Posição Relativa entre reta e plano

Equipe: Aline Fernandes, Eduardo Santos, Gabriella Roquim, Gustavo Monteiro e Jessica Cheim

Introdução Vamos ver um pouco sobre, como funciona, como identificamos numa figura plana, suas retas e seus planos pois, existem três formas nas quais duas retas podem se relacionar entre si, podendo ser paralelas, concorrentes ou perpendiculares.

Posições relativas entre reta e plano

• Contida Quando todos os pontos da reta pertencerem ao plano, ela será dita contida num plano. 

• Insidente Chamamos uma reta de incidente num plano, quando ela tem apenas um ponto uniforme com o plano. 

• PARALELA

Chamamos uma reta de paralela a um plano quando ela não tiver o ponto em comum com no plano.

Retas Coplanares São retas contidas num mesmo plano.

Reversas São retas contidas num mesmo plano. Paralelas

. São retas coplanares que não possuem

ponto comum.

• Postulado de Euclides O Postulado de Euclides é a base da geometria que estamos estudando, que por este motivo é denominada de Geometria Euclidiana.

"Por um ponto fora de uma reta só podemos traçar uma paralela a esta reta.“

"Se um segmento de reta intercepta duas retas (no mesmo plano), de modo que um dos pares dos ângulos colaterais internos tem soma inferior a dois ângulos retos, então as retas quando prolongadas suficientemente, se cortam do lado em que se encontram os referidos ângulos colaterais internos."

• O que se entende por ponto impróprio?

O ponto de intersecção entre as retas R e R' quando paralelas é um ponto P infinitamente distante denominado de ponto impróprio.Podemos concluir que ponto impróprio é um ponto comum entre duas retas paralelas, situado numa posição infinitamente distante. 

• O ponto impróprio caracteriza um conjunto de retas paralelas.

A figura abaixo mostra conjuntos de retas paralelas e os seus respectivos pontos impróprios.

representa uma direção de reta, de forma que duas retas que, no plano euclidiano, seriam paralelas, no plano projetivo se interceptam em um ponto impróprio no infinito.

• Planos concorrentes Planos concorrentes são planos que possuem pontos comuns. A intersecção entre dois planos concorrentes é sempre uma reta

• Planos paralelos Planos paralelos são planos que não possuem pontos comuns.

• Quais são as posições possíveis de uma reta em relação a um plano ? 

• Uma reta e um plano que:• não têm pontos comuns >>> reta paralela ao plano• têm um único ponto comum >>> reta secante ao plano• têm mais de um ponto comum >>> reta contida no plano

• Quais são as propriedades das retas em relação aos planos ? 

1 - Quando dois planos P e P' são paralelos, qualquer reta R contida num deles P é paralela ao outro P'.

2 - Quando uma reta R é paralela a um plano P, ela é paralela a uma reta R' deste plano.

3 - Quando uma reta R não esta contida num plano P e é paralela a uma reta R' do plano, então ela R é paralela ao plano P.

4 - Em planos paralelos P e P' podemos ter retas R e R' que não sejam paralelas.

5 - Podemos ter retas paralelas R e R' em dois planos P e P' que não sejam paralelos.

6 - Se um plano P" intercepta dois planos P e P' paralelos as intersecções são retas R e R' paralelas.

• 7 - Um plano P contem retas R e R' concorrentes paralelas a um outro plano P', então os planos P e P'  são paralelos.

• ExemploPor exemplo, considerando um cubo, que pode ser representado por uma caixa de cartão e fazendo passar fios pelas arestas simbolizando rectas, pode-se fazer notar que as arestas que constituem a base do cubo são complanares, mas que qualquer aresta perpendicular à base do cubo não será  complanar com as arestas que a constituem.A noção de que duas rectas complanares distintas poderem ocupar diferentes posições relativas, também deve ser abordada recorrendo a um modelo. Por exemplo, utilizando uma peça que se assemelhe ao telhado de uma casa e fazendo o desenho do esqueleto da figura, ( cf. figura 2 ), é possível explicar que :

• as retas r e v são concorrentes, têm um ponto em comum e como contêm dois lados consecutivos de um triângulo são oblíquas;

• as retas E é r são concorrentes no mesmo ponto e contêm dois lados consecutivos de um retângulo, pelo que se chamam perpendiculares;

• as retas u e w contêm dois lados opostos de um retângulo pelo que são paralelas;

• Utilizando uma imagem conveniente, (cf