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MATEMÁTICA ELEMENTAR


Carlos Alberto G. de Almeida([email protected])

17 de setembro de 2012


Introdução

Olá a todos!

Estudaremos neste tópico o seguinte conteúdo:I Funções.

Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre oassunto descrito acima, porém, é interessante que você estudeantes a teoria.

BOM ESTUDO!


Questão 01: Utilize o método algébrico para determinar a inversada função dada.1. f (x) = 2x + 12. f (x) = x3 − 8

Solução: 1.f (x) −→ y : =⇒ y = 2x + 1x ←→ y : =⇒ x = 2y + 1

y =? : =⇒ y =x − 1

2y −→ f−1(x) : =⇒ f−1(x) =

x − 12

f ◦ f−1 = f−1 ◦ f = Id =⇒f (f−1(x)) = 2f−1(x) + 1 = 2(x−1

2 ) + 1 = xPortanto f−1 é definida pela equação

f−1(x) =12(x − 1)


Questão 01: CONTINUAÇÃO

Solução: 2.f (x) −→ y : =⇒ y = x3 − 8x ←→ y : =⇒ x = y3 − 8y =? : =⇒ y3 = x + 8 =⇒ y = 3

√x + 8

y −→ f−1(x) : =⇒ f−1(x) = 3√

x + 8f ◦ f−1 = f−1 ◦ f = Id : =⇒f (f−1(x)) = (f−1(x))3 − 8 = ( 3

√x + 8)3 − 8 = x

Portanto f−1 é definida pela equação

f−1(x) = 3√

x + 8


Questão 02: Seja f (x) = 3x − 1, g(x) = x3 e h(x) = 13(x + 1).

Calcule:1. (f ◦ g)(2) e (g ◦ f )(2)2. (f ◦ g)(x) e (g ◦ f )(x)3. (f ◦ h)(x) e (h ◦ f )(x)4. (f ◦ f )(x) e [f ◦ (g + h)](x)

Solução:1.(f ◦ g)(2) = f [g(2)] = f (23) = f (8) = 3(8)− 1 = 23(g ◦ f )(2) = g[f (2)] = g[(3)(2)− 1] = g(5) = 53 = 1252.(f ◦ g)(x) = f [g(x)] = f (x3) = 3x3 − 1(g◦f )(x) = g[f (x)] = g[3x−1] = (3x−1)3 = 27x3−27x2+9x−1.



Solução:3.(f ◦ h)(x) = f [h(x)] = f [1

3(x + 1)] = 3[13(x + 1)]− 1 = x

(h ◦ f )(x) = h[f (x)] = h[3x − 1] = 13(3x − 1 + 1) = x .

4.(f ◦ f )(x) = f [f (x)] = f [3x − 1] = 3(3x − 1)− 1 = 9x − 4[f ◦ (g+h)](x) = f [(g+h)(x)] = f [g(x)+h(x)] = f [x3+ 1

3(x +1)]= 3[x3 + 1

3(x + 1)]− 1 = 3x3 + x .


Questão 03: Considere a função g(x) = 4x + 7. Calculeg(3 + h)− g(3)

hpara h 6= 0 e siplifique a resposta.

Solução:

g(3 + h)− g(3)h

=[4(3 + h) + 7]− [4(3) + 7]

h

=12 + 4h + 7− 12− 7

h=

4hh

= 4.


Questão 04: Se f (1) = 5, f (3) = 7 e f (8) = −10. Encontre f−1(7),f−1(5) e f−1(−10)

Solução:Definição: Seja f uma função bijetora com domínio A e imagemB. Então sua FUNÇÃO INVERSA f−1 tem domínio B e imagemA, sendo definida por

f−1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y

Da definição de f−1 temos:f−1(7) = 3 porque f (3) = 7f−1(5) = 1 porque f (1) = 5f−1(−10) = 8 porque f (8) = −10



O diagrama na figura abaixo torna claro que f−1 reverte oefeito de f nesse caso.


Questão 05: Encontre o domínio da cada função

1. f (x) =√

x + 2

2. g(x) =1

x2 − x

Solução:1.Como a raiz quadrada de um número negativo não estádefinida (como um número real), o domínio de f consiste emtodos os valores de x tais que x + 2 ≥ 0. Isso é equivalente ax ≥ −2; assim, o domínio é o intervalo [−2,∞), ou seja,

Df = {x ∈ R; x ≥ −2}



2. Uma vez que

g(x) =1

x2 − x=

1x(x − 1)

e a divisão por 0 não é permitida, vemos que g(x) não estádefinida no caso de x = 0 ou x = 1. Dessa forma, o domíniode g é

Dg = {x |x 6= 0, x 6= 1}

que também pode ser dado na notação de intervalo como

(−∞,0)⋃

(0,1)⋃

(1,∞)


Questão 06: Dada a função f (x) = −x2 + 2x , simplifique:

1.f (x)− f (1)

x − 1

2.f (x + h)− f (x)

h

Solução:1.

f (x)− f (1)x − 1

=(−x2 + 2x)− 1

x − 1=−(x − 1)2

x − 1.

Assim,

f (x)− f (1)x − 1

= −(x − 1), x 6= 1.

Observe: f (1) = −12 + 2 = 1


Questão 06: CONTINUAÇÃO2.Primeiro vamos calcular f (x + h). Temos:

f (x+h) = −(x+h)2+2(x+h) = −x2−2xh−h2 = −x2−2xh−h2+2x+2h.

Então

f (x + h)− f (x)h

=−x2 − 2xh − h2 + 2x + 2h − (−x2 + 2x)

h−2xh − h2 + 2h

h= −2x − h + 2

ou seja,

f (x + h)− f (x)h

= −2x − h + 2, h 6= 0.


OBSERVAÇÕES:

I Caros alunos e alunas, é de extrema importância quevocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,estarem em dia com o conteúdo.

I Sugiro que estudem o conteúdo apresentado neste tópico,e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum, para que eupossa tentar esclarecê-las.

BOM ESTUDO!

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