MATEMÁTICA – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 01 – 2013 Página 1

MATEMÁTICA – PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 01 – 2013

01. Simplifique a expressão a seguir de acordo com as regras do Fatorial de um número:

02.

03. De quantas maneiras 6 pessoas podem sentar-se num banco de 6 lugares de modo que duas delas fiquem sempre juntas, em qualquer ordem?

04. (Unifor–CE) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?

a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720

05. (UFJF–MG) Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é: a) 288 b) 296 c) 864 d) 1728 e) 2130 06. (ITA–SP) Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes? a) 144 b) 180 c) 240 d) 288 e) 360 07. Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5? 08. Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e um de sapatos? 09. De quantas formas podemos dispor as letras da palavra FLUOR de sorte que a última letra seja sempre a letra R?

10. Quantos números naturais com 3 algarismos podemos formar que não comecem com 16, nem com 17? 11. São quantos os números ímpares com três algarismos, que não possuem dígitos repetidos e que de trás para frente também são ímpares? 12. Construa a árvore das possibilidades de uma corrida, na qual participam três amigos, Xisto, Yves e Zenão. 13. (FGV) Um homem tem oportunidade de jogar no máximo 5 vezes na roleta. Em cada jogada ele ganha ou perde um real. Começara com um real e parará de jogar antes de cinco vezes, se perder todo seu dinheiro ou se ganhar três reais, isto é, se tiver 4 reais. O número de maneiras em que o jogo poderá se desenrolar é: a) 5 b) 3 c) 11 d) 12 e) 10

14. Quantos números de 3 algarismos podem

ser formados com os algarismos 1,2,3,4 e 5?

15. Quantos números de 3 algarismos podem

ser formados com os algarismos 1,2,3,4 e 5,

sem repetição?

16. Quantos números de 3 algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5; que

contenha pelo menos 2 números repetidos?

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17. Quantos números de 3 algarismos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4?

18. Quantos números de 3 algarismos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4; sem

repetição? 19. Em minha casa há 4 carros, 2 motos e 4 bicicletas. De quantas formas eu posso sair de casa? 20. Num restaurante tem as seguintes opções para os clientes: 3 carnes, 2 massas e 4 saladas. Quantas são as possibilidades do restaurante montar seu cardápio com uma carne, uma massa e uma salada? 21. Uma garota deseja aprontar seu “look” para a balada e dispõe no seu guarda-roupa 10 calças e 20 blusas. Quantos “looks” ela pode ter para se arrumar? 22. Uma garota deseja sair para a balada e dispõe na sua sapateira 10 botas, 20 tênis e 25 sandálias. De quantas maneiras diferentes ela tem para sair de casa usando um dos seus calçados?

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GABARITO - MATEMÁTICA – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 01 – 2013 01.

02.

03. Como duas pessoas ficarão sempre juntas, podemos considerá-las uma única pessoa. Dessa

forma temos que:

P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Sabendo que as duas pessoas podem se sentar de duas maneiras, teremos 2 * 120 = 240.

Portanto as 6 pessoas podem ocupar o banco de 6 lugares, em que 2 fiquem sempre juntas, de

240 maneiras.

04. Os pais deverão ocupar os extremos:

P ____ ____ ____ ____ M ou M ____ ____ ____ ____ P

2 * P4 = 2 * 4! = 2 * 4 * 3 * 2 * 1 = 48 maneiras

Resposta correta item b.

05. Resposta correta item d.

4 livros de Geometria = P4

2 livros de Álgebra = P2

3 livros de Análise = P3

P4 * P2 * P3 * P3 = 4! * 2! * 3!

4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

2! = 2

3! = 3 * 2 * 1 = 6

P4 * P2 * P3 * P3 = 24 * 2 * 6 * 6

P4 * P2 * P3 * P3 = 1728 maneiras

06. Resposta correta item a.

3 e o 4 ocupando posições adjacentes

5! * 2! = 120 * 2 = 240 números

1 e o 2 juntos e o 3 e o 4 juntos

4! * 2! * 2! = 24 * 2 * 2 = 96 números

3 e o 4 juntos e o 1 e o 2 nunca juntos

240 – 96 = 144 números

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07. Como o zero à esquerda de um número não é significativo, para que tenhamos um número

natural com dois algarismos ele deve começar com um dígito de 1 a 9, temos portanto 9

possibilidades.

Para que o número seja um múltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto temos

apenas 2 possibilidades.

A multiplicação de 9 por 2 nos dará o resultado desejado.

Logo:

São 18 os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5.

08. Pelo princípio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que é o número de

elementos do primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao número de elementos do segundo

conjunto.

Portanto:

Poderei me calçar de 40 maneiras diferentes.

09. Para a última letra, segundo o enunciado temos apenas uma possibilidade que é a letra R.

Para a primeira, segunda, terceira e quarta letras temos respectivamente 4, 3, 2 e 1

possibilidades. Assim temos:

Note que este exemplo é semelhante ao caso dos livros, explicado no início da página, só que

neste caso teríamos mais um livro, digamos de ciências, que sempre seria colocado na pilha por

último.

Podemos dispor as letras da palavra FLUOR de 24 formas diferentes, tal que a última letra seja

sempre a letra R.

10. Neste exemplo iremos fazer o cálculo em duas partes. Primeiro iremos calcular quantos são

os números com três algarismos.

Como neste caso na primeira posição não podemos ter o dígito zero, o número de possibilidades

para cada posição é respectivamente: 9, 10 e 10.

Portanto temos 900 números naturais com três dígitos.

Agora vamos calcular quantos deles começam com 16 ou 17.

Para a primeira posição temos apenas uma possibilidade, o dígito 1. Para a segunda temos 2,

pois servem tanto o dígito 6, quanto o 7.

Para a terceira e última posição temos todos os dígitos possíveis, ou seja, 10 possibilidades.

Multiplicando tudo temos 20.

Logo, subtraindo 20 de 900 obtemos 880.

Existem 880 números naturais nestas condições.

11. Os números devem ser ímpares, temos então 5 possibilidades para o último algarismo.

A história do "de trás para frente", em outras palavras quer dizer que o primeiro algarismo

também é ímpar. Como um dígito ímpar já foi utilizado na última posição, temos então apenas 4

disponíveis para a primeira posição.

Para o dígito central temos apenas 8 possibilidades, pois dois dígitos ímpares já foram utilizados.

Multiplicando 4 por 8 e por 5 obtemos 160.

Assim sendo:

São 160 os números ímpares que satisfazem a todas estas condições.

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13. C /// 14. 5 x 5 x 5 = 125 /// 15. 5 x 4 x 3 = 60 ///

16. (5 x 5 x 5) – (5 x 4 x 3) = 125 – 60 = 65 /// 17. 4 x 5 x 5 = 100 ///

18. 4 X 4 X 3 = 48 /// 19. (ou) 3 + 2 + 4 = 9 /// 20. (e) 3 x 2 x 4 = 24 /// 21. (e) 10 x 20 = 200 possibilidades de “looks”. /// 22. (ou) 10 + 20 + 25 = 55 possibilidades de sair de casa calçada. ///

FONTE http://www.pensevestibular.com.br/exercicios-2/questoes-resolvidas/revisao-sobre-principio-fundamental-da-contagem http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-fatorial-principio-fundamental-contagem.htm http://www.matematicadidatica.com.br/PrincipioFundamentalContagem.aspx