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Teoria dos Poliedros de Platão
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POLIEDROS DE POLIEDROS DE PLATÃOPLATÃO
Poliedros ou particularmente sólidos de Platônicos, tem sido estudados há milhares de anos.
Platão já destacava a beleza das formas dos cinco sólidos regulares: cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
““Poliedro é uma reunião de um Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, número finito de polígonos planos, onde cada lado de um desses onde cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono”, apenas um, outro polígono”, podendo ser côncavo ou convexo.podendo ser côncavo ou convexo.
Os poliedros convexos possuem Os poliedros convexos possuem nomes especiais, de acordo com o nomes especiais, de acordo com o número de faces:número de faces:
• Tetraedro: poliedro convexo com quatro faces;Tetraedro: poliedro convexo com quatro faces;• Pentaedro: poliedro convexo com cinco faces;Pentaedro: poliedro convexo com cinco faces;• Hexaedro: poliedro convexo com seis faces;Hexaedro: poliedro convexo com seis faces;• Heptaedro: poliedro convexo com sete faces;Heptaedro: poliedro convexo com sete faces;• Octaedro: poliedro convexo com oito faces;Octaedro: poliedro convexo com oito faces;• Icosaedro: poliedro convexo com vinte faces.Icosaedro: poliedro convexo com vinte faces.
São elementos dos poliedros:São elementos dos poliedros:
Face
Vértice
Aresta
Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares iguais, e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas.
São Poliedros de Platão:São Poliedros de Platão:
Cubo
V= 8
A=12
F= 6
Tetraedo
V= 4
A= 6
F= 4
Octaedro
V= 6
A= 12
F= 8
Dodecaedro
V= 20
A= 30
F= 12
Icosaedro
V= 12
A= 30
F= 20
Relação de Euler:Relação de Euler:
Em todos os poliedros convexos, Em todos os poliedros convexos, podemos notar que vale a relação de podemos notar que vale a relação de Euler:Euler:
V – A + F = 2
Exercício:Exercício:
Usando a relação de Euler determine Usando a relação de Euler determine o número de arestas e de vértices de o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis faces um poliedro convexo com seis faces quadragulares e quatro faces quadragulares e quatro faces triangulares:triangulares:
SoluçãoSolução
6 faces quadrangulares – 6X4 = 24 arestas
4 faces triangulares – 4X3 = 12 arestas
Número total de arestas = 36
Como cada aresta foi contada duas vezes, temos: 2ª = 36 A = 18
Aplicando a relação de de Euler temos:
A + 2 = V + F 18 + 12 =