Enem 2015 resolução da prova de matemática

RESOLUÇÃO DA PROVA

Questão: 136 - Resposta: D

Resolução

Para encontrar o valor máximo, precisamos calcular o y do vértice do polinômio

Para o polinômio em questão.

30 ≤ T=36 ≤ 43 … Alta.

Letra D.

Questão: 137 - Resposta: B

A diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento

vertical.

2a – 2b = b

Dessa equação, temos: a = 3b/2.

O volume do elipsóide é dado por V = 4ab2 = 4 (3b/2) b2 = 6b3

Letra B


Solução

A questão nos informa o seguinte:

número de ligações valor cobrado, em reais

x ≤ 100 12

100 < x ≤ 300 12 + (x-10)*0,10

300 < x ≤ 500 32

Esta tabela na forma gráfica é exatamente a alternativa B. Veja, por exemplo, que para x<100

temos o valor constante de 12 reais. E para x entre 300 e 500, o valor é de 32 reais.


Solução

As operações feitas pelo investidor ocorrem nos instantes imediatamentes posteriores a

t1 (critério I), t2 (critério II), t3 (critério I) e t4 (critério III).

Assim, o total de operações realizadas pelo investidor é 4 (quatro).

Em português, para os que não curtem muito o gráfico:

Um investidor inicia um dia com x ações de uma empresa, a operação na bolsa começa às

10:00.

t1 – Em seguida, o valor da ação sobe acima de Vi (Videal) e ele vende metade das ações x/2, e

fica com os x/2 restantes.

t2 – Depois o valor da ação cai abaixo do Valormínimo Vm, momento em que ele compra o

mesmo número de ações que possui, ou seja, compra x/2. Passa assim a ter x ações.

t3 – Quando o valor das ações atingir Vi, ele vende metade (x/2).

t4– Quando o valor atinge o valor ótimo ele vende tudo, ou seja, os x/2 restantes.

E fica sem nenhuma ação.

O valor das ações volta a cair, mas não atinge o valor mínimo (valor que ele compraria mais

ações), por isso que não ocorrem outros eventos.

Resposta: B

Questão: 140 - Resposta: A

Resposta

O raio de uma circunferência concêntrica em um triângulo equilátero é:

Letra A.


Resolução

O valor pago na locadora Q é menor que o pago na locadora P quando o gráfico de Q ficar

abaixo de P e igual na intersecção. Veja as partes em vermelho:

Assim, temos de 0 a 20 e de 100 a 160.

Letra D

Questão: 142 - Resposta: C


Solução

Primeiro vamos contar quantos contêineres cabem na Figura 2.

Comprimento: 32 ÷ 6,4 = 5 contêineres

Largura 10 ÷ 2,5 = 4

Assim, cabem 4 x 5 = 20 contêineres na superfície disponível.

Dependendo da altura do “reservatório de contêineres”da figura 2 poderemos ter várias

camadas de 20 contêineres.

Se quisermos armazenar 100 contêineres, precisaremos de 5 “camadas”, pois 100 ÷ 20 = 5

Após o empilhamento total da carga, a altura mínima a ser atingida será:

5 (camadas) . 2,5 m (altura de cada contêiner)= 12,5 m.

Letra A


Resolução

Vemos que o comprimento real da caneta é 16,8 cm e o seu comprimento c na foto é 1,4 cm.

Podemos então estabelecer uma razão de semelhança de:

r = 16,8 / 1,4 = 12

ou seja, a foto diminui em 12 vezes o tamanho real.

Assim, basta multiplicarmos o comprimento e a largura da pegada na foto para encontrarmos

os valores reais:

Largura_pegada = 12 . 2,2 = 26,4 cm

Comprimento_pegada = 3,4 . 12 = 40,8 cm

Letra D


Solução

O enunciado nos diz que em cada quadrado de d por d da malha, apenas uma área de (d – 1)

por (d – 1) permite a passagem de luz.

Como a taxa de cobertura é 75%, apenas 25% da luz incidente deverá passar.

Assim, sendo d > 1, temos:

Letra A

Questão: 146 - Resposta: E

Resposta: E

O máximo divisor comum de 540 = 22 . 33 . 51, 810 =21 . 34 . 51 e 1080 = 23 . 33 . 51 é 270 = 21 .

33. 51

O comprimento de cada peça deve ser um divisor de 270 e menor que 200 (2m), que será 135

cm.

(40×540 + 30×810 + 10×1080) / 135 = 420


Resposta: A

Em uma aplicação, são utilizadas 12 unidades de insulina (10 + 2 para retirar as bolhas de ar),

portanto são consumidos 0,12 mL de insulina por aplicação.

