
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||<1
||=1
||>1
A=1
0 0[ ] . cos . sin .n
x n A n j n
-10 -5 0 5 10-2
0
2
4
alph
a=.9
/45
-10 -5 0 5 10-4
-2
0
2
-10 -5 0 5 10-2
-1
0
1
2
alph
a=1/
45
-10 -5 0 5 10-2
-1
0
1
2
-10 -5 0 5 10-2
0
2
4
alph
a=1.
1/45
-10 -5 0 5 10-2
0
2
4
Re{x[n]} Im{x[n]}
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Propriedades das exponenciais complexas
00 0cos sinj te t j t Sinal Contínuo:
Nota-se que: - Aumentando 0 Aumenta taxa de oscilação- p/ 0 é sempre periódica- em um tempo T existem infinitas senóides completas
Sinal Discreto: 00 0cos( ) .sin( )j ne n j n
- Aumentando 0 de 2:0 0 0( 2 ). ( ) ( ).2 ..j n j n j nj ne e e e
Conclusão: Repetição dos sinais em 2., 4. ,...
Exponenciais complexas discretas necessitam serem consideradas no intervalo (0,2.) ou (-, ).
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0 2 4 6 8 10 12-1
0
1
0 2 4 6 8 10 12-1
0
1
0 2 4 6 8 10 12-1
0
1
0 2 4 6 8 10 12-1
0
1
0 2 4 6 8 10 12-1
0
1
0 2 4 6 8 10 12-1
0
1
0 2 4 6 8 10 12-1
0
1
0 2 4 6 8 10 12-1
0
1
0 2 4 6 8 10 12-1
0
1
0=0
0=/6
0=/3
0=/2
0=
0=3/2
0=5/3
0=2
0=11/6
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Logo: Baixas Frequências 0 próximo de 0 ou 2 Altas Frequências 0 próximo de
-Propriedade 2:Para um sinal ser periódico com período N é necessário que:
x[n]=x[n+N] para todo n
Então: 0 0 ( )j n j n Ne e 0 0 0.j n j n j Ne e e
00 0cos( ) .sin( )1 j N N j Ne
Logo: 0 2N m m
Ou: 0
2
m
N
Não é periódico p/ 0!!!!
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Definindo: Período Fundamental:
Frequência Fundamental:
0
2N m
0
m
•Sinais harmonicamente relacionados:
Contínuo: 0
2
T
0 0 0 0
2 4 6 2.2 3, , ,.., , , ,...,
j t j t j t j k tj t j t j t jk t T T T Te e e e e e e e
Logo: existem funções diferentes periódicas em T
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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No caso Discreto:2
jk nNe
2
1j n
Nk e
2 2 2
( 1) 21 .j N n j n j nj nN N Nk N e e e e
00 1jk e 2 1j nk N e
Logo: Existem apenas N funções periódicas diferentesque possuem período N.
k=0 k=1 k=2 k=3 p/ N=4
0 2 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1k=0 N=4
0 2 4-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1k=1 N=4
0 2 4-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1k=2 N=4
0 2 4-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1k=3 N=4
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Exemplos: São periódicas as seguintes funções?
1) [ ] cos6
x n n
2)4
[ ] cos7
x n n
3) [ ] cos2
nx n
0 2 4 6 8 10 12 14 16-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10 12-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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2.2. Sistemas DiscretosUm sistema discreto é uma transformação
ou operação que mapeia um sequência de entrada x[n] em uma sequência de saída y[n]
y[n]=T{x[n]}
T{}x[n] y[n]
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Ex.: Sistema de Atraso
y[n]=x[n-n0]n0 > 0 Sistema de atrason0 < 0 Sistema de avanço
Ex.: Média Móvel (Moving Average - MA)
2
11 2
1[ ] [ ]
1
M
k M
y n x n kM M
Na figura: M1=0 M2=50 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
n n-5
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Um sistema é dito sem memória se a saída y[n] a cada valor de n depende somente da entrada x[n] p/ mesmo valor de n.
Ex.: y[n]=x[n]2
Atraso?Média Móvel?
