DERIVADAS DIRECIONAISAcadêmicos:

Amanda Ramos, Ana Laissa, Elcimar, Érika e Warley

Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros

Disciplina: Cálculo III – Profª Sara Morais

Engenharia de Controle e Automação

INTRODUÇÃO

As derivadas parciais nos fornecem as taxas de variação de uma

função em direções paralelas aos eixos coordenados x, y e/ou z.

Utilizando a regra da cadeia, suponha que z=f(x,y) seja uma

função diferenciável de x e y, onde x=g(t) e y=h(t) são funções

diferenciáveis de t. Então:

Podemos calcular a taxa de variação em relação a uma

direção qualquer?

t

y

y

f

t

x

x

f

dt

dz

A DERIVADA DIRECIONAL

A chamada derivada

direcional nos permite

determinar a taxa de

variação de uma função

de duas ou mais variáveis

em qualquer direção.

A DERIVADA DIRECIONAL

Suponha que queiramos

determinar a taxa de

variação de z no ponto

(x0,y0) na direção e sentido

de um vetor unitário

arbitrário u= a,b .

Devemos considerar a

superfície S com equação

z=f(x,y) e tomar z0=f(x0,y0).

A DERIVADA DIRECIONAL

O ponto P(x0,y0,z0) pertence

a S. O plano vertical que

passa por P na direção de u

intercepta S em uma curva

C. A inclinação da reta

tangente T a C em P é a

taxa de variação de z na

direção e sentido de u.

DEFINIÇÃO

A derivada direcional de

f em (x0,y0) na direção e

sentido do vetor unitário

u= a,b é Duf(x0,y0)

se esse limite existir.

h

yxfhbyhaxfyxfD

hu

0000

000

,,lim,

TEOREMA

Se é uma função diferenciável em x e y então f tem

derivada direcional na direção de qualquer vetor u= a,b

ebyxfayxfyxfD yxu 000000 ,,,

Se o versor u faz um ângulo com o eixo x positivo,

então podemos escrever u= cos ,sen e a fórmula do

Teorema fica:

senyxfyxfyxfD yxu 000000 ,cos,,

EXEMPLO 1

Utilize o mapa

meteorológico da

figura para estimar o

valor da derivada

direcional da função

temperatura em Reno

na direção sudeste.

EXEMPLO 11. Inicialmente traçamos uma reta

que passa por Reno na direção

Sudeste;

2. Aproximamos a derivada

direcional DuT pela taxa média

de variação de temperatura entre

os pontos onde a reta traçada

intercepta as curvas isotérmicas

T=50 F e T=60 F;

3. A distância aproximada entre os

pontos é de 75 milhas. Logo:

miFTD o

u /13,075

10

75

5060

EXEMPLO 2

Encontre a derivada de f(x,y)=x2+xy em P0(1,2) na

direção do versor u.

Solução:

jiu2

1

2

1

2

5

2

11

2

1212

2

1

2

12 xyxfDu

EXEMPLO 3

Determine a derivada direcional Duf(x,y) se

f(x,y)=x3-3xy+4y2 e u é o vetor unitário dado pelo ângulo

= /6. Qual será Duf(1,2)?

901,32

33132,1

3383332

1, 2

fD

yxxyxfD

u

u

EXEMPLO 3 - GRAFICAMENTE

OBRIGADO!

Fontes:

THOMAS, George. Cálculo 2

STEWART, James. Cálculo 2