1

Abstract — faz-se o enquadramento ao tema da mortalidade e

longevidade, descrevendo-se as principais tendências actuais.

Descreve-se e aplica-se o método de Lee-Carter a dados

demográficos portugueses verificando-se as conclusões gerais

observadas nas aplicações a outras populações por diversos

autores.

Index Terms—mortalidade, longevidade, modelo de Lee-

Carter, Portugal

I. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO

A esperança de vida nos países industrializados tem

aumentado progressivamente desde que há registos

demográficos, para todos os grupos etários. Benjamim &

Soliman (1993), McDonald (1997) e McDonald et al. (1998)

demonstraram um decréscimo na probabilidade de morte na

idade adulta e na velhice. Em Portugal a esperança de vida à

nascença (total) passou de 51,43 anos em 1940 para 78,92 em

2006, um aumento de 53,5%, registando-se um crescimento

progressivo ao longo desse período (v. Figura 1).

Esta evolução representa uma conquista importante da

humanidade mas simultaneamente coloca desafios complexos

às entidades responsáveis pelo planeamento e gestão de

produtos cujo principal risco associado é a mortalidade, ou,

indirectamente a longevidade, como é o caso das Seguradoras

de Vida e a Segurança Social. Por risco de mortalidade

entende-se o risco de desvio das taxas de mortalidade

agregadas relativamente às antecipadas para diversas idades e

horizontes temporais. O risco de longevidade é o risco de que

no longo prazo as taxas de sobrevivência para os diversos

coortes sejam superiores às antecipadas (Cairns, Blake, &

Dowd, 2004).

Lee & Carter (1992) desenvolveram um método simples

de descrição da tendência secular da mortalidade. Neste

modelo o logaritmo da força da mortalidade é descrito como

uma série temporal, com uma componente específica da idade

e uma outra que é o produto de um parâmetro dependente do

tempo, que reflecte o grau geral da mortalidade, e uma

componente dependente da idade que representa a velocidade

de variação para cada idade quando o grau geral da

mortalidade varia.

O modelo de Lee-Carter, como ficou conhecido, é um

modelo previsional, no sentido em que permite extrapolar

tendências de mortalidade, e a consequente construção de

tábuas de mortalidade. Como todos os modelos extrapolativos,

padece de algumas das fragilidades dos mesmos: os padrões

históricos podem não se manter no futuro, e alterações

estruturais podem escapar (Lee, The Lee-Carter Method for

Forecasting Mortality, With Various Extensions and

Applications, 2000). A análise experimental num conjunto

alargado de países, permitiu concluir, no entanto, que o

modelo de Lee-Carter revela um desempenho bastante

aceitável enquanto modelo previsional.

Neste trabalho, aplica-se o modelo de Lee-Carter a dados

demográficos de Portugal, para o período entre 1940 e 2006, e

extrapolação até 2050.

Figura 1 – Esperança de vida à nascença no período entre 1940 e 2006

(dados de Portugal)

II. TENDÊNCIAS ACTUAIS DA MORTALIDADE E

LONGEVIDADE

Pitacco (2002) descreve as tendências gerais observadas

nos dados demográficos das populações, a saber:

i) Rectangularização - crescente concentração das

mortes em torno da moda (para idades avançadas),

o que resulta em que a função de sobrevivência

tenda para um rectângulo, conforme a Figura 2;

ii) Expansão - A moda da curva de mortalidade tende

Risco de mortalidade e longevidade no

contexto português

Matos, Cristóvão

cristovao.matos@gmail.com Fevereiro de 2008

2

a mover-se para idades muito avançadas, aspecto

que se denomina de expansão da função de

sobrevivência;

iii) As mortes acidentais em idades mais jovens

tendem a apresentar níveis e dispersão mais

elevada, conforme recentemente observado.

Figura 2 – Rectangularização (lado esquerdo) e expansão (lado direito) da

função sobrevivência. Adaptado de Pitacco (2002).

A rectangularização é observada também em Portugal,

conforme mostra o gráfico apresentado na Figura 3. Note-se a

progressiva tendência para que o número de sobreviventes

decaia mais lentamente ao longo da idade, com a progressiva

convergência do gráfico para a idade limite. Verifica-se uma

redução da taxa de mortalidade ao longo dos grupos etários,

mas a idade limite não parece expandir-se significativamente.

Figura 3 – Efeito observável da rectangularização para dados

demográficos da população portuguesa, para o número de sobreviventes.