2.2.1. Sistemas Sem-Memória
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2.2.2. Sistemas Lineares Um sistema é dito linear se obedece ao
Princípio da Superposição:
Dado: y1[n]=T{x1[n]} e y2[n]=T{x2[n]}
Então:
Linearidade: T{a.x1[n]+b.x2[n]}=a.T{x1[n]}+b.T{x2[n]}
Aditividade: T{x1[n]+x2[n]}=T{x1[n]}+T{x2[n]}
Homogeneidade: T{a.x[n]}=a.T{x[n]}
Ex.: Acumulador, logaritmo
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2.2.3. Sistemas Invariantes no Tempo
Certo: Sistemas invariantes ao deslocamento
Um sistema Invariante no Tempo é aquele que um deslocamento no sinal de entrada causa um correspondente deslocamento no sinal de saída.
Se: y[n]=T{x[n]}Então: y[n-n0]=T{x[n-n0]}
Ex.: Acumulador, Compressor
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2.2.4. Causalidade Um sistema é dito causal se uma amostra
y[n0] depende de y[n] e/ou x[n] para nn0.
Isto é, não depende de valores futuros.
Sistema não-antecipativo.
Ex.: Forward Difference: y[n]=x[n+1]-x[n] Não-Causal
Backward Difference: y[n]=x[n]-x[n-1] Causal
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2.2.5. Estabilidade Diversos critérios...Critério BIBO (Bounded Input – Bounded Output)
Sistema é estável se para toda sequência de entrada limitada esse sistema produz uma saída também limitada.
x[n] é limitado se: |x[n]|Bx< para todo n
y[n] é limitado se: |y[n]|By< para todo n
O sistema é estável se y[n] é limitado para todoe qualquer sinal x[n] limitado.
Basta encontrar um caso que não cumpra a condição para o sistema ser considerado instável.
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Exemplos:
1) y[n]=x[n]2
2) y[n]=log(x[n])
3)Acumulador
n
k
kxny ][][
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2.3. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo - LTI
[ ] [ ]. [ ]k
y n T x k n k
[ ] [ ]y n T x nDado:
Se o sistema é Linear :
[ ] [ ]. [ ] [ ]. [ ]kk k
y n x k T n k x k h n
hk[n] é a resposta ao impulso do sistema no instante k.h[n]=T{[n]}
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Se o sistema é Invariante no Tempo:
[ ] [ ]kh n h n k
Logo para sistemas LTI:
[ ] [ ]. [ ]k
y n x k h n k
O sistema T{} é completamente caracterizado pelasua resposta ao impulso h[n].
Soma de Convolução.
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Soma de Convolução:
[ ] [ ]* [ ] [ ]. [ ]k
y n x n h n x k h n k
Mesma interpretação da integral de convolução dos sistemas contínuos
Porém com senso mais prático, pois será usada paraImplementar sistemas, ao contrário da integral de convolução que é de senso mais teórico.
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Interpretação 1 : Soma das respostas ao impulso do sistema, ponderadas e deslocadas.
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Interpretação 2:
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2.4. Propriedades dos Sistemas LTI
Comutatividade:
x[n]*h[n] = h[n]*x[n] Demonstrar...
h1[n] h2[n]x[n] y[n]
h2[n] h1[n]x[n] y[n]
h1[n]*h2[n]x[n] y[n]
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Distributividade: Provar...
x[n]*(h1[n]+h2[n])=x[n]*h1[n]+x[n]*h2[n]
h1[n]
h2[n]
+x[n] y[n]
h1[n]+h2[n]x[n] y[n]
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Estabilidade:
Critério BIBO: Um sistema LTI é estável se e somente seSua resposta ao impulso for absolutamente somável.
Provar...
[ ]k
S h k
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Causalidade
O sistema é causal se sua resposta ao impulso for um sinal causal. Sistema não-antecipativo.
h[n]=0 , n<0
Provar....
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Sistema Inverso
h1[n] h2[n]x[n]y[n]
z[n]
O sistema h2[n] é dito sistema inverso de h1[n] se z[n]=x[n]
Logo:h[n]=h1[n]*h2[n]=[n]
Pois: x[n]*[n]=x[n]
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Exercícios:Analisar os sistemas, calculando suas h[n] e classificando-ossegundo os tipos de sistemas estudados:
Atraso Ideal: y[n]=x[n-n0]
Média Móvel:2
11 2
1[ ] [ ]
1
M
k M
y n x n kM M
Acumulador: [ ] [ ]n
k
y n x k
Forward Difference: y[n]=x[n+1]-x[n]
Backward Difference: y[n]=x[n]-x[n-1]
Compressor: y[n]=x[M.n]