srbgadelha.files.wordpress.com · Web viewUso de derivadas em limites: a regra de L’Hospital. Limites e mudança de base. Diferenciabilidade e continuidade. Derivadas de ordem

Prof. Sérgio Ricardo de Brito GadelhaEmail: [email protected]ítio eletrônico: http://srbgadelha.wordpress.com

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA PARA O EXAME DA ANPEC

CÁLCULO A UMA VARIÁVEL: FUNÇÕES, LIMITES E DERIVADAS

Brasília, DF2007

MATEMÁTICA

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

Função de uma variável. Funções em R1. Funções lineares. Inclinação de funções não-lineares. Monotonicidade. Polinômios e funções especiais. Máximo e mínimo. Intervalo. Domínio, contradomínio e imagem. Operações com funções.

Limites. Definição. Limites laterais. Limites e continuidade de funções. Propriedades e operações com limites. Limites de funções compostas. Limites e produtos notáveis. Uso dos algoritmos de Briot-Rufini e de Euclides. Limites fundamentais. Limites trigonométricos. Teorema do sanduíche. Limites infinitos e limites no infinito.

Derivadas e diferenciais. Noção intuitiva, visão gráfica, a diferença entre derivada e diferencial, formalização matemática. Regras de derivação. Uso de derivadas em limites: a regra de L’Hospital. Limites e mudança de base. Diferenciabilidade e continuidade. Derivadas de ordem superior.

Aplicações do cálculo de uma variável. Máximos e Mínimos. Otimização clássica. Condições de primeira e segunda ordens.

Regra da cadeia. Funções compostas e a regra da cadeia. Funções inversas e suas derivadas.

Exponenciais e logaritmos. Funções exponenciais. O número “e”. Logaritmos. Propriedades de exponenciais e logaritmos. Derivadas de exponenciais e logaritmos. Aplicações.

BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

BRAGA, Márcio Bobik; KANNEBLEY JÚNIOR, Sérgio; ORELLANO, Verônica I.F. Matemática para economistas. São Paulo: Atlas, 2003. Capítulos 1 a 4.

CHIANG, A.C. Matemática para Economistas. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.

SIMON, Carl & Blume, L. Matemática para Economistas. Tradução: Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2004. Capítulos 1 a 5.

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1) ANPEC (1990) - Se ( ) , ,x x x e aa 0 0 1 examine as seguintes afirmações:

(0) A função é crescente.(1) A função d/dx é crescente.(2) lim ( )

xx

0.

(3) lim ( )x

x

.

(4) Se x y entãox y x y

0 0

2 2, ,

( ) ( ).

2) ANPEC (1990) - Dado y e onde x t tx ( ) ( ) , , ,0 0 12 0 02 determine dy/dt para t = 9.

3) ANPEC (1990) - Determine o perímetro máximo de um retângulo inscrito no interior de um círculo de raio 2 .

4) ANPEC (1991) – Determine o valor da função (x) = 10 + 5x + 3x 2 - x 3 quando ela passa pelo seu ponto de inflexão.

5) ANPEC (1992) - Determine o menor valor positivo para k de tal forma que a

função y = sen(x - k) tenha um ponto de máximo em x 52

.

6) ANPEC (1992) - Dado que (x) = sen xx8

para x 0, quando deve valer (0) para

que seja contínua em R?

7) ANPEC (1992) - Dada a função y x x 12 3 , x R, assinale como falsa ou verdadeira cada afirmação:

(0) A função possui dois pontos críticos.(1) Um dos pontos críticos é um ponto de inflexão.(2) No intervalo (-2,2), de seu domínio, a função é sempre crescente.(3) A função é côncava para valores negativos de x.(4) Quando x = 2 a função atinge o seu máximo valor em seu domínio.

8) ANPEC (1992) – Determine a área sob a curva y x15 2 no intervalo onde x varia de 1 a 2.

9) ANPEC (1993) – Indique quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas:

(0) A função yex

x

2 1

é contínua no intervalo [0,2].

(1) lim .x

x xx

2

2 5 62

1

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3




(2) lim .x

senxx

0

0

(3) Para que a função yx xx

x

2 4 3

33, possa ser estendida continuamente a

toda a reta R, é necessário atribuir-lhe o valor 2 no ponto x = 3.

