[2014 2015] cap_3_funcoes_varias_variáveis

Metodos Matematicos II

Nuno Bastos

Licenciatura em Tecnologias e Design de MultimediaEscola Superior de Tecnologia e Gestao de Viseu

Gabinete 42

2014/2015

Nuno Bastos (ESTGV) Metodos Matematicos II 2014/2015 1 / 55

Neste capıtulo iremos estudar funcoes reais de duas ou mais variaveis reais.

Exemplos

1 A area de um triangulo depende das variaveis base e altura:

A△(b, h) =b · h2

2 O volume de uma caixa com laterais rectangulares depende de tresdimensoes x , y e z :

V (x , y , z) = x · y · z3 A media aritmetica x de n numeros x1, x2, . . . , xn e uma funcao de

n variaveis:

µ(x1, . . . , xn) = x =1

n(x1 + x2 + . . .+ xn)


Definicao

Seja D um conjunto do espaco n-dimensional (D ⊆ IRn), isto e, os

elementos de D sao os n-uplos ordenados (x1, x2, . . . , xn) de numerosreais.Se a cada ponto (x1, x2, . . . , xn) ∈ D fizermos corresponder um unicoelemento y ∈ IR, obtemos uma funcao

f : D ⊆ IRn → IR

(x1, x2, . . . , xn) → y = f (x1, x2, . . . , xn)

Esta funcao e chamada funcao real de n variaveis reais. O conjunto D edenominado o domınio da funcao.


Representacao no plano e no espaco do domınio de

funcoes de duas e tres variaveis - Exemplos

Calcule o domınio da funcao seguinte e represente-o graficamente:

f (x , y) = 3x2√y − 1

Solucao

O domınio de f e o conjuntodos pontos (x , y) tais quey ≥ 0.Assim

D = {(x , y) ∈ IR2 : y ≥ 0}



funcoes de duas e tres variaveis - Exemplos (cont.)


f (x , y) = ln(x2 − y)Solucao

O domınio de f e o conjuntodos pontos (x , y) tais quex2 − y > 0.Ora x2 − y > 0 ⇔ y < x2.Assim

D = {(x , y) ∈ IR2 : y < x2}



funcoes de duas e tres variaveis - Exemplos (cont.)


f (x , y) =√

9− x2 − y2 − z2

Solucao

O domınio de f e o conjuntodos pontos (x , y , z) tais que9− x2 − y2 − z2 ≥ 0.Ora 9 − x2 − y2 − z2 ≥ 0 ⇔x2 + y2 + z2 ≤ 9.Assimo domınio de f e a esfera de raio3 e centro em (0, 0, 0) e o seuinterior.


Graficos de funcoes de duas variaveis

Se f e uma funcao de n variaveis, f = f (x1, x2, . . . , xn), o seu

grafico e o conjunto de pontos no espaco IRn+1 dado por

graf (f ) = {(x1, x2, . . . , xn, f (x1, x2, . . . , xn)) : (x1, x2, . . . , xn) ∈ D(f )}

Em particular seja f (x , y) uma funcao real de duas variaveis reais. Ografico desta funcao definido por:

graf (f ) = {(x , y , f (x , y)) : (x , y) ∈ D(f )}

Nem toda a superfıcie em IR3 corresponde ao grafico de uma funcao.


Graficos de funcoes de duas variaveis - Exemplos

f (x , y) = 1− x − 1

2y

f (x , y) =√

1− x2 − y2


Nota

Os graficos de funcoes de tres ou mais variaveis ja nao sao visualizaveis porse encontrar num espaco de dimensao superior ao espaco onde vivemos.

Em IRn, n ≥ 4, funcoes contınuas representam hiper-superfıcies.


Curvas e Superfıcies de Nıvel

Seja z = f (x , y) a equacao de uma superfıcie em IR3 correspondente ao

grafico de uma funcao.Uma curva de nıvel na superfıcie e o lugar geometrico dos pontos(x , y) ∈ D(f ) onde a funcao permanece constante e por isso e definida poruma equacao f (x , y) = k , onde e k e uma constante.