Na Figura 3 apresentam-se cortes transversais no tempo

(ano) para a probabilidade de morte, e de facto verifica-se que

tem havido uma progressiva redução da mortalidade ao longo

dos diversos grupos etários, para se concentrar em idades mais

avançadas e progressivamente a convergir para a idade limite.

Figura 4 – Probabilidade de morte em função da idade, para os anos de

1940, 1950, 1960, 1970, 1980, 1990 e 2000. Note-se o desvio progressivo da

moda para a direita do gráfico.

III. O MÉTODO DE LEE-CARTER

A evolução de uma população ao longo do tempo pode ser

caracterizada pelo número de vivos com idade , sendo

que geralmente o número inicial na idade , fixa-

se em 100,000. O elemento casuístico que influencia a

dimensão de uma população é a morte, a qual provoca uma

redução do número de elementos da mesma. A idade da morte

de um indivíduo pode ser modelada por uma variável aleatória

, sendo o número de sobreviventes para uma idade (e ano

) dados pela função de sobrevivência

Geralmente as tábuas actuárias são apresentadas em coortes

(bandas ou intervalos com as mesmas grandezas estatísticas)

de intervalos de idade e de ano , representando-se por um

rectângulo Assim sendo uma grandeza dependente

da idade e do ano , esta será constante no intervalos

. As combinações mais frequentes envolvem o

produto . Por exemplo, uma tábua de

mortalidade é aquela em que os grupos de idades variam

unidade a unidade, ou seja, , sendo a

idade limite, e o ano varia em intervalos de 5 unidades,

.

Denomina-se o número de mortos registados para a

idade e ano , para uma determinada exposição ao risco .

A exposição ao risco consiste no número de indivíduos de um

coorte para os quais ocorreu ou seja, engloba o número de

indivíduos total para esse coorte.

A força da mortalidade é a taxa instantânea de redução de

uma população. Resulta (entre outras expressões) do quociente

entre o número de mortos e a exposição ao risco,

O modelo de Lee-Carter propõe uma representação linear

do logaritmo da força de mortalidade, (2.1)

Sendo um termo de erro com distribuição normal, ou

seja ruído branco. Os coeficientes estão sujeitos às condições

e . Relativamente aos coeficientes e

, os primeiros descrevem a média da forma do perfil de

idade, e os segundos os desvios que ocorrem com a variação

de . Segundo este modelo, para uma idade , as variações da

força da mortalidade ao longo do tempo são inteiramente

explicadas pelo parâmetro , ou seja, a diferença entre a força

da mortalidade para um indivíduo de 30 anos em 1950 e em

2000 será justificada inteiramente por . Por outro lado, note-

se que a variação de entre anos sucessivos depende

também de ,

A determinação dos coeficientes e não se trata de um

problema simples de regressão linear, já que os parâmetros

também são desconhecidos. O problema proposto consiste em

determinar , e tais que minimizem a expressão

Note-se que a parametrização (2.1) não é única, uma vez

que é invariante às transformações (Girosi & King, 2007)

0 5 10 15 20Idade

0

20000

40000

60000

80000

100000

lx

2000

1990

1970

1940

0 20 40 60 80 100Idade

0

2000

4000

6000

8000

10000

dx

2000

1990

1980

1970

1960

1950

1940

3

,

, ,

Os passos envolvidos para a aplicação do modelo de Lee-

Carter a uma série de dados demográficos da força da

mortalidade são:

i) Determinação dos coeficientes . Estes

coeficientes obtêm-se a partir da média dos

logaritmos da força de mortalidade observada

ii) Construção da matriz .

iii) Os coeficientes e os parâmetros são

determinados através de uma decomposição de

valor singular (SVD - Single Value

Decomposition)

nde a componente representa a

componente da idade, a componente do ano

(tempo) e o vector são os valores singulares

(Wang, 2007).

Os coeficiente obtêm-se a partir de e

.

iv) Segunda estimativa de . Fixam-se os

coeficientes e determinados no passo

anterior e procura-se determinar o valor de

que reproduz, para cada ano t, o número exacto

de mortes observadas , ou seja, procura-se

tal que

Segundo Lee (2000) as vantagens da segunda estimativa

são, em primeiro lugar, a garantia de que as tábuas de

mortalidade ajustadas a partir das estimativas dos anos de

amostragem reproduzem o número de mortes e a distribuição

de população observáveis. Uma vez que a primeira estimativa

é efectuada recorrendo a logaritmos da força da mortalidade, é

possível ocorrerem discrepâncias consideráveis. Em segundo

lugar, esta estimativa permite completar dados inexistentes

para uma idade em particular num determinado ano,

fornecendo assim uma estimativa indirecta.