(4) lim .x

x x xx

6 2 100 200

3 13

3 2

3

10) (ANPEC 1993) – Dada a função y x x x 3 3 2 3 3, [ , ], assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:

(0) Quando x = 0, a função tem um produto de inflexão.(1) A função tem valor máximo global igual a 4.(2) No ponto x = -1, a função possui um mínimo local.(3) A função é decrescente no intervalo (0,1).(4) No intervalo (-3,0) a função é convexa.

11) (ANPEC 1993) – Assinale como verdadeira ou falsa, cada uma das afirmações abaixo:

(0) A derivada de x éx

xx

x

1 ln.

(1) A forma geral das funções de elasticidade constante é ( ) .x a bx

(2) Se a > 0, a função yax bx

1 2 tem um mínimo local em ba

ba

12

2 e um

máximo local estrito em ba

ba

12

2.

(3) x y ax y x y ( ) ( ) , , ,1 1 0 0 0 1 .

12) (ANPEC 1993) – Calcule a área compreendida entre o gráfico da curva

y x x 2 713

2 , o eixo Ox e as retas x = 2 e x = 4.

13) (ANPEC 1994) – Indique as afirmativas verdadeiras e as falsas:

(0) Seja ( )x x22. Logo ‘(1) = 2.

(1) Seja ( )xe ee e

x x

x x

. Logo ‘(0) = 1.

(2) Seja ( ) .lnx e x Logo ‘(1) = 1.

14) (ANPEC 1994) – Indique as afirmativas verdadeiras e as falsas:

(0) Se é diferençável em [a, b] então é sempre contínua em [a, b].(1) Se é contínua em [a, b], então é sempre diferençável em [a, b].(2) Se (x) = x 2 e g(x) = 2, então a derivada do produto .g é o produto das

derivadas de e g.

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15) (ANPEC 1994) – Assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:

(0) lim ( ) /x

xx 011 1.

(1) lim ./x

xx 1 1(2) lim ( ) ./

xxx e 0

1 0(3) lim ( ) ./

xx xe x 0

1 1

(4) lim .x xe x

0

11

1 12

16) (ANPEC 1995) – Indique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

(0) limx

x

x

1

12

2

.

(1) lim .x

xx

0

0

(2) lim .x

x

x

xx

0

12

(3) lim .x

senxx

0

1

17) (ANPEC 1996) - Indique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas:

(0) Uma função duas vezes derivável é estritamente côncava se, e somente se, a sua derivada segunda é estritamente negativa.

(1) A função f x xe x( ) para possui um único ponto crítico que corresponde a um ponto de máximo global estrito, mas não é côncava.

(2) Seja uma função convexa e derivável, exceto em um ponto, no qual possui derivada à direita positiva e à esquerda negativa. Então este ponto é um mínimo global para f .

(3) A função f x y x x( , ) 3 23 2 é côncava no intervalo 52

32

x

.

18) (ANPEC 1996) - Indique se cada afirmativa é verdadeira ou falsa:

(0) A expressão define uma função de em .

(1) A expressão não define uma função de x 0, em y 0, .

(2) A função f xxx

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, , possui assíntota horizontal.

(3) A função y f x x x n , 0 , possui mínimo em .

(4) Considere y f x , onde . Uma condição necessária para a existência da função inversa f y x 1 , é que f x seja uma bijeção.

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19) (ANPEC 1996) - Indique se cada afirmativa é verdadeira ou falsa.

Seja dada por f x x x 3 23 2 .

(0) f x possui um máximo global.

(1) f x não possui mínimo local.

(2) f x é estritamente crescente para .

(3) f x possui um mínimo local e um máximo local.

(4) f x possui um ponto de inflexão em .

20) (ANPEC 1996) - Indique se a afirmativa é verdadeira ou falsa:

(0) Dado que f xsen xx

( )8

para x0, para que f seja contínua em , f ( )0 deve valer 0

(1) f x x 1 é contínua em todo o seu domínio.

(2) f x

x x xpara outros valores de x

1 0 10

,, é contínua mas não diferenciável em [0, 1].

(3) Se f : 01 01, , é continua em 0 1, , existe x 01, tal que f x x .

(Sugestão: desenhe um gráfico).

