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Aula 05Polinômios

Santo André, março de 2009

Equipe de professores de Bases Computacionais

Polinômios

Roteiro desta aulaPARTE I – Parte Teórica

• Polinômios• Raízes: Fórmulas analíticas, Método gráfico• Funções de suplemento, Lista de funções• Funções de suplemento, Lista de funções• Polinômio de Chebyshev• Séries de Taylor

PARTE II – Parte Prática

• Exemplo 1: f(x) = tanh (sin (ex))• Exemplo 1: f(x) = tanh (sin (ex))• Exemplo 2: Polinômios de Chebyshev• Exemplo 3: Série de Taylor de funções exponenciais

PARTE III - Trabalho de casa

PolinômiosPodem ser definidos como

O termo de maior ordem, diferente de zero, é chamado de ordem do polinômio.

Por exemplo, equação de segundo grau

Raízes (1,-2)

Um dos principais problemas no estudo dos polinômios reside em encontrar suas raízes. Infelizmente, há fórmulas fechadas apenas para até equacao de grau 3*. A de grau 2 é a famosa fórmula de Bhaskara.

Em geral são usados métodos numéricos (iterativos) para computar as raízes. Isso envolve o uso de rotinas/programas de computador, implementados em micros ou calculadoras.

Uma forma de estimar as raízes consiste em analisar o gráfico da função.

*http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.cubic.equations.htmlInstruções sobre como resolver equações de terceiro e quarto grau

Exemplo – estimar o lugar das raízes da equaçãof(x) = tanh (sin (ex) )

Traçamos o gráfico e através da manipulação dos limites vemos onde estão as raízes

Exemplo – E onde estão as raízes da equação f(x) = x2 + 4 ??

Aparecem raízes complexas –números imaginários!

BRcalc e outros softwares necessitam rotinas especiais para tratamento de números complexos.

Polinômios são particularmente úteis no projeto de Filtros para a área de Telecomunicações

-Filtros são dispositivos que selecionam sinais de acordo com sua frequência. Assim, um filtro passa-baixas só deixa passar sinais com frequência abaixo da frequência de corte. Há filtros passa-altas, passa-banda, rejeita-faixa etc.frequência de corte. Há filtros passa-altas, passa-banda, rejeita-faixa etc.

-Algumas câmeras digitais usam filtros para permitir a passagem apenas da porção visível da luz, enquanto que outras captam os raios infravermelhos (não visível ao olho humano) para fazer fotos noturnas (nightshot)

-Quando selecionamos uma emissora de rádio ou TV, estamos permitindo que apenas uma frequência seja amplificada, barrando todas as outras emissoras

-Na Telefonia, milhares de ligações podem ser transmitidas simultaneamente -Na Telefonia, milhares de ligações podem ser transmitidas simultaneamente pelo mesmo canal ou cabo, porém com frequências distintas (FDM). Para separá-las, basta usar um filtro passa-faixa

-Um polinômio bem conhecido pelos engenheiros de telecomunicações é o Polinômio de Chebyshev

Polinômios de Chebyshev – usados amplamente em Engenharia Elétrica, em projeto de filtros. Aparecem como solução da equação diferencial de Chebyshev. Podem ser definidos como

- Substituindo-se T0(x) e T1(x) na fórmula geral, obtém-se T2(x)⇒T1+1(x) = 2x*x – 1

- Repetindo-se esta operação, obtêm-se todos os termos desejados

Filtros com Cavidades Ressonantes

-Filtros geralmente usam o princípio de reforçar certas frequências e atenuar outras

-As cavidades do nosso aparelho fonético funcionam como cavidades de ressonância, formando um filtro acústico. Quando pronunciamos uma vogal, estamos reforçando uma frequência determinada (frequência de ressonância)

-Os filtros eletromagnéticos possuem cavidades ressonantes para amplificar apenas certas frequências do sinal eletromagnético

-Dentro do Magnetron dos fornos microondas há cavidades de ressonância

-Nos filtros de Frequência de Rádio (RF) de Chebyshev há cavidades de ressonância que eliminam, por exemplo, o ruído do sinal

Aplicações polinômio Chebyshev – Filtros de RF, Microondas

Cavidades de Ressonância

Geometria calculada através de protótipos usando polinômios de Chebyshev

Cavidades de Ressonância

O sinal eletromagnético chega ao filtro por meio de um cabo coaxial

Série de Taylor - Aproximação de uma Função “Complicada” por uma Função Polinomial “mais simples”

Algumas funções trigonométricas, exponenciais ou logarítmicas podem ser “aproximadas” por uma função polinomial em torno de um ponto

conhecido da função original

Suponha que se queira aproximar a função trigonométrica sen(x), em

torno do ponto x0 = 0, por uma função polinomial conhecida como

Série de Taylor

Função sen(x) e

(1)(3) (5)(7) (9)(11) (13)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Sintay.png

Função sen(x) e

aproximações de Taylor

com polinômios de grau 1,

3, 5, 7, 9, 11 e 13

Mas, como se obtém esta função polinomial conhecida como Série

de Taylor ?

Como a calculadora “sabe” como calcular coisas como x2, seno, cosseno, tangente, etc.? Existe uma tabela? Como o

processador sabe isso tudo???

Usa a chamada Série de Taylor (Taylor-Maclaurin ou Série de Potências), definida como:

Como o tópico “derivadas” vai ser melhor explicado na disciplina Bases Matemáticas, por ora, admita que a derivada de sen x é cos x

Admita ainda que a derivada de cos x, ou derivada segunda de sen x, seja -sen x, e assim sucessivamente, como mostrado abaixo

sendo f´(x) a “derivada” da função f(x), isto é, a taxa de variação de f(x)

-sen x, e assim sucessivamente, como mostrado abaixo

f(x) = sen x => f(0) = 0f´(x) = cos x => f´(0) = +1f´´(x) = -sen x => f´´(0) = 0f´´´(x) = -cos x => f´´´(0) = -1fiv(x) = sen x => fiv(0) = 0fv(x) = cos x => fv(0) = +1

Substituindo na definição, obtém-se

sen x = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + ...

Entendeu por que os termos de ordem par não apareceram no slide anterior?

A série de Taylor para exp(x) em torno do ponto x0 = 0:

!...

!3!21

32

n

xxx

xe

n

x

+++++≅

Por ora, admita que a derivada

de ex seja ex

Note que para a série de Taylor com dois termos, o polinômio se reduz a uma equação de reta do tipo y = a + bx

e esta reta é uma reta tangente ao ponto conhecido da função (x = 0)