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CURSO DE INFORMAacuteTICA NA EDUCACcedilAtildeO
USO DE SOFTWARE MATEMAacuteTICO
INTRODUCcedilAtildeO DO MAPLE
NA RESOLUCcedilAtildeO DE CAacuteLCULOS ALGEacuteBRICOS
Marcus Antonio de Oliveira Santos
Porto Velho ndash RO
2014
Sumaacuterio
O que eacute MAPLE helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4
Onde surgiu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4
A folha de trabalho 5
Ajuda 5
Operaccedilotildees aritmeacuteticas 6
Alguns operadores helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6
Nuacutemeros 6
Representaccedilatildeo interna de uma expressatildeo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
Resultado de uma operaccedilatildeo 8
Atribuiccedilatildeo de valores helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10
Expressotildees algeacutebricas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10
Reduccedilatildeo de Polinocircmios helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14
Divisatildeo de Polinocircmio por Monocircmio 14
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15
Adiccedilatildeo algeacutebrica de Polinocircmios helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16
Produtos Notaacuteveis helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17
Quadrado da diferenccedila helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18
Quadrado da soma helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18
Fraccedilotildees algeacutebricas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19
Equaccedilatildeo fracionaacuteria helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20
Somatoacuterio helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23
Matrizes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
Matriz transposta 26
Adiccedilatildeo de matrizes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 27
Subtraccedilatildeo de matrizes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por matriz helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28
Multiplicaccedilatildeo de matrizes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28
Determinantes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29
Matriz inversa helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31
Equaccedilatildeo do 2deg grau helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33
Graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1deg grau helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34
Graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36
Fatorial 38
Nuacutemeros Binomiais 39
Combinaccedilatildeo simples 39
Arranjo simples 40
Equaccedilotildees irracionais 41
Conversotildees 42
Arcos e Radianos 42
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas 43
Escalas termomeacutetricas 44
Nuacutemeros complexos 45
Limites 46
Lista de funccedilotildees 47
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados 47
O que eacute Winplot 50
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos 50
Abrindo o Winplot 50
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x + 5 50
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2 52
Referecircncias bibliograacuteficas 56
Respostas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
O que eacute MAPLE
MAPLE
(Manipulation Algebraic Polinomial Linear Equation)
O MAPLE eacute um programa de computador produzido por Waterloo Maple Inc Eacute um tipo de
sistema conhecido como ldquosistema de manipulaccedilatildeo algeacutebricardquo ou ldquosistema matemaacutetico
computacionalrdquo O MAPLE possui quatro aspectos gerais que satildeo Aspectos algeacutebricos
Aspectos numeacutericos Aspectos graacuteficos e Aspectos de programaccedilatildeo Todos estes aspectos
estatildeo integrados formando um corpo uacutenico Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa
de uma diversidade de problemas em matemaacutetica Nos dias de hoje estes programas tecircm se
mostrado instrumentos poderosos para o trabalho de cientistas engenheiros e matemaacuteticos
MAPLE tambeacutem eacute um sistema de aacutelgebra computacional comercial de uso geneacuterico Constitui
um ambiente informaacutetico para a computaccedilatildeo de expressotildees algeacutebricas e siacutembolos permitindo
o desenho de graacuteficos a duas ou trecircs dimensotildees O seu desenvolvimento comeccedilou em
1981pelo Grupo de Computaccedilatildeo Simboacutelica na Universidade de Waterloo em Waterloo no
Canadaacute proviacutencia de Ontaacuterio
Desde 1988 o MAPLE tem sido desenvolvido e comercializado pela Maplesoft uma
companhia canadense tambeacutem baseada em Waterloo Ontaacuterio A versatildeo atual eacute MAPLE 110
Onde surgiu
O primeiro conceito de Bordo surgiu de uma reuniatildeo em novembro de 1980 na Universidade
de Waterloo Pesquisadores na universidade pretendiam comprar um computador poderoso o
suficiente para executar Macsyma Em vez disso ficou decidido que iriam desenvolver seu
proacuteprio sistema de aacutelgebra computacional que seria capaz de rodar em computadores com
preccedilos mais razoaacuteveis Assim o projeto comeccedilou com o objetivo de criar um sistema de
aacutelgebra simboacutelica acessiacutevel aos investigadores e estudantes
O desenvolvimento inicial de Bordo procedeu muito rapidamente com a primeira versatildeo
limitada aparecendo em Dezembro de 1980 MAPLE foi demonstrada primeiro em
conferecircncias no iniacutecio de 1982
Ateacute ao final de 1983 mais de 50 universidades tinham coacutepias de Bordo instalados em suas
maacutequinas Devido ao grande nuacutemero de pedidos de licenciamento e de apoio em 1984 o
grupo de investigaccedilatildeo se organizou com WATCOM Products Inc para licenciar e distribuir
MAPLE
Em 1988 devido agraves crescentes solicitaccedilotildees de apoio Waterloo MAPLE Inc Foi fundada A
meta inicial da empresa era de gerenciar a distribuiccedilatildeo do software Eventualmente a empresa
evoluiu para ter um departamento de I amp D em que grande parte do desenvolvimento da
MAPLE eacute feito hoje O desenvolvimento significativo de Bordo continua nos laboratoacuterios da
universidade de investigaccedilatildeo incluindo o Laboratoacuterio de Computaccedilatildeo Simboacutelica da
Universidade de Waterloo o Ontaacuterio Research Center for Computer Aacutelgebra da Universidade
de Western Ontaacuterio e laboratoacuterios de outras universidades em todo o mundo
A folha de trabalho
Nos microcomputadores com o MAPLE e instalado a folha de trabalho ou worksheet eacute
disparada clicando-se no iacutecone do programa Ela eacute o principal meio para gravar e ler os
trabalhos desenvolvidos no MAPLE A worksheet eacute um caderno virtual de anotaccedilotildees de
caacutelculos A vantagem do caderno virtual eacute que qualquer coisa jaacute escrita pode ser modificada
sem necessidade de fazer outras alteraccedilotildees pois o trabalho se ajusta automaticamente agraves
mudanccedilas A worksheet tem quatro tipos de linhas 1 linhas de entrada de comandos que
usam a cor vermelha e satildeo precedidas pelo sinal de pronto ldquogtrdquo 2 linhas de saiacuteda dos
comandos na cor azul 3 linhas de texto na cor preta e 4 linhas de graacutefico Algumas dessas
linhas podem ser convertidas umas nas outras Mais detalhes sobre as worksheets podem ser
encontrados no New Users Tour depois de clicar em Help
Ajuda
O MAPLE possui um sistema de ajuda interativo chamado help on line Para pedir ajuda
sobre uma funccedilatildeo ou qualquer assunto pertinente deve-se preceder a funccedilatildeo ou o assunto com
um sinal de interrogaccedilatildeo Por exemplo
gt maple
A paacutegina de ajuda conteacutem vaacuterias partes 1 descriccedilatildeo da sintaxe 2 descriccedilatildeo detalhada 3
exemplos e 4 palavras chaves relacionadas ao assunto A partir das palavras chaves pode-se
ldquonavegarrdquo pelo sistema de ajuda ateacute que a informaccedilatildeo desejada seja encontrada Outra
modalidade de ajuda consiste na procura por assunto No caso do MAPLE for Windows deve-
se clicar com o mouse no Help e depois Introduction (primeiro de cima para baixo) A nova
janela teraacute uma seccedilatildeo cinza na parte superior Clique em Mathematics por exemplo Na
segunda coluna procure por um sub-toacutepico e assim por diante Os usuaacuterios mais persistentes
podem procurar ajuda clicando em Topic Search ou Full Text Search depois de ter
clicado em Help
Apresentaremos uma introduccedilatildeo aos comandos baacutesicos para utilizar o programa MAPLE e
seus aplicativos graacuteficos no ensino fundamental e meacutedio
Operaccedilotildees Aritmeacuteticas
O MAPLE usa as operaccedilotildees na seguinte ordem
1deg potenciaccedilatildeo ( ^ ou )
2deg multiplicaccedilatildeo ( ) e divisatildeo ( )
3deg adiccedilatildeo ( + ) e subtraccedilatildeo ( )
Alguns Operadores
sqrt (lsquorsquo) raiz quadrada
gt sensor (soacute podemos digitar apoacutes o sensor)
resolve mas natildeo mostra
daacute a resposta e mostra na tela
= atribui nome a nuacutemero ou expressatildeo
gt restart limpa a memoacuteria
gt simplify (lsquorsquo) simplifica uma expressatildeo
gt expand (lsquorsquo) expande uma expressatildeo
gt solve (lsquorsquo) resolve uma equaccedilatildeo
Sum mostra o somatoacuterio
sum resolve o somatoacuterio
Nuacutemeros
O MAPLE trabalha com os nuacutemeros de maneira exata Nenhuma aproximaccedilatildeo eacute feita
gt (253+59)^3
314432000729
Podemos ver que o resultado eacute um nuacutemero racional Para obter uma aproximaccedilatildeo decimal
devemos usar o comando evalf (evaluate in floating point)
gt evalf() 4313196159
O sinal de percentagem guarda o valor do uacuteltimo resultado calculado O uacuteltimo resultado
tem 10 diacutegitos (valor default) Podemos calcular com mais diacutegitos significativos por exemplo
com 30 diacutegitos
gt evalf[30]() 431319615912208504801097393690
A medida que formos explanando o assunto mostraremos outras maneiras de determinar a
quantidade de diacutegitos e outra maneira de ter resultados com casas decimais eacute entrar pelo
menos com um nuacutemero com casa decimal lembrando que no MAPLE o ponto substitui a
viacutergula
Representaccedilatildeo Interna de uma Expressatildeo
Descrevendo em detalhes a representaccedilatildeo interna de expressotildees no MAPLE
a) 1234 minusminusminus+ xxxx
gt poly=x^4+x^3-x^2-x-1
= poly + minus minus minus x4 x3 x2 x 1
b) ( )22 1+yx
gt x(y^2+1)^2
x ( ) + y2 12
c) 1
32
+minus
x
x
gt a=(x^2-3)(x+1)
= a minus x2 3 + x 1
d) 33 +x
gt sqrt(x^3+3)
+ x3 3
gt root[2](x^3+3)
+ x3 3
gt root(x^3+3 2)
+ x3 3
e) 5 2 2x minus
gt root[5](x^2-2)
( ) minus x2 2( )1 5
f) 332 γβα∆ +minus=
gt Delta=(alpha^2-beta^3+gamma^3)
= ∆ minus + α2 β3 γ3
g) 46 102103 sdot+sdot minus
gt 3exp(-6)+2exp(4)
+ 3 eeee( )-6
2 eeee4
h) 16 log2
gt log[2](16)
( )ln 16( )ln 2
gt log(16)log(2)
( )ln 16( )ln 2
OBS natildeo esqueccedila de apertar ENTER apoacutes digitar ( ) para confirmar
Resultado de uma Operaccedilatildeo
Uma vez descrita em detalhes uma expressatildeo no MAPLE colocado () apoacutes a descriccedilatildeo e
pressionado ENTER O programa pode
I Mostrar o resultado da operaccedilatildeo
a) x4log 3
2
1 =
gt log[12](root[3](4))
-23
b) Qual eacute o nuacutemero x expresso por 9850318 ++
gt sqrt(18)+3sqrt(50)+sqrt(98)
25 2
c) Determine o valor da cossec 6
π
gt csc(Pi6)
2
d) Calcule o valor da expressatildeo 0
0
24
12
12
minus
+
gt (2^0+12)(14-2^0)
-2
II Mostrar a expressatildeo (operaccedilatildeo) e esperar que vocecirc use um dos operadores para obter o
resultado esperado
a) Resolva a equaccedilatildeo 2x1x 48 ++ =
gt 8^(x+1)=4^(x+2)
= 8( ) + x 1
4( ) + x 2
gt simplify()
1
b) Resolva a equaccedilatildeo 81
13x =
gt 3^x=181
= 3x 181
gt solve()
minus( )ln 81( )ln 3
gt simplify()
-4
c) Encontrar o valor decimal da expressatildeo 3
1
gt a=1sqrt(3)
= a13
3
gt evalf(a)
5773502693
gt evalf(a5)
57736
gt evalf(a15)
577350269189626
d) Racionalize o denominador da expressatildeo 53
4
minus
gt 4(3-sqrt(5))
41
minus 3 5
gt rationalize()
+ 3 5
Atribuiccedilatildeo de Valores
Lembre-se para nunca atribuir valor a uma letra porque todas as vezes que ela aparecer o
valor seraacute usado na operaccedilatildeo
Ex
gt x=3
gt 2x+x^2
15
gt 5x-x
12
Quando isso acontecer digite a palavra restart para limpar a memoacuteria
gt restart
Expressotildees Algeacutebricas
Uma expressatildeo matemaacutetica que apresenta nuacutemeros e letras ou somente letras eacute denominada
expressatildeo algeacutebrica ou literal As letras que normalmente representam nuacutemeros reais satildeo
chamadas variaacuteveis Quando a expressatildeo algeacutebrica natildeo conteacutem variaacutevel ou variaacuteveis no
denominador eacute chamada expressatildeo algeacutebrica inteira quando conteacutem eacute chamada expressatildeo
algeacutebrica fracionaacuteria A seguir mostraremos as diversas operaccedilotildees com monocircmios e
polinocircmios e os respectivos operadores que satildeo utilizados no MAPLE para resolvecirc-los
Reduccedilatildeo de Polinocircmios
Numa expressatildeo algeacutebrica observando que o polinocircmio possui termos ou monocircmios
semelhantes podemos tornar mais simples a expressatildeo adicionando esses termos somando
algebricamente os coeficientes numeacutericos e mantendo a parte literal Natildeo esqueccedila que entre o
coeficiente numeacuterico e a parte literal existe o sinal de multiplicaccedilatildeo
Efetue xxxxx 9853 +minusminus+
gt 3x+5x-x-8x+9x
8 x
Resolva 2535132 222 minus+++minusminus+minus xxxxxx
gt 2x^2-3x+1-5x^2-x+3+5x+x^2-2
minus + + 2 x2 x 2
Atividade 1
Reduza os seguintes monocircmios utilizando o programa MAPLE
1) 4a ndash 5b ndash b + 2a ndash a
2) 222 y5yy3yy minus+minus+
3) 6tt5
45tt
2
1 22 minusminusminus
4) m4m6mm2mm 2323 minusminusminus++
5) x6
7x
3
2 minus
6) 7
y3x
5
4y
3
2x minus+minus
7) 3
2x5x
+minus
8) 22
x5
y4xx)(xy
5
2x minusminus+
Teste
Usando o Word com ajuda do equation editor para digitar e o MAPLE para resolver
responda as questotildees
1) 4
yx
3
y5x
6
yx
2
yx
4
y7x 3244324432
+minus+minus
2) 2
zxy
18
zxy
6
zxy 323232 minusminusminusminusminus
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para multiplicar dois ou mais monocircmios multiplicamos os coeficientes numeacutericos entre si e
multiplicamos as partes literais entre si lembrando a propriedade das potecircncias
0a com aaa nmnm ne=sdot +
Resolva ( ) ( )3223 52 zxyzyx minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x^3y^2z)(-5xy^2z^3)
minus10x4 y4 z4
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um monocircmio por um polinocircmio eacute feita multiplicando-se o monocircmio por
cada termo do polinocircmio
Resolva ( ) ( )232 24103 xyxyxyyx minusminus+minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(-3x^2y+10xy^3-4xy)
= a minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y
gt b=(-2xy^2)
= b minus2 x y2
gt ab
minus2 ( )minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y x y2
gt expand(ab)
minus + 6 x3 y3 20x2 y5 8 x2 y3
Resolva ( ) ( )2322 2453 axaxxaxa minusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt d=(3a^2x+5a^2x^3-4ax)(-2ax^2)
= d minus2 ( ) + minus 3 a2 x 5 a2 x3 4 a x a x2
gt expand(d)
minus minus + 6 a3 x3 10a3 x5 8 a2 x3
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um polinocircmio por outro polinocircmio eacute feita multiplicando-se cada termo (ou
monocircmio) de um deles pelos termos (ou monocircmios) do outro e reduzindo-se os termos
semelhantes (se houver)
Calcule ( ) ( )314 minus+ xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
3114
3124
311344
314
2
2
minusminusminus+minus
sdotminussdot+sdotminussdotminussdot+
xx
xxx
xxxx
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=(4x+1)(x-3)
= b ( ) + 4 x 1 ( ) minus x 3
gt expand(b)
minus minus 4 x2 11x 3
Atividade 2
Usando o programa MAPLE calcule
1) ( ) ( )2ax5abx3 minusminus
2)
minus
+ ab5
2cba
2
1 22
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
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Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Sumaacuterio
O que eacute MAPLE helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4
Onde surgiu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4
A folha de trabalho 5
Ajuda 5
Operaccedilotildees aritmeacuteticas 6
Alguns operadores helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6
Nuacutemeros 6
Representaccedilatildeo interna de uma expressatildeo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
Resultado de uma operaccedilatildeo 8
Atribuiccedilatildeo de valores helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10
Expressotildees algeacutebricas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10
Reduccedilatildeo de Polinocircmios helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14
Divisatildeo de Polinocircmio por Monocircmio 14
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15
Adiccedilatildeo algeacutebrica de Polinocircmios helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16
Produtos Notaacuteveis helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17
Quadrado da diferenccedila helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18
Quadrado da soma helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18
Fraccedilotildees algeacutebricas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19
Equaccedilatildeo fracionaacuteria helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20
Somatoacuterio helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23
Matrizes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
Matriz transposta 26
Adiccedilatildeo de matrizes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 27
Subtraccedilatildeo de matrizes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por matriz helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28
Multiplicaccedilatildeo de matrizes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28
Determinantes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29
Matriz inversa helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31
Equaccedilatildeo do 2deg grau helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33
Graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1deg grau helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34
Graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36
Fatorial 38
Nuacutemeros Binomiais 39
Combinaccedilatildeo simples 39
Arranjo simples 40
Equaccedilotildees irracionais 41
Conversotildees 42
Arcos e Radianos 42
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas 43
Escalas termomeacutetricas 44
Nuacutemeros complexos 45
Limites 46
Lista de funccedilotildees 47
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados 47
O que eacute Winplot 50
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos 50
Abrindo o Winplot 50
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x + 5 50
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2 52
Referecircncias bibliograacuteficas 56
Respostas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
O que eacute MAPLE
MAPLE
(Manipulation Algebraic Polinomial Linear Equation)
O MAPLE eacute um programa de computador produzido por Waterloo Maple Inc Eacute um tipo de
sistema conhecido como ldquosistema de manipulaccedilatildeo algeacutebricardquo ou ldquosistema matemaacutetico
computacionalrdquo O MAPLE possui quatro aspectos gerais que satildeo Aspectos algeacutebricos
Aspectos numeacutericos Aspectos graacuteficos e Aspectos de programaccedilatildeo Todos estes aspectos
estatildeo integrados formando um corpo uacutenico Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa
de uma diversidade de problemas em matemaacutetica Nos dias de hoje estes programas tecircm se
mostrado instrumentos poderosos para o trabalho de cientistas engenheiros e matemaacuteticos
MAPLE tambeacutem eacute um sistema de aacutelgebra computacional comercial de uso geneacuterico Constitui