A. Estimativas da força da mortalidade

De forma a produzir previsões da mortalidade, Lee & Carter

(1992) assumem que os coeficientes permanecem

constantes ao longo do tempo e usam um modelo de série

temporal univariada. Após vários testes, concluíram que o

modelo de caminho aleatório com deriva é o mais apropriado,

ou seja, uma série ARIMA (0,1,0),

Onde é uma variável aleatória com distribuição normal e

é o factor de deriva e o seu estimador de maior

probabilidade é obtido a partir do declive entre o primeiro e

último ponto da série,

A previsão de dois períodos futuros, segue naturalmente

De igual forma, para o intervalo infinitesimal temos,

Onde a última passagem é possível uma vez que as

variáveis aleatórias são assumidamente independentes com

a mesma variância. Assume-se para uma distribuição

normal , com média

e os majorantes e minorantes de são dados por

+

-

Onde corresponde a um intervalo de confiança de 95%

para (obtido a partir da distribuição normal).

IV. APLICAÇÃO A DADOS DEMOGRÁFICOS DE PORTUGAL

O modelo de Lee-Carter foi aplicado a dados de Portugal,

obtidos a partir do site www.mortality.org, para o período

entre 1940 e 2006, usando-se dados de coortes , ou seja,

anuais com intervalos de 5 anos de idade. Usou-se a tábua de

vida * , os dados de exposição ao risco † e taxa de

mortalidade ‡.

Na Figura 5 apresentam-se os coeficientes

determinados a partir do modelo. Recorde-se que estes

correspondem à média dos valores do logaritmo da força da

mortalidade para o período em análise.

*Disponível no endereço

http://www.mortality.org/PrivRegistered/PRT/STATS/fltper_5x1.txt após

registo do utilizador. †Idem em

http://www.mortality.org/PrivRegistered/PRT/STATS/Exposures_5x1.txt ‡Idem em

http://www.mortality.org/PrivRegistered/PRT/STATS/Mx_5x1.txt

4

Figura 5- Coeficientes determinados a partir do Modelo de Lee-Carter

para dados demográficos da população portuguesa no período entre 1940

e 2006.

A Figura 6 apresenta os coeficientes . Recorde-se que

estes coeficientes medem a variação para cada idade quando o

grau geral da mortalidade varia.

Figura 6 - Coeficientes determinados a partir do Modelo de Lee-

Carter para dados demográficos da população portuguesa no período

entre 1940 e 2006.

Na Figura 7 apresenta-se o gráfico com os valores

estimados através de SVD para , após a segunda estimativa

destes parâmetros.

Figura 7 - Parâmetros determinados a partir do Método de Lee-Carter

para dados demográficos da população portuguesa no período entre 1940

e 2006.

Na Figura 8 apresenta-se o gráfico com a previsão para a

evolução de para o período de 2007 a 2050.

Tabela 1 – Parâmetros resultantes do ajuste à série temporal

ARIMA(0,1,0)

0.3279619 0.1455222 0.56737 -0.140742699

Figura 8 – Parâmetros determinados a partir do Modelo de Lee-

Carter para dados demográficos da população portuguesa no período

entre 1940 e 2006.

V. CONCLUSÕES

O modelo de Lee-Carter é simples e permite descrever com

bastante precisão a tendência secular da evolução da

mortalidade. No caso português, a sua aplicação apresenta o

mesmo tipo de resultados de outros estudos anteriores (ver Lee

& Carter, 1992 para dados dos EUA, Lee e Rofman, 1994 para

dados do Chile, Lee e Nault, 1993 para dados do Canadá,

Brouhns, Denuit e Vermunt para dados da Bélgica e Evides,

2001 para dados portugueses).

As principais tendências descritas por outros autores foram

também observadas nos dados demográficos portugueses,

nomeadamente a tendência para a rectangularização e

expansão.

A série da Figura 7 parece revelar uma dependência linear

no tempo, o que de facto se verifica, aplicando-se por exemplo

um ajustamento através de regressão linear. Nota-se também

que em diversos períodos o declive parece oscilar segundo

padrões aparentemente cíclicos, nomeadamente até cerca de

1955, depois até cerca de 1970 a redução é mais lenta. Até

cerca de 2000 volta a registar-se nova aceleração e a partir

desse ano o declive ainda é mais acentuado. O modelo de Lee-

Carter não permite acomodar estas variações.