Com um refil de 3 mL, temos:

3 mL / 0,12 mL = 25 aplicações



Resolução

A probabilidade de nenhum dos três alunos responderem à pergunta feita pelo entrevistador é

70% . 70% . 70% = 0,70. 0,70. 0,70 = 0,343 = 34,3%

A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta respondida em inglês, é o

complementar desse valor:

100% – 34,3% = 65,7%

Resposta D


Vemos pelos gráficos, que a quantidade de embalagens PET recicladas destinadas à produção

de tecidos e malhas, em kton é:

37,8%(têxteis). 30%(tecidos e malhas). 282(quant. PET reciclado) = 31,97

quantidade = 32

Letra C



Resolução

Embora o casal pague uma prestação todo mês, apenas 500 servem para amortizar (diminuir)

a dívida.

Então no décimo mês, o casal terá pago 9 parcelas de 500 (9.5 = 4,5 mil reais).

Assim, o saldo devedor será, em reais, de 180000 – 9 . 500 = 175500

O juro de 1% sobre este valor resulta em: 1% . 175 500 = 1755

Assim, a décima prestação é, em reais, de 500 + 1755 = 2255

Letra D


Solução

mil = 1.000 = 103

milhão = 1.000.000= 106

4,129 milhões de toneladas = 4,129 . 106toneladas

1 tonelada = 1000 kg = 103 kg

Logo

4,129 milhões de toneladas = 4,129 . 106toneladas = 4,129 . 106. 103kg = 4,129 . 109kg

Letra C


Solução

Para resolver essa questão, vamos, primeiramente calcular a idade da criança. Para isso

usamos os dados do remédio Y: dose_criança_Y = 14 = (idade/(idade+12)).42

Assim, basta aplicarmos esse valor na fórmula para calcular a dosagem de X:

Letra B


Dados do enunciado:

soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres correspondeu a 1,1 % do total de

rendimentos dessa população

a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% desse total

A receita gerada pela população p = 101,8 milhões de brasileiros com 10 anos ou mais de

idade e que teve algum tipo de rendimento em 2010 foi R$ 1 202,00. p.

Receita dos mais pobres:

R = 1,1% receita_média.população_total = Valor recebido. 10% população total

R = 1,1%.R$1202.P = V.10%.P

V = R$ 132,22

Receita dos mais ricos

R = 44,5%.Receita.população_total = Valor recebido.10%.População total

R = 44,5%.R$ 1202.P = V. 10%P

V = R$ 5.348,90

A diferença entre as duas rendas médias:

Diferença = 5348,90 – 132,22 = 5216,68 reais.

Letra E


Solução

Vamos pegar um cubo.

Em seguida, tiramos as “quinas” dele (encontro de 3 faces.):

Cada uma dessas quinas vira uma face triangular. Como fizemos esse procedimento em oito

“quinas”, teremos 8 faces triangulares a mais.

Quando retiramos todos os cantos do cubo, passamos a ter um sólido com 6 faces octogonais

e 8 faces triangulares.

Logo, sabemos que cada face será pintada com uma cor diferente das demais, assim serão

necessárias (6 + 8) cores = 14

cores.

Ou seja, aqui só precisamos saber quantas faces teremos, 6 faces do cubo mais 8 faces

das “quinas” recém removidas do cubo.

Letra C.


Solução

Se o preço é p e a quantidade de pães vendida é q = 400 – 100p, a arrecadação média, em

reais, em função do preço p, é dada por R (p) = (400 – 100p) . p

Para que esta arrecadação seja de R$ 300,00, deve-se ter:

(400-100p).p=300

4p-p2=3

p2-4p+3=0

logo p=1 ou p=3

Sabemos que o preço atual é 3,00, já que R$ 300,00/100 = R$ 3,00

Para manter a arrecadação, o novo preço deverá ser R$ 1,00. Logo a letra a, pois 0,5 < 1 <

1,5.

Letra A


Resolução

O enunciado nos informa:

HPV acomete 50% das pessoas não vacinadas ao longo da vidas

A vacina tem eficácia de 98%, ou seja, em 2% das pessoas a vacina não funciona

Supondo que p seja a quantidade de meninas do público-alvo do município e x a

porcentagem que deverá ser vacinada.

Queremos que a quantidade de meninas que desenvolvam a doença seja de no máximo 5,9%

da população, ou seja, 5,9%p. Assim, temos que o HPV acomete 50% das pessoas não vacinadas, precisamos considerar ainda os 2% nas pessoas de ineficácia da vacina, e a quantidade de pessoas que não vão tomar a vacina (1-x). Assim, temos a seguinte equação:

Precisamos considerar:

50% das pessoas que não foram vacinadas

2% das pessoas que tomaram a vacina, mas esta não funcionou (ineficaz)

(1-x) pessoas que não tomaram a vacina.