um ambiente informaacutetico para a computaccedilatildeo de expressotildees algeacutebricas e siacutembolos permitindo
o desenho de graacuteficos a duas ou trecircs dimensotildees O seu desenvolvimento comeccedilou em
1981pelo Grupo de Computaccedilatildeo Simboacutelica na Universidade de Waterloo em Waterloo no
Canadaacute proviacutencia de Ontaacuterio
Desde 1988 o MAPLE tem sido desenvolvido e comercializado pela Maplesoft uma
companhia canadense tambeacutem baseada em Waterloo Ontaacuterio A versatildeo atual eacute MAPLE 110
Onde surgiu
O primeiro conceito de Bordo surgiu de uma reuniatildeo em novembro de 1980 na Universidade
de Waterloo Pesquisadores na universidade pretendiam comprar um computador poderoso o
suficiente para executar Macsyma Em vez disso ficou decidido que iriam desenvolver seu
proacuteprio sistema de aacutelgebra computacional que seria capaz de rodar em computadores com
preccedilos mais razoaacuteveis Assim o projeto comeccedilou com o objetivo de criar um sistema de
aacutelgebra simboacutelica acessiacutevel aos investigadores e estudantes
O desenvolvimento inicial de Bordo procedeu muito rapidamente com a primeira versatildeo
limitada aparecendo em Dezembro de 1980 MAPLE foi demonstrada primeiro em
conferecircncias no iniacutecio de 1982
Ateacute ao final de 1983 mais de 50 universidades tinham coacutepias de Bordo instalados em suas
maacutequinas Devido ao grande nuacutemero de pedidos de licenciamento e de apoio em 1984 o
grupo de investigaccedilatildeo se organizou com WATCOM Products Inc para licenciar e distribuir
MAPLE
Em 1988 devido agraves crescentes solicitaccedilotildees de apoio Waterloo MAPLE Inc Foi fundada A
meta inicial da empresa era de gerenciar a distribuiccedilatildeo do software Eventualmente a empresa
evoluiu para ter um departamento de I amp D em que grande parte do desenvolvimento da
MAPLE eacute feito hoje O desenvolvimento significativo de Bordo continua nos laboratoacuterios da
universidade de investigaccedilatildeo incluindo o Laboratoacuterio de Computaccedilatildeo Simboacutelica da
Universidade de Waterloo o Ontaacuterio Research Center for Computer Aacutelgebra da Universidade
de Western Ontaacuterio e laboratoacuterios de outras universidades em todo o mundo
A folha de trabalho
Nos microcomputadores com o MAPLE e instalado a folha de trabalho ou worksheet eacute
disparada clicando-se no iacutecone do programa Ela eacute o principal meio para gravar e ler os
trabalhos desenvolvidos no MAPLE A worksheet eacute um caderno virtual de anotaccedilotildees de
caacutelculos A vantagem do caderno virtual eacute que qualquer coisa jaacute escrita pode ser modificada
sem necessidade de fazer outras alteraccedilotildees pois o trabalho se ajusta automaticamente agraves
mudanccedilas A worksheet tem quatro tipos de linhas 1 linhas de entrada de comandos que
usam a cor vermelha e satildeo precedidas pelo sinal de pronto ldquogtrdquo 2 linhas de saiacuteda dos
comandos na cor azul 3 linhas de texto na cor preta e 4 linhas de graacutefico Algumas dessas
linhas podem ser convertidas umas nas outras Mais detalhes sobre as worksheets podem ser
encontrados no New Users Tour depois de clicar em Help
Ajuda
O MAPLE possui um sistema de ajuda interativo chamado help on line Para pedir ajuda
sobre uma funccedilatildeo ou qualquer assunto pertinente deve-se preceder a funccedilatildeo ou o assunto com
um sinal de interrogaccedilatildeo Por exemplo
gt maple
A paacutegina de ajuda conteacutem vaacuterias partes 1 descriccedilatildeo da sintaxe 2 descriccedilatildeo detalhada 3
exemplos e 4 palavras chaves relacionadas ao assunto A partir das palavras chaves pode-se
ldquonavegarrdquo pelo sistema de ajuda ateacute que a informaccedilatildeo desejada seja encontrada Outra
modalidade de ajuda consiste na procura por assunto No caso do MAPLE for Windows deve-
se clicar com o mouse no Help e depois Introduction (primeiro de cima para baixo) A nova
janela teraacute uma seccedilatildeo cinza na parte superior Clique em Mathematics por exemplo Na
segunda coluna procure por um sub-toacutepico e assim por diante Os usuaacuterios mais persistentes
podem procurar ajuda clicando em Topic Search ou Full Text Search depois de ter
clicado em Help
Apresentaremos uma introduccedilatildeo aos comandos baacutesicos para utilizar o programa MAPLE e
seus aplicativos graacuteficos no ensino fundamental e meacutedio
Operaccedilotildees Aritmeacuteticas
O MAPLE usa as operaccedilotildees na seguinte ordem
1deg potenciaccedilatildeo ( ^ ou )
2deg multiplicaccedilatildeo ( ) e divisatildeo ( )
3deg adiccedilatildeo ( + ) e subtraccedilatildeo ( )
Alguns Operadores
sqrt (lsquorsquo) raiz quadrada
gt sensor (soacute podemos digitar apoacutes o sensor)
resolve mas natildeo mostra
daacute a resposta e mostra na tela
= atribui nome a nuacutemero ou expressatildeo
gt restart limpa a memoacuteria
gt simplify (lsquorsquo) simplifica uma expressatildeo
gt expand (lsquorsquo) expande uma expressatildeo
gt solve (lsquorsquo) resolve uma equaccedilatildeo
Sum mostra o somatoacuterio
sum resolve o somatoacuterio
Nuacutemeros
O MAPLE trabalha com os nuacutemeros de maneira exata Nenhuma aproximaccedilatildeo eacute feita
gt (253+59)^3
314432000729
Podemos ver que o resultado eacute um nuacutemero racional Para obter uma aproximaccedilatildeo decimal
devemos usar o comando evalf (evaluate in floating point)
gt evalf() 4313196159
O sinal de percentagem guarda o valor do uacuteltimo resultado calculado O uacuteltimo resultado
tem 10 diacutegitos (valor default) Podemos calcular com mais diacutegitos significativos por exemplo
com 30 diacutegitos
gt evalf[30]() 431319615912208504801097393690
A medida que formos explanando o assunto mostraremos outras maneiras de determinar a
quantidade de diacutegitos e outra maneira de ter resultados com casas decimais eacute entrar pelo
menos com um nuacutemero com casa decimal lembrando que no MAPLE o ponto substitui a
viacutergula
Representaccedilatildeo Interna de uma Expressatildeo
Descrevendo em detalhes a representaccedilatildeo interna de expressotildees no MAPLE
a) 1234 minusminusminus+ xxxx
gt poly=x^4+x^3-x^2-x-1
= poly + minus minus minus x4 x3 x2 x 1
b) ( )22 1+yx
gt x(y^2+1)^2
x ( ) + y2 12
c) 1
32
+minus
x
x
gt a=(x^2-3)(x+1)
= a minus x2 3 + x 1
d) 33 +x
gt sqrt(x^3+3)
+ x3 3
gt root[2](x^3+3)
+ x3 3
gt root(x^3+3 2)
+ x3 3
e) 5 2 2x minus
gt root[5](x^2-2)
( ) minus x2 2( )1 5
f) 332 γβα∆ +minus=
gt Delta=(alpha^2-beta^3+gamma^3)
= ∆ minus + α2 β3 γ3
g) 46 102103 sdot+sdot minus
gt 3exp(-6)+2exp(4)
+ 3 eeee( )-6
2 eeee4
h) 16 log2
gt log[2](16)
( )ln 16( )ln 2
gt log(16)log(2)
( )ln 16( )ln 2
OBS natildeo esqueccedila de apertar ENTER apoacutes digitar ( ) para confirmar
Resultado de uma Operaccedilatildeo
Uma vez descrita em detalhes uma expressatildeo no MAPLE colocado () apoacutes a descriccedilatildeo e
pressionado ENTER O programa pode
I Mostrar o resultado da operaccedilatildeo
a) x4log 3
2
1 =
gt log[12](root[3](4))
-23
b) Qual eacute o nuacutemero x expresso por 9850318 ++
gt sqrt(18)+3sqrt(50)+sqrt(98)
25 2
c) Determine o valor da cossec 6
π
gt csc(Pi6)
2
d) Calcule o valor da expressatildeo 0
0
24
12
12
minus
+
gt (2^0+12)(14-2^0)
-2
II Mostrar a expressatildeo (operaccedilatildeo) e esperar que vocecirc use um dos operadores para obter o
resultado esperado
a) Resolva a equaccedilatildeo 2x1x 48 ++ =
gt 8^(x+1)=4^(x+2)
= 8( ) + x 1
4( ) + x 2
gt simplify()
1
b) Resolva a equaccedilatildeo 81
13x =
gt 3^x=181
= 3x 181
gt solve()
minus( )ln 81( )ln 3
gt simplify()
-4
c) Encontrar o valor decimal da expressatildeo 3
1
gt a=1sqrt(3)
= a13
3
gt evalf(a)
5773502693
gt evalf(a5)
57736
gt evalf(a15)
577350269189626
d) Racionalize o denominador da expressatildeo 53
4
minus
gt 4(3-sqrt(5))
41
minus 3 5
gt rationalize()
+ 3 5
Atribuiccedilatildeo de Valores
Lembre-se para nunca atribuir valor a uma letra porque todas as vezes que ela aparecer o
valor seraacute usado na operaccedilatildeo
Ex
gt x=3
gt 2x+x^2
15
gt 5x-x
12
Quando isso acontecer digite a palavra restart para limpar a memoacuteria
gt restart
Expressotildees Algeacutebricas
Uma expressatildeo matemaacutetica que apresenta nuacutemeros e letras ou somente letras eacute denominada
expressatildeo algeacutebrica ou literal As letras que normalmente representam nuacutemeros reais satildeo
chamadas variaacuteveis Quando a expressatildeo algeacutebrica natildeo conteacutem variaacutevel ou variaacuteveis no
denominador eacute chamada expressatildeo algeacutebrica inteira quando conteacutem eacute chamada expressatildeo
algeacutebrica fracionaacuteria A seguir mostraremos as diversas operaccedilotildees com monocircmios e
polinocircmios e os respectivos operadores que satildeo utilizados no MAPLE para resolvecirc-los
Reduccedilatildeo de Polinocircmios
Numa expressatildeo algeacutebrica observando que o polinocircmio possui termos ou monocircmios
semelhantes podemos tornar mais simples a expressatildeo adicionando esses termos somando
algebricamente os coeficientes numeacutericos e mantendo a parte literal Natildeo esqueccedila que entre o
coeficiente numeacuterico e a parte literal existe o sinal de multiplicaccedilatildeo
Efetue xxxxx 9853 +minusminus+
gt 3x+5x-x-8x+9x
8 x
Resolva 2535132 222 minus+++minusminus+minus xxxxxx
gt 2x^2-3x+1-5x^2-x+3+5x+x^2-2
minus + + 2 x2 x 2
Atividade 1
Reduza os seguintes monocircmios utilizando o programa MAPLE
1) 4a ndash 5b ndash b + 2a ndash a
2) 222 y5yy3yy minus+minus+
3) 6tt5
45tt
2
1 22 minusminusminus
4) m4m6mm2mm 2323 minusminusminus++
5) x6
7x
3
2 minus
6) 7
y3x
5
4y
3
2x minus+minus
7) 3
2x5x
+minus
8) 22
x5
y4xx)(xy
5
2x minusminus+
Teste
Usando o Word com ajuda do equation editor para digitar e o MAPLE para resolver
responda as questotildees
1) 4
yx
3
y5x
6
yx
2
yx
4
y7x 3244324432
+minus+minus
2) 2
zxy
18
zxy
6
zxy 323232 minusminusminusminusminus
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para multiplicar dois ou mais monocircmios multiplicamos os coeficientes numeacutericos entre si e
multiplicamos as partes literais entre si lembrando a propriedade das potecircncias
0a com aaa nmnm ne=sdot +
Resolva ( ) ( )3223 52 zxyzyx minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x^3y^2z)(-5xy^2z^3)
minus10x4 y4 z4
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um monocircmio por um polinocircmio eacute feita multiplicando-se o monocircmio por
cada termo do polinocircmio
Resolva ( ) ( )232 24103 xyxyxyyx minusminus+minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(-3x^2y+10xy^3-4xy)
= a minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y
gt b=(-2xy^2)
= b minus2 x y2
gt ab
minus2 ( )minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y x y2
gt expand(ab)
minus + 6 x3 y3 20x2 y5 8 x2 y3
Resolva ( ) ( )2322 2453 axaxxaxa minusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt d=(3a^2x+5a^2x^3-4ax)(-2ax^2)
= d minus2 ( ) + minus 3 a2 x 5 a2 x3 4 a x a x2
gt expand(d)
minus minus + 6 a3 x3 10a3 x5 8 a2 x3
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um polinocircmio por outro polinocircmio eacute feita multiplicando-se cada termo (ou
monocircmio) de um deles pelos termos (ou monocircmios) do outro e reduzindo-se os termos
semelhantes (se houver)
Calcule ( ) ( )314 minus+ xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
3114
3124
311344
314
2
2
minusminusminus+minus
sdotminussdot+sdotminussdotminussdot+
xx
xxx
xxxx
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=(4x+1)(x-3)
= b ( ) + 4 x 1 ( ) minus x 3
gt expand(b)
minus minus 4 x2 11x 3
Atividade 2
Usando o programa MAPLE calcule
1) ( ) ( )2ax5abx3 minusminus
2)
minus
+ ab5
2cba
2
1 22
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
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DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Multiplicaccedilatildeo de matrizes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28
Determinantes helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29
Matriz inversa helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31
Equaccedilatildeo do 2deg grau helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33
Graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1deg grau helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34
Graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36
Fatorial 38
Nuacutemeros Binomiais 39
Combinaccedilatildeo simples 39
Arranjo simples 40
Equaccedilotildees irracionais 41
Conversotildees 42
Arcos e Radianos 42
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas 43
Escalas termomeacutetricas 44
Nuacutemeros complexos 45
Limites 46
Lista de funccedilotildees 47
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados 47
O que eacute Winplot 50
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos 50
Abrindo o Winplot 50
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x + 5 50
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2 52
Referecircncias bibliograacuteficas 56
Respostas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
O que eacute MAPLE
MAPLE
(Manipulation Algebraic Polinomial Linear Equation)
O MAPLE eacute um programa de computador produzido por Waterloo Maple Inc Eacute um tipo de
sistema conhecido como ldquosistema de manipulaccedilatildeo algeacutebricardquo ou ldquosistema matemaacutetico
computacionalrdquo O MAPLE possui quatro aspectos gerais que satildeo Aspectos algeacutebricos
Aspectos numeacutericos Aspectos graacuteficos e Aspectos de programaccedilatildeo Todos estes aspectos
estatildeo integrados formando um corpo uacutenico Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa
de uma diversidade de problemas em matemaacutetica Nos dias de hoje estes programas tecircm se
mostrado instrumentos poderosos para o trabalho de cientistas engenheiros e matemaacuteticos
MAPLE tambeacutem eacute um sistema de aacutelgebra computacional comercial de uso geneacuterico Constitui
um ambiente informaacutetico para a computaccedilatildeo de expressotildees algeacutebricas e siacutembolos permitindo
o desenho de graacuteficos a duas ou trecircs dimensotildees O seu desenvolvimento comeccedilou em
1981pelo Grupo de Computaccedilatildeo Simboacutelica na Universidade de Waterloo em Waterloo no
Canadaacute proviacutencia de Ontaacuterio
Desde 1988 o MAPLE tem sido desenvolvido e comercializado pela Maplesoft uma
companhia canadense tambeacutem baseada em Waterloo Ontaacuterio A versatildeo atual eacute MAPLE 110
Onde surgiu
O primeiro conceito de Bordo surgiu de uma reuniatildeo em novembro de 1980 na Universidade
de Waterloo Pesquisadores na universidade pretendiam comprar um computador poderoso o
suficiente para executar Macsyma Em vez disso ficou decidido que iriam desenvolver seu
proacuteprio sistema de aacutelgebra computacional que seria capaz de rodar em computadores com
preccedilos mais razoaacuteveis Assim o projeto comeccedilou com o objetivo de criar um sistema de
aacutelgebra simboacutelica acessiacutevel aos investigadores e estudantes
O desenvolvimento inicial de Bordo procedeu muito rapidamente com a primeira versatildeo
limitada aparecendo em Dezembro de 1980 MAPLE foi demonstrada primeiro em
conferecircncias no iniacutecio de 1982
Ateacute ao final de 1983 mais de 50 universidades tinham coacutepias de Bordo instalados em suas
maacutequinas Devido ao grande nuacutemero de pedidos de licenciamento e de apoio em 1984 o
grupo de investigaccedilatildeo se organizou com WATCOM Products Inc para licenciar e distribuir
MAPLE
Em 1988 devido agraves crescentes solicitaccedilotildees de apoio Waterloo MAPLE Inc Foi fundada A
meta inicial da empresa era de gerenciar a distribuiccedilatildeo do software Eventualmente a empresa
evoluiu para ter um departamento de I amp D em que grande parte do desenvolvimento da
MAPLE eacute feito hoje O desenvolvimento significativo de Bordo continua nos laboratoacuterios da
universidade de investigaccedilatildeo incluindo o Laboratoacuterio de Computaccedilatildeo Simboacutelica da
Universidade de Waterloo o Ontaacuterio Research Center for Computer Aacutelgebra da Universidade
de Western Ontaacuterio e laboratoacuterios de outras universidades em todo o mundo
A folha de trabalho
Nos microcomputadores com o MAPLE e instalado a folha de trabalho ou worksheet eacute
disparada clicando-se no iacutecone do programa Ela eacute o principal meio para gravar e ler os
trabalhos desenvolvidos no MAPLE A worksheet eacute um caderno virtual de anotaccedilotildees de
caacutelculos A vantagem do caderno virtual eacute que qualquer coisa jaacute escrita pode ser modificada
sem necessidade de fazer outras alteraccedilotildees pois o trabalho se ajusta automaticamente agraves
mudanccedilas A worksheet tem quatro tipos de linhas 1 linhas de entrada de comandos que
usam a cor vermelha e satildeo precedidas pelo sinal de pronto ldquogtrdquo 2 linhas de saiacuteda dos
comandos na cor azul 3 linhas de texto na cor preta e 4 linhas de graacutefico Algumas dessas
linhas podem ser convertidas umas nas outras Mais detalhes sobre as worksheets podem ser
encontrados no New Users Tour depois de clicar em Help
Ajuda
O MAPLE possui um sistema de ajuda interativo chamado help on line Para pedir ajuda
sobre uma funccedilatildeo ou qualquer assunto pertinente deve-se preceder a funccedilatildeo ou o assunto com
um sinal de interrogaccedilatildeo Por exemplo
gt maple
A paacutegina de ajuda conteacutem vaacuterias partes 1 descriccedilatildeo da sintaxe 2 descriccedilatildeo detalhada 3
exemplos e 4 palavras chaves relacionadas ao assunto A partir das palavras chaves pode-se
ldquonavegarrdquo pelo sistema de ajuda ateacute que a informaccedilatildeo desejada seja encontrada Outra
modalidade de ajuda consiste na procura por assunto No caso do MAPLE for Windows deve-
se clicar com o mouse no Help e depois Introduction (primeiro de cima para baixo) A nova
janela teraacute uma seccedilatildeo cinza na parte superior Clique em Mathematics por exemplo Na
segunda coluna procure por um sub-toacutepico e assim por diante Os usuaacuterios mais persistentes
podem procurar ajuda clicando em Topic Search ou Full Text Search depois de ter
clicado em Help
Apresentaremos uma introduccedilatildeo aos comandos baacutesicos para utilizar o programa MAPLE e
seus aplicativos graacuteficos no ensino fundamental e meacutedio
Operaccedilotildees Aritmeacuteticas
O MAPLE usa as operaccedilotildees na seguinte ordem
1deg potenciaccedilatildeo ( ^ ou )
2deg multiplicaccedilatildeo ( ) e divisatildeo ( )
3deg adiccedilatildeo ( + ) e subtraccedilatildeo ( )
Alguns Operadores
sqrt (lsquorsquo) raiz quadrada
gt sensor (soacute podemos digitar apoacutes o sensor)
resolve mas natildeo mostra
daacute a resposta e mostra na tela
= atribui nome a nuacutemero ou expressatildeo
gt restart limpa a memoacuteria
gt simplify (lsquorsquo) simplifica uma expressatildeo
gt expand (lsquorsquo) expande uma expressatildeo
gt solve (lsquorsquo) resolve uma equaccedilatildeo
Sum mostra o somatoacuterio
sum resolve o somatoacuterio
Nuacutemeros
O MAPLE trabalha com os nuacutemeros de maneira exata Nenhuma aproximaccedilatildeo eacute feita
gt (253+59)^3
314432000729
Podemos ver que o resultado eacute um nuacutemero racional Para obter uma aproximaccedilatildeo decimal
devemos usar o comando evalf (evaluate in floating point)
gt evalf() 4313196159
O sinal de percentagem guarda o valor do uacuteltimo resultado calculado O uacuteltimo resultado
tem 10 diacutegitos (valor default) Podemos calcular com mais diacutegitos significativos por exemplo
com 30 diacutegitos
gt evalf[30]() 431319615912208504801097393690
A medida que formos explanando o assunto mostraremos outras maneiras de determinar a
quantidade de diacutegitos e outra maneira de ter resultados com casas decimais eacute entrar pelo
menos com um nuacutemero com casa decimal lembrando que no MAPLE o ponto substitui a
viacutergula
Representaccedilatildeo Interna de uma Expressatildeo