O Método de Lee-Carter não permite acomodar informação

extra que altere as tendências futuras. Como adopta uma

extrapolação linear não tem em conta efeitos de ordem

superior que possam tornar-se importante à medida que se

aproximam os limites, nomeadamente por efeito da

rectangularização e expansão, conforme identificado

anteriormente. Ora, não parece credível que a tendência

secular linear possa manter-se indefinidamente.

Os modelos previsionais de mortalidade (e longevidade)

têm sofrido avanços muito significativos ao longo da última

década, mas estão ainda longe de fornecer respostas

1940 1960 1980 2000 2020 2040t

-15

-10

-5

0

5

t

5

definitivas quanto às leis que regem a evolução da mortalidade

e quais os factores que afectam a mesma.

VI. APÊNDICES

Nesta secção são apresentados o detalhe dos dados

obtidos na aplicação do Modelo de Lee-Carter a dados

demográficos da população portuguesa.

A. Apêndice A – Coeficientes e

Tabela 2 – Coeficientes e obtidos a partir de

uma SVD

0 -3.4309392 0.4650671

1-4 -5.9374227 0.5691183

5-9 -7.1996828 0.34747

10-14 -7.4302364 0.2670042

15-19 -6.7905809 0.1892648

20-24 -6.4850697 0.1874117

25-29 -6.3731046 0.1801331

30-34 -6.1996242 0.1606991

35-39 -5.9481303 0.1513241

40-44 -5.6485142 0.1335703

45-49 -5.3118661 0.1186189

50-54 -4.9524505 0.1122048

55-59 -4.5776189 0.1077072

60-64 -4.1421409 0.1132281

65-69 -3.6765146 0.1109816

70-74 -3.140467 0.1122768

75-79 -2.5921039 0.1018729

80-84 -2.1437367 0.0738919

85-89 -1.6740997 0.0546709

90-94 -1.284846 0.0342388

95-99 -0.9572549 0.0004056

100-104 -0.675996 -0.0159818

105-109 -0.4587576 -0.0258281

110+ -0.3211423 -0.0301166

B. Parâmetros

Tabela 3 – Coeficientes obtidos a partir

de uma SVD

1940 3.741

1941 4.167

1942 3.902

1943 3.707

1944 3.559

1945 3.347

1946 3.454

1947 3.060

1948 2.851

1949 3.157

1950 2.591

1951 2.652

1952 2.330

1953 2.134

1954 1.980

1955 2.125

1956 2.424

1957 2.147

1958 1.517

1959 1.770

1960 1.566

1961 1.737

1962 1.474

1963 1.478

1964 1.358

1965 1.181

1966 1.427

1967 1.134

1968 1.018

1969 1.422

1970 0.925

1971 1.189

1972 0.415

1973 0.667

1974 0.648

1975 0.555

1976 0.663

1977 0.078

1978 -0.079

1979 -0.543

1980 -0.568

1981 -0.669

1982 -1.177

1983 -1.018

1984 -1.119

1985 -1.287

1986 -1.634

1987 -1.906

1988 -1.857

1989 -2.285

1990 -1.787

1991 -1.877

1992 -2.435

1993 -2.153

1994 -3.051

1995 -2.881

1996 -2.786

1997 -3.220

1998 -3.303

1999 -3.301

2000 -3.774

2001 -4.045

2002 -4.119

2003 -4.062

2004 -5.010

2005 -4.659

2006 -5.548

C. Extrapolação de

Tabela 4 – Extrapolação de usando

um modelo ARIMA (0,1,0). Os valores

entre 1940 e 2006 são reais.