Agora precisamos considerar que não é porque a pessoa não tomou a vacina que ela vai

desenvolver a doença (apenas 50% vai desenvolver). Da mesma forma, não é porque a vacina

não foi eficaz que ela vai desenvolver também (só 50% vai desenvolver).

Dessa forma, o cálculo será:

metade das pessoas não vacinadas + metade das pessoas cuja vacina foi ineficaz = 5,9%

da população

50%.2%x.p + 50%.(1-x).p = 5,9%p

Letra A.


Solução: O número de unidades produzidas P, em função de t, corresponde, em cada ano, aos

termos de uma progressão geométrica de primeiro termo: a1 = 8000 unidades e razão q = 1,5.

Logo, a expressão que determina esse número de unidades é:

Letra E


Solução

Para o cálculo da mediana, só consideramos os termos centrais. No caso da mediana de uma

quantidade ímpar de números ela é igual ao termo central. No caso da mediana de um número

par de números, como é o caso agora, pois temos 8 números, precisamos fazer a média dos

dois termos centrais.

Em ordem crescente, os tempos, em segundos, são 20,50; 20,60; 20,60; 20,80; 20,90, 20,90;

20,90 e 20,96.

Os dois termos centrais deste rol são 20,80 e 20,90 e, portanto, a mediana: (20,80 + 20,90) /2

= 20,85.

Letra D



Resolução

Precisamos encontrar o máximo dividor comum entre 400 e 320.

m.d.c. (400; 320) = 80

Cada escola será contemplada com 80 ingressos; dessa forma, os 720 ingressos serão

distribuídos para 9 escolas.

Letra C


Solução

A cisterna atual tem 1 m de raio na base e 3 m de altura.

Os condôminos querem fazer uma nova cisterna com 81 m3 de volume, 3 m de altura e raio R,

em metros, tal que

π. R2. 3 = 81; assim, para π = 3, deve-se ter:

3 . R2. 3 = 81

R2 = 9

⇒

R = 3

Dessa forma com o novo raio de 3, o aumento, em metros, no raio da cisterna deve ser 3 – 1 =

2

Letra C



Resolução

Primeiro vamos relembrar as propriedades dos logaritmos:

Agora, tomemos os pontos do gráfico que vão nos ajudar a resolver a questão. Queremos

ter uma relação entre h e n (como a questão pede). Para isso, vamos estabelecer um ponto

de abscissa x (rosa), no gráfico, e um ponto de abscissa x+n (verde).

Agora juntando a abscissa e a ordenada, temos os pontos:

ponto rosa: (x, -h/2)

ponto verde: (x+n, h/2).

(para os daltônicos, rosa está na esquerda inferior e verde na direita superior)

Como os pontos estão na curva y = log(x), podemos aplicar a equação para encontrar as

equações:

(eq. 1)

(eq. 2)

Somando as equações 1 e 2, temos:

logx + log (x+n) = 0

Propriedades da soma de log:

logx + log (x+n) = log[x.(x+n)]=0

Logo, x.(x+n) = 100=1

x2+nx-1=0

Resolvendo por Báskara:

O valor negativo de x não existe pela nossa hipótese

Logo,

Usando a eq. 2:

Substituindo o x:

Letra E



SOLUÇÃO CORRETA Antes de tudo, é uma boa ideia assumirmos que a chuva é uniforme, nada de ventos muito

fortes (em tornados é impossível medir o índice pluviométrico através dessa metodologia).

Neste caso, vamos mostrar que a chuva vai ter a mesma altura em um copo cilíndrico,

numa piscina, ou num cubo de 1m2. Sabe por quê? Simplesmente porque a chuva é uniforme.

A grandeza física que mede a “uniformidade” de um parâmetro é o fluxo. O fluxo mássico é

uma variável que depende da massa, da área e do tempo. Ele define quanta massa (quantos

gramas de chuva) passa por uma área em um determinado tempo. O fluxo não vai mudar

se a área for cilíndrica ou quadrada. E o fluxo da chuva dependerá de outros fatores climáticos

como características da nuvem, temperatura e vento.

Veja que intuitivamente você sabe que as gotas de chuva caem de maneira uniforme ao seu

redor. Essa é a definição mais clara do fluxo, um exemplo disso é a uniformidade das gotas na

superfície de um lago.