Descrevendo em detalhes a representaccedilatildeo interna de expressotildees no MAPLE
a) 1234 minusminusminus+ xxxx
gt poly=x^4+x^3-x^2-x-1
= poly + minus minus minus x4 x3 x2 x 1
b) ( )22 1+yx
gt x(y^2+1)^2
x ( ) + y2 12
c) 1
32
+minus
x
x
gt a=(x^2-3)(x+1)
= a minus x2 3 + x 1
d) 33 +x
gt sqrt(x^3+3)
+ x3 3
gt root[2](x^3+3)
+ x3 3
gt root(x^3+3 2)
+ x3 3
e) 5 2 2x minus
gt root[5](x^2-2)
( ) minus x2 2( )1 5
f) 332 γβα∆ +minus=
gt Delta=(alpha^2-beta^3+gamma^3)
= ∆ minus + α2 β3 γ3
g) 46 102103 sdot+sdot minus
gt 3exp(-6)+2exp(4)
+ 3 eeee( )-6
2 eeee4
h) 16 log2
gt log[2](16)
( )ln 16( )ln 2
gt log(16)log(2)
( )ln 16( )ln 2
OBS natildeo esqueccedila de apertar ENTER apoacutes digitar ( ) para confirmar
Resultado de uma Operaccedilatildeo
Uma vez descrita em detalhes uma expressatildeo no MAPLE colocado () apoacutes a descriccedilatildeo e
pressionado ENTER O programa pode
I Mostrar o resultado da operaccedilatildeo
a) x4log 3
2
1 =
gt log[12](root[3](4))
-23
b) Qual eacute o nuacutemero x expresso por 9850318 ++
gt sqrt(18)+3sqrt(50)+sqrt(98)
25 2
c) Determine o valor da cossec 6
π
gt csc(Pi6)
2
d) Calcule o valor da expressatildeo 0
0
24
12
12
minus
+
gt (2^0+12)(14-2^0)
-2
II Mostrar a expressatildeo (operaccedilatildeo) e esperar que vocecirc use um dos operadores para obter o
resultado esperado
a) Resolva a equaccedilatildeo 2x1x 48 ++ =
gt 8^(x+1)=4^(x+2)
= 8( ) + x 1
4( ) + x 2
gt simplify()
1
b) Resolva a equaccedilatildeo 81
13x =
gt 3^x=181
= 3x 181
gt solve()
minus( )ln 81( )ln 3
gt simplify()
-4
c) Encontrar o valor decimal da expressatildeo 3
1
gt a=1sqrt(3)
= a13
3
gt evalf(a)
5773502693
gt evalf(a5)
57736
gt evalf(a15)
577350269189626
d) Racionalize o denominador da expressatildeo 53
4
minus
gt 4(3-sqrt(5))
41
minus 3 5
gt rationalize()
+ 3 5
Atribuiccedilatildeo de Valores
Lembre-se para nunca atribuir valor a uma letra porque todas as vezes que ela aparecer o
valor seraacute usado na operaccedilatildeo
Ex
gt x=3
gt 2x+x^2
15
gt 5x-x
12
Quando isso acontecer digite a palavra restart para limpar a memoacuteria
gt restart
Expressotildees Algeacutebricas
Uma expressatildeo matemaacutetica que apresenta nuacutemeros e letras ou somente letras eacute denominada
expressatildeo algeacutebrica ou literal As letras que normalmente representam nuacutemeros reais satildeo
chamadas variaacuteveis Quando a expressatildeo algeacutebrica natildeo conteacutem variaacutevel ou variaacuteveis no
denominador eacute chamada expressatildeo algeacutebrica inteira quando conteacutem eacute chamada expressatildeo
algeacutebrica fracionaacuteria A seguir mostraremos as diversas operaccedilotildees com monocircmios e
polinocircmios e os respectivos operadores que satildeo utilizados no MAPLE para resolvecirc-los
Reduccedilatildeo de Polinocircmios
Numa expressatildeo algeacutebrica observando que o polinocircmio possui termos ou monocircmios
semelhantes podemos tornar mais simples a expressatildeo adicionando esses termos somando
algebricamente os coeficientes numeacutericos e mantendo a parte literal Natildeo esqueccedila que entre o
coeficiente numeacuterico e a parte literal existe o sinal de multiplicaccedilatildeo
Efetue xxxxx 9853 +minusminus+
gt 3x+5x-x-8x+9x
8 x
Resolva 2535132 222 minus+++minusminus+minus xxxxxx
gt 2x^2-3x+1-5x^2-x+3+5x+x^2-2
minus + + 2 x2 x 2
Atividade 1
Reduza os seguintes monocircmios utilizando o programa MAPLE
1) 4a ndash 5b ndash b + 2a ndash a
2) 222 y5yy3yy minus+minus+
3) 6tt5
45tt
2
1 22 minusminusminus
4) m4m6mm2mm 2323 minusminusminus++
5) x6
7x
3
2 minus
6) 7
y3x
5
4y
3
2x minus+minus
7) 3
2x5x
+minus
8) 22
x5
y4xx)(xy
5
2x minusminus+
Teste
Usando o Word com ajuda do equation editor para digitar e o MAPLE para resolver
responda as questotildees
1) 4
yx
3
y5x
6
yx
2
yx
4
y7x 3244324432
+minus+minus
2) 2
zxy
18
zxy
6
zxy 323232 minusminusminusminusminus
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para multiplicar dois ou mais monocircmios multiplicamos os coeficientes numeacutericos entre si e
multiplicamos as partes literais entre si lembrando a propriedade das potecircncias
0a com aaa nmnm ne=sdot +
Resolva ( ) ( )3223 52 zxyzyx minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x^3y^2z)(-5xy^2z^3)
minus10x4 y4 z4
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um monocircmio por um polinocircmio eacute feita multiplicando-se o monocircmio por
cada termo do polinocircmio
Resolva ( ) ( )232 24103 xyxyxyyx minusminus+minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(-3x^2y+10xy^3-4xy)
= a minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y
gt b=(-2xy^2)
= b minus2 x y2
gt ab
minus2 ( )minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y x y2
gt expand(ab)
minus + 6 x3 y3 20x2 y5 8 x2 y3
Resolva ( ) ( )2322 2453 axaxxaxa minusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt d=(3a^2x+5a^2x^3-4ax)(-2ax^2)
= d minus2 ( ) + minus 3 a2 x 5 a2 x3 4 a x a x2
gt expand(d)
minus minus + 6 a3 x3 10a3 x5 8 a2 x3
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um polinocircmio por outro polinocircmio eacute feita multiplicando-se cada termo (ou
monocircmio) de um deles pelos termos (ou monocircmios) do outro e reduzindo-se os termos
semelhantes (se houver)
Calcule ( ) ( )314 minus+ xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
3114
3124
311344
314
2
2
minusminusminus+minus
sdotminussdot+sdotminussdotminussdot+
xx
xxx
xxxx
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=(4x+1)(x-3)
= b ( ) + 4 x 1 ( ) minus x 3
gt expand(b)
minus minus 4 x2 11x 3
Atividade 2
Usando o programa MAPLE calcule
1) ( ) ( )2ax5abx3 minusminus
2)
minus
+ ab5
2cba
2
1 22
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
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GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
O que eacute MAPLE
MAPLE
(Manipulation Algebraic Polinomial Linear Equation)
O MAPLE eacute um programa de computador produzido por Waterloo Maple Inc Eacute um tipo de
sistema conhecido como ldquosistema de manipulaccedilatildeo algeacutebricardquo ou ldquosistema matemaacutetico
computacionalrdquo O MAPLE possui quatro aspectos gerais que satildeo Aspectos algeacutebricos
Aspectos numeacutericos Aspectos graacuteficos e Aspectos de programaccedilatildeo Todos estes aspectos
estatildeo integrados formando um corpo uacutenico Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa
de uma diversidade de problemas em matemaacutetica Nos dias de hoje estes programas tecircm se
mostrado instrumentos poderosos para o trabalho de cientistas engenheiros e matemaacuteticos
MAPLE tambeacutem eacute um sistema de aacutelgebra computacional comercial de uso geneacuterico Constitui
um ambiente informaacutetico para a computaccedilatildeo de expressotildees algeacutebricas e siacutembolos permitindo
o desenho de graacuteficos a duas ou trecircs dimensotildees O seu desenvolvimento comeccedilou em
1981pelo Grupo de Computaccedilatildeo Simboacutelica na Universidade de Waterloo em Waterloo no
Canadaacute proviacutencia de Ontaacuterio
Desde 1988 o MAPLE tem sido desenvolvido e comercializado pela Maplesoft uma
companhia canadense tambeacutem baseada em Waterloo Ontaacuterio A versatildeo atual eacute MAPLE 110
Onde surgiu
O primeiro conceito de Bordo surgiu de uma reuniatildeo em novembro de 1980 na Universidade
de Waterloo Pesquisadores na universidade pretendiam comprar um computador poderoso o
suficiente para executar Macsyma Em vez disso ficou decidido que iriam desenvolver seu
proacuteprio sistema de aacutelgebra computacional que seria capaz de rodar em computadores com
preccedilos mais razoaacuteveis Assim o projeto comeccedilou com o objetivo de criar um sistema de
aacutelgebra simboacutelica acessiacutevel aos investigadores e estudantes
O desenvolvimento inicial de Bordo procedeu muito rapidamente com a primeira versatildeo
limitada aparecendo em Dezembro de 1980 MAPLE foi demonstrada primeiro em
conferecircncias no iniacutecio de 1982
Ateacute ao final de 1983 mais de 50 universidades tinham coacutepias de Bordo instalados em suas
maacutequinas Devido ao grande nuacutemero de pedidos de licenciamento e de apoio em 1984 o
grupo de investigaccedilatildeo se organizou com WATCOM Products Inc para licenciar e distribuir
MAPLE
Em 1988 devido agraves crescentes solicitaccedilotildees de apoio Waterloo MAPLE Inc Foi fundada A
meta inicial da empresa era de gerenciar a distribuiccedilatildeo do software Eventualmente a empresa
evoluiu para ter um departamento de I amp D em que grande parte do desenvolvimento da
MAPLE eacute feito hoje O desenvolvimento significativo de Bordo continua nos laboratoacuterios da
universidade de investigaccedilatildeo incluindo o Laboratoacuterio de Computaccedilatildeo Simboacutelica da
Universidade de Waterloo o Ontaacuterio Research Center for Computer Aacutelgebra da Universidade
de Western Ontaacuterio e laboratoacuterios de outras universidades em todo o mundo
A folha de trabalho
Nos microcomputadores com o MAPLE e instalado a folha de trabalho ou worksheet eacute
disparada clicando-se no iacutecone do programa Ela eacute o principal meio para gravar e ler os
trabalhos desenvolvidos no MAPLE A worksheet eacute um caderno virtual de anotaccedilotildees de
caacutelculos A vantagem do caderno virtual eacute que qualquer coisa jaacute escrita pode ser modificada
sem necessidade de fazer outras alteraccedilotildees pois o trabalho se ajusta automaticamente agraves
mudanccedilas A worksheet tem quatro tipos de linhas 1 linhas de entrada de comandos que
usam a cor vermelha e satildeo precedidas pelo sinal de pronto ldquogtrdquo 2 linhas de saiacuteda dos
comandos na cor azul 3 linhas de texto na cor preta e 4 linhas de graacutefico Algumas dessas
linhas podem ser convertidas umas nas outras Mais detalhes sobre as worksheets podem ser
encontrados no New Users Tour depois de clicar em Help
Ajuda
O MAPLE possui um sistema de ajuda interativo chamado help on line Para pedir ajuda
sobre uma funccedilatildeo ou qualquer assunto pertinente deve-se preceder a funccedilatildeo ou o assunto com
um sinal de interrogaccedilatildeo Por exemplo
gt maple
A paacutegina de ajuda conteacutem vaacuterias partes 1 descriccedilatildeo da sintaxe 2 descriccedilatildeo detalhada 3
exemplos e 4 palavras chaves relacionadas ao assunto A partir das palavras chaves pode-se
ldquonavegarrdquo pelo sistema de ajuda ateacute que a informaccedilatildeo desejada seja encontrada Outra
modalidade de ajuda consiste na procura por assunto No caso do MAPLE for Windows deve-
se clicar com o mouse no Help e depois Introduction (primeiro de cima para baixo) A nova
janela teraacute uma seccedilatildeo cinza na parte superior Clique em Mathematics por exemplo Na
segunda coluna procure por um sub-toacutepico e assim por diante Os usuaacuterios mais persistentes
podem procurar ajuda clicando em Topic Search ou Full Text Search depois de ter
clicado em Help
Apresentaremos uma introduccedilatildeo aos comandos baacutesicos para utilizar o programa MAPLE e
seus aplicativos graacuteficos no ensino fundamental e meacutedio
Operaccedilotildees Aritmeacuteticas
O MAPLE usa as operaccedilotildees na seguinte ordem
1deg potenciaccedilatildeo ( ^ ou )
2deg multiplicaccedilatildeo ( ) e divisatildeo ( )
3deg adiccedilatildeo ( + ) e subtraccedilatildeo ( )
Alguns Operadores
sqrt (lsquorsquo) raiz quadrada
gt sensor (soacute podemos digitar apoacutes o sensor)
resolve mas natildeo mostra
daacute a resposta e mostra na tela
= atribui nome a nuacutemero ou expressatildeo
gt restart limpa a memoacuteria
gt simplify (lsquorsquo) simplifica uma expressatildeo
gt expand (lsquorsquo) expande uma expressatildeo
gt solve (lsquorsquo) resolve uma equaccedilatildeo
Sum mostra o somatoacuterio
sum resolve o somatoacuterio
Nuacutemeros
O MAPLE trabalha com os nuacutemeros de maneira exata Nenhuma aproximaccedilatildeo eacute feita
gt (253+59)^3
314432000729
Podemos ver que o resultado eacute um nuacutemero racional Para obter uma aproximaccedilatildeo decimal
devemos usar o comando evalf (evaluate in floating point)
gt evalf() 4313196159
O sinal de percentagem guarda o valor do uacuteltimo resultado calculado O uacuteltimo resultado
tem 10 diacutegitos (valor default) Podemos calcular com mais diacutegitos significativos por exemplo
com 30 diacutegitos
gt evalf[30]() 431319615912208504801097393690
A medida que formos explanando o assunto mostraremos outras maneiras de determinar a
quantidade de diacutegitos e outra maneira de ter resultados com casas decimais eacute entrar pelo
menos com um nuacutemero com casa decimal lembrando que no MAPLE o ponto substitui a
viacutergula
Representaccedilatildeo Interna de uma Expressatildeo
Descrevendo em detalhes a representaccedilatildeo interna de expressotildees no MAPLE
a) 1234 minusminusminus+ xxxx
gt poly=x^4+x^3-x^2-x-1
= poly + minus minus minus x4 x3 x2 x 1
b) ( )22 1+yx
gt x(y^2+1)^2
x ( ) + y2 12
c) 1
32
+minus
x
x
gt a=(x^2-3)(x+1)
= a minus x2 3 + x 1
d) 33 +x
gt sqrt(x^3+3)
+ x3 3
gt root[2](x^3+3)
+ x3 3
gt root(x^3+3 2)
+ x3 3
e) 5 2 2x minus
gt root[5](x^2-2)
( ) minus x2 2( )1 5
f) 332 γβα∆ +minus=
gt Delta=(alpha^2-beta^3+gamma^3)
= ∆ minus + α2 β3 γ3
g) 46 102103 sdot+sdot minus
gt 3exp(-6)+2exp(4)
+ 3 eeee( )-6
2 eeee4
h) 16 log2
gt log[2](16)
( )ln 16( )ln 2
gt log(16)log(2)
( )ln 16( )ln 2
OBS natildeo esqueccedila de apertar ENTER apoacutes digitar ( ) para confirmar
Resultado de uma Operaccedilatildeo
Uma vez descrita em detalhes uma expressatildeo no MAPLE colocado () apoacutes a descriccedilatildeo e
pressionado ENTER O programa pode
I Mostrar o resultado da operaccedilatildeo
a) x4log 3
2
1 =
gt log[12](root[3](4))
-23
b) Qual eacute o nuacutemero x expresso por 9850318 ++
gt sqrt(18)+3sqrt(50)+sqrt(98)
25 2
c) Determine o valor da cossec 6
π
gt csc(Pi6)
2
d) Calcule o valor da expressatildeo 0
0
24
12
12
minus
+
gt (2^0+12)(14-2^0)
-2
II Mostrar a expressatildeo (operaccedilatildeo) e esperar que vocecirc use um dos operadores para obter o
resultado esperado
a) Resolva a equaccedilatildeo 2x1x 48 ++ =
gt 8^(x+1)=4^(x+2)
= 8( ) + x 1
4( ) + x 2
gt simplify()
1
b) Resolva a equaccedilatildeo 81
13x =
gt 3^x=181
= 3x 181
gt solve()
minus( )ln 81( )ln 3
gt simplify()
-4
c) Encontrar o valor decimal da expressatildeo 3
1
gt a=1sqrt(3)
= a13
3
gt evalf(a)
5773502693
gt evalf(a5)
57736
gt evalf(a15)
577350269189626
d) Racionalize o denominador da expressatildeo 53
4
minus
gt 4(3-sqrt(5))
41
minus 3 5
gt rationalize()
+ 3 5
Atribuiccedilatildeo de Valores
Lembre-se para nunca atribuir valor a uma letra porque todas as vezes que ela aparecer o
valor seraacute usado na operaccedilatildeo
Ex
gt x=3
gt 2x+x^2
15
gt 5x-x
12
Quando isso acontecer digite a palavra restart para limpar a memoacuteria
gt restart
Expressotildees Algeacutebricas
Uma expressatildeo matemaacutetica que apresenta nuacutemeros e letras ou somente letras eacute denominada
expressatildeo algeacutebrica ou literal As letras que normalmente representam nuacutemeros reais satildeo
chamadas variaacuteveis Quando a expressatildeo algeacutebrica natildeo conteacutem variaacutevel ou variaacuteveis no
denominador eacute chamada expressatildeo algeacutebrica inteira quando conteacutem eacute chamada expressatildeo
algeacutebrica fracionaacuteria A seguir mostraremos as diversas operaccedilotildees com monocircmios e
polinocircmios e os respectivos operadores que satildeo utilizados no MAPLE para resolvecirc-los
Reduccedilatildeo de Polinocircmios
Numa expressatildeo algeacutebrica observando que o polinocircmio possui termos ou monocircmios
semelhantes podemos tornar mais simples a expressatildeo adicionando esses termos somando
algebricamente os coeficientes numeacutericos e mantendo a parte literal Natildeo esqueccedila que entre o
coeficiente numeacuterico e a parte literal existe o sinal de multiplicaccedilatildeo
Efetue xxxxx 9853 +minusminus+
gt 3x+5x-x-8x+9x
8 x
Resolva 2535132 222 minus+++minusminus+minus xxxxxx
gt 2x^2-3x+1-5x^2-x+3+5x+x^2-2
minus + + 2 x2 x 2
Atividade 1
Reduza os seguintes monocircmios utilizando o programa MAPLE
1) 4a ndash 5b ndash b + 2a ndash a
2) 222 y5yy3yy minus+minus+
3) 6tt5
45tt
2
1 22 minusminusminus
4) m4m6mm2mm 2323 minusminusminus++
5) x6
7x
3
2 minus
6) 7
y3x
5
4y
3
2x minus+minus
7) 3
2x5x
+minus
8) 22
x5
y4xx)(xy
5
2x minusminus+
Teste
Usando o Word com ajuda do equation editor para digitar e o MAPLE para resolver
responda as questotildees
1) 4
yx
3
y5x
6
yx
2
yx
4
y7x 3244324432
+minus+minus
2) 2
zxy
18
zxy
6
zxy 323232 minusminusminusminusminus
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para multiplicar dois ou mais monocircmios multiplicamos os coeficientes numeacutericos entre si e
multiplicamos as partes literais entre si lembrando a propriedade das potecircncias
0a com aaa nmnm ne=sdot +
Resolva ( ) ( )3223 52 zxyzyx minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x^3y^2z)(-5xy^2z^3)
minus10x4 y4 z4
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um monocircmio por um polinocircmio eacute feita multiplicando-se o monocircmio por
cada termo do polinocircmio
Resolva ( ) ( )232 24103 xyxyxyyx minusminus+minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(-3x^2y+10xy^3-4xy)
= a minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y
gt b=(-2xy^2)
= b minus2 x y2
gt ab
minus2 ( )minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y x y2
gt expand(ab)
minus + 6 x3 y3 20x2 y5 8 x2 y3
Resolva ( ) ( )2322 2453 axaxxaxa minusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt d=(3a^2x+5a^2x^3-4ax)(-2ax^2)
= d minus2 ( ) + minus 3 a2 x 5 a2 x3 4 a x a x2
gt expand(d)
minus minus + 6 a3 x3 10a3 x5 8 a2 x3
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um polinocircmio por outro polinocircmio eacute feita multiplicando-se cada termo (ou
monocircmio) de um deles pelos termos (ou monocircmios) do outro e reduzindo-se os termos
semelhantes (se houver)
Calcule ( ) ( )314 minus+ xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
3114
3124
311344
314
2
2
minusminusminus+minus
sdotminussdot+sdotminussdotminussdot+
xx
xxx
xxxx
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=(4x+1)(x-3)
= b ( ) + 4 x 1 ( ) minus x 3
gt expand(b)
minus minus 4 x2 11x 3
Atividade 2
Usando o programa MAPLE calcule
1) ( ) ( )2ax5abx3 minusminus
2)
minus
+ ab5
2cba
2
1 22
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
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GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Ateacute ao final de 1983 mais de 50 universidades tinham coacutepias de Bordo instalados em suas
maacutequinas Devido ao grande nuacutemero de pedidos de licenciamento e de apoio em 1984 o
grupo de investigaccedilatildeo se organizou com WATCOM Products Inc para licenciar e distribuir
MAPLE
Em 1988 devido agraves crescentes solicitaccedilotildees de apoio Waterloo MAPLE Inc Foi fundada A
meta inicial da empresa era de gerenciar a distribuiccedilatildeo do software Eventualmente a empresa
evoluiu para ter um departamento de I amp D em que grande parte do desenvolvimento da
MAPLE eacute feito hoje O desenvolvimento significativo de Bordo continua nos laboratoacuterios da
universidade de investigaccedilatildeo incluindo o Laboratoacuterio de Computaccedilatildeo Simboacutelica da
Universidade de Waterloo o Ontaacuterio Research Center for Computer Aacutelgebra da Universidade
de Western Ontaacuterio e laboratoacuterios de outras universidades em todo o mundo
A folha de trabalho
Nos microcomputadores com o MAPLE e instalado a folha de trabalho ou worksheet eacute
disparada clicando-se no iacutecone do programa Ela eacute o principal meio para gravar e ler os
trabalhos desenvolvidos no MAPLE A worksheet eacute um caderno virtual de anotaccedilotildees de
caacutelculos A vantagem do caderno virtual eacute que qualquer coisa jaacute escrita pode ser modificada
