PROFMAT - Colégio Pedro II

AV1 - MA14 - Gabarito

Prof. Luciana Martino

Questão 1 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]

Use o Princípo da Boa Ordenação para provar os seguintes resultados:

a) Se S ∈ Z é não vazio e limitado superiormente então S tem um maior elemento

Suponha d uma cota superior para S, isto é, ∀x ∈ S, x ≤ d.Considere o conjunto T = {y ∈ Z; y = d− x, com x ∈ S}.O conjunto T é não vazio e como d− x ≥ 0, ∀x ∈ S, ele é limitado inferiormente.Logo, pelo PBO, ele tem um menor elemento d− b, com b ∈ S.Vamos mostrar que b = maxS.De fato, se x ∈ S, temos que d− x ∈ T e, portanto, d− x ≥ d− b, o que implica que x ≤ b.

b) Para todo n ≥ 1 vale a igualdade 1 + 2 + 3 + ...+ n = n(n+1)2 .

Sugestão: Considere o conjunto S = {n ∈ N;n ≥ 1, 1 + 2 + 3 + ...+ n 6= n(n+1)2 } e prove que

S = ∅

Seja S o conjunto S = {n ∈ N;n ≥ 1, 1 + 2 + 3 + ...+ n 6= n(n+1)2 }.

Queremos provar que S = ∅.Suponha por absurdo S 6= ∅, ou ainda, suponha a ∈ S tal que 1 + 2 + 3 + ...+ a 6= a(a+1)

2 .

Observe que 1 /∈ S pois 1 = 1(1+1)2 .

Logo se a ∈ S então a ≥ 2. Dessa forma S é limitado inferiormente e pelo PBO tem um menorelemento, digamos d.

Assim d− 1 /∈ S e então 1 + 2 + ...+ (d− 1) = (d−1)d2 .

Somando d a ambos os lados dessa última igualdade temos

1 + 2 + ...+ (d− 1) + d = (d−1)d2 + d =

[(d−1)

2 + 1]d

1 + 2 + ...+ (d− 1) + d = (d+1)2 d

Donde concluímos que d /∈ S, o que é absurdo.

Questão 2 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]

Sobre o que vimos no capítulo Divisão nos Inteiros prove os seguintes resultados:

a) Se a ∈ N então a2 é da forma 3k ou 3k + 1, com k ∈ N

Se a ∈ N então a = 3q (I) ou a = 3q + 1 (II) ou a = 3q + 2 (III)

(I): a2 = (3q)2= 3(3q2) = 3k, fazendo k = 3q2

(II): a2 = (3q + 1)2= 9q2 + 6q + 1 = 3(3q2 + 2q) + 1 = 3k + 1, fazendo k = 3q2 + 2q

(III): a2 = (3q + 2)2= 9q2 + 12q + 4 = 3(3q2 + 4q + 1) + 1 = 3k + 1, fazendo k = 3q2 + 4q + 1

b) Se a e b são inteiros ímpares então a2 + b2 é divisível por 2 mas não é divisível por 4

Temos que a = 2k + 1, k ∈ Z e b = 2l + 1, l ∈ Z.Assim a2 + b2 = (2k + 1)

2+ (2l + 1)

2= 4k2 + 4k + 1 + 4l2 + 4l + 1 = 4(k2 + k + l2 + l) + 2.

Logo a2 + b2 não é divisível por 4 pois caso contrário 4 | 4(k2 + k + l2 + l) e 4 | 2, quandosabemos que 4 - 2.

Além disso 2 | a2 + b2 já que 2 | 4(k2 + k + l2 + l) e 2 | 2.

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Questão 3 [2,00 pts]

Agora um resultado sobre o Máximo Divisor Comum.

Prove que se a, b, c ∈ Z, com (a, b) = 1 então (ac, b) = (c, b)

Seja d = (c, b). Logo d | c e d | b e, portanto, d | ac e d | b.Falta mostrar que d é divisível por todo divisor comum de ac e b.Seja e um divisor comum de ac e b. Queremos provar que e | d.De fato, como (e, a) | a e (e, a) | e e e | b, temos que (e, a) | (a, b).Logo, sendo (a, b) = 1 temos (e, a) = 1.Como e | ac e (e, a) = 1, temos que e | c.Portanto e | c e e | b e assim e | d.

Questão 4 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]

Ainda sobre o Máximo Divisor Comum, prove que:

a) Se B ⊂ A, então mdcA ≤ mdcB

Se B ⊂ A então o mdcA divide todos os elementos de B, logo divide o mdcB.Assim, mdcA ≤ mdcB.

b) Dado um subconjunto in�nito A = {a1, a2, ...} de Z, existe um número natural n tal quemdcA = (a1, a2, ..., an)

Sejam di = mdc{a1, ..., ai}, i = 1, 2, ....Pelo item (a) temos d1 ≥ d2 ≥ ... ≥ 0, o que nos fornece uma sequência decrescente de númerosinteiros não negativos.Logo, pelo PBO existe n tal que dn = dn+1 = ...Portanto dn = mdc{a1, ..., an} = (a1, ..., an) = mdcA.

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Questão 5 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 1,0 pt]

Uma equação diofantina linear nas incógnitas x e y é uma equação da forma ax+ by = c, emque a, b e c são inteiros, e as únicas soluções (x0, y0) que interessam são aquelas em quex0, y0 ∈ Z.

Nesse contexto, considere que os ingressos de um cinema custam R$9, 00 para estudantes eR$15, 00 para o público geral, e, que, em certo dia, durante determinado período, a arrecadaçãonas bilheterias desse cinema foi de R$246, 00.

A partir das informações acima, faça o que se pede nos itens a seguir:

a) Obtenha uma equação diofantina linear que modele a situação acima, indicando o signi�cadodas incógnitas;

x: quantidade de ingressos vendidos para estudantesy: quantidade vendida para não estudantes9x+ 15y = 246

b) Quantas e quais são as soluções do problema descrito no item (a)?

Equação equivalente: 3x+5y = 82. Essa equação tem solução inteira já que (3, 5) = 1 e 1 | 82.

5 = 1.3 + 23 = 1.2 + 12 = 1.1 + 1⇒ 1 = 2− 1 = 2− (3− 2) = 2.2− 3 = 2.(5− 3)− 3 = −3.3 + 2.5

1 = −3.3 + 2.5 .(82)

82 = −246.3 + 164.5

x0 = −246 e y0 = 164

x = −246 + t.5 e y = 164− t.3

5t− 246 ≥ 0⇒ t ≥ 50 e 164− 3t ≥ 0⇒ t ≤ 54

t ∈ {50, 51, 52, 53, 54} ⇒ 5 soluções

. t = 50⇒ x = 4 e y = 14

. t = 51⇒ x = 9 e y = 11

. t = 52⇒ x = 14 e y = 8

. t = 53⇒ x = 19 e y = 5

. t = 54⇒ x = 24 e y = 2

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