21) (ANPEC 1997) - Seja o conjunto dos números reais. Classifique como verdadeira ou falsa as afirmações a seguir:

(0) A união de dois intervalos abertos de é sempre um intervalo aberto de . (1) O conjunto dos números irracionais entre 0 e 1 constitui um intervalo aberto

de (2) f : é uma função contínua em x=xo desde que f(xo) exista.(3) O logaritmo de a na base b é o recíproco do logaritmo de b na base a , para

a,b números reais positivos.

22) (ANPEC 1997) - Classifique como verdadeira ou falsa as afirmações a seguir:

(0) limx 1(x -1) {(x -1)} = 3.1/2 -1

(1) lim ( )( )x x x 64

112

238 4 3.

(2) lim( )

cos( )xx sen xx x

5 = 3.

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23) (ANPEC 1997) - Classifique como verdadeira ou falsa as afirmações a seguir

(0) Se f e g são funções reais de variável real tais que f´(x) > 0 e g´(x) > 0 , para todo x, então a função composta h(x) f(g(x)) é crescente.

(1) Se f e g são funções reais de variável real tais que f é convexa e g é côncava, então 5 2f g é convexa.

(2) Se f e g são funções reais de variável real tais que f, f´, g e g´ são crescentes,então a função produto h(x) f(x).g(x) é convexa.

24) (ANPEC 1997) - Suponha que f(x) seja uma função real de variável real, x,definida assim:

f x x x( ) 12 3

Classifique cada uma das afirmações abaixo como verdadeira ou falsa.

(0) f(x) possui dois pontos críticos.

(1) Um ponto crítico é ponto de inflexão.

(2) No intervalo (-2,2) do seu domínio, f(x) é sempre crescente.

(3) f(x) é côncava para valores negativos de x.

(4) Quando x = -2 , f(x) atinge o seu máximo valor em seu domínio.

25) (ANPEC 1998) - Identifique quais das afirmativas abaixo sobre a função y: definida por y(x)= |x|e-2|x| são verdadeiras e quais são falsas;

(1) y possui um único ponto de mínimo global;(2) y possui um único ponto de máximo global;

(3)

limx

dy xdx 0

não existe

26) (ANPEC 1998) - Responda V ou F;

(0) lim (sen ) ;x x

xe

2

2

10

(1) lim /

x

xxe

0

1;

(2) limx

x

x

xx

0

1 3 3 ;

(3) lim ( )x

bx a ba x e

0

1 , onde a e b são números reais não nulos;

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27) (ANPEC 1998) - A quantidade demandada de certo produto, por unidade de tempo, segue padrão linear (em termos do preço), reduz-se a zero quando o preço é maior ou igual a 10 e decresce duas unidades para cada unidade monetária de aumento de preço. A quantidade ofertada por unidade de tempo reduz-se a zero quando o preço é menor ou igual a 2 e é proporcional ao quadrado do preço quando este assume valores maiores que 2. Determine o valor das compras do produto na situação de equilíbrio.

28) (ANPEC 1998) - Certa empresa produz relógios ao custo unitário de 8 e sabe que se fixar o preço em x, venderá (100-2x) unidades por período de tempo(onde x 50). Qual deve ser o valor de x para que a lucro das vendas seja máximo?

29) (ANPEC 1998) - Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas sobre a função

f x x x x 3

2

352

14 7 ; x:

(0) Apresenta ponto de inflexão para x=2,5(1) Apresenta ponto de máximo para x = 5(2) Apresenta ponto de mínimo local para x = 7(3) Apresenta descontinuidade em x=2,5

30) (ANPEC 1999) - Sejam f:RR e g:RR funções contínuas. Ponha h(x)=f(g(x)) e u(x)=g(f(x)). Classifique como V ou F as afirmações abaixo.

(0) u(x) = h(x) para x=0.(1) Se f é derivável então h também o é.(2) h é contínua.(3) Se h e u são deriváveis então h’(x)=u’(x) para todo x.

31) (ANPEC 1999) - Classifique como falsas ou verdadeiras as afirmações:

(0)

(1)

32) (ANPEC 1999) - Se f(x) = 2x e g(x) = 2x – 2, calcular

f(g(x)) – g(g(x)) + g-1(f(x)) para x = -3

33) (ANPEC 1999) - Tem-se uma curva de demanda de elasticidade constante,

onde q e p são variáveis não-negativas e têm os significados usuais. Se a oferta é fixa em 100 unidades e a elasticidade da demanda é –1,5, qual é o preço de equilíbrio de mercado?