sem necessidade de fazer outras alteraccedilotildees pois o trabalho se ajusta automaticamente agraves
mudanccedilas A worksheet tem quatro tipos de linhas 1 linhas de entrada de comandos que
usam a cor vermelha e satildeo precedidas pelo sinal de pronto ldquogtrdquo 2 linhas de saiacuteda dos
comandos na cor azul 3 linhas de texto na cor preta e 4 linhas de graacutefico Algumas dessas
linhas podem ser convertidas umas nas outras Mais detalhes sobre as worksheets podem ser
encontrados no New Users Tour depois de clicar em Help
Ajuda
O MAPLE possui um sistema de ajuda interativo chamado help on line Para pedir ajuda
sobre uma funccedilatildeo ou qualquer assunto pertinente deve-se preceder a funccedilatildeo ou o assunto com
um sinal de interrogaccedilatildeo Por exemplo
gt maple
A paacutegina de ajuda conteacutem vaacuterias partes 1 descriccedilatildeo da sintaxe 2 descriccedilatildeo detalhada 3
exemplos e 4 palavras chaves relacionadas ao assunto A partir das palavras chaves pode-se
ldquonavegarrdquo pelo sistema de ajuda ateacute que a informaccedilatildeo desejada seja encontrada Outra
modalidade de ajuda consiste na procura por assunto No caso do MAPLE for Windows deve-
se clicar com o mouse no Help e depois Introduction (primeiro de cima para baixo) A nova
janela teraacute uma seccedilatildeo cinza na parte superior Clique em Mathematics por exemplo Na
segunda coluna procure por um sub-toacutepico e assim por diante Os usuaacuterios mais persistentes
podem procurar ajuda clicando em Topic Search ou Full Text Search depois de ter
clicado em Help
Apresentaremos uma introduccedilatildeo aos comandos baacutesicos para utilizar o programa MAPLE e
seus aplicativos graacuteficos no ensino fundamental e meacutedio
Operaccedilotildees Aritmeacuteticas
O MAPLE usa as operaccedilotildees na seguinte ordem
1deg potenciaccedilatildeo ( ^ ou )
2deg multiplicaccedilatildeo ( ) e divisatildeo ( )
3deg adiccedilatildeo ( + ) e subtraccedilatildeo ( )
Alguns Operadores
sqrt (lsquorsquo) raiz quadrada
gt sensor (soacute podemos digitar apoacutes o sensor)
resolve mas natildeo mostra
daacute a resposta e mostra na tela
= atribui nome a nuacutemero ou expressatildeo
gt restart limpa a memoacuteria
gt simplify (lsquorsquo) simplifica uma expressatildeo
gt expand (lsquorsquo) expande uma expressatildeo
gt solve (lsquorsquo) resolve uma equaccedilatildeo
Sum mostra o somatoacuterio
sum resolve o somatoacuterio
Nuacutemeros
O MAPLE trabalha com os nuacutemeros de maneira exata Nenhuma aproximaccedilatildeo eacute feita
gt (253+59)^3
314432000729
Podemos ver que o resultado eacute um nuacutemero racional Para obter uma aproximaccedilatildeo decimal
devemos usar o comando evalf (evaluate in floating point)
gt evalf() 4313196159
O sinal de percentagem guarda o valor do uacuteltimo resultado calculado O uacuteltimo resultado
tem 10 diacutegitos (valor default) Podemos calcular com mais diacutegitos significativos por exemplo
com 30 diacutegitos
gt evalf[30]() 431319615912208504801097393690
A medida que formos explanando o assunto mostraremos outras maneiras de determinar a
quantidade de diacutegitos e outra maneira de ter resultados com casas decimais eacute entrar pelo
menos com um nuacutemero com casa decimal lembrando que no MAPLE o ponto substitui a
viacutergula
Representaccedilatildeo Interna de uma Expressatildeo
Descrevendo em detalhes a representaccedilatildeo interna de expressotildees no MAPLE
a) 1234 minusminusminus+ xxxx
gt poly=x^4+x^3-x^2-x-1
= poly + minus minus minus x4 x3 x2 x 1
b) ( )22 1+yx
gt x(y^2+1)^2
x ( ) + y2 12
c) 1
32
+minus
x
x
gt a=(x^2-3)(x+1)
= a minus x2 3 + x 1
d) 33 +x
gt sqrt(x^3+3)
+ x3 3
gt root[2](x^3+3)
+ x3 3
gt root(x^3+3 2)
+ x3 3
e) 5 2 2x minus
gt root[5](x^2-2)
( ) minus x2 2( )1 5
f) 332 γβα∆ +minus=
gt Delta=(alpha^2-beta^3+gamma^3)
= ∆ minus + α2 β3 γ3
g) 46 102103 sdot+sdot minus
gt 3exp(-6)+2exp(4)
+ 3 eeee( )-6
2 eeee4
h) 16 log2
gt log[2](16)
( )ln 16( )ln 2
gt log(16)log(2)
( )ln 16( )ln 2
OBS natildeo esqueccedila de apertar ENTER apoacutes digitar ( ) para confirmar
Resultado de uma Operaccedilatildeo
Uma vez descrita em detalhes uma expressatildeo no MAPLE colocado () apoacutes a descriccedilatildeo e
pressionado ENTER O programa pode
I Mostrar o resultado da operaccedilatildeo
a) x4log 3
2
1 =
gt log[12](root[3](4))
-23
b) Qual eacute o nuacutemero x expresso por 9850318 ++
gt sqrt(18)+3sqrt(50)+sqrt(98)
25 2
c) Determine o valor da cossec 6
π
gt csc(Pi6)
2
d) Calcule o valor da expressatildeo 0
0
24
12
12
minus
+
gt (2^0+12)(14-2^0)
-2
II Mostrar a expressatildeo (operaccedilatildeo) e esperar que vocecirc use um dos operadores para obter o
resultado esperado
a) Resolva a equaccedilatildeo 2x1x 48 ++ =
gt 8^(x+1)=4^(x+2)
= 8( ) + x 1
4( ) + x 2
gt simplify()
1
b) Resolva a equaccedilatildeo 81
13x =
gt 3^x=181
= 3x 181
gt solve()
minus( )ln 81( )ln 3
gt simplify()
-4
c) Encontrar o valor decimal da expressatildeo 3
1
gt a=1sqrt(3)
= a13
3
gt evalf(a)
5773502693
gt evalf(a5)
57736
gt evalf(a15)
577350269189626
d) Racionalize o denominador da expressatildeo 53
4
minus
gt 4(3-sqrt(5))
41
minus 3 5
gt rationalize()
+ 3 5
Atribuiccedilatildeo de Valores
Lembre-se para nunca atribuir valor a uma letra porque todas as vezes que ela aparecer o
valor seraacute usado na operaccedilatildeo
Ex
gt x=3
gt 2x+x^2
15
gt 5x-x
12
Quando isso acontecer digite a palavra restart para limpar a memoacuteria
gt restart
Expressotildees Algeacutebricas
Uma expressatildeo matemaacutetica que apresenta nuacutemeros e letras ou somente letras eacute denominada
expressatildeo algeacutebrica ou literal As letras que normalmente representam nuacutemeros reais satildeo
chamadas variaacuteveis Quando a expressatildeo algeacutebrica natildeo conteacutem variaacutevel ou variaacuteveis no
denominador eacute chamada expressatildeo algeacutebrica inteira quando conteacutem eacute chamada expressatildeo
algeacutebrica fracionaacuteria A seguir mostraremos as diversas operaccedilotildees com monocircmios e
polinocircmios e os respectivos operadores que satildeo utilizados no MAPLE para resolvecirc-los
Reduccedilatildeo de Polinocircmios
Numa expressatildeo algeacutebrica observando que o polinocircmio possui termos ou monocircmios
semelhantes podemos tornar mais simples a expressatildeo adicionando esses termos somando
algebricamente os coeficientes numeacutericos e mantendo a parte literal Natildeo esqueccedila que entre o
coeficiente numeacuterico e a parte literal existe o sinal de multiplicaccedilatildeo
Efetue xxxxx 9853 +minusminus+
gt 3x+5x-x-8x+9x
8 x
Resolva 2535132 222 minus+++minusminus+minus xxxxxx
gt 2x^2-3x+1-5x^2-x+3+5x+x^2-2
minus + + 2 x2 x 2
Atividade 1
Reduza os seguintes monocircmios utilizando o programa MAPLE
1) 4a ndash 5b ndash b + 2a ndash a
2) 222 y5yy3yy minus+minus+
3) 6tt5
45tt
2
1 22 minusminusminus
4) m4m6mm2mm 2323 minusminusminus++
5) x6
7x
3
2 minus
6) 7
y3x
5
4y
3
2x minus+minus
7) 3
2x5x
+minus
8) 22
x5
y4xx)(xy
5
2x minusminus+
Teste
Usando o Word com ajuda do equation editor para digitar e o MAPLE para resolver
responda as questotildees
1) 4
yx
3
y5x
6
yx
2
yx
4
y7x 3244324432
+minus+minus
2) 2
zxy
18
zxy
6
zxy 323232 minusminusminusminusminus
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para multiplicar dois ou mais monocircmios multiplicamos os coeficientes numeacutericos entre si e
multiplicamos as partes literais entre si lembrando a propriedade das potecircncias
0a com aaa nmnm ne=sdot +
Resolva ( ) ( )3223 52 zxyzyx minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x^3y^2z)(-5xy^2z^3)
minus10x4 y4 z4
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um monocircmio por um polinocircmio eacute feita multiplicando-se o monocircmio por
cada termo do polinocircmio
Resolva ( ) ( )232 24103 xyxyxyyx minusminus+minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(-3x^2y+10xy^3-4xy)
= a minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y
gt b=(-2xy^2)
= b minus2 x y2
gt ab
minus2 ( )minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y x y2
gt expand(ab)
minus + 6 x3 y3 20x2 y5 8 x2 y3
Resolva ( ) ( )2322 2453 axaxxaxa minusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt d=(3a^2x+5a^2x^3-4ax)(-2ax^2)
= d minus2 ( ) + minus 3 a2 x 5 a2 x3 4 a x a x2
gt expand(d)
minus minus + 6 a3 x3 10a3 x5 8 a2 x3
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um polinocircmio por outro polinocircmio eacute feita multiplicando-se cada termo (ou
monocircmio) de um deles pelos termos (ou monocircmios) do outro e reduzindo-se os termos
semelhantes (se houver)
Calcule ( ) ( )314 minus+ xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
3114
3124
311344
314
2
2
minusminusminus+minus
sdotminussdot+sdotminussdotminussdot+
xx
xxx
xxxx
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=(4x+1)(x-3)
= b ( ) + 4 x 1 ( ) minus x 3
gt expand(b)
minus minus 4 x2 11x 3
Atividade 2
Usando o programa MAPLE calcule
1) ( ) ( )2ax5abx3 minusminus
2)
minus
+ ab5
2cba
2
1 22
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
modalidade de ajuda consiste na procura por assunto No caso do MAPLE for Windows deve-
se clicar com o mouse no Help e depois Introduction (primeiro de cima para baixo) A nova
janela teraacute uma seccedilatildeo cinza na parte superior Clique em Mathematics por exemplo Na
segunda coluna procure por um sub-toacutepico e assim por diante Os usuaacuterios mais persistentes
podem procurar ajuda clicando em Topic Search ou Full Text Search depois de ter
clicado em Help
Apresentaremos uma introduccedilatildeo aos comandos baacutesicos para utilizar o programa MAPLE e
seus aplicativos graacuteficos no ensino fundamental e meacutedio
Operaccedilotildees Aritmeacuteticas
O MAPLE usa as operaccedilotildees na seguinte ordem
1deg potenciaccedilatildeo ( ^ ou )
2deg multiplicaccedilatildeo ( ) e divisatildeo ( )
3deg adiccedilatildeo ( + ) e subtraccedilatildeo ( )
Alguns Operadores
sqrt (lsquorsquo) raiz quadrada
gt sensor (soacute podemos digitar apoacutes o sensor)
resolve mas natildeo mostra
daacute a resposta e mostra na tela
= atribui nome a nuacutemero ou expressatildeo
gt restart limpa a memoacuteria
gt simplify (lsquorsquo) simplifica uma expressatildeo
gt expand (lsquorsquo) expande uma expressatildeo
gt solve (lsquorsquo) resolve uma equaccedilatildeo
Sum mostra o somatoacuterio
sum resolve o somatoacuterio
Nuacutemeros
O MAPLE trabalha com os nuacutemeros de maneira exata Nenhuma aproximaccedilatildeo eacute feita
gt (253+59)^3
314432000729
Podemos ver que o resultado eacute um nuacutemero racional Para obter uma aproximaccedilatildeo decimal
devemos usar o comando evalf (evaluate in floating point)
gt evalf() 4313196159
O sinal de percentagem guarda o valor do uacuteltimo resultado calculado O uacuteltimo resultado
tem 10 diacutegitos (valor default) Podemos calcular com mais diacutegitos significativos por exemplo
com 30 diacutegitos
gt evalf[30]() 431319615912208504801097393690
A medida que formos explanando o assunto mostraremos outras maneiras de determinar a
quantidade de diacutegitos e outra maneira de ter resultados com casas decimais eacute entrar pelo
menos com um nuacutemero com casa decimal lembrando que no MAPLE o ponto substitui a
viacutergula
Representaccedilatildeo Interna de uma Expressatildeo
Descrevendo em detalhes a representaccedilatildeo interna de expressotildees no MAPLE
a) 1234 minusminusminus+ xxxx
gt poly=x^4+x^3-x^2-x-1
= poly + minus minus minus x4 x3 x2 x 1
b) ( )22 1+yx
gt x(y^2+1)^2
x ( ) + y2 12
c) 1
32
+minus
x
x
gt a=(x^2-3)(x+1)
= a minus x2 3 + x 1
d) 33 +x
gt sqrt(x^3+3)
+ x3 3
gt root[2](x^3+3)
+ x3 3
gt root(x^3+3 2)
+ x3 3
e) 5 2 2x minus
gt root[5](x^2-2)
( ) minus x2 2( )1 5
f) 332 γβα∆ +minus=
gt Delta=(alpha^2-beta^3+gamma^3)
= ∆ minus + α2 β3 γ3
g) 46 102103 sdot+sdot minus
gt 3exp(-6)+2exp(4)
+ 3 eeee( )-6
2 eeee4
h) 16 log2
gt log[2](16)
( )ln 16( )ln 2
gt log(16)log(2)
( )ln 16( )ln 2
OBS natildeo esqueccedila de apertar ENTER apoacutes digitar ( ) para confirmar
Resultado de uma Operaccedilatildeo
Uma vez descrita em detalhes uma expressatildeo no MAPLE colocado () apoacutes a descriccedilatildeo e
pressionado ENTER O programa pode
I Mostrar o resultado da operaccedilatildeo
a) x4log 3
2
1 =
gt log[12](root[3](4))
-23
b) Qual eacute o nuacutemero x expresso por 9850318 ++
gt sqrt(18)+3sqrt(50)+sqrt(98)
25 2
c) Determine o valor da cossec 6
π
gt csc(Pi6)
2
d) Calcule o valor da expressatildeo 0
0
24
12
12
minus
+
gt (2^0+12)(14-2^0)
-2
II Mostrar a expressatildeo (operaccedilatildeo) e esperar que vocecirc use um dos operadores para obter o
resultado esperado
a) Resolva a equaccedilatildeo 2x1x 48 ++ =
gt 8^(x+1)=4^(x+2)
= 8( ) + x 1
4( ) + x 2
gt simplify()
1
b) Resolva a equaccedilatildeo 81
13x =
gt 3^x=181
= 3x 181
gt solve()
minus( )ln 81( )ln 3
gt simplify()
-4
c) Encontrar o valor decimal da expressatildeo 3
1
gt a=1sqrt(3)
= a13
3
gt evalf(a)
5773502693
gt evalf(a5)
57736
gt evalf(a15)
577350269189626
d) Racionalize o denominador da expressatildeo 53
4
minus
gt 4(3-sqrt(5))
41
minus 3 5
gt rationalize()
+ 3 5
Atribuiccedilatildeo de Valores
Lembre-se para nunca atribuir valor a uma letra porque todas as vezes que ela aparecer o
valor seraacute usado na operaccedilatildeo
Ex
gt x=3
gt 2x+x^2
15
gt 5x-x
12
Quando isso acontecer digite a palavra restart para limpar a memoacuteria
gt restart
Expressotildees Algeacutebricas
Uma expressatildeo matemaacutetica que apresenta nuacutemeros e letras ou somente letras eacute denominada
expressatildeo algeacutebrica ou literal As letras que normalmente representam nuacutemeros reais satildeo
chamadas variaacuteveis Quando a expressatildeo algeacutebrica natildeo conteacutem variaacutevel ou variaacuteveis no
denominador eacute chamada expressatildeo algeacutebrica inteira quando conteacutem eacute chamada expressatildeo
algeacutebrica fracionaacuteria A seguir mostraremos as diversas operaccedilotildees com monocircmios e
polinocircmios e os respectivos operadores que satildeo utilizados no MAPLE para resolvecirc-los
Reduccedilatildeo de Polinocircmios
Numa expressatildeo algeacutebrica observando que o polinocircmio possui termos ou monocircmios
semelhantes podemos tornar mais simples a expressatildeo adicionando esses termos somando
algebricamente os coeficientes numeacutericos e mantendo a parte literal Natildeo esqueccedila que entre o
coeficiente numeacuterico e a parte literal existe o sinal de multiplicaccedilatildeo
Efetue xxxxx 9853 +minusminus+
gt 3x+5x-x-8x+9x
8 x
Resolva 2535132 222 minus+++minusminus+minus xxxxxx
gt 2x^2-3x+1-5x^2-x+3+5x+x^2-2
minus + + 2 x2 x 2
Atividade 1
Reduza os seguintes monocircmios utilizando o programa MAPLE
1) 4a ndash 5b ndash b + 2a ndash a
2) 222 y5yy3yy minus+minus+
3) 6tt5
45tt
2
1 22 minusminusminus
4) m4m6mm2mm 2323 minusminusminus++
5) x6
7x
3
2 minus
6) 7
y3x
5
4y
3
2x minus+minus
7) 3
2x5x
+minus
8) 22
x5
y4xx)(xy
5
2x minusminus+
Teste
Usando o Word com ajuda do equation editor para digitar e o MAPLE para resolver
responda as questotildees
1) 4
yx
3
y5x
6
yx
2
yx
4
y7x 3244324432
+minus+minus
2) 2
zxy
18
zxy
6
zxy 323232 minusminusminusminusminus
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para multiplicar dois ou mais monocircmios multiplicamos os coeficientes numeacutericos entre si e
multiplicamos as partes literais entre si lembrando a propriedade das potecircncias
0a com aaa nmnm ne=sdot +
Resolva ( ) ( )3223 52 zxyzyx minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x^3y^2z)(-5xy^2z^3)
minus10x4 y4 z4
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um monocircmio por um polinocircmio eacute feita multiplicando-se o monocircmio por
cada termo do polinocircmio
Resolva ( ) ( )232 24103 xyxyxyyx minusminus+minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(-3x^2y+10xy^3-4xy)
= a minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y
gt b=(-2xy^2)
= b minus2 x y2
gt ab
minus2 ( )minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y x y2
gt expand(ab)
minus + 6 x3 y3 20x2 y5 8 x2 y3
Resolva ( ) ( )2322 2453 axaxxaxa minusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt d=(3a^2x+5a^2x^3-4ax)(-2ax^2)
= d minus2 ( ) + minus 3 a2 x 5 a2 x3 4 a x a x2
gt expand(d)
minus minus + 6 a3 x3 10a3 x5 8 a2 x3
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um polinocircmio por outro polinocircmio eacute feita multiplicando-se cada termo (ou
monocircmio) de um deles pelos termos (ou monocircmios) do outro e reduzindo-se os termos
semelhantes (se houver)
Calcule ( ) ( )314 minus+ xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
3114
3124
311344
314
2
2
minusminusminus+minus
sdotminussdot+sdotminussdotminussdot+
xx
xxx
xxxx
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=(4x+1)(x-3)
= b ( ) + 4 x 1 ( ) minus x 3
gt expand(b)
minus minus 4 x2 11x 3
Atividade 2
Usando o programa MAPLE calcule
1) ( ) ( )2ax5abx3 minusminus
2)
minus
+ ab5
2cba
2
1 22
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
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matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
314432000729
Podemos ver que o resultado eacute um nuacutemero racional Para obter uma aproximaccedilatildeo decimal
devemos usar o comando evalf (evaluate in floating point)
gt evalf() 4313196159
O sinal de percentagem guarda o valor do uacuteltimo resultado calculado O uacuteltimo resultado
tem 10 diacutegitos (valor default) Podemos calcular com mais diacutegitos significativos por exemplo
com 30 diacutegitos
gt evalf[30]() 431319615912208504801097393690
A medida que formos explanando o assunto mostraremos outras maneiras de determinar a
quantidade de diacutegitos e outra maneira de ter resultados com casas decimais eacute entrar pelo
menos com um nuacutemero com casa decimal lembrando que no MAPLE o ponto substitui a
viacutergula
Representaccedilatildeo Interna de uma Expressatildeo
Descrevendo em detalhes a representaccedilatildeo interna de expressotildees no MAPLE
a) 1234 minusminusminus+ xxxx
gt poly=x^4+x^3-x^2-x-1
= poly + minus minus minus x4 x3 x2 x 1
b) ( )22 1+yx
gt x(y^2+1)^2
x ( ) + y2 12
c) 1
32
+minus
x
x
gt a=(x^2-3)(x+1)
= a minus x2 3 + x 1
d) 33 +x
gt sqrt(x^3+3)
+ x3 3
gt root[2](x^3+3)
+ x3 3
gt root(x^3+3 2)
+ x3 3
e) 5 2 2x minus
gt root[5](x^2-2)
( ) minus x2 2( )1 5
f) 332 γβα∆ +minus=
gt Delta=(alpha^2-beta^3+gamma^3)
= ∆ minus + α2 β3 γ3
g) 46 102103 sdot+sdot minus
gt 3exp(-6)+2exp(4)
+ 3 eeee( )-6
2 eeee4
h) 16 log2
gt log[2](16)
( )ln 16( )ln 2
gt log(16)log(2)
( )ln 16( )ln 2
OBS natildeo esqueccedila de apertar ENTER apoacutes digitar ( ) para confirmar
Resultado de uma Operaccedilatildeo
Uma vez descrita em detalhes uma expressatildeo no MAPLE colocado () apoacutes a descriccedilatildeo e
pressionado ENTER O programa pode
I Mostrar o resultado da operaccedilatildeo
a) x4log 3
2
1 =
gt log[12](root[3](4))
-23
b) Qual eacute o nuacutemero x expresso por 9850318 ++
gt sqrt(18)+3sqrt(50)+sqrt(98)
25 2
c) Determine o valor da cossec 6
π
gt csc(Pi6)
2
d) Calcule o valor da expressatildeo 0
0
24
12
12
minus
+
gt (2^0+12)(14-2^0)
-2
II Mostrar a expressatildeo (operaccedilatildeo) e esperar que vocecirc use um dos operadores para obter o
resultado esperado
a) Resolva a equaccedilatildeo 2x1x 48 ++ =
gt 8^(x+1)=4^(x+2)
= 8( ) + x 1
4( ) + x 2
gt simplify()
1
b) Resolva a equaccedilatildeo 81
13x =
gt 3^x=181
= 3x 181
gt solve()
minus( )ln 81( )ln 3
gt simplify()
-4
c) Encontrar o valor decimal da expressatildeo 3
1
gt a=1sqrt(3)
= a13
3
gt evalf(a)
5773502693
gt evalf(a5)
57736
gt evalf(a15)
577350269189626
d) Racionalize o denominador da expressatildeo 53
4
minus
gt 4(3-sqrt(5))
41
minus 3 5
gt rationalize()
+ 3 5
Atribuiccedilatildeo de Valores
Lembre-se para nunca atribuir valor a uma letra porque todas as vezes que ela aparecer o
valor seraacute usado na operaccedilatildeo
Ex
gt x=3
gt 2x+x^2
15
gt 5x-x
12
