ESTÁTISTICA CONTINUAÇÃO ∗∗∗∗ MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Com base na idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que caracteriza

o grupo todo.

Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar uma só

temperatura que fornece uma idéia aproximada de todo o período.

Avaliando as notas dos vários trabalhos de um aluno no bimestre, podemos registrar com apenas

uma nota seu aproveitamento no bimestre.

Em situações como essas, o número obtido é a medida da tendência central dos vários números

usados. A média aritmética é a mais conhecida entre as medidas de tendência central. Além dela, vamos

estudar também moda e a mediana.

���� Média aritmética (MA)

Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que:

anosMA 4,215

107

5

2024212022========

++++++++++++++++====

Dizemos, então, que a média aritmética ou simplesmente a média de idade do grupo é 21,4 anos.

Se, ao medir de hora em hora a temperatura em determinado local, registraram – se 14°C às 6h,

15°C às 7h, 15°C às 8h, 18°C às 9h, 20°C às 10h e 23°C às 11h, observamos que:

CMA °°°°========++++++++++++++++++++

==== 5,176

105

6

232018151514

Dizemos, então, que no período das 6h às 11h a temperatura média foi 17,5°C.

Assim, generalizando, podemos afirmar que, dados os nvalores nxxxx ++++++++++++++++ ...

321 de uma

variável, a média aritmética é o número obtido da seguinte forma:

n

xxxxMA

n++++++++++++++++

====...

321

Quando calculamos a média aritmética de números que se repetem, podemos simplificar. Dessa

maneira, para obter a média aritmética de 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11 e 11, observamos que:

8,810

88

10

224521

253

11.29.57.3========

++++++++====

++++++++

++++++++====MA

Dizemos, então que a média aritmética dos números 7, 9, 11, com frequência 3, 5 e 2,

respectivamente.

Vejamos, agora, o caso de um aluno que realiza vários trabalhos com pesos diferentes, isto é, com

graus de importância diferentes. Se no decorrer do bimestre ele obteve 6,5 na prova (peso2), 7,0 na

pesquisa (peso 3), 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 no trabalho de equipe (peso 2), a sua média, que neste

caso é chamada média aritmética ponderada, será:

75,68

54

8

1462113

2132

0,7.20,6.10,7.35,6.2========

++++++++++++====

++++++++++++

++++++++++++====MP

A média aritmética é usada como medida de tendência central, ou seja, como forma de, por meio

de um único número, dar uma idéia das características de determinado grupo de números. No entanto, é

importante ressaltar que em algumas situações a presença de um valor maior ou bem menor do que os

demais faz com que a média aritmética não consiga traçar o perfil correto do grupo.

Consideremos, por exemplo, um grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos. A média de

idade, que é 10 anos, não demonstra as características desse grupo em termos de idade. Em casos como

esse são usadas outras medidas de tendência central, como a moda e a mediana.

���� Moda (Mo)

Em estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais freqüente de um

grupo de valores observados.

No exemplo do grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, a moda é anos (Mo=2) e

demonstra mais eficiência para caracterizar o grupo do que a média aritmética.

Se a temperatura medida de hora em hora, das 6h às 11h, apresentou os resultados 14°C, 15°C,

15°C, 18°C, 20°C e 25°C, então dizemos que nesse período a moda foi 15°C, ou seja, Mo=15°C.

No caso de um aluno que anotou, durante dez dias, o tempo gasto em minutos para ir de sua casa à

escola e cujos registros foram 15 mim, 14 mim, 18 mim, 15 mim, 14 mim, 25 mim, 16 mim, 15 mim, 15 mim,

e 16 mim, a moda é 15 mim, ou seja, Mo = 15 mim.

Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0 e 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 7,5 e

que a distribuição é bimodal.

Observação: Quando não há repetição de número, como, por exemplo, para os números 7, 9,

4, 5 e 8, não há moda.

���� Mediana (Me)

A mediana é outra medida de tendência central.

Assim, dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será:

� O número que ocupar a posição central se n for ímpar;

� A média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par.

Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0,

2, 3, 4 e 7.

Em ordem crescente, temos:

0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7

7 valores 7 valores

Me

Como 15 é ímpar, o termo médio é o 8º.

Logo, a mediana é 3. Simbolicamente, Me=3.

As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos.

Para determinar a mediana desses valores, colocamos inicialmente na ordem crescente (ou

decrescente):

12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17

As duas

posições centrais

Como temos um número par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois centrais, que

são o 4º e o 5º termo.

Logo, a mediana é dada por:

152

30

2

1614========

++++====Me

Simbolicamente, Me = 15anos.