t

1940 3.741

1941 4.167 2.938 4.828

1942 3.902 3.365 4.564

6

1943 3.707 3.100 4.368

1944 3.559 2.905 4.221

1945 3.347 2.757 4.008

1946 3.454 2.545 4.115

1947 3.060 2.652 3.721

1948 2.851 2.257 3.512

1949 3.157 2.049 3.818

1950 2.591 2.354 3.252

1951 2.652 1.789 3.313

1952 2.330 1.849 2.991

1953 2.134 1.528 2.795

1954 1.980 1.332 2.641

1955 2.125 1.177 2.786

1956 2.424 1.322 3.086

1957 2.147 1.622 2.808

1958 1.517 1.345 2.178

1959 1.770 0.715 2.431

1960 1.566 0.968 2.227

1961 1.737 0.764 2.398

1962 1.474 0.934 2.135

1963 1.478 0.672 2.139

1964 1.358 0.676 2.020

1965 1.181 0.556 1.843

1966 1.427 0.379 2.088

1967 1.134 0.624 1.795

1968 1.018 0.332 1.679

1969 1.422 0.216 2.083

1970 0.925 0.619 1.586

1971 1.189 0.123 1.851

1972 0.415 0.387 1.076

1973 0.667 -0.388 1.328

1974 0.648 -0.135 1.310

1975 0.555 -0.154 1.217

1976 0.663 -0.247 1.324

1977 0.078 -0.139 0.739

1978 -0.079 -0.725 0.582

1979 -0.543 -0.881 0.118

1980 -0.568 -1.345 0.093

1981 -0.669 -1.370 -0.007

1982 -1.177 -1.471 -0.516

1983 -1.018 -1.979 -0.356

1984 -1.119 -1.820 -0.458

1985 -1.287 -1.922 -0.625

1986 -1.634 -2.089 -0.973

1987 -1.906 -2.436 -1.245

1988 -1.857 -2.709 -1.195

1989 -2.285 -2.659 -1.623

1990 -1.787 -3.087 -1.126

1991 -1.877 -2.589 -1.216

1992 -2.435 -2.679 -1.773

1993 -2.153 -3.237 -1.492

1994 -3.051 -2.955 -2.390

1995 -2.881 -3.853 -2.220

1996 -2.786 -3.683 -2.125

1997 -3.220 -3.588 -2.559

1998 -3.303 -4.022 -2.641

1999 -3.301 -4.105 -2.640

2000 -3.774 -4.103 -3.113

2001 -4.045 -4.576 -3.384

2002 -4.119 -4.848 -3.458

2003 -4.062 -4.921 -3.401

2004 -5.010 -4.864 -4.349

2005 -4.659 -5.812 -3.998

2006 -5.548 -5.461 -4.887

2007 -5.689 -6.257 -5.122

2008 -5.830 -6.632 -5.028

2009 -5.971 -6.953 -4.988

2010 -6.111 -7.246 -4.977

2011 -6.252 -7.521 -4.984

2012 -6.393 -7.783 -5.003

2013 -6.534 -8.035 -5.033

2014 -6.674 -8.279 -5.070

2015 -6.815 -8.517 -5.113

2016 -6.956 -8.750 -5.162

2017 -7.097 -8.978 -5.215

2018 -7.237 -9.203 -5.272

2019 -7.378 -9.424 -5.332

2020 -7.519 -9.642 -5.396

2021 -7.660 -9.857 -5.462

2022 -7.800 -10.070 -5.531

2023 -7.941 -10.280 -5.602

2024 -8.082 -10.489 -5.675

2025 -8.223 -10.696 -5.749

2026 -8.363 -10.901 -5.826

2027 -8.504 -11.104 -5.904

2028 -8.645 -11.306 -5.984

2029 -8.786 -11.507 -6.065

2030 -8.926 -11.706 -6.147

2031 -9.067 -11.904 -6.230

2032 -9.208 -12.101 -6.315

2033 -9.349 -12.297 -6.400

2034 -9.489 -12.492 -6.487

2035 -9.630 -12.685 -6.575

2036 -9.771 -12.878 -6.663

2037 -9.911 -13.070 -6.753

2038 -10.052 -13.262 -6.843

2039 -10.193 -13.452 -6.934

2040 -10.334 -13.642 -7.025

2041 -10.474 -13.831 -7.118

2042 -10.615 -14.019 -7.211

2043 -10.756 -14.207 -7.305

2044 -10.897 -14.394 -7.399

2045 -11.037 -14.581 -7.494

2046 -11.178 -14.767 -7.590

2047 -11.319 -14.952 -7.686

2048 -11.460 -15.137 -7.783

2049 -11.600 -15.321 -7.880

2050 -11.741 -15.505 -7.978

VII. REFERÊNCIAS

Brouhns, N., Denuit, M., & Vermunt, J. (2002). A Poisson

log-bilinear regression approach to the construction of

projected lifetables.

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the Longevity Risk in Mortality Projections.

Cairns, A., Blake, D., & Dowd, K. (2004). Pricing Death:

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Risk.

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Coelho, E. (n.d.). The Lee - Carter Method for Forecasting

Mortality. The Portuguese experience.

Girosi, F., & King, G. (2007). Understanding the Lee-Carter

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Hári, N., Waegenaere, A., Melenberg, B., & Nijman, T.

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la Mortalidad en Chile.

Pitacco, E. (2002). Longevity risk in living benefits.

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Sweden: Applying the Lee-Carter Model.

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