Quando isso acontecer digite a palavra restart para limpar a memoacuteria
gt restart
Expressotildees Algeacutebricas
Uma expressatildeo matemaacutetica que apresenta nuacutemeros e letras ou somente letras eacute denominada
expressatildeo algeacutebrica ou literal As letras que normalmente representam nuacutemeros reais satildeo
chamadas variaacuteveis Quando a expressatildeo algeacutebrica natildeo conteacutem variaacutevel ou variaacuteveis no
denominador eacute chamada expressatildeo algeacutebrica inteira quando conteacutem eacute chamada expressatildeo
algeacutebrica fracionaacuteria A seguir mostraremos as diversas operaccedilotildees com monocircmios e
polinocircmios e os respectivos operadores que satildeo utilizados no MAPLE para resolvecirc-los
Reduccedilatildeo de Polinocircmios
Numa expressatildeo algeacutebrica observando que o polinocircmio possui termos ou monocircmios
semelhantes podemos tornar mais simples a expressatildeo adicionando esses termos somando
algebricamente os coeficientes numeacutericos e mantendo a parte literal Natildeo esqueccedila que entre o
coeficiente numeacuterico e a parte literal existe o sinal de multiplicaccedilatildeo
Efetue xxxxx 9853 +minusminus+
gt 3x+5x-x-8x+9x
8 x
Resolva 2535132 222 minus+++minusminus+minus xxxxxx
gt 2x^2-3x+1-5x^2-x+3+5x+x^2-2
minus + + 2 x2 x 2
Atividade 1
Reduza os seguintes monocircmios utilizando o programa MAPLE
1) 4a ndash 5b ndash b + 2a ndash a
2) 222 y5yy3yy minus+minus+
3) 6tt5
45tt
2
1 22 minusminusminus
4) m4m6mm2mm 2323 minusminusminus++
5) x6
7x
3
2 minus
6) 7
y3x
5
4y
3
2x minus+minus
7) 3
2x5x
+minus
8) 22
x5
y4xx)(xy
5
2x minusminus+
Teste
Usando o Word com ajuda do equation editor para digitar e o MAPLE para resolver
responda as questotildees
1) 4
yx
3
y5x
6
yx
2
yx
4
y7x 3244324432
+minus+minus
2) 2
zxy
18
zxy
6
zxy 323232 minusminusminusminusminus
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para multiplicar dois ou mais monocircmios multiplicamos os coeficientes numeacutericos entre si e
multiplicamos as partes literais entre si lembrando a propriedade das potecircncias
0a com aaa nmnm ne=sdot +
Resolva ( ) ( )3223 52 zxyzyx minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x^3y^2z)(-5xy^2z^3)
minus10x4 y4 z4
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um monocircmio por um polinocircmio eacute feita multiplicando-se o monocircmio por
cada termo do polinocircmio
Resolva ( ) ( )232 24103 xyxyxyyx minusminus+minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(-3x^2y+10xy^3-4xy)
= a minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y
gt b=(-2xy^2)
= b minus2 x y2
gt ab
minus2 ( )minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y x y2
gt expand(ab)
minus + 6 x3 y3 20x2 y5 8 x2 y3
Resolva ( ) ( )2322 2453 axaxxaxa minusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt d=(3a^2x+5a^2x^3-4ax)(-2ax^2)
= d minus2 ( ) + minus 3 a2 x 5 a2 x3 4 a x a x2
gt expand(d)
minus minus + 6 a3 x3 10a3 x5 8 a2 x3
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um polinocircmio por outro polinocircmio eacute feita multiplicando-se cada termo (ou
monocircmio) de um deles pelos termos (ou monocircmios) do outro e reduzindo-se os termos
semelhantes (se houver)
Calcule ( ) ( )314 minus+ xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
3114
3124
311344
314
2
2
minusminusminus+minus
sdotminussdot+sdotminussdotminussdot+
xx
xxx
xxxx
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=(4x+1)(x-3)
= b ( ) + 4 x 1 ( ) minus x 3
gt expand(b)
minus minus 4 x2 11x 3
Atividade 2
Usando o programa MAPLE calcule
1) ( ) ( )2ax5abx3 minusminus
2)
minus
+ ab5
2cba
2
1 22
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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1998 Cap 1-5
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GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
gt root[2](x^3+3)
+ x3 3
gt root(x^3+3 2)
+ x3 3
e) 5 2 2x minus
gt root[5](x^2-2)
( ) minus x2 2( )1 5
f) 332 γβα∆ +minus=
gt Delta=(alpha^2-beta^3+gamma^3)
= ∆ minus + α2 β3 γ3
g) 46 102103 sdot+sdot minus
gt 3exp(-6)+2exp(4)
+ 3 eeee( )-6
2 eeee4
h) 16 log2
gt log[2](16)
( )ln 16( )ln 2
gt log(16)log(2)
( )ln 16( )ln 2
OBS natildeo esqueccedila de apertar ENTER apoacutes digitar ( ) para confirmar
Resultado de uma Operaccedilatildeo
Uma vez descrita em detalhes uma expressatildeo no MAPLE colocado () apoacutes a descriccedilatildeo e
pressionado ENTER O programa pode
I Mostrar o resultado da operaccedilatildeo
a) x4log 3
2
1 =
gt log[12](root[3](4))
-23
b) Qual eacute o nuacutemero x expresso por 9850318 ++
gt sqrt(18)+3sqrt(50)+sqrt(98)
25 2
c) Determine o valor da cossec 6
π
gt csc(Pi6)
2
d) Calcule o valor da expressatildeo 0
0
24
12
12
minus
+
gt (2^0+12)(14-2^0)
-2
II Mostrar a expressatildeo (operaccedilatildeo) e esperar que vocecirc use um dos operadores para obter o
resultado esperado
a) Resolva a equaccedilatildeo 2x1x 48 ++ =
gt 8^(x+1)=4^(x+2)
= 8( ) + x 1
4( ) + x 2
gt simplify()
1
b) Resolva a equaccedilatildeo 81
13x =
gt 3^x=181
= 3x 181
gt solve()
minus( )ln 81( )ln 3
gt simplify()
-4
c) Encontrar o valor decimal da expressatildeo 3
1
gt a=1sqrt(3)
= a13
3
gt evalf(a)
5773502693
gt evalf(a5)
57736
gt evalf(a15)
577350269189626
d) Racionalize o denominador da expressatildeo 53
4
minus
gt 4(3-sqrt(5))
41
minus 3 5
gt rationalize()
+ 3 5
Atribuiccedilatildeo de Valores
Lembre-se para nunca atribuir valor a uma letra porque todas as vezes que ela aparecer o
valor seraacute usado na operaccedilatildeo
Ex
gt x=3
gt 2x+x^2
15
gt 5x-x
12
Quando isso acontecer digite a palavra restart para limpar a memoacuteria
gt restart
Expressotildees Algeacutebricas
Uma expressatildeo matemaacutetica que apresenta nuacutemeros e letras ou somente letras eacute denominada
expressatildeo algeacutebrica ou literal As letras que normalmente representam nuacutemeros reais satildeo
chamadas variaacuteveis Quando a expressatildeo algeacutebrica natildeo conteacutem variaacutevel ou variaacuteveis no
denominador eacute chamada expressatildeo algeacutebrica inteira quando conteacutem eacute chamada expressatildeo
algeacutebrica fracionaacuteria A seguir mostraremos as diversas operaccedilotildees com monocircmios e
polinocircmios e os respectivos operadores que satildeo utilizados no MAPLE para resolvecirc-los
Reduccedilatildeo de Polinocircmios
Numa expressatildeo algeacutebrica observando que o polinocircmio possui termos ou monocircmios
semelhantes podemos tornar mais simples a expressatildeo adicionando esses termos somando
algebricamente os coeficientes numeacutericos e mantendo a parte literal Natildeo esqueccedila que entre o
coeficiente numeacuterico e a parte literal existe o sinal de multiplicaccedilatildeo
Efetue xxxxx 9853 +minusminus+
gt 3x+5x-x-8x+9x
8 x
Resolva 2535132 222 minus+++minusminus+minus xxxxxx
gt 2x^2-3x+1-5x^2-x+3+5x+x^2-2
minus + + 2 x2 x 2
Atividade 1
Reduza os seguintes monocircmios utilizando o programa MAPLE
1) 4a ndash 5b ndash b + 2a ndash a
2) 222 y5yy3yy minus+minus+
3) 6tt5
45tt
2
1 22 minusminusminus
4) m4m6mm2mm 2323 minusminusminus++
5) x6
7x
3
2 minus
6) 7
y3x
5
4y
3
2x minus+minus
7) 3
2x5x
+minus
8) 22
x5
y4xx)(xy
5
2x minusminus+
Teste
Usando o Word com ajuda do equation editor para digitar e o MAPLE para resolver
responda as questotildees
1) 4
yx
3
y5x
6
yx
2
yx
4
y7x 3244324432
+minus+minus
2) 2
zxy
18
zxy
6
zxy 323232 minusminusminusminusminus
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para multiplicar dois ou mais monocircmios multiplicamos os coeficientes numeacutericos entre si e
multiplicamos as partes literais entre si lembrando a propriedade das potecircncias
0a com aaa nmnm ne=sdot +
Resolva ( ) ( )3223 52 zxyzyx minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x^3y^2z)(-5xy^2z^3)
minus10x4 y4 z4
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um monocircmio por um polinocircmio eacute feita multiplicando-se o monocircmio por
cada termo do polinocircmio
Resolva ( ) ( )232 24103 xyxyxyyx minusminus+minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(-3x^2y+10xy^3-4xy)
= a minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y
gt b=(-2xy^2)
= b minus2 x y2
gt ab
minus2 ( )minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y x y2
gt expand(ab)
minus + 6 x3 y3 20x2 y5 8 x2 y3
Resolva ( ) ( )2322 2453 axaxxaxa minusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt d=(3a^2x+5a^2x^3-4ax)(-2ax^2)
= d minus2 ( ) + minus 3 a2 x 5 a2 x3 4 a x a x2
gt expand(d)
minus minus + 6 a3 x3 10a3 x5 8 a2 x3
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um polinocircmio por outro polinocircmio eacute feita multiplicando-se cada termo (ou
monocircmio) de um deles pelos termos (ou monocircmios) do outro e reduzindo-se os termos
semelhantes (se houver)
Calcule ( ) ( )314 minus+ xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
3114
3124
311344
314
2
2
minusminusminus+minus
sdotminussdot+sdotminussdotminussdot+
xx
xxx
xxxx
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=(4x+1)(x-3)
= b ( ) + 4 x 1 ( ) minus x 3
gt expand(b)
minus minus 4 x2 11x 3
Atividade 2
Usando o programa MAPLE calcule
1) ( ) ( )2ax5abx3 minusminus
2)
minus
+ ab5
2cba
2
1 22
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
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Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
b) Qual eacute o nuacutemero x expresso por 9850318 ++
gt sqrt(18)+3sqrt(50)+sqrt(98)
25 2
c) Determine o valor da cossec 6
π
gt csc(Pi6)
2
d) Calcule o valor da expressatildeo 0
0
24
12
12
minus
+
gt (2^0+12)(14-2^0)
-2
II Mostrar a expressatildeo (operaccedilatildeo) e esperar que vocecirc use um dos operadores para obter o
resultado esperado
a) Resolva a equaccedilatildeo 2x1x 48 ++ =
gt 8^(x+1)=4^(x+2)
= 8( ) + x 1
4( ) + x 2
gt simplify()
1
b) Resolva a equaccedilatildeo 81
13x =
gt 3^x=181
= 3x 181
gt solve()
minus( )ln 81( )ln 3
gt simplify()
-4
c) Encontrar o valor decimal da expressatildeo 3
1
gt a=1sqrt(3)
= a13
3
gt evalf(a)
5773502693
gt evalf(a5)
57736
gt evalf(a15)
577350269189626
d) Racionalize o denominador da expressatildeo 53
4
minus
gt 4(3-sqrt(5))
41
minus 3 5
gt rationalize()
+ 3 5
Atribuiccedilatildeo de Valores
Lembre-se para nunca atribuir valor a uma letra porque todas as vezes que ela aparecer o
valor seraacute usado na operaccedilatildeo
Ex
gt x=3
gt 2x+x^2
15
gt 5x-x
12
Quando isso acontecer digite a palavra restart para limpar a memoacuteria
gt restart
Expressotildees Algeacutebricas
Uma expressatildeo matemaacutetica que apresenta nuacutemeros e letras ou somente letras eacute denominada
expressatildeo algeacutebrica ou literal As letras que normalmente representam nuacutemeros reais satildeo
chamadas variaacuteveis Quando a expressatildeo algeacutebrica natildeo conteacutem variaacutevel ou variaacuteveis no
denominador eacute chamada expressatildeo algeacutebrica inteira quando conteacutem eacute chamada expressatildeo
algeacutebrica fracionaacuteria A seguir mostraremos as diversas operaccedilotildees com monocircmios e
polinocircmios e os respectivos operadores que satildeo utilizados no MAPLE para resolvecirc-los
Reduccedilatildeo de Polinocircmios
Numa expressatildeo algeacutebrica observando que o polinocircmio possui termos ou monocircmios
semelhantes podemos tornar mais simples a expressatildeo adicionando esses termos somando
algebricamente os coeficientes numeacutericos e mantendo a parte literal Natildeo esqueccedila que entre o
coeficiente numeacuterico e a parte literal existe o sinal de multiplicaccedilatildeo
Efetue xxxxx 9853 +minusminus+
gt 3x+5x-x-8x+9x
8 x
Resolva 2535132 222 minus+++minusminus+minus xxxxxx
gt 2x^2-3x+1-5x^2-x+3+5x+x^2-2
minus + + 2 x2 x 2
Atividade 1
Reduza os seguintes monocircmios utilizando o programa MAPLE
1) 4a ndash 5b ndash b + 2a ndash a
2) 222 y5yy3yy minus+minus+
3) 6tt5
45tt
2
1 22 minusminusminus
4) m4m6mm2mm 2323 minusminusminus++
5) x6
7x
3
2 minus
6) 7
y3x
5
4y
3
2x minus+minus
7) 3
2x5x
+minus
8) 22
x5
y4xx)(xy
5
2x minusminus+
Teste
Usando o Word com ajuda do equation editor para digitar e o MAPLE para resolver
responda as questotildees
1) 4
yx
3
y5x
6
yx
2
yx
4
y7x 3244324432
+minus+minus
2) 2
zxy
18
zxy
6
zxy 323232 minusminusminusminusminus
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para multiplicar dois ou mais monocircmios multiplicamos os coeficientes numeacutericos entre si e
multiplicamos as partes literais entre si lembrando a propriedade das potecircncias
0a com aaa nmnm ne=sdot +
Resolva ( ) ( )3223 52 zxyzyx minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x^3y^2z)(-5xy^2z^3)
minus10x4 y4 z4
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um monocircmio por um polinocircmio eacute feita multiplicando-se o monocircmio por
cada termo do polinocircmio
Resolva ( ) ( )232 24103 xyxyxyyx minusminus+minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(-3x^2y+10xy^3-4xy)
= a minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y
gt b=(-2xy^2)
= b minus2 x y2
gt ab
minus2 ( )minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y x y2
gt expand(ab)
minus + 6 x3 y3 20x2 y5 8 x2 y3
Resolva ( ) ( )2322 2453 axaxxaxa minusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt d=(3a^2x+5a^2x^3-4ax)(-2ax^2)
= d minus2 ( ) + minus 3 a2 x 5 a2 x3 4 a x a x2
gt expand(d)
minus minus + 6 a3 x3 10a3 x5 8 a2 x3
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um polinocircmio por outro polinocircmio eacute feita multiplicando-se cada termo (ou
monocircmio) de um deles pelos termos (ou monocircmios) do outro e reduzindo-se os termos
semelhantes (se houver)
Calcule ( ) ( )314 minus+ xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
3114
3124
311344
314
2
2
minusminusminus+minus
sdotminussdot+sdotminussdotminussdot+
xx
xxx
xxxx
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=(4x+1)(x-3)
= b ( ) + 4 x 1 ( ) minus x 3
gt expand(b)
minus minus 4 x2 11x 3
Atividade 2
Usando o programa MAPLE calcule
1) ( ) ( )2ax5abx3 minusminus
2)
minus
+ ab5
2cba
2
1 22
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
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Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
= a13
3
gt evalf(a)
5773502693
gt evalf(a5)
57736
gt evalf(a15)
577350269189626
d) Racionalize o denominador da expressatildeo 53
4
minus
gt 4(3-sqrt(5))
41
minus 3 5
gt rationalize()
+ 3 5
Atribuiccedilatildeo de Valores
Lembre-se para nunca atribuir valor a uma letra porque todas as vezes que ela aparecer o
valor seraacute usado na operaccedilatildeo
Ex
gt x=3
gt 2x+x^2
15
gt 5x-x
12
Quando isso acontecer digite a palavra restart para limpar a memoacuteria
gt restart
Expressotildees Algeacutebricas
Uma expressatildeo matemaacutetica que apresenta nuacutemeros e letras ou somente letras eacute denominada
expressatildeo algeacutebrica ou literal As letras que normalmente representam nuacutemeros reais satildeo
chamadas variaacuteveis Quando a expressatildeo algeacutebrica natildeo conteacutem variaacutevel ou variaacuteveis no
denominador eacute chamada expressatildeo algeacutebrica inteira quando conteacutem eacute chamada expressatildeo
algeacutebrica fracionaacuteria A seguir mostraremos as diversas operaccedilotildees com monocircmios e
polinocircmios e os respectivos operadores que satildeo utilizados no MAPLE para resolvecirc-los
Reduccedilatildeo de Polinocircmios
Numa expressatildeo algeacutebrica observando que o polinocircmio possui termos ou monocircmios
semelhantes podemos tornar mais simples a expressatildeo adicionando esses termos somando
algebricamente os coeficientes numeacutericos e mantendo a parte literal Natildeo esqueccedila que entre o
coeficiente numeacuterico e a parte literal existe o sinal de multiplicaccedilatildeo
Efetue xxxxx 9853 +minusminus+
gt 3x+5x-x-8x+9x
8 x
Resolva 2535132 222 minus+++minusminus+minus xxxxxx
gt 2x^2-3x+1-5x^2-x+3+5x+x^2-2
minus + + 2 x2 x 2
Atividade 1
Reduza os seguintes monocircmios utilizando o programa MAPLE
1) 4a ndash 5b ndash b + 2a ndash a
2) 222 y5yy3yy minus+minus+
3) 6tt5
45tt
2
1 22 minusminusminus
4) m4m6mm2mm 2323 minusminusminus++
5) x6
7x
3
2 minus
6) 7
y3x
5
4y
3
2x minus+minus
7) 3
2x5x
+minus
8) 22
x5
y4xx)(xy
5
2x minusminus+
Teste
Usando o Word com ajuda do equation editor para digitar e o MAPLE para resolver
responda as questotildees
1) 4
yx
3
y5x
6
yx
2
yx
4
y7x 3244324432
+minus+minus
2) 2
zxy
18
zxy
6
zxy 323232 minusminusminusminusminus
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para multiplicar dois ou mais monocircmios multiplicamos os coeficientes numeacutericos entre si e
multiplicamos as partes literais entre si lembrando a propriedade das potecircncias
0a com aaa nmnm ne=sdot +
Resolva ( ) ( )3223 52 zxyzyx minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x^3y^2z)(-5xy^2z^3)
minus10x4 y4 z4
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um monocircmio por um polinocircmio eacute feita multiplicando-se o monocircmio por
cada termo do polinocircmio
Resolva ( ) ( )232 24103 xyxyxyyx minusminus+minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(-3x^2y+10xy^3-4xy)
= a minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y
gt b=(-2xy^2)
= b minus2 x y2
gt ab
minus2 ( )minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y x y2
gt expand(ab)
minus + 6 x3 y3 20x2 y5 8 x2 y3
Resolva ( ) ( )2322 2453 axaxxaxa minusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt d=(3a^2x+5a^2x^3-4ax)(-2ax^2)
= d minus2 ( ) + minus 3 a2 x 5 a2 x3 4 a x a x2
gt expand(d)
minus minus + 6 a3 x3 10a3 x5 8 a2 x3
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um polinocircmio por outro polinocircmio eacute feita multiplicando-se cada termo (ou
monocircmio) de um deles pelos termos (ou monocircmios) do outro e reduzindo-se os termos
semelhantes (se houver)
Calcule ( ) ( )314 minus+ xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
3114
3124
311344
314
2
2
minusminusminus+minus
sdotminussdot+sdotminussdotminussdot+
xx
xxx
xxxx
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=(4x+1)(x-3)
= b ( ) + 4 x 1 ( ) minus x 3
gt expand(b)
minus minus 4 x2 11x 3
Atividade 2
Usando o programa MAPLE calcule
1) ( ) ( )2ax5abx3 minusminus
2)
minus
+ ab5
2cba
2
1 22
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
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GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
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FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
denominador eacute chamada expressatildeo algeacutebrica inteira quando conteacutem eacute chamada expressatildeo
algeacutebrica fracionaacuteria A seguir mostraremos as diversas operaccedilotildees com monocircmios e
polinocircmios e os respectivos operadores que satildeo utilizados no MAPLE para resolvecirc-los
Reduccedilatildeo de Polinocircmios
Numa expressatildeo algeacutebrica observando que o polinocircmio possui termos ou monocircmios
semelhantes podemos tornar mais simples a expressatildeo adicionando esses termos somando
algebricamente os coeficientes numeacutericos e mantendo a parte literal Natildeo esqueccedila que entre o
coeficiente numeacuterico e a parte literal existe o sinal de multiplicaccedilatildeo
Efetue xxxxx 9853 +minusminus+
gt 3x+5x-x-8x+9x
8 x
Resolva 2535132 222 minus+++minusminus+minus xxxxxx
gt 2x^2-3x+1-5x^2-x+3+5x+x^2-2
minus + + 2 x2 x 2
Atividade 1
Reduza os seguintes monocircmios utilizando o programa MAPLE
1) 4a ndash 5b ndash b + 2a ndash a
2) 222 y5yy3yy minus+minus+
3) 6tt5
45tt
2
1 22 minusminusminus
4) m4m6mm2mm 2323 minusminusminus++
5) x6
7x
3
2 minus
6) 7
y3x
5
4y
3
2x minus+minus
7) 3
2x5x
+minus
8) 22
x5
y4xx)(xy
5
2x minusminus+
Teste
Usando o Word com ajuda do equation editor para digitar e o MAPLE para resolver
responda as questotildees
1) 4
yx
3
y5x
6
yx
2
yx
4
y7x 3244324432
+minus+minus
2) 2
zxy
18
zxy
6
zxy 323232 minusminusminusminusminus
