DATA: 02/10/2015

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CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICADISCIPLINA: CÁLCULO IIIAULA 6PROFESSORA: GERALDINE

Aula: Integral de Linha.

Objetivos:Definir e resolver problemas com Integrais de Linha de Campos Escalares e Vetoriais.

Se é uma função real, a integral definida , com , representa a área da região do plano acima do domínio D e abaixo da curva gráficoda função .

Integral Definida

( )f x ( )ba f x dx( ) 0f x

f

Se é uma função de duas variáveis reais a valores reais então , com , representa o volume do sólido compreendido entre o gráfico de e o domínio B.

Integral Dupla

( , )f x y( , )B f x y dxdy ( , ) 0f x y

f

Existem situações não contempladas pelas integrais acima. Exemplo:Se quisermos calculara área do “muro” ao lado.

Área de um muro

Consideremos uma curva C unindo dois pontos no plano xoy e uma função contínua em D onde D é uma região do plano contendo a curva C.Um muro é construído ao longo de C e tem altura igual à em cada ponto de C. Qual é a área desse muro?

Problema

( , )z f x y

( , ) 0f x y ( , )x y

Considere uma partição da curva C.Área do Muro

P0P1

P2 Pn-1Pn

C

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Ai

Área do muroÁrea muro = 1 2 ... nA A A A

P0P1 P2 Pn-1

PnC

Pi-1 PiQi

A1A2 A3 An

f(xi , yi)Área do muro

Pi-1 PiQi

f(xi , yi)

iS

O comprimento de Arco denotaremos por .1i iP Pis

Área do muro

Pi-1 PiQi

iS

A área da i-ésimatira fica:E a área do muro:

( , ).i i i iA f x y s

1( , ).n

i i iiA f x y s

f(xi , yi)Se aumentarmos, indefinidamente, o número de arcos na partição, então em cada arco o comprimento tende a zero.Dessa forma , trata-se de uma integral que é chamada integral de linha ou curvilínea da função f ao longo da curva C.

Conclusão

1( , ).n

i i iif x y s

limnA

Se C é uma curva contínua e limitada no plano xoy e f é uma função escalar contínua em D contido no plano e que contem C. A integral de linha de f ao longo de C é dada por:

Notação

1( , ).n

i i iif x y s

limn ( , )

Cf x y ds

Se C está no espaço e f é uma função de três variáveis, então:

Observação

1( , , ).n

i i i iif x y z s

limn ( , , )

Cf x y z ds

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Consideremos agora uma parametrização para a curva suave e limitada C , dada pela função vetorial:

Integral de linha

( ) ( ), ( ) , ,r t x t y t t a b

Então: Como: e Logo:

Integral de linha

( , ) ( ), ( )baC

f x y ds f x t y t ds '( )b

as r t dt '( )ds r tdt '( )ds r t dt

Substituindo em obtemos:

Integral de linha

'( )ds r t dt ( ), ( )ba f x t y t ds

( ), ( ) '( )ba f x t y t r t dt Analogamente

Integral de linha

( , , ) ( ), ( ), ( ) '( )baC

f x y z ds f x t y t z t r t dt

Lembramos que

Observação

2 2'( ) '( ) '( )r t x t y t

Calcule a integral de linha , sendo C o segmento que une o ponto A(-1,0) ao ponto B(2,3).

Aplicação( 3 )

Cxy x ds

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Calcule a integral de linha , onde C é a curvadada pelas equações e .

Aplicação

Cxy ds

2 2 4x y 8x z

Integral de linha de uma curva C1 por partes

1...

nC C Cf ds f ds f ds

Calcule onde C é uma curva dada pelo gráfico ao lado.

Aplicação3

Cxy ds

1

2