LogaritmoPARTE 4 –Mudança de Base

Existem situações pelos quais tem o valor do logaritmo de um

número em uma dada base, digamos b, e deseja encontrar o

valor do logaritmo deste mesmo número em uma outra base,

digamos a, quando isto ocorre, o que se tem é uma:

Mudança de Base

Para efetuar estes cálculos o que se faz é simplesmente aplicar

a Definição e as propriedades vista na PARTE 3.

Ilustrações através de Exemplo.

Seja x um número real tal que: 4211,3)x(log32 = . Ache o valor

de )x(log2

Solução

Note que o que se tem é o logaritmo de um número na base 32 e deseja saber qual é o logaritmo deste mesmo número porem na base 2, e assim

trata-se de Mudança de Base

Inicialmente aplica a definição na informação que você possui:

1055,174211,3.54211,354211,3 22)2(32x ====

4211,332 32x4211,3)x(log =⇒= Logo: 1055,17)x(log 2 =

Como 32 = 2 5 , vem: Resposta: 17,1055

Pelo exemplo anterior, percebe-se que para fazer mudança de base não é

necessário um processo com muitos detalhes, bastando para isto Usar da Definição de

Logaritmo, ao qual usando de forma geral, pelo mesmo processo acima, chega a:

Ilustração: Do exemplo anterior:

)x(log)b(log)x(log baa ×=

)x(log)2(log)x(log)32(log)x(log 325

23222 ×=×=

Assim: 1055,174211,35)x(log 2 =×=

Tinha: 4211,3)x(log 32 = Pede: )x(log 2

Demonstração da Fórmula:

)x(log)b(log)x(log baa ×=

)1(bx:temdefiniçãopelaqualao,r)x(log:queConsidere rb ==

)2(ab:temdefiniçãopela,t)b(log:tambemConsidere ta ==

r.t)x(log:totanpora)a(x:)1(em)2(doSubstituin ar.trt ===

)x(log.)b(logr.t)x(log:Finalmente baa ==

)x(log)b(log)x(log baa ×=

Dado que: 4567,0)x(log 49 = . Ache o valor de )x(log 7

Solução

Base original: 49 e deseja saber o logaritmo deste mesmo número na base 7, usando a fórmula geral vem:

)x(log)7(log)x(log)49(log)x(log 492

74977 ×=×=

9134,04567,02)x(log 7 =×=

Resposta: 0,9134

)x(log)b(log)x(log baa ×=

Dado que: 4567,0)x(log 10 = . Ache o valor de )x(log 5 10

Solução

Base original: 10 e deseja saber o logaritmo deste mesmo número na base 5 10 usando a fórmula geral vem:

)x(log)10(log)x(log)10(log)x(log 105

5

10101010 555 ×=×=

)x(log)10(log)x(log))10((log)x(log 1055

101055

1

1010 555 ×=×=

2835,24567,05)x(log 5 10=×=

Resposta: 2,2835

)x(log)b(log)x(log baa ×=

Seja x um número real tal que: 2525,2)x(log3 = . Ache o valor de: )x(log 81

Solução

Base Conhecida: 3; Base a que se pretende escrever o logaritmo: 81

Pela definição: 563125,04

2525,22525,24

1

8181)81(x:Assim ===

2525,23 3x2525,2)x(log =⇒= 563125,0)x(log:olog 81 =

Como 81 = 3 4 , vem: 4

1

4 81813 == Resposta: 0,563125

)x(log)b(log)x(log baa ×=

Dado x real tal que: 3636,3)x(log15 = . Ache o valor de: )x(log 31

Solução

Base Conhecida: 15; Base a que se pretende escrever o logaritmo: 31

Pela definição: )x(log)15(log)x(log 153131 ×=

3636,315 15x3636,3)x(log =⇒=

Devido a Não-Decomposição, deixa:

)15(log 31 Indicado

Note aqui que as bases são: 15 e 31ocorre que não é possível escrever o número 31 em decomposição inteira

de 15, assim sendo a solução será:

3636,3)15(log)x(log 3131 ×=

)15(log.3636,3)x(log 3131 =

Resposta: )15(log.3636,3 31

Pelo Exemplo 4, percebeu que existem números pelos quais pretende calcular o

valor de seu logaritmo e pelo qual este número Não pode ser decomposto em termos

da Base, e assim não se tem o valor de seu logaritmo naquela base de forma imediata,

mas sim utilizando-se de Matemática Avançada pelo qual não está a nosso, neste caso,

para encontrá-lo existem os caminhos:

Existem Tabelas de Logaritmo para a obtenção de seu valor, ao qual foram

obtidas através da Matemática Avançada;

Na Era da informática, as Planilhas Eletrônicas (Excel ; Acess: etc ) possibilitam

ao usuário encontrar tais valores, bem como Softwares Matemáticos (Derive;

Mathematical ; etc)

PARTE 4 – Mudança de Base

FIMProf. Gercino Monteiro Filho