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para multiplicar dois ou mais monocircmios multiplicamos os coeficientes numeacutericos entre si e
multiplicamos as partes literais entre si lembrando a propriedade das potecircncias
0a com aaa nmnm ne=sdot +
Resolva ( ) ( )3223 52 zxyzyx minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x^3y^2z)(-5xy^2z^3)
minus10x4 y4 z4
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um monocircmio por um polinocircmio eacute feita multiplicando-se o monocircmio por
cada termo do polinocircmio
Resolva ( ) ( )232 24103 xyxyxyyx minusminus+minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(-3x^2y+10xy^3-4xy)
= a minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y
gt b=(-2xy^2)
= b minus2 x y2
gt ab
minus2 ( )minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y x y2
gt expand(ab)
minus + 6 x3 y3 20x2 y5 8 x2 y3
Resolva ( ) ( )2322 2453 axaxxaxa minusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt d=(3a^2x+5a^2x^3-4ax)(-2ax^2)
= d minus2 ( ) + minus 3 a2 x 5 a2 x3 4 a x a x2
gt expand(d)
minus minus + 6 a3 x3 10a3 x5 8 a2 x3
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um polinocircmio por outro polinocircmio eacute feita multiplicando-se cada termo (ou
monocircmio) de um deles pelos termos (ou monocircmios) do outro e reduzindo-se os termos
semelhantes (se houver)
Calcule ( ) ( )314 minus+ xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
3114
3124
311344
314
2
2
minusminusminus+minus
sdotminussdot+sdotminussdotminussdot+
xx
xxx
xxxx
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=(4x+1)(x-3)
= b ( ) + 4 x 1 ( ) minus x 3
gt expand(b)
minus minus 4 x2 11x 3
Atividade 2
Usando o programa MAPLE calcule
1) ( ) ( )2ax5abx3 minusminus
2)
minus
+ ab5
2cba
2
1 22
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
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DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
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ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Teste
Usando o Word com ajuda do equation editor para digitar e o MAPLE para resolver
responda as questotildees
1) 4
yx
3
y5x
6
yx
2
yx
4
y7x 3244324432
+minus+minus
2) 2
zxy
18
zxy
6
zxy 323232 minusminusminusminusminus
Multiplicaccedilatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para multiplicar dois ou mais monocircmios multiplicamos os coeficientes numeacutericos entre si e
multiplicamos as partes literais entre si lembrando a propriedade das potecircncias
0a com aaa nmnm ne=sdot +
Resolva ( ) ( )3223 52 zxyzyx minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x^3y^2z)(-5xy^2z^3)
minus10x4 y4 z4
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Monocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um monocircmio por um polinocircmio eacute feita multiplicando-se o monocircmio por
cada termo do polinocircmio
Resolva ( ) ( )232 24103 xyxyxyyx minusminus+minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(-3x^2y+10xy^3-4xy)
= a minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y
gt b=(-2xy^2)
= b minus2 x y2
gt ab
minus2 ( )minus + minus 3 x2 y 10x y3 4 x y x y2
gt expand(ab)
minus + 6 x3 y3 20x2 y5 8 x2 y3
Resolva ( ) ( )2322 2453 axaxxaxa minusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt d=(3a^2x+5a^2x^3-4ax)(-2ax^2)
= d minus2 ( ) + minus 3 a2 x 5 a2 x3 4 a x a x2
gt expand(d)
minus minus + 6 a3 x3 10a3 x5 8 a2 x3
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um polinocircmio por outro polinocircmio eacute feita multiplicando-se cada termo (ou
monocircmio) de um deles pelos termos (ou monocircmios) do outro e reduzindo-se os termos
semelhantes (se houver)
Calcule ( ) ( )314 minus+ xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
3114
3124
311344
314
2
2
minusminusminus+minus
sdotminussdot+sdotminussdotminussdot+
xx
xxx
xxxx
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=(4x+1)(x-3)
= b ( ) + 4 x 1 ( ) minus x 3
gt expand(b)
minus minus 4 x2 11x 3
Atividade 2
Usando o programa MAPLE calcule
1) ( ) ( )2ax5abx3 minusminus
2)
minus
+ ab5
2cba
2
1 22
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
minus + 6 x3 y3 20x2 y5 8 x2 y3
Resolva ( ) ( )2322 2453 axaxxaxa minusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt d=(3a^2x+5a^2x^3-4ax)(-2ax^2)
= d minus2 ( ) + minus 3 a2 x 5 a2 x3 4 a x a x2
gt expand(d)
minus minus + 6 a3 x3 10a3 x5 8 a2 x3
Multiplicaccedilatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
A multiplicaccedilatildeo de um polinocircmio por outro polinocircmio eacute feita multiplicando-se cada termo (ou
monocircmio) de um deles pelos termos (ou monocircmios) do outro e reduzindo-se os termos
semelhantes (se houver)
Calcule ( ) ( )314 minus+ xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
3114
3124
311344
314
2
2
minusminusminus+minus
sdotminussdot+sdotminussdotminussdot+
xx
xxx
xxxx
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=(4x+1)(x-3)
= b ( ) + 4 x 1 ( ) minus x 3
gt expand(b)
minus minus 4 x2 11x 3
Atividade 2
Usando o programa MAPLE calcule
1) ( ) ( )2ax5abx3 minusminus
2)
minus
+ ab5
2cba
2
1 22
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
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GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
3)
minus+minus x2
13x
3
2x
3
1x
2
1 23
4) ( ) ( )1x12x3x2 minus+minus
5) ( ) ( )12a3a4a 32 +minusminus
6) ( ) ( )65a23a minus+
7) ( ) ( )14a3a25a 2 +minus+
8) ( ) ( )cbacba ++++
9) ( ) ( )32α15α minus+
10) ( ) ( )12ββ3β5β 22 minusminus+minus
Teste
3) ( ) ( )34x2434x15x18x 23 minusminusminus+
4) ( ) ( )5β2α2β3α minus+
5) ( ) ( )γβαγβα ++++
6) ( ) 25x +
Divisatildeo de Monocircmio por Monocircmio
Para dividir dois ou mais monocircmios dividimos os coeficientes numeacutericos entre si e dividimos
as partes literais entre si recordando a seguinte propriedade das potencias
0a com aaa nmnm ne= minus
Resolva ( ) ( )cabcba 223 312minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (-12a^3b^2c)(3ab^2c)
minus4 a2
Divisatildeo de polinocircmio por monocircmio
Efetuamos a divisatildeo de um polinocircmio por um monocircmio natildeo-nulo fazendo a divisatildeo de cada
termo do polinocircmio pelo monocircmio
Dividir ( ) ( )4ab4abb28ab16a 32224 +minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
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Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt x=(16a^4b^2-28a^2b^2+4ab^3)(4ab)
= x14
minus + 16a4 b2 28a2 b2 4 a b3
a b
gt simplify(x)
b ( ) minus + 4 a3 7 a b
gt expand(x)
minus + 4 a3 b 7 a b b2
Divisatildeo de Polinocircmio por Polinocircmio
Para dividir polinocircmio pelo polinocircmio adotamos um procedimento anaacutelogo ao algoritmo
usado na aritmeacutetica Observe a resoluccedilatildeo algeacutebrica
Resolva ( ) ( )372158247 23 minusminus+minus xxxx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
7x3 ndash 24x2 + 58x ndash 21 7x ndash 3
ndash 7x3 + 3x2 x2 ndash 3x + 7
0 ndash 21x2 + 58x ndash 21
21x2 ndash 9x x2 (7x ndash 3) = 7x3 ndash3x
0 49x ndash 21 3x (7x ndash 3) = 21x2 ndash 9x
ndash 49x + 21 7 ( 7x ndash 3) = 49x ndash 21
0 0
Resoluccedilatildeo no MAPLE (o Maple soacute resolve de forma clara se o resto for zero)
gt c=(7x^3-24x^2+58x-21)(7x-3)
= c minus + minus 7 x3 24x2 58x 21
minus 7 x 3
gt simplify(c)
minus + x2 3 x 7
Resolva ( ) ( )132562 22345 ++++minus++ xxxxxxx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(2x^5+6x^4+x^3-x^2+5x+2)(x^2+3x+1)
= d + + minus + + 2 x5 6 x4 x3 x2 5 x 2
+ + x2 3 x 1
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
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1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
gt simplify(d)
minus + 2 x3 x 2
Calcular
minus
+ 22
4
3
2
1yxy
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt ((12)xy^2)((-34)y^2)
minus23
x
Atividade 3
Resolva as divisotildees utilizando o MAPLE
1)
minusdivide
+ 22 y4
3xy
2
1
2) ( ) ( )5523 y5xy15x divide
3) ( ) ( )4ab4abb28ab12a 32224 divide+minus
4)
divide
minus 234 y3
2y
6
1y
3
2
5) ( ) ( )1x3x34x12x5x6x 2234 +minusdivide+minus+minus
6) ( ) ( )2x6x3xx 23 minusdivide+minusminus
7) ( ) ( )5x157x2x2 +divideminus+
8) ( ) ( )1x3x5x 223 minusdivideminus+
Teste
7) Determine a soma dos polinocircmios 10x2x2x5xxx 24235 minus+minus+minus e 306x6x3 +minus A
seguir divida essa soma por 62xx 2 +minus e encontre o valor numeacuterico do resultado para
x = ndash 2
Adiccedilatildeo algeacutebrica de polinocircmios
A soma de dois ou mais polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos adicionando-
se os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau De forma anaacuteloga a diferenccedila de
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
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1998 Cap 1-5
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
dois polinocircmios eacute o polinocircmio cujos coeficientes satildeo obtidos subtraindo-se numa certa
ordem os coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau
Calcular ( ) ( )yxyxxyyx 72652 ++minusminusminus+
1 Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
xyyx
xyxyyyxx
yxyxxyyx
yxyxxyyx
823
26752
72652
72652
minusminusminusminusminus++minusminus+minus+
++minusminusminus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2x+5y-6xy)-(-x+2xy+7y)
minus minus 3 x 2 y 8 x y
2 Dados 32ce563b734a 2323 ++=minus+=+minus+= xxxxxxx determinar a + b + c
b ndash c e a + c
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^3+4x^2-3x+7)
= a + minus + x3 4 x2 3 x 7
gt b=(3x^3+6x-5)
= b + minus 3 x3 6 x 5
gt c=(x^2+2x+3)
= c + + x2 2 x 3
gt a+b+c
+ + + 4 x3 5 x2 5 x 5
gt b-c
+ minus minus 3 x3 4 x 8 x2
gt a+c
+ minus + x3 5 x2 x 10
Produtos notaacuteveis
No caacutelculo algeacutebrico os produtos que aparecem com muita frequumlecircncia satildeo chamados de
produtos notaacuteveis Entre eles temos o produto da soma pela diferenccedila de dois termos o
quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferenccedila de dois termos
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
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DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Quadrado da diferenccedila
Calcule ( )2yx minus
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( ) ( )
22
22
2
2 yxyx
yxyxyx
yyxyyxxx
yxyx
yx
+minus
+minusminussdot+sdotminussdotminussdot
minussdotminusminus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=(x-y)^2
= c ( ) minus x y 2
gt expand(c)
minus + x2 2 x y y2
Quadrado da soma
Calcule 2
3
2y
+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(y+23)^2
= d
+ y
23
2
gt expand(d)
+ + y2 43
y49
Atividade 4
1) Dados P1 = a + b + c P2 = a ndash b + c e P3 = a + b ndash c Determinar P1 + P2 + P3 P1 +
P2 ndash P3 P1 ndash P2 + P3 e P1 ndash P2 ndash P3
2) ( )335yminus
3) 3
23yx3
2
4) 222
5
yx
minus
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
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DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
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ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
5) ( )2205ab
6) ( )23 5βα +
7) 2
2n5
3m
minus
8) ( )3y2x +
Fraccedilotildees algeacutebricas
Um quociente de dois polinocircmios indicado na forma fracionaacuteria na qual uma ou mais
variaacuteveis aparecem no denominador chama-se fraccedilatildeo algeacutebrica O denominador de uma
fraccedilatildeo algeacutebrica deve representar sempre um nuacutemero real diferente de zero pois natildeo tem
sentido dividir por zero
Simplificar a fraccedilatildeo algeacutebrica
a) 22
2
ba
aba
minus+
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt g=(a^2+ab)(a^2-b^2)
= g + a2 a b
minus a2 b2
gt simplify(g)
minusa
minus b a
b) 16
1682
2
minus+minus
x
xx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )( ) ( ) 4
4
44
44
16
1682
2
+minus=
+sdotminusminussdotminus=
minus+minus
x
x
xx
xx
x
xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt a=(x^2-8x+16)(x^2-16)
= a minus + x2 8 x 16
minus x2 16
gt simplify(a)
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
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GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
minus x 4 + x 4
c) 4
1
16
432 minus
minusminusminus
aa
a
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=((3a-4)(a^2-16))-1(a-4)
= b minus minus 3 a 4
minus a2 16
1 minus a 4
gt simplify(b)
21
+ a 4
d)
a
a
+minusminus
1
22
1
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt c=1(2-((a-2)(1+a)))
= c1
minus 2 minus a 2 + 1 a
gt simplify(c)
+ 1 a + a 4
Equaccedilatildeo fracionaacuteria
Uma equaccedilatildeo se diz fracionaacuteria quando tem pelo menos uma incoacutegnita no denominador A
resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo fracionaacuteria eacute feita de maneira semelhante agrave resoluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo Apenas devemos excluir do conjunto universo da equaccedilatildeo fracionaacuteria os valores da
incoacutegnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaccedilatildeo
Resolva as seguintes equaccedilotildees fracionaacuterias
a) 12
111
4
3 =+x
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
62
12122
121191112912
11
12
12
12
9
1212
111
4
3
=there4minusminus=rArrminus=minusrArr
minus=minusrArr=+rArr=+rArr
rArr=+
xxx
xxxxx
x
xx
x
xeacutecmmoquex
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt d=(34)+(1x)=(1112)
= d = + 34
1x
1112
gt expand(d)
= + 34
1x
1112
gt solve(d)
6
b) 3
3
9
52 +
minus=minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt e=((5)(x^2-9))=((-3)(x+3))
= e = 51
minus x2 9minus3
1 + x 3
gt solve(e)
43
Atividade 5
Simplifique as fraccedilotildees algeacutebricas e resolva as equaccedilotildees fracionaacuterias
1) x1
x1
x1
x1
x1
4x2
2
minus++
+minusminus
minus
2) ( ) ( ) 1313x22x5 =minusminus+
3) 20
3y
4
3
5
2y =minus
4) 2
7
3
1x
4
3x =minusminus+
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
5) 2x
3
3x
2x +=minus
Teste
8) Encontre o valor de x da equaccedilatildeo algeacutebrica usando o MAPLE
( )
( ) ( )BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
+minus=
++
Somatoacuterio
Para abreviar expressotildees que envolvam adiccedilatildeo utiliza-se o somatoacuterio representado por
sum=
n
piix
Lecirc-se somatoacuterio dos termos xi com i variando de p ateacute n
O siacutembolo Σ (letra grega sigma) substitui a palavra soma p e n satildeo nuacutemeros naturais e p le n
Determinar ( )sum=
+=5
2
32i
in
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10252240131197
35234233232232
2
5
2
=there4sdotsdotrArrrArr+++rArr
+sdot++sdot++sdot++sdotrArr+sum=
n
ii
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt n=sqrt(Sum(2i+3i=25))
= n sum = i 2
5
( ) + 2 i 3
gt sqrt(sum(2i+3i=25))
2 10
Determinar ( )sum=
+3
1
32i
i
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
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Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
gt n=Sum(2i+3i=13)
= n sum = i 1
3
( ) + 2 i 3
gt sum(2i+3i=13)
21
Se ( )
sum
sum
=
=
++=
11
1
4
1
2 13
n
n
n
nnS entatildeo quanto vale S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt S=Sum(3(n^2+n+1)n=14)Sum(nn=111)
= S
sum = n 1
4
( ) + + 3 n2 3 n 3
sum = n 1
11
n
gt sum(3(n^2+n+1)n=14)sum(nn=111)
2
Sistemas de equaccedilotildees de 1deg grau com duas incoacutegnitas
Quando escrevemos duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas ligadas pelo conectivo e
estamos escrevendo um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas (no caso x
e y) A soluccedilatildeo de um sistema de duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas x e y eacute um
par ordenado (x y) que eacute soluccedilatildeo tanto da primeira equaccedilatildeo como da segunda Para resolver
um sistema de equaccedilatildeo no MAPLE devemos acessar os comandos que estatildeo no pacote Linalg
que deve ser carregado com o comando with Apoacutes aberto soacute podemos trabalhar com caacutelculos
que envolvam este pacote caso contraacuterio ele se encerra automaticamente
gt restart gt with(linalg)
1) Sabendo que em um terreno haacute galinhas e coelhos num total de 23 animais e 82 peacutes
Determine a quantidade de galinhas e a quantidade de coelhos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
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Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
=+=+
824y2x
23y x temos
coelhosy e galinhas x Sendo
5x
1823x
y23x
23yx
=rArrthere4minus=rArr
minus==+
18y2
36y
362y
46824y2y
824y2y46
824yy)2(23
824y2x
=rArrthere4=
=minus=+minus
=+minus=+minus
=+
coelhos 18 e
galinhas 5 haacute Logo
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt a=matrix(23[11232482])
= a
1 1 232 4 82
gt a=gausselim(a)
gt soluccedilatildeo=(backsub(a))
= soluccedilatildeo [ ]5 18
2) Determinar a soluccedilatildeo (x y) do sistema
=+=+
2932
12
yx
yx
Resoluccedilatildeo algeacutebrica pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
( )( )
7
2932
3633
12932
312
=minus=minusminus
=+
minussdot=+sdot=+
x
yx
yx
yx
yx
5
712
127
12
=minus=
=+=+
y
y
y
yx
A soluccedilatildeo eacute ( 75)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt g=matrix(23[11122329])
= g
1 1 122 3 29
gt g=gausselim(g)
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
= g
1 1 120 1 5
gt soluccedilatildeo=(backsub(g))
= soluccedilatildeo [ ]7 5
3) Determinar a soluccedilatildeo (xy) do sistema
=+minus=minus1252
123
yx
yx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(linalg)
gt h=matrix(23[3-2-12512])
= h
3 -2 -12 5 12
gt h=gausselim(h)
= h
3 -2 -1
0193
383
gt soluccedilatildeo=(backsub(h))
= soluccedilatildeo [ ]1 2
Atividade 6
Determinar a soluccedilatildeo (xy) dos sistemas
1)
=+=minus
415y2x
163y3x
2)
=minus=+
1y2x
5yx
3)
minus=+minus=+minus
145y7x
35y6x
4)
=+
=+
110y4
x
1103
yx
5)
=minus
=+
10yx
1103
y
4
x
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Matrizes
Matriz eacute uma tabela de nuacutemeros formada por m linhas e n colunas Dizemos que essa matriz
tem ordem m X n (lecirc-se m por n) sendo m ge 1 e n ge 1 Geralmente dispomos os elementos de
uma matriz entre parecircnteses ou entre colchetes
Um modo simplificado de fazer a representaccedilatildeo eacute
[ ] ji Nn m sendo n x m aA isin=
onde
jia elemento da matriz sendo os iacutendices i e j indicadores da posiccedilatildeo do elemento na matriz
O iacutendice i indica a linha 1 le i le m
O iacutendice j indica a coluna 1 le j le n
1) Escreva a matriz ( )3x3jiaA = em que j2ia 2
ji minus=
Para resoluccedilatildeo no MAPLE usamos o pacote Linalg
gt restart
gt with(linalg)
gt matrix(33(ij)-gti^2-2j)
-1 -3 -52 0 -27 5 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m X n chama-se matriz transposta de A indicada por At a
matriz cuja ordem eacute n X m sendo as suas linhas ordenadamente iguais agraves colunas da matriz
A
1) Determinar Mt de
minus=
654
731M
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt M=matrix(23[137-456])
= M
1 3 7-4 5 6
gt transpose(M)
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
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ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
1 -43 57 6
Adiccedilatildeo de matrizes
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz tambeacutem de mesma ordem obtida
com a adiccedilatildeo dos elementos de mesma posiccedilatildeo das matrizes A e B
Lembrando que A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
1) Calcule A + B sendo
minus=
2
4
1
0
3
2
A
minus
minusminus=
1
2
3
2
0
1
B
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus=
minus++
minus+minus
++
minus+=
minus
minusminus+
minus
1
6
4
2
3
1
12
24
31
20
03
12
1
2
3
2
0
1
2
4
1
0
3
2
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
Warning the protected names norm and trace have been
redefined and unprotected
gt A=matrix(32[2-13402])
= a
2 -13 40 2
gt B=matrix(32[-1-3022-1])
= b
-1 -30 22 -1
gt evalm(A+B)
1 -43 62 1
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Subtraccedilatildeo de matrizes