Do ponto de vista geometrico as curvas de nıvel sao as interseccoes dasuperfıcie z = f (x , y) com os planos horizontais z = k .

Para as funcoes de tres variaveis o lugar geometrico dos pontos onde afuncao e constante, definido por f (x , y , z) = k chama-se superfıcie de

nıvel e, para as funcoes de mais de tres variaveis chama-sehiper-superfıcie de nıvel .


Curvas e Superfıcies de Nıvel


Curvas e Superfıcies de Nıvel - Exemplo 1

As figuras seguintes mostram uma montanha e a sua representacaotopografica.

Geralmente os mapas de contorno ou cartas topograficas mostram regioesda superfıcie terrestre descritas por curvas de nıvel, isto e, conjuntos depontos com a mesma elevacao.


Curvas e Superfıcies de Nıvel - Exemplo 1 - cont.

Uma carta topografica descreve a variacao de z relativamente a x e a y doseguinte modo:se duas curvas de nıvel se encontram muito espacadas significa que z variasuavemente, enquanto que pequenos espacamentos mostram uma rapidaalteracao de z .Desta maneira, para se obter uma boa ilusao tridimensional numa cartatopografica, e muito importante escolher valores adequados para k .



Nas cartas meteorologicas as curvas de nıvel podem representar pontos deigual temperatura, e chamam-se isotermicas . Podem tambem representarpontos de igual pressao, curvas isobaricas , como se mostra na figuraabaixo.



Considere a funcao dada por f (x , y) = 4x2 + y2. Construa o mapa decontorno para esta superfıcie atraves das curvas de nıvel correspondentes ak = 0, 1, 2, 3, 4 e 5.



Considere a funcao dada por f (x , y) = 2− x − y . Construa o mapa decontorno para esta superfıcie atraves das curvas de nıvel correspondentes ak = −6,−4, 0, 2, 4 e 6.


Esboco de graficos usando curvas de nıvel

As curvas de nıvel sao sempre subconjuntos do domınio da funcaoz = f (x , y), e portanto sao tracadas no plano XOY .Cada curva de nıvel e a projeccao, sobre o plano XOY da interseccao dografico de f com o plano horizontal z = k .Assim, para obtermos uma visualizacao do grafico de f , podemos tracardiversas curvas de nıvel e imaginarmos cada uma dessas curvas deslocadapara a altura z = k correspondente.


Esboco de graficos usando curvas de nıvel - Ilustracao


Seccoes Conicas

As seccoes conicas , ou simplesmente as conicas , sao obtidas interceptandoum cone circular recto de duas folhas por um plano

Variando a posicao do planoobtem-se uma parabola, umaelipse ou uma hiperbole como ilus-tra a figura ao lado:


Uma parabola e o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantesde um ponto fixo F (foco) e de uma recta fixa l (directriz) do plano.

O eixo da parabola e a recta que passa por F e e perpendicular a directriz.O vertice da parabola e o ponto V do eixo, equidistante de F e l


Parabolas com vertice no ponto V=(h,k)


Uma elipse e o conjunto de todos os pontos de um plano, cuja soma dasdistancias a dois pontos fixos (focos) e constante.


O grafico da equacaox2

a2+

y2

b2= 1

com a2 > b2 e uma elipse com vertices (±a, 0). As extremidades do eixomenor sao (0,±b). Os focos sao (±c , 0), com c2 = a2 − b2.



b2+

y2

a2= 1

com a2 > b2 e uma elipse com vertices (0,±a). As extremidades do eixomenor sao (±b, 0). Os focos sao (0,±c), com c2 = a2 − b2.


Uma hiperbole e o conjunto de todos os pontos de um plano, tais que omodulo da diferenca das suas distancias a dois pontos fixos do plano (osfocos) e constante.



a2− y2

b2= 1

com a2 > b2 e uma hiperbole de vertices (±a, 0). Os focos sao (±c , 0),com c2 = a2 + b2.


O grafico da equacaoy2

a2− x2

b2= 1

com a2 > b2 e uma hiperbole de vertices (0,±a). Os focos sao (0,±c),com c2 = a2 + b2.


