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Matemática e suas Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 9º AnoFunção do 2º grau conceitos iniciais
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
Vamos analisar o movimento de uma bola após ser chutada por um goleiro, em um tiro de meta (velocidade
inicial de 72 km/h).
Imag
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MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
A altura da bola varia em função do tempo.
Veja a tabela a seguir.
ALTURA (m)
TEMPO (s)
15 1
20 2
15 3
0 4
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
NOTE: A bola ganha altura até 2 segundos e depois perde altura, chegando ao chão novamente no instante de 4 segundos.
A função que fornece a altura, neste caso, em função do tempo é dada por:
h = 20t – 5t2
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
Galileu foi, provavelmente, o primeiro a observar que um objeto em queda livre percorre distâncias
proporcionais ao quadrado do tempo decorrido.
t (s) h (m)
1 5
2 20
3 45
DEFINIÇÃO
Chama-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA qualquer função de R em R dada por uma lei
da forma:
com a, b e c números reais e
Domínio
Contradomínio
Nomenclaturas:
Conjunto Imagemé o conjunto formado por todos as ordenadas y, que representam imagens das abscissas x, por meio da
função.
cbxaxxf 2
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
Identificação de coeficientes da função quadrática:
2x2 - 3x + 5 = 0
a = 2
b = -3
c = 5
-x2 + 4x - 3 = 0
a = -1
b = 4
c = -3
4x + 8x2 - 4 = 0
a = 8
b = 4
c = -4
3x - 6x2 = 0
a = -6
b = 3
c = 0
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
Zeros da função:Zero da função, ou raízes da equação, são os valores de “x” que anulam a função, tornando-a uma equação f(x) = 0, através dos valores encontrados na fórmula de Bháskara:
O Discriminante (representado pela letra grega delta), mostrará a quantidade de raízes reais da função quadrática pela fórmula abaixo:
a
acbbxcbxaxxf
2
400)(
22
∆ = b2 – 4.a.c
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CONCAVIDADE DA PARÁBOLA:
Se a > 0 Se a < 0
Concavidade Concavidade para cimapara cima
Concavidade Concavidade para baixopara baixo
y = ax2 + bx + c
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
TERMO INDEPENDENTE
c
y
x
y = ax2 + bx + c
Exemplo :
4
y
x
y = x2 - 2x + 4
Ponto em que a reta toca no eixo y
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
O vértice é um ponto muito importante na parábola, pois por meio dele obtemos informações significativas.
A ordenada do vértice admite valor mínimo ou valor máximo.
Se a > 0, concavidade voltada para cima, então a função admite
valor MÍNIMO, .
Se a < 0, concavidade voltada para baixo, então a função
admite valor MÁXIMO, .
0
y
x
Valor mínimo
. 0
y
x
Valor máximo
.
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
Coordenadas do Vértice y = ax2 + bx + c
Em qualquer caso, as coordenadas do vértice são dadas por:
a
bxV 2
a
yV 4
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• Achar as raízes da função
• O valor de c toca o eixo do y
• Achar o vértice da função
1 3x x
( 2) 21
2.1 2(16) 16
44.1 4
(1, 4)
V
V
X
Y
V
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
Para se estudar o sinal da função do 2º grau deve-se adotar o procedimento:
•Determinam-se as raízes da função.•Marcam-se as raízes em uma reta (caso existam).•Analisa-se a concavidade da parábola.•Faz-se o estudo do sinal.
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
+ +
-
Analisar os sinais da função, é verificar nos intervalos do domínio onde a função tem imagem positiva, negativa ou nula, considerando também o valor de a e o valor de ∆.
X1 X2
+ +. .+ + X1=X2
+ +.+
X1 X2
+- . . -
- - - . --X1=X2
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
Estudar o sinal da função f(x)= x2 - 5x + 6.
x2 - 5x + 6 = 0 (determina-se a raiz da função);-marcam-se as raízes em uma reta e analisa-se a concavidade da parábola;-faz-se o estudo do sinal.
f(x) > 0, para x<2 ou x>3
f(x)=0, para x=2 ou x=3
f(x) < 0, para 2 < x < 3
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
ESBOÇO DO GRÁFICO
Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter :
- Concavidade
- Ponto c
- Zeros
- Vértice
y
x
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
Vamos partir de dois exemplos para fazermos algumas generalizações:
Exemplo 1: y = f(x) = x² - 4x + 3 X Y
-1 8
0 3
1 0
2 -1
3 0
4 8
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
X Y
-2 0
-1 3
0 4
1 3
2 0
3 -5
Exemplo 2: y = f(x) = -x² + 4
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
EM RESUMO
Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta seguir os seguintes passos:
1. Determinar as raízes da função( se existirem).2. Marcar os valores das raízes sobre o eixo x.
3. Calcular o vértice da parábola e marcar no plano cartesiano. 4. Marcar no eixo y o valor do coeficiente c.5. Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando pelos pontos marcados.
Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta seguir os seguintes passos:
1. Determinar as raízes da função( se existirem).2. Marcar os valores das raízes sobre o eixo x.
3. Calcular o vértice da parábola e marcar no plano cartesiano. 4. Marcar no eixo y o valor do coeficiente c.5. Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando pelos pontos marcados.
,2 4
bV
a a
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
O Geogebra é um programa dinâmico para o estudo da Matemática, juntando Geometria, Álgebra e Cálculo. Nesse software, podemos desenhar pontos, vetores, segmentos, linhas e funções, e isso de forma dinâmica. No uso de funções, podemos mostrar no gráfico as coordenadas, os vértices, etc. Ele
pode ser baixado gratuito no site: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
Área de trabalho do software
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MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
Exemplos de gráficos com o Geogebra:
Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto.Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
Exemplos de gráficos com o Geogebra:
Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto.Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org
MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais
Exemplos de gráficos com o Geogebra:
Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto.Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org
DANTE, Luiz Roberto. Matemática (Ensino médio). Vol. Único. São Paulo: Ática, 2008.
GIOVANNI e BONJORNO. Matemática Fundamental: uma nova abordagem. Volume único. Editora FTD, 2002
Manual “Ajuda GeoGebra - Manual Oficial da Versão 3.2”. Acesso em 29 nov. de 3010. Disponível em <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>
Sites: http://hsa.zip.net/http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.phpSoftware Geogebra http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
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Tabela de Imagensn° do slide
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29/08/2012
23 a 26 Geogebra / software gratuito de código aberto.
http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org
30/08/2012