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34) (ANPEC 1999) - Dizemos que uma função f:RR satisfaz a propriedade C nos pontos a, b e c quando

Classifique como V ou F cada uma das afirmações abaixo:

(0) Qualquer trinômio do segundo grau satisfaz a propriedade C para quaisquer a, b e c.(1) Se f é côncava então satisfaz à propriedade C para quaisquer a, b e c.(2) Se f(x) = x3 então f satisfaz à propriedade C se a, b e c são números reais positivos.(3) Se f(x) = x3 então f satisfaz à propriedade C se a, b e c são números reais negativos.

35) (ANPEC 1999) - Verdadeiro ou falso

(0) Em relação a modelos matemáticos: parâmetros são constantes genéricas e variáveis exógenas não são determinadas pelo modelo

(1) O logaritmo de a na base b é o recíproco do logaritmo de b na base a (2) O regime de capitalização contínua é um caso limite do regime de capitalização

simples quando o período de capitalização tende para zero.(3) Se f:RR é derivável em x=xo então |f(x)| é derivável em x= x0 desde que f(xo)

exista.

36) (ANPEC 1999) - Seja g:RR, duas vezes diferenciável. Defina h(x)= g((x-1)3). Qual o valor de 10+h’’(1) ?

37) (ANPEC 1999) - Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas sobre a função

; xR:

(0) Apresenta ponto de inflexão para x=2,5(1) Apresenta ponto de máximo local para x = 5(2) Apresenta ponto de mínimo local para x = 9(3) Apresenta descontinuidade em x=2,5

38) (ANPEC 2000) - QUESTÃO 02 - Responda V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) A função , se e , é contínua em 0;

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(1) Se é derivável em todo , então

(2) Se é tal que então é derivável em x;

(3) é a reta tangente à curva no ponto

;

(4) Se é tal que e , então .

39) (ANPEC 2000) - QUESTÃO 07 - Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) Se é estritamente crescente no intervalo então é estritamente convexa neste intervalo;

(1) Se e são funções côncavas na reta , deriváveis até a ordem 2 e , para todo , então é uma função côncava em ;

(2) Se é estritamente côncava em , então vale a desigualdade

para todo ;

(3) Se é côncava e derivável no intervalo aberto , então , para todo ;

(4) Os pontos de inflexão de no intervalo são

.

40) (ANPEC 2000) - QUESTÃO 08 - A respeito dos limites abaixo, assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0)

(1)

(2)

(3)

41) (ANPEC 2000) - QUESTÃO 06 - Sendo a taxa de juros periódica (p.p.) que quintuplica o capital inicial Co, assinale V (verdadeiro) ou F (falso).

(0) Se o prazo de aplicação é de 10 períodos e os juros são simples, então = 40%;

(1) Se o prazo de aplicação é de 10 períodos e os juros são compostos, então =(5)(1/10) - 1;

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(2) Se o prazo de aplicação é de 10 períodos e a capitalização é contínua, com taxa instantânea de juros constante, então = ln5;

(3) Se o prazo de aplicação é de 10 anos, os juros são compostos e a capitalização é semestral então, pode ser determinado mediante resolução da equação 5 = ln(1 + )20

42) (ANPEC 2001) - A respeito da função definida por , responda V (verdadeiro) ou F (falso):

Ⓞ A função possui um ponto de máximo global;① A função possui um ponto de mínimo global;② A função possui quatro pontos de inflexão;③ Para todo tem-se ;④ A função possui um ponto de mínimo local no ponto .

43) (ANPEC 2001) - A respeito dos limites abaixo, responda V (verdadeiro) ou F (falso).

Ⓞ ;

①

② ;

③ ;

④ .

44) (ANPEC 2002) - Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

Ⓞ

①

②

③

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④

45) (ANPEC 2003) - Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) .

(1) .

(2) .

(3) Se então .

(4) , para 0 < x < 1.

46) (ANPEC 2003) - Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso):

(0) Se é derivável e para todos pertencentes ao intervalo

vale , então para

pertencentes ao intervalo .

(1) Se , 0 < x < 1 e i > 0, então .

(2) Se é derivável e , então

para todo .

(3) Se , para todo , então para .

(4) Se , para todo , então , para .

47) (ANPEC 2004) - Considerando a função , assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

Ⓞ a equação tem no máximo duas raízes reais no intervalo ;① a equação tem no mínimo duas raízes reais no intervalo ;

② a equação tem no máximo uma raiz real no intervalo ;

③ é crescente no intervalo ;

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④ é côncava no intervalo .