A diferenccedila entre duas matrizes A e B de mesma ordem eacute a matriz obtida pela adiccedilatildeo da
matriz A com a oposta da matriz B ou seja
A ndash B = A + (ndash B)
1) Calcule A ndash B das matrizes acima
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(A-B)
3 23 2
-2 3
Multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero real por uma matriz
O produto de um nuacutemero real x por uma matriz A eacute obtido pela multiplicaccedilatildeo de cada
elemento da matriz A por esse nuacutemero real x
1) Calcule 3B da matriz acima
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( )
minus
minusminus=
minussdotsdotminussdot
sdotsdotminussdot
rArr
minus
minusminus
3
6
9
6
0
3
13
23
33
23
03
13
1
2
3
2
0
1
3
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt evalm(3B)
-3 -90 66 -3
Multiplicaccedilatildeo de Matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n eacute a matriz C = (cij)m x n em que cada
elemento cij eacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna de B
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
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GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A middot B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A for
igual ao nuacutemero de linhas de B
1) Calcule CD sendo
=2
1
0
5
1
3
C e
=
86
74D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (linha vezes coluna)
=
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
sdot+sdotsdot+sdotsdot+sdot
rArr
lowast
51
15
21
32
10
12
8275
8171
8073
6245
6141
6043
8
7
2
1
5
16
403
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt C=matrix(32[301152])
= c
3 01 15 2
gt D=matrix(22[4768])
= d
4 76 8
gt evalm(CD)
Error (in evalmevaluate) use the amp operator for
matrixvector multiplication
gt evalm(CampD)
12 2110 1532 51
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada eacute um nuacutemero real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras Sendo a matriz A seu determinante eacute indicado como det A
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
1) Calcule det D
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
10det4232678486
74minus=there4minusrArrsdotminussdotrArr
D
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt det(D)
-10
2) Calcule o valor dos seguintes determinantes
8
3
14
πsen
a)minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt a=matrix(22[sin(Pi4)3-18])
= a
12
2 3
-1 8
gt det(a)
+ 4 2 3
1
3
4
8logb)
2
minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt b=matrix(22[log(8)log(2)34-1])
= b
( )ln 8( )ln 2
3
4 -1
gt det(b)
minus + ( )ln 8 12 ( )ln 2
( )ln 2
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
gt simplify(b)
3 34 -1
gt det(simplify(b))
-15
Matriz inversa
Consideremos A uma matriz quadrada de ordem n dizemos que Andash1 eacute a matriz inversa de A
se e somente se A middot Andash1 = In e Andash1 middot A = In onde A eacute a matriz Andash1 eacute a matriz inversa da
matriz A In eacute a matriz identidade de mesma ordem da matriz A
1) Sendo
=
3
8
2
5A determine sua inversa se existir
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Impondo a condiccedilatildeo de que A middot Arsquo = In e determinamos Arsquo
=
++
++
rArr
=
lowast
1
0
0
1
32
85
32
85
1
0
0
1
3
8
2
5
db
db
ca
ca
d
b
c
a
Da igualdade de matrizes temos
=+=+
032
185
ca
ca
=+=+
132
085
db
db
Resolvendo os sistemas pelo meacutetodo da adiccedilatildeo vem
220
01510
21610
)5(032
)2(185
=rArrminus=minus
=+minus=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
cc
ca
ca
ca
ca
Substituindo o valor obtido para c em uma das equaccedilotildees do sistema temos
35
15161511651285185 minus=rArr
minus=rArrminus=rArr=+rArr=sdot+rArr=+ aaaaaca
550
11510
01610
)5(132
)2(085
minus=rArr=minus
=+=minusminus
rArr
sdot=+minussdot=+
dd
db
db
db
db
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
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Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Substituindo o valor obtido para d em uma das equaccedilotildees do sistema temos
85
4004050)5(85085 =rArr=rArr=minusrArr=minussdot+rArr=+ bbbbdb
Assim Arsquo =
d
b
c
a que eacute a inversa de A e pode ser representada por
minusminus
=minus
5
8
2
31A
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt with(linalg)
gt A=matrix(22[5823])
= A
5 82 3
gt inverse(A)
-3 82 -5
Atividade 7
1 Sendo A =
3
2
1
0
4
1 e B =
minus1
1
2
0
4
3 calcule
a) A + B b) A ndash B c) B ndash A
2 Dadas as matrizes A =
minus 2
4
0
3
1
2 e B =
minus2
1
4
2
1
3 calcule
a) 4A b) 9B c) 5A ndash 3B d) A2
5minus
3 Dadas as matrizes A =
7
3
0
2 e B =
minus5
4
2
1 calcule
a) A middot B b) B middot A c) A3 d) B3 ndash 4B
4 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
a)
minus
minus 1
2
1
2
1
3
5
3
4
b)
01
2
3
1
1
2
0
1
2
3πcos
log12
πsen
minus
minus
minus
5 Calcule o valor dos seguintes determinantes
a)
5
32
6
2 b)
273
1log
813
πtg
3
c) 1
2πcos
3
10
2minus
6 Calcule se existir 1A minus em cada caso
=
4
2
3
1A a)
minus=
3
1
2
0A b)
Equaccedilatildeo do 2deg grau
Denomina-se equaccedilatildeo de 2ordm grau na incoacutegnita x toda equaccedilatildeo da forma ax2 + bx + c = 0 onde
a b c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 No MAPLE resolvemos usando o operador ldquosolverdquo
1) Determine em R o conjunto-verdade e as raiacutezes da equaccedilatildeo 011336 2 =+minus mm
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
1
13
36
=minus=
=
c
b
a
( )
5
25
144169
136413
42
=∆
=∆minus=∆
sdotsdotminusminus=∆minus=∆ acb
9
1
8
8
72
8
362
513
4
1
18
18
72
18
362
513
2
=there4dividedivide=
sdotminus=
=there4dividedivide=
sdot+=
sdot∆plusmnminus=
xx
xx
a
bx
Logo
=
9
1
4
1S
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(36m^2-13m+1=0)
14
19
2) Resolva 024142 2 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
gt solve(2x^2-14x+24=0)
3 4
3) Resolva 01072 =+minus xx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(x^2-7x+10=0)
2 5
4) Resolva 22 4)5(2)1(7 xxxx +minus=minus
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt solve(7x(x-1)=2(x^2-5)+4x^2)
2 5
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 1deg grau
A representaccedilatildeo graacutefica de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = ax + b (a ne 0) eacute uma reta natildeo-paralela
aos eixos Ox ou Oy sendo raiz ou zero da funccedilatildeo a abscissa do ponto onde a reta intercepta o
eixo Ox
A construccedilatildeo do graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau y = 2x pode ser feita atribuindo-se alguns
valores reais a x e obtendo-se valores de y correspondentes organizando-os em uma tabela e
em seguida localizando no plano cartesiano os pontos (xy) e traccedilando a reta que passa por
eles
No MAPLE usamos os comandos de repeticcedilatildeo (for ndash from ndash to ndash do ndash od) para atribuir os
valores de x e encontrar os valores de y
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x no intervalo de ndash2 ateacute 2
1deg Descobrindo o valor de y
gt for x from -2 to 2 do 2x od
-4
-2
0
2
4
2deg Usamos o comando ldquoplotrdquo para fazer o graacutefico e para colocarmos nome ou tiacutetulo a
esse graacutefico usaremos o acento grave O tiacutetulo deve ficar entre os acentos
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
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UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
gt restart
gt plot(2xx=-22title=`funccedilatildeo polinomial`)
2 Representar no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = 2x ndash3 no intervalo de ndash1 ateacute 2
1deg Como representar a funccedilatildeo
gt restart
gt(y=2x-3 x=-12)
= y minus 2 x 3 = x -1 2
2ordm Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -1 to 2 do 2x-3 od
-5
-3
-1
1
3deg Como fazer o graacutefico e dar um nome ao graacutefico
gt restart
gt restartplot(2x-3x=-12title=`funccedilatildeo polinomial `)
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
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1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
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ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Graacutefico da Funccedilatildeo Polinomial de 2deg grau (Funccedilatildeo Quadraacutetica)
Em um sistema cartesiano ortogonal o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute representado por
uma curva agrave qual damos o nome de paraacutebola
1 Construir no plano cartesiano o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 ndash 4 no intervalo de ndash3 ateacute 3
1deg Como representar a funccedilatildeo no MAPLE
gt (x^2-4x=-33)
minus x2 4 = x -3 3
2deg Como encontrar o valor de y da funccedilatildeo
gt for x from -3 to 3 do x^2-4 od
5
0
-3
-4
-3
0
5
3deg Como fazer o graacutefico
gt restart
gt plot(x^2-4x=-33)
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
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GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
2 Traccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] na cor marrom com 8 de
grossura e com o seu nome no titulo
gt restart gtplot(cos(2x)x=02Picolor=brownthickness=8tit le=`Cristina`)
Testes
9) Encontre o valor de y e faccedila o graacutefico da funccedilatildeo ( ) 1xxf 2 minus= para x = ndash 2 ateacute 3
10) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos x para x = 0 ateacute 2π
11) Faccedila o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = 3sen x para x = 0 ateacute 2π na cor verde com 10 de
grossura e com seu nome no tiacutetulo
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
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Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Fatorial
Sendo n um nuacutemero natural maior que 1 definimos como fatorial de n (n) o nuacutemero
( )( )( ) 123n2n1nnn sdotsdotsdotminusminusminussdot= K
Lemos n como n fatorial Exemplo
7201234566 =sdotsdotsdotsdotsdot=bull
A digitaccedilatildeo e resoluccedilatildeo no MAPLE natildeo sofre nenhuma modificaccedilatildeo
gt 6
720
1 Calcule o valor de 8
11
Resoluccedilatildeo no Maple
gt 118
990
2 Calcule o valor de 1252
710
sdot
Resoluccedilatildeo no Maple
gt (107)(2512)
744
3 Simplificando ( )
( )2n
n1n
+++
obtemos
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1n
1
1n2n
2n
n1n2n
11nn
n1n2n
nn1n
2n
n1n
+=
+++=
++++=
++++=
+++
Resoluccedilatildeo no Maple
gt b=((n+1)+n)(n+2)
= b + ( ) + n 1 n
( ) + n 2
gt simplify(b)
1 + n 1
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
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DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Nuacutemeros Binomiais
Dados os nuacutemeros naturais n e p com n ge p o nuacutemero
p
n eacute chamado de nuacutemero binomial n
sobre p
( )pnp
n
p
nC pn minus
=
=
Exemplo
( ) 1023
5
252
5
2
5==
minus=
bull
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt binomial(52)
10
Combinaccedilatildeo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de combinaccedilatildeo simples dos n elementos de A tomados p a p todo
subconjunto de A com p elementos que eacute representado por pnC No MAPLE entraremos no
combinat numcomb choose Dentro do programa utilizaremos o operador numcomb onde
informaremos os elementos do conjunto A e a quantidade de p elementos que queremos em
cada subconjunto C Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador choose
1 Quantos subconjuntos tem a combinaccedilatildeo simples dos elementos de A = 2 3 4 6
tomados 3 a 3
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
46
24
1123
1234
3)(43
4C
p)(np
nC 34pn =rArr
sdotsdotsdotsdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbcomb)
[ ]numbcomb
gt numbcomb([2346]3)
4
2 Quais satildeo esses subconjuntos
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
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1998 Cap 1-5
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
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GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
gt with(combinatchoose)
[ ]choose
gt choose([2346]3)
[ ] [ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 6 [ ] 3 4 6
Arranjo simples
Sendo A = naaaa 321 um conjunto de n elementos e p um numero natural menor ou
igual a n chamamos de arranjo simples dos n elementos tomados p a p todo agrupamento
ordenado com p elementos distintos que se forma com os n elementos de A De modo geral eacute
representado por pnA No MAPLE entraremos no combinat numbperm permute Dentro do
programa utilizaremos o operador numbperm onde informaremos os elementos do conjunto
A e a quantidade de elementos de cada subconjunto C para vermos a quantidade de
subconjuntos de p elementos Para ver esses subconjuntos utilizaremos o operador permute
1 Determinar todos os subconjuntos de trecircs elementos do conjunto A = 2 3 4 6
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatpermute)
[ ]permute
gt permute([2346]3)
[ ] 2 3 4 [ ] 2 3 6 [ ] 2 4 3 [ ] 2 4 6 [ ] 2 6 3 [ ] 2 6 4 [ ] 3 2 4 [ ] 3 2 6 [ ] 3 4 2 [[ ] 3 4 6 [ ] 3 6 2 [ ] 3 6 4 [ ] 4 2 3 [ ] 4 2 6 [ ] 4 3 2 [ ] 4 3 6 [ ] 4 6 2 [ ] 4 6 3 [ ] 6 2 3 [ ] 6 2 4 [ ] 6 3 2 [ ] 6 3 4 [ ] 6 4 2 [ ] 6 4 3 ]
2 Quantos subconjuntos formaram
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
241
1234
3)(4
4A
p)(n
nA 34pn =sdotsdotsdot
rArrminus
=rArrminus
=
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt with(combinatnumbperm)
[ ]numbperm
gt numbperm([2346]3)
24
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Equaccedilotildees Irracionais
As equaccedilotildees irracionais satildeo as que apresentam incoacutegnita no radicando e a resoluccedilatildeo eacute feita
elevando-se os dois membros da equaccedilatildeo a uma potecircncia conveniente para transformaacute-la em
uma equaccedilatildeo racional Eacute necessaacuterio verificar os resultados obtidos
1 Resolver a equaccedilatildeo xx minus=minus 256 e verificar o resultado
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
( ) ( )
( ) 921414
211
02
06454
4456
256
22
2
2
2
22
=∆rArrthere4minussdotsdotminusrArrminus=∆minus===
=minus+
=minus++minus
+minus=minusminus=minus
acb
cba
xx
xxx
xxx
xx
2
31
12
91
2
plusmnminusrArr
sdotplusmnminus
rArr∆plusmnminus=
a
bx
minus=there4minus=minusminus=
=there4=+minus=
22
4
2
31
12
2
2
31
xx
xx
Verificando o resultado para x = 1
11111215626 =there4=rArrminus=sdotminusrArrminus=minus xx
Verificando o resultado para x = ndash 2
( ) ( ) 4441622256256 =there4=rArrminusminus=minusminusrArrminus=minus xx
Logo tanto o nuacutemero 1 e o nuacutemero ndash 2 verificam a equaccedilatildeo irracional dada
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt restart
gt a=sqrt(6-5x)=2-x
= a = minus 6 5x minus 2 x
gt solve(a)
-2 1
2 Quais os valores reais de x para os quais a expressatildeo 1662 +minus xx eacute igual a 22
gt d=sqrt(x^2-6x+16)=2sqrt(2)
= d = minus + x2 6 x 16 2 2
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
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httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
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BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
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wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
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UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
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1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
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EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
gt solve(d)
4 2
3 Resolva no conjunto real a equaccedilatildeo irracional 6115 +=minus+ xx
gt a=sqrt(5x+1)-1=sqrt(x+6)
= a = minus + 5 x 1 1 + x 6
gt solve(a)
3
4 Resolva a equaccedilatildeo 1211 +=minus++ xxx
gt b=sqrt(x+1)+sqrt(x-1)=sqrt(2x+1)
= b = + + x 1 minus x 1 + 2 x 1
gt solve(b)
12
5
5 Resolva a equaccedilatildeo 2132
132 =minusminusminus+
xx
xx
gt c=(sqrt(2x)+sqrt(3x-1))(sqrt(2x)-sqrt(3x-1))= 2
= c = + 2 x minus 3 x 1
minus 2 x minus 3 x 12
gt solve(c)
925
Conversotildees
Arcos e Radianos
Arco de uma circunferecircncia eacute cada uma das partes em que uma circunferecircncia fica dividida
por dois de seus pontos Assim sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferecircncia
eles a dividem em duas partes
Grau eacute o arco unitaacuterio equivalente a 1360 da circunferecircncia que o conteacutem
Radiano eacute o arco cujo comprimento eacute igual ao comprimento do raio da circunferecircncia que o
conteacutem
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
No Maple usaremos os operadores convert degrees e radians
1 Determine em radianos a medida do arco 60deg
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
180deg mdashmdashmdashmdashmdash π
60deg mdashmdashmdashmdashmdash x rad3
πx
180
π60x =there4rArr
degsdotdeg=rArr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(60degreesradians)
13
π
2 Calcule em graus a medida do arco de 4
3π rad
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
deg=there4rArrdegsdot
rArr= 135x4
1803
4
3πx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(3Pi4degrees)
135degrees
3 Calcule em radianos a medida do arco de 330deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(330unitsdegreesradians)
116
π
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas
As principais relaccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo seno (sin) cosseno (cos) tangente (tan)
cotangente (cot) secante (sec) e cossecante (csc) No Maple soacute podemos encontrar os valores
das mesmas se estiverem em radiano
1 Determine secante cossecante e cotangente do arco de 30deg
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(30degreesradians) 16
π
gt sec(Pi6)
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
23
3
gt csc(Pi6) 2
gt cot(Pi6) 3
2 Calcule o valor de 3
2πcoscos2π
3
πcos ++
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt cos(Pi3)+cos(2Pi)+cos(2Pi3) 1
Escalas Termomeacutetricas
Uma escala termomeacutetrica corresponde a um conjunto de valores numeacutericos onde cada desses
valores estaacute associado a uma temperatura Na escala Celsius o intervalo vai de 0degC a 100degC e
na Kelvin de 273K a 373K ou seja eacute dividida em 100 partes iguais Na escala Fahrenheit o
intervalo vai de 32degF a 212degF ou seja 180 partes iguais
1 A temperatura normal do corpo humano eacute de 36degC Qual eacute essa temperatura expressa nas
escalas Fahrenheit e Kelvin
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Fahrenheit)
deg=rArrthere4+=rArrsdot=minusrArr
minus= 896328645
36932
9
32
5FFF
FC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperaturedegcdegF)
967838000
Resoluccedilatildeo algeacutebrica (escala Kelvin)
30927336362735
273
5=rArrthere4+=rArr=minusrArr
minus= KKKKC
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(36temperatureCelsiuskelvin)
618320
gt evalf()
3091500000
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
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wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Nuacutemeros Complexos
O conjunto C dos nuacutemeros complexos eacute aquele formado pelos nuacutemeros que podem ser
expressos na forma z = a + bi em que a isinR b isinR e i = 1minus A forma z = a + bi eacute
denominada forma algeacutebrica de um nuacutemero complexo em que a eacute a parte real e b a parte
imaginaacuteria No MAPLE usaremos o I como operador no lugar do i
1 Calcule (2 + 3i) +(6 + 4i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (2+3I)+(6+4I) + 8 7 I
2 Calcule (5 + i) + (3 + i) ndash (4 ndash i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5+I)+(3+I)-(4-I) + 4 3 I
3 Calcule (5 ndash i) (4 + 2i)
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt (5-I)(4+2I)
+ 22 6 I
4 Determine o moacutedulo e o argumento dos nuacutemeros complexos representados no plano
Argand-Gauss (Aqui usaremos o operador arctan da inversa trigonomeacutetrica e o polar para
converter os pontos para coordenadas polar)
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