Planos

A equacao de um plano no espaco pode ser obtida atraves de um pontodo plano e um vector normal a esse plano.


Definicao

O plano contendo o ponto (x1, y1, z1) e o vector normal −→n = (a, b, c),pode ser representado, pela equacao

a(x − x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0

ou ainda, reagrupando os termos, obtem-se para equacao geral do plano:

ax + by + cz + d = 0, d ∈ IR


Exemplo

Encontre a equacao geral do plano que contem o ponto (1, 2, 3) e sendo−→n = (4, 5, 6) um vector normal ao plano

Solucao:

4(x − 1) + 5(y − 2) + 6(z − 3) = 0

4x + 5y + 6z − 32 = 0


Para esbocar um plano no espaco, devemos em primeiro lugar encontrar asrectas de interseccao com os planos coordenados:

XOY (z = 0);

YOZ (x = 0);

XOZ (y = 0)

e as interseccoes com planos paralelos aos planos coordenados.


Exemplo

Pegando na equacao do exemplo anterior vem:Fazendo z = 0 vem 4x + 5y = 32Fazendo x = 0 vem 5y + 6z = 32Fazendo y = 0 vem 4x + 6z = 32


Definicao

A interseccao de uma superfıcie com um plano diz-se o traco da superfıcieno plano.


Superfıcies Cilındricas

Um exemplo comum de umadestas superfıcies e o cilindro

circular recto.


Para desenhar o grafico de z = y2 em IR3 comecamos por calcular o traco

(i.e., o que representa a funcao para diferentes valores de x) destasuperfıcie com os planos paralelos ao plano YOZ , uma vez que a variavel xnao esta presente na equacao. O traco em cada um destes planos e aparabola z = y2.


Outro tipo de superfıcies no espaco sao as superfıcies quadricas quepodem ser consideradas a correspondencia tridimensional das seccoesconicas no plano.

Definicao

Uma superfıcie quadrica e representada por uma equacao do segundo grauda forma:

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxz + Exy + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

A interseccao de uma superfıcie com um plano diz-se o traco da superfıcie

no plano.Os tracos das superfıcies quadricas nos planos coordenados sao conicas.

Para visualizar uma superfıcie no espaco e util determinar os seus tracosem planos paralelos aos planos coordenados.


Ha seis tipos basicos de superfıcies quadricas:

1 Elipsoide

2 Hiperboloide de uma folha

3 Hiperboloide de duas folhas

4 Cone elıptico

5 Paraboloide elıptico

6 Paraboloide hiperbolico


Elipsoide

x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1

Os tracos nos planoscoordenados sao elipses. Asuperfıcie e uma esfera se

a = b = c 6= 0.


Hiperboloide de uma folha

x2

a2+ y2

b2− z2

c2= 1

O traco nos planos paralelosao plano XOY sao elipses e

nos planos paralelos aos outrosplanos coordenados o traco euma hiperboles.O eixo dohiperboloide corresponde avariavel cujo coeficiente e

negativo.


Hiperboloide de duas folhas

z2

c2− x2

a2− y2

b2= 1


nos planos paralelos aos outrosplanos coordenados o traco euma hiperbole. O eixo dohiperboloide corresponde avariavel cujo coeficiente epositivo. Nao ha traco no

plano coordenadoperpendicular a esse eixo.


Cone Elıptico

z2 = x2

a2+ y2

b2


nos planos paralelos aos outrosplanos coordenados o traco euma recta. O eixo do conecorresponde a variavel cujocoeficiente e negativo.


Paraboloide Elıptico

z = x2

a2+ y2

b2


nos planos paralelos aos outrosplanos coordenados o traco euma parabola. O eixo doparaboloide corresponde a

variavel de grau um.


Paraboloide Hiperbolico

z = y2

b2− x2

a2

O traco nos planos paralelosao plano XOY sao hiperboles enos planos paralelos aos outrosplanos coordenados o traco euma parabola. O eixo doparaboloide corresponde a

variavel de grau um.