48) (ANPEC 2004) - Responda V (verdadeiro) ou F (falso):Ⓞ Seja uma função estritamente côncava e duas vezes continuamente

diferenciável. Se a<b, então f’(a)>f’(b).

① Seja uma função duas vezes continuamente diferenciável tal que existem a<b com f’(a)=f’(b)=0 e f(a)=f(b)=1. Se existe c tal que a<c<b e f(c)=0, então existe d tal que a<d<c e f’’(d)=0.

② Seja uma função estritamente convexa tal que f(0)=0. Então . .

③ Seja uma função contínua tal que, para qualquer x, f(x)=f(-x)0. Então f atinge um mínimo em x=0.

④ Seja uma função estritamente côncava tal que f(0)<f(1). Então f é estritamente crescente no intervalo [0,1].

49) (ANPEC 2005) - Dadas as funções e , avalie as

afirmativas:

Ⓞ .

① O domínio da função composta é .

② A função é injetora.

③ O domínio da função é .

④ O domínio da função está contido na imagem dela.

50) (ANPEC 2005) - Avalie as afirmativas:

Ⓞ .

① .

② Se e são polinômios, então , desde que

③ Se , então

④

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51) (ANPEC 2006) - Considere a função . Julgue as afirmativas abaixo:Ⓞ O ponto x = 1 é ponto de máximo local.① Existe uma vizinhança do ponto x = 1 dentro da qual o menor valor que a função

assume é 0.② f(x) possui uma inflexão em x = 2/3.③ f(x) é convexa apenas na região e côncava apenas na região .

52) (ANPEC 2006) - Avalie as opçõesⓄ Seja , , então f é injetora.① O conjunto {xR; x² - x – 2 > 0} é um intervalo aberto de R.② Defina a imagem de D sob f como {f(x); xD} com notação f(D). Então para dois

conjuntos D e D’ quaisquer f(D D’) = f(D) f(D’).③ Defina a imagem de D sob f como {f(x);xD} com notação f(D). Então para dois

conjuntos D e D’ quaisquer , f(D D’) é um subconjunto de f(D) f(D’).④ Defina a imagem inversa de D sob f como {xdom(f);f(x) D} com notação

Então, tem-se

57) (ANPEC 2007) –

58) (ANPEC 2007) –

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GABARITO

1) (0) V, (1) F, (2) F, (3) V, (4) F2) 03) 84) 175) 26) 87) (0) V, (1) F, (2) V, (3) F, (4) F8)9) (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F10) (0) V - (1) F - (2) V - (3) F - (4) V11) (0) F - (1) F - (2) V - (3) F12) 2013) (0) F - (1) V - (2) V14) (0) V - (1) F - (2) F15) (0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F16) (0) V - (1) F - (2) V - (3) F17) (0) F - (1) V - (2) V - (3) V

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18) (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V19) (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) V20) (0) F - (1) V - (2) F - (3) V21) (0) F, (1) F, (2) F, (3) V22) (0) F, (1) F, (2) F23) (0) V - (1) V - (2) F24) (0) V - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F25) (0) F - (1) V - (2) F - (3) V26) (0) V - (1) F - (2) F - (3) F27) 4828) 2929) (0) V - (1) F - (2) V - (3) F30) (0) F - (1) F - (2) V - (3) F31) (0) V - (1) F32) 0033) 0434) (0) F - (1) F - (2) V - (3) F35) (0) V - (1) V - (2) F - (3) F36) 1037) (0) V - (1) F - (2) F - (3) F38) (0) F - (1) F - (2) F - (3) V - (4) V39) (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V40) (0) V - (1) F - (2) F - (3) F41) (0) V - (1) V - (2) F - (3) F42) (0) V - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F43) (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F44) (0) F - (1) F - (2) F - (3) V - (4) F45) (0) V - (1) F - (2) F - (3) F - (4) V46) (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F47) (0) F - (1) V - (2) V - (3) V - (4) V48) (0) V - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F49) (0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V50) (0) F - (1) V - (2) V - (3) V - (4) F51) (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V52) (0) V - (1) F - (2) F - (3) V - (4) V53) (0) V, (1) F, (2) F, (3) F, (4) F54) (0) V, (1) F, (2) F, (3) V, (4) F

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