0 12
5 P(12 5)
ρ
θ
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
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1998 Cap 1-5
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COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
13ρ
25144ρ
512ρ
eacute 5i12z de modulo O22
=+=
+=
+=
deg==
==
==
+=
619864952212
5arctanθ
13
12
ρ
aθ cos
13
5
ρ
bθsen
eacute 5i12z complexo nuacutemero do argumento O
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt convert(12+5Ipolar)
polar 13
arctan
512
gt convert(arctan(512)degrees)
180
arctan
512
degrees
π
gt evalf()
2261986495degrees
Limite
Dizemos que o limite de uma funccedilatildeo f(x) quando x tende a a eacute o nuacutemero real L se e
somente se os nuacutemeros reais da imagem f(x) permanecerem proacuteximos de L para os infinitos
valores de x proacuteximos de a indica-se
Lf(x)lim =rarrax
No MAPLE utilizamos o operador limit se a primeira letra estiver maiuacutescula o programa
mostra a expressatildeo se estiver minuacutescula mostra o resultado Que pode ser obtido tambeacutem
usando o operador value (lsquorsquo)
1 Calcular 2x1
1xxlim
23
1 minus+minus
rarrx
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1)
lim rarr x 1
minus + x3 x2 1 minus 1 2x
gt limit((x^3-x^2+1)(1-2x)x=1) -1
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
2 Calcular 1x
1xlim
4x minusminus
rarr
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt Limit((x-1)(sqrt(x)-1)x=4)
lim rarr x 4
minus x 1
minus x 1
gt value() 3
Lista de funccedilotildees
Estes foram os principais operadores que o MAPLE dispotildee para trabalhar com operaccedilotildees que
vai do ensino fundamental ateacute o meacutedio Eacute certo que o programa dispotildee de centenas de outros
operadores Caso o estudante tenha duacutevidas sobre como saber se ele resolve este ou aquele
caacutelculo ele deve lembrar da ajuda ou help que o programa dispotildee ou mesmo buscar as listas
de funccedilotildees dos pacotes dando o comando gt com o nome do que se quer buscar Por exemplo
gt linalg
gt exp
Resoluccedilatildeo de problemas com a inserccedilatildeo de dados
Os quatro aspectos gerais que o MAPLE possui estatildeo integrados formando um corpo uacutenico
Tais sistemas satildeo uacuteteis na resoluccedilatildeo faacutecil e precisa de uma diversidade de problemas em
matemaacutetica e fiacutesica O sistema permite atribuir nome a um nuacutemero ou expressatildeo bem como
representar uma expressatildeo e ter resultado para a mesma Acompanhe a resoluccedilatildeo dos dois
problemas abaixo
1 Um disco gira a 410 rpm Sabendo que o diacircmetro do disco eacute igual a 36 cm calcule a
velocidade angular e a velocidade escalar de um ponto da sua periferia
Obs para resoluccedilatildeo do mesmo usaremos as expressotildees de T (periacuteodo) de ω (velocidade
angular) de v (velocidade escalar) e de R (raio) onde
2
dR =
f
t=T T
2πω = Rω sdot=v
O problema forneceu o valor da frequumlecircncia (f = 410 rpm) do tempo (t = 1 min) que seraacute
transformado em segundos e do diacircmetro (d = 36 cm) Veja a resoluccedilatildeo algeacutebrica e como
inserir esses dados no programa e ter os resultados de forma mais precisa
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Resoluccedilatildeo algeacutebrica
Dados
f = 410 rpm
t = 1 min = 60 s
d = 36 cm
R =
ω =
v =
cm18R236
R2d
R =rArrthere4=rArr=
s41
6T
410
60TT =rArrthere4=rArr=
f
t
rads3
41πω
641
1π2
ω
416π2
ωT2π
ω =rArrthere4sdotsdot=rArrsdot=rArr=
msπ2463π738
183
41Rω =rArrthere4=rArrsdot=rArrsdot= vvvv
π
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt f=410 = f 410
gt t=60 = t 60
gt d=36 = d 36
gt R=d2 = R 18
gt T=tf
= T641
gt omega=2PiT
= ω413
π
gt velocidadeangular=evalf() = velocidadeangular 4293509962
gt v=omegaR = v 246π
gt velocidadeescalar=evalf() = velocidadeescalar 7728317929
2 Dois espelhos planos formam entre si um certo acircngulo Calcule esse acircngulo sabendo que
reduzindo-o 20deg o nuacutemero de imagens produzidas pelo sistema de um dado objeto eacute
aumentado de 9
Obs Aqui montando a associaccedilatildeo angular de espelhos e substituindo uma expressatildeo na
outra obtemos a seguinte equaccedilatildeo
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
120α
36091
α
360 1
20α
3609N 1
α
360N minus
minus=+minusthere4minus
minus=+rArrminus=
Feito isso veja como inserir essa equaccedilatildeo no programa e ter o resultado
Resoluccedilatildeo no MAPLE
gt 360alpha-1+9=360(alpha-20)-1
= + 3601α
8 minus 3601
minus α 201
gt solve() 40 -20
Veja que no primeiro problema os dados foram digitados diretamente para o programa com os
seus siacutembolos originais utilizando o operador ldquo=rdquo que serviu para atribuir o nome a cada
valor apoacutes isso digitamos as expressotildees para encontrar o valor do raio R do periacuteodo T da
velocidade angular ω e da velocidade escalar v utilizando o mesmo operador no lugar do ldquo=rdquo
Todos encerrados com ldquordquo operador que serve para mostrar e resolver o que se estar
digitando E para ter um resultado mais preciso da velocidade angular e da velocidade escalar
na forma decimal usamos o operador ldquoevalf()rdquo coisa que muitas vezes nas aulas de Fiacutesica
Matemaacutetica e em muitos livros didaacuteticos jaacute natildeo se usa mais o valor de Pi vez que se tem que
adequar muitos caacutelculos a capacidade de aprendizagem do aluno
No segundo problema primeiro montamos a equaccedilatildeo de associaccedilatildeo de espelhos depois
digitamos essa equaccedilatildeo no programa e para ter o resultado utilizamos o operador
ldquosolve()rdquo usado para responder equaccedilotildees do 2ordm grau e fraccedilotildees algeacutebricas que no caso vale
a resposta positiva O operador ldquo() rdquo eacute para se referir ao uacuteltimo caacutelculo executado
Aleacutem desse existe diversos outros softwares matemaacuteticos capazes de tornar a vida do
estudante cada vez mais praacutetica e melhor soacute depende do interesse do mesmo veja por
exemplo o uso do WINPLOT programa que usado junto com o MAPLE ajuda na elaboraccedilatildeo
e feitura de graacuteficos
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
O que eacute Winplot
O Winplot eacute um programa de domiacutenio puacuteblico produzido por Richard Parris da Phillips
Exeter Academy (httpmathexeteredurparris) Eacute utilizado para o traccedilado de funccedilotildees e
equaccedilotildees no plano e no espaccedilo Utiliza pouco espaccedilo no disco e dispotildee de vaacuterios recursos
Abrindo o Winplot e construindo graacuteficos
Abrindo o Winplot
Para abrir o Winplotexe clique duas vezes no iacutecone
Feito isso apareceraacute a Tela Principal com a Barra de Tiacutetulo que mostra o nome do
programa e os bototildees Maximizar Minimizar e Fechar e a Barra de Menus que apresenta
os menus do programa Janela e Ajuda
Clique em Janela onde apareceraacute 2ndashdim F2 e 3ndashdim F3 ou seja graacutefico em duas dimensotildees e
graacutefico em trecircs dimensotildees
Clique em 2ndashdim F2 onde apareceraacute a janela semnome1wp2 com os seguintes menus
Arquivo Equaccedilatildeo Ver Mouse Um Dois Anim e Outros
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 1ordm grau f(x) = 2x +5
Clique a opccedilatildeo Equaccedilatildeo e surgiraacute uma coluna com diversos menus Escolha a opccedilatildeo
1ExplicitaF1 e apareceraacute a caixa que teraacute o local para digitar a funccedilatildeo f(x)
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Veja que nessa caixa vocecirc pode digitar a sua funccedilatildeo 2x + 1 ou 2x +1 travar o intervalo que
deseja por exemplo x miacuten -5 e x maacutex 5 escolher a cor e a espessura da linha do graacutefico
Feito tudo isso eacute soacute clicar em ok e apareceraacute o graacutefico da funccedilatildeo digitada
Veja que no primeiro momento aparece apenas o graacutefico sem mostrar de forma clara quais
foram os pontos pelo quais passou para vermos isso devemos clicar em Ver e escolher na
coluna que aparece a opccedilatildeo Enquadrar janela feita a escolha o graacutefico aparece mais
completo Para colocar grades no seu graacutefico vocecirc clica novamente em Ver escolhe na
coluna a opccedilatildeo Grade clique nessa opccedilatildeo para aparecer a caixa grade
Marque nessa caixa eixos ambos marcas setas roacutetulos e veja se decimais estaacute em 0 e 0
marque tambeacutem escala sobre eixos e no campo grade marque retangular apoacutes isso escolha
pontilhado Feito tudo isso clique em aplicar
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Para enquadrar melhor o graacutefico que acabou de fazer vocecirc pode usar a tecla Page Up para
aumentar o zoom ou a tecla Page Down para diminuir bem como usar as teclas de seta do
teclado para mover o graacutefico para enquadraacute-lo da melhor forma que escolher
Concluiacutedo tudo isso vocecirc pode copiar esse graacutefico e colar no trabalho que desejar para isso
basta ir no menu Arquivo e escolher na coluna que aparece a opccedilatildeo Copiar e levar para o
trabalho que estaacute fazendo colar e ajustar do jeito que quiser
minus12minus11minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minus6minus5minus4minus3minus2minus1
123456789
10111213141516
x
y
Veja como podemos ver todos os pontos por onde passa nosso graacutefico bem como em que
intervalo se encontra
Criando o graacutefico da funccedilatildeo de 2ordm grau f(x) = x2
Para criar um graacutefico de uma funccedilatildeo do segundo grau devemos seguir os mesmos passos que
fizemos para criar o graacutefico da funccedilatildeo do primeiro grau o uacutenico detalhe que devemos nos
preocupar satildeo com os operadores matemaacuteticos + - ^ sqrt (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo
multiplicaccedilatildeo divisatildeo potenciaccedilatildeo e radiciaccedilatildeo respectivamente)
Ex
f(x) = x2 harr f(x) = x^2
f(x) = ndash2x2 ndash 5x + 7 harr f(x) = -2x^2-5x+7
Seguido todos os passos e respeitado os operadores matemaacuteticos o graacutefico da nossa funccedilatildeo do
2ordm grau f(x) = x2 no intervalo de ndash5 ateacute 5 ficaraacute assim
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
minus15minus14minus13minus12minus11minus10minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16minus2minus1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Clicando em Um no menu e escolhendo Zeros na coluna que aparece na janela com o
graacutefico surgiraacute uma seta indicando o um dos pontos onde o graacutefico intercepta o eixo do x
Clicando em proacuteximo da janela zeros veremos e teremos marcada a segunda raiz e do lado
esquerdo do botatildeo proacuteximo aparece o ponto ou valor da raiz marcada no graacutefico agrave medida
que clicamos os valores se alternam se forem diferentes
Fora esses recursos que satildeo utilizados para trabalhos escolares do niacutevel fundamental e meacutedio
o Winplot oferece dezenas de outros recursos para fazer graacuteficos inclusive graacutefico em terceira
dimensatildeo muito utilizado em feira de ciecircncias trabalhos de poacutes-graduaccedilatildeo mestrado e
doutorado O programa estaacute disponiacutevel gratuitamente na internet inclusive com diversos
trabalhos acadecircmicos ou natildeo de como utilizaacute-lo
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 1ordm grau y = 2x ndash 3 no intervalo
de ndash1 ateacute 2 que foi feito no MAPLE na paacutegina 36
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
minus3 minus2 minus1 1 2 3
minus5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
x
yy = 2x-3
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo polinomial de 2ordm grau y = x2 ndash 4 no intervalo
de ndash3 ateacute 3 que foi feito no MAPLE na paacutegina 37
minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 1 2 3 4 5
minus4
minus3
minus2
minus1
1
2
3
4
5
x
y
No Winplot vemos claramente nos graacuteficos onde estatildeo localizados os pares ordenados por
exemplo no primeiro graacutefico temos os pares (ndash1 ndash5) (0 ndash3) (1 ndash1) (2 1) no segundo
tambeacutem podemos localizar seus pares ordenados sem muita dificuldade
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
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GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
=4
1
1
0
0
2b)
minusminus
=4
1
1
0
0
2c)
2)
minus=
8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
minus=
41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Veja como fica no Winplot o graacutefico da funccedilatildeo f(x) = cos 2x no intervalo [0 2π] que foi
feito no MAPLE na paacutegina 37
1 2 3 4 5 6
minus2
minus1
1
2
x
yy = cos(2x) 00 lt= x lt= 2pi
Aqui podemos ver claramente a oscilaccedilatildeo entre 1 e ndash1 Caso ocorram duacutevidas de como digitar
uma funccedilatildeo eacute soacute clicar em Equaccedilatildeo e escolher Biblioteca
Referecircncias bibliograacuteficas
ATIVIDADES USANDO O WINPLOT 2ndashdim em Portuguecircs Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 26 de outubro de 2010
AacuteVILA Geraldo Severo de Souza Introduccedilatildeo ao caacutelculo Rio de Janeiro LTC 1998
BONJORNO Regina Azenha et al Fiacutesica completa 2ordf ed Satildeo Paulo FTD 2001 vu
BRETON Philippe Histoacuteria da informaacutetica Satildeo Paulo Universidade Estadual Paulista
1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
CALCULATING machines [online] Texto extraiacutedo na Internet via
wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
3) 3
4) ndash29
5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
3
3
0
8
4a)
minusminus
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0
2b)
minusminus
=4
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0
2c)
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8
16
0
12
4
8a)
minus=
18
9
36
18
9
27b)
minusminus=
4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
=5
10
02
15
2
55
d)
3)
=
35
23
14
4a)
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41
25
4
2b)
=
343
201
0
8c)
=
177
100
50
27d)
4) 62a) minus= 2
1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Referecircncias bibliograacuteficas
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1998 Cap 1-5
BUTTS Thomas Colocando problemas adequadamente In NCTM Problem solving in
School Mathematics 1980 p 23-26
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wwwwebcomcomcalcCalcMachhtml Arquivo capturado em 09 de setembro de 2010
COSTA Adeilton Fernandes da Uso de softwares matemaacuteticos Porto Velho
UNIRRIOMAR 2005
DrsquoAMBROSIO Beatriz S Como ensinar Matemaacutetica hoje Temas amp Debates n 2 p 15-
19 1989
DANTE Luiz R Didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo Aacutetica
1989
ESTEPHAN Violeta Maria PERACCHI Edilaine do Pilar Fernandes e TOSATTO Claacuteudia
Miriam Matemaacutetica ideacuteias amp relaccedilotildees 1ordf ed Curitiba Positivo 2002
EXPLORANDO20WINPLOT20-20VOL201 Texto extraiacutedo na Internet via
httpmathexeteredurparris Arquivo capturado em 19 de outubro de 2010
GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute Roberto Matemaacutetica uma nova abordagem Satildeo
Paulo FTD 2001 3v
GIOVANNI Joseacute Ruy CASTRUCCI Benedito GIOVANI Jr Joseacute Ruy A conquista da
matemaacutetica ndash renovada 6ordm ao 9ordm ano Satildeo Paulo FTD 2009
GIOVANNI Joseacute R GIOVANNI JR Joseacute R Matemaacutetica Pensar e Descobrir Satildeo Paulo
FTD 1996
LUZ Antocircnio Maacuteximo Ribeiro da amp LUZ Beatriz Alvarenga Aacutelvares Fiacutesica 1ordf edSatildeo
Paulo Scipione 2007 3v
SAMPAIO Joseacute Luiz amp CALCcedilADA Caio Seacutergio Universo da fiacutesica 2ordf ed Satildeo Paulo
Atual 2005 3v
SILVA Claudio Xavier da amp FILHO Benigno Barreto Matemaacutetica aula por aula 2ordf ed Satildeo
Paulo FTD 2005 v 3
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
3x
3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
2minus
2) 32yx
3
3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
8
4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
6m +minus
8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
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2) ndash1
3) 3
4) ndash29
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Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
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2
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4a)
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18
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18
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27b)
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4
17
12
9
8
19c)
minusminusminusminus
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10
02
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d)
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4a)
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50
27d)
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1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
2
32
A a) 1
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02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
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7z
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3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Respostas das atividades
Atividade 1
1) 5a ndash 6b
2) 2y5y2 +
3) 11tt10
3 2 minusminus
4) 23 2m5m minusminus
5) x2
1minus
6) y35
33x
3
11 minus
7) 3
2x
3
14 minus
8) 5
y2x
5
3x 22
minusminus
Atividade 2
1) 42bx10a
2) cba5
1 33minus
3) x2
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3
1x
6
1x
4
1 234 minus+minus
4) 13x5x3x 23 minus+minus
5) 48aa14a3a 235 minus++minus
6) 128a15a2 minusminus
7) 23a14a15a 23 +minusminus
8) 2bc2ac2abcba 222 +++++
9) 313α10α 2 minusminus
10) 35β11β5β 34 minusminusminus
Atividade 3
1) x3
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2) 32yx
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3) 23 b7abb3a +minus
4) y4
1y2 minus
5) 3x2x2 +minus
6) 3xx 2 minusminus
7) 2x ndash 3
8) 5x +1 r = 5x ndash 2
Atividade 4
1) 3a + b +c a ndash b + 3c a + 3b ndash c ndash a +
b + c
2) 9125yminus
3) 69yx27
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4) 25
yx 44
5) 42b025a
6) 236 25ββ10αα ++
7) 422 n25
9mn
5
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8) 3223 y6xyy12x8x +++
Atividade 5
1) x1
4x
minus
2) ndash1
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5) ndash3
Atividade 6
1)
3
13
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3) [17 21]
4) [80 90]
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1290
7
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Atividade 7
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19c)
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5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
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1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
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+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE
Atividade 6
1)
3
13
3
29
2) [ ]32
3) [17 21]
4) [80 90]
5)
7
1290
7
1360
Atividade 7
1)
=
2
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10
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2
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d)
3)
=
35
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14
4a)
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343
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0
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100
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1b) =
5) 2a) minus= 90b) = 2c) minus=
6)
minus
minus=minus
2
11
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32
A a) 1
minus=minus
02
1
12
3A b) 1
Testes
1) 4432 yx6
13yx
6
13 minus
2) 18
7z
18
7xy 32
+minus
3) 726x181x6x72x 234 ++minus+
4) 22 10β11α16α minusminus
5) α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
6) 2510xx 2 ++
7) valor da divisatildeo 5xx 3 +minus valor
numeacuterico ndash 1
8) O valor de x = AMO ndash TE