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COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor /Cônicas - Elipse - 2009 SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica
Cônicas - Elipse
Sejam um plano e dois pontos distintos e fixos F1 e F2, neste plano.
A cônica denominada elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois
pontos fixos F1 e F2 é constante, ou seja, qualquer ponto P do plano que satisfaz à condição 1 2FP PF k+ =����� ������
,
pertence à elipse .
Acesse a atividade a seguir para visualização dos conceitos apresentados: Atividade 1: Cônicas – Elipse Elementos da Elipse:
Observe os elementos da elipse na figura abaixo:
• F1 e F2 : focos
• d (F1, F2) = 1 2FF�����
: distância focal : 2c
• C: centro (ponto médio de 1 2FF�����
)
• A1, A2, B1, B2 : vértices
• 1 2A A�������
: eixo maior : 2a (contém focos e extremos)
• 1 2B B������
: eixo menor : 2b (é perpendicular a 1 2A A�������
pelo centro C, logo 1 2 1 2A A B B 0=������� ������
i )
• e : excentricidade: e = c
a
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Observações:
1) Percebe-se que d ( F1, F2 ) < d ( A1, A2 ), isto é, 1 2 1 2FF A A<����� �������
, portanto, 2c < 2a.
Então, temos: c < a. Donde se conclui que 0 < e = c
a < 1.
2) Observando o gráfico acima percebemos que 1 2 1 2A A B B>������� ������
, daí 2a > 2b, logo, na elipse, a > b.
3) Como A1 e A2 são pontos da elipse e 1 2A A������
= 2a , então se o ponto P estiver no vértice A1 ou A2 , temos
1 2PF + PF = 2a������ ������
Dedução da equação da elipse com centro em (0,0): 1O caso: Eixo maior coincide com o eixo Ox Sejam P = ( x, y ), F1 = ( -c, 0 ) e F2 = ( c, 0 ).
( )1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
FP PF 2a
FP ( x c, y ) e PF c – x, y
x 2xc c y c 2xc x y 2a
x 2xc c y 2a – c 2xc x y
x 2xc c y 4a – 4a c 2xc x y c 2xc x y
4a c 2xc x y 4a
+ =
= + = −
+ + + + − + + =
+ + + = − + +
+ + + = − + + + − + +
− + + =
����� ������
����� ������
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
– 4cx
a c 2xc x y a – cx
a c – 2cx x y a – 2a cx c x
a c – 2a cx a x a y a – 2a cx c x
a – c x a y a a – c
− + + =
+ + = +
+ + = +
+ =
Como B1 b a a2 = b2 + c2 b2 = a2 - c2 C c F2
Logo, b2x2 + a2y2 = a2b2
Dividindo o último resultado por ( : a2b2 ), temos:
2 2
2 2
x y1
a b+ =
Equação reduzida da elipse de centro C = ( 0, 0 ) e eixo maior sobre o eixo Ox.
2 2
2 2
x y1
a b+ =
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2o caso: Eixo maior coincide com o eixo Oy Por analogia, encontraremos: Equação reduzida da elipse de centro C = ( 0, 0 ) e eixo maior sobre o eixo Oy. Acesse, Atividade 2: Cônicas – Elipse – Eixo maior sobre o eixo Ox. Acesse, Atividade 3: Cônicas – Elipse – Eixo maior sobre o eixo Oy. Acesse, Atividade 4: Cônicas – Elipse – Excentricidade Dedução da equação da elipse com centro fora da origem: 1o caso: Eixo maior paralelo ao eixo Ox
Analogamente à translação de eixos da parábola, temos Equação da elipse de centro em ( h, k ) e eixo maior paralelo a Ox
2o caso: Eixo maior paralelo ao eixo Oy
Analogamente, temos: Equação da elipse de centro em ( h, k ) e eixo maior paralelo a OY
Exemplo: Dê a equação da elipse que possui as seguintes características: I) eixo maior paralelo a Oy; II) C = (4, -2); III) e = ½ ; IV) eixo menor igual a 6.
2 2 2 2 2
2
a b c 4c 9 c
3c 9 c 3 a 2 3
= + ∴ = +
= ∴ = ∴ =
Informação III:
cSabemos que e , logo:
a
c c 1e a 2c
a a 2
Informação IV:
O eixo menor mede 2b, assim:
2b 6 b 3
=
= ∴ = ∴ =
= ∴ =
( ) ( )2 2
Finalmente, utilizando as
informações I e II, temos:
x 4 y 21
9 12
− ++ =
2 2
2 2
x y1
b a+ =
( ) ( )2 2
2 2
x h y k1
a b
− −+ =
( ) ( )2 2
2 2
x h y k1
b a
− −+ =