Assim, no pluviômetro da questão 1/3 da altura foi completada, 1/3.1200 = 400 mm. Esse seria

o mesmo valor de altura que seria obtido no cubo. Veja a seguir:

altura = 400 mm

No pluviômetro profissional, a altura medida em um cilindro é o índice pluviométrico. Ninguém

precisa passar esse volume para um cubo de 1m x 1m (o que é, na verdade, um absurdo).

Assim, se encheu 100 mm no tubo, teremos 100 mm de chuva no cubo e são esses 100 mm

que a moça do tempo vai falar na televisão.

SOLUÇÃO INCORRETA (gabarito oficial) Primeiro, vamos calcular o volume do líquido na lata. A lata é cilíndrica, com raio 300 mm e

altura 1200 mm, entretanto apenas 1/3 da altura está ocupada. Vamos lembrar que o volume é

V = Base * Altura = Base * (1/3.altura total) = (π.r2)* (1/3.altura total).

Este é o volume da chuva que caiu ma lata. Se colocarmos esse mesmo líquido em um cubo

de 1 m de aresta (1000 mm), poderemos calcular qual altura esse volume teria no cubo

fazendo uma igualdade entre os dois volumes.

H.1000.1000 = 108.000.000 mm3

Assim, H = 108 mm. Por essa resolução, o índice pluviométrico seria 108 mm. Mas não é

assim que se calcula índice pluviométrico!

Gabarito OFICIAL incorreto: Letra D.

Possível ideia (não explicada) do examinador

A única maneira de essa questão fazer sentido seria se a área de abertura da lata fosse a

mesma área superior do cubo. Ou seja, a lata teria uma abertura superior com as dimensões

do cubo, veja o esquema a seguir. Assim, poderíamos transferir o volume.



Queremos o valor mínimo de | x – 3 |. A solução é testar cada uma das alternativas.

| 2,099 – 3 | = 0,901

| 2,96 – 3 | = 0,04

| 3,021 – 3 | = 0,021

| 3,07 – 3 | = 0,07

| 3,10 – 3 | = 0,10

Resposta: C


Solução

São 9 poltronas que devem ser escolhidas por 7 pessoas.

O primeiro passageiro da família tem 9 opções, o segundo 8, o terceiro 7, o quarto 6, o quinto 5, o quarto 4 opções e o último 3 opções de poltronas.

9x8x7x6x5x4x3 = 9! / 2!

Resposta: A


A área ocupada pela nova piscina deve ser menor que a ocupada pela piscina já existente,

então:

R2 < 800, logo R<28, porque R precisa ser natural e:

282< R2 < 292

Letra B


Solução

1 copo 150 ml a cada meia hora 2 copos de 150 ml a cada hora = 300 ml por hora

Regra de 3: 300 ml – 1 hora x – 10 horas

x = 300*10 ml = 3000 ml = 3 L

Logo ela deve comprar duas garradas de 1,5 litros.

Letra D


Resolução

Como o felino tem 3,0 kg de massa, sua área corporal é 0,208 m2.

Como a dosagem diária do medicamento deve ser 250 mg por metro quadrado de superfície

corporal, podemos fazer uma regra de 3:

250 mg —- 1 m2 de área corporal

x mg —- 0,208 m2 de área corporal

x = 0,208*250 = 52 mg

Letra B


Resolução O reservatório deve ser suficiente para abastecer 10 pessoas x 20 dias x 0,08 m3 de água.

10 x 20 x 0,08 = 16 m3

Como 1m3 = 1000L, são necessários 16000L.

Letra E



Solução O mês de produção máxima ocorre quando o preço é mais baixo. O valor mínimo de P(x) ocorre quando o cosseno em questão é mínimo, ou seja, igual a -1.

Isso ocorre quando o ângulo é pi:

X=7 corresponde ao mês de julho.

Letra D


Solução

Vejamos que a cartão da mesa é 6/8 que é igual a 6/8 = 3/4 = 75% = 0,75

Assim, temos três possibilidades de pares, as cartas: 3/4, 75% e 0,75.

Essa questão é simplesmente a manipulação de frações.

Letra E.



Solução O volume total do recipiente é 10x10x20 = 2000 cm3.

A mistura de chocolate, depois de congelada, aumentará de 25%. 1000x(1 + 25%) = 1250.

Após isso, será colocado um volume V para que após o congelamento, ele ocupe o restante do recipiente (750cm3).

Vx(1 + 25%) = 750

V = 750 / 1,25 = 600 cm3

Resposta: C


São 20 possibilidades em um universo de 100, portanto 20 / 100.

Resposta: C

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