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Matemática

3ª Série do Ensino MédioProfessor: Patrício Júnior de Souza

Junho, 2016

Estudo da Reta

●Seja r uma reta que passam pelos pontos M(xM

,yM

) e N(x

N,y

N), fixos, então dado um ponto P(x,y) qualquer

que percorre a reta r, temos

Visto que P pertence à reta r, portanto, satisfaz a condição de alinhamento.

Desenvolvendo o determinante da equação (1), temos

Estudo da Reta

Tomando a = yM – yN, b = xN-xM e c = xMyN-xNyM, obtemos a equação geral da reta r.

Estudo da RetaDa equação (3), também obtemos a equação reduzida da reta r:

● Equação reduzida da reta r

Fazendo:

Estudo da RetaExemplo: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,2) e B(2,5).Solução 1. Calculamos a equação pela condição de alinhamento. Tomamos um ponto C(x,y) qualquer da reta.

Solução 2. Calculamos os valores de m e k:

Ainda a partir da equação (3), podemos verificar o valor de y para x = xM e xN.

Estudo da Reta

Veja que, genericamente, temos:

Estudo da reta● Seja r uma reta que intercepta os eixos

coordenados nos pontos P(p,0) e Q(0,q), sendo P e Q distintos.

● Seja G(x,y) um ponto que percorre a reta r. A equação de r na forma segmentária é obtida pela condição de alinhamento dos pontos P,Q e G:

Exemplo: Escreva a equação segmentária da reta r de equação geral r: 2x – 3y + 5 = 0.

● Solução: Para determinarmos p e q devemos encontrar as coordenadas em que a reta corta os eixos x e y. Para isso atribuamos que, ora x = 0, ora y = 0. Pois, quando x=0, determinamos q e pondo y=0 calculamos x.

Portanto, a equação na forma segmentária é:

Estudo da reta

● Seja r uma reta que passa pelos pontos A(xA,yA) e B(xB,yB), com P(x,y) um ponto qualquer da reta r. Dizemos que o segmento de reta AB orientado de A para B, representado por:

● Uma outra forma de representação de uma reta é pela sua equação paramétrica. Isso mesmo! Podemos representar uma mesma reta por 4 tipos de equações que são equivalentes. Esta última é bastante utilizada em aplicações matemáticas (mecânica, geometria diferencial, teoria da relatividade etc).

Estudo da reta

é o vetor da reta r. Vetor é um ente matemático que possui direção, sentido e módulo. Já o segmento de reta AB, orientado de B para A é representado por

● também é vetor da reta r; é o vetor simétrico ou oposto de u. O vetor v tem mesma direção, sentido oposto e mesmo módulo de u. Logo,

Quando temos duas ou mais retas distintas podemos verificar se elas se interceptam em um único ponto, em infinitos pontos ou nenhum ponto de intersecção. Dizemos que as retas são concorrentes entre si, quando se interceptam em um único ponto.

● Dado duas retas r: a1x+b1y+c1=0 e s: a2x+b2y+c2=0, o ponto de intersecção P destas é a solução do sistema de equações:

Aplicando a regra de Cramer, para resolver o sistema 2x2:

Estudo da reta

● Analisando os sistema quanto às soluções, temos três casos:

Estudo da reta

● 1º Caso: Existe um único ponto P que pertence a r e a s, simultaneamente. Neste caso, devemos ter o determinante de D diferente de zero.

Estudo da reta

● Então encontramos a solução (x,y) que são as coordenadas de P:

Estudo da reta

● 2º Caso: A intersecção das duas retas r e s é infinita, ou seja, as retas coincidentes. Então, o número de pontos é infinito. Logo, a solução do sistema de equações possível e indeterminado, ou seja, Dx,Dy e D são iguais a zero.

Estudo da reta

● Note que Dx,Dy e D são iguais a zero se, e somente se

Estudo da reta

● Ou seja, as retas r e s são paralelas coincidentes.

Estudo da reta

● 3º Caso: A intersecção de duas retas r e s paralelas não-coincidentes é um conjunto vazio, ou seja, não há ponto na intersecção. Logo, a solução do sistema de equações impossível e indeterminado, ou seja, Dx,Dy são diferentes de zero e D é igual a zero.

Estudo da reta

● Note que Dx,Dy são diferentes de zero e D é igual a zero:

Estudo da reta

● Ou seja, as retas r e s são paralelas pois tem o mesmo coeficiente angular, porém, não passam pelos mesmos pontos.