Tecnica para identificar uma superfıcie quadrica

Equacao Caracterıstica Classificacao

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 Nao tem nenhum sinal menos Elipsoide

x2

a2+

y2

b2−

z2

c2= 1 Tem apenas um sinal menos Hiperboloide de uma folha

z2

c2−

x2

a2−

y2

b2= 1 Tem dois sinais menos Hiperboloide de duas folhas

z2 −

x2

a2−

y2

b2= 0 Nao tem termos lineares Cone Elıptico

z −x2

a2−

y2

b2= 0

Tem um termo linear e doistermos quadraticos Paraboloide Elıpticocom o mesmo sinal

z −y2

b2+

x2

a2= 0

Tem um termo linear e doistermos quadraticos Paraboloide Hiperbolicocom sinais contrarios


Exemplo

Identifique a seguinte superfıcie:

3x2 − 4y2 + 12z2 + 12 = 0

Solucao:

Reescrevendo a equacao vem:

y2

3− x2

4− z2 = 1

A equacao tem um 1 no lado direito da equacao, tem dois membros comsinal negativo no lado esquerdo e um positivo e por isso e um hiperboloidede duas folhas.


Esboco de quadricas... Algumas tecnicas e exemplos

Um esboco de um hiperboloide de uma folha de equacao

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1 (a > 0, b > 0, c > 0)

pode ser obtida desenhando primeiro o traco (elipse) no plano XOY,depois os tracos nos planos z = ±c , e por fim as curvas hiperbolicas queunem os pontos terminais dos eixos dessas elipses.


Exemplo

Esboce o grafico do hiperboloide de uma folha de equacao

x2 + y2 − z2

4= 1 .

O traco no plano XOY, obtido fazendo z = 0 na equacao, e

x2 + y2 = 1 (z = 0)

que e uma circunferencia de raio 1 e centro na origem.Os tracos nos planos z = 2 e z = −2 sao

x2 + y2 = 2

que sao cırculos de raio√2 e centro no eixo dos zz. Juntando os pontos

extremos dos eixos das circunferencias com hiperboles obtemos o esbocofinal que se encontra no slide seguinte


O esboco...


Um esboco de um hiperboloide de duas folhas de equacao

z2

c2− x2

a2− y2

b2= 1 (a > 0, b > 0, c > 0)

pode ser obtida desenhando primeiro as interseccoes com o eixo dos zz,depois os tracos (elipses) nos planos z = ±2c , e por fim as curvas queunem os pontos terminais dos eixos dessas elipses com os pontos dainterseccao com o eixo dos zz.


Exemplo

Esboce o grafico do hiperboloide de duas folhas de equacao

z2 − x2 − y2

4= 1 .

As interseccoes com o eixo dos zz acontecem em z = ±1. Os tracos nosplanos z = 2 e z = −2 sao dados pela equacao:

x2

3+

y2

12= 1 (z = ±2)

Desenhando estas elipses e as hiperboles nos planos coordenados verticaisobtemos o esboco do slide seguinte


O esboco...


Um esboco de um paraboloide hiperbolico de equacao

z =y2

b2− x2

a2(a > 0, b > 0)

pode ser obtida desenhando primeiro os dois tracos ( parabolas ) quepassam na origem ( um no plano YOZ e outra no plano XOZ ), depois ostracos (hiperboles) nos planos z = ±1, e por fim preencher os lados quefaltam.


Exemplo

Esboce o grafico do paraboloide hiperbolico de equacao

z =y2

4− x2

9

Fazendo x = 0 na equacao vem:

z =y2

4(x = 0)

que e uma parabola no plano YOZ com vertice na origem e a “abrir”parao lado positivo do eixo dos zz. Fazendo y = 0 na equacao vem:

z = −x2

4(y = 0)

que e uma parabola no plano XOZ com vertice na origem e a “abrir”parao lado negativo do eixo dos zz.


O traco no plano z = 1 e

y2

4− x2

9= 1 (z = 1)

que e uma hiperbole que “abre”ao longo de uma linha paralela ao eixo dosyy. O traco no plano z = −1 e

x2

9− y2

4= 1 (z = −1)

que e uma hiperbole que “abre”ao longo de uma linha paralela ao eixo dosxx.


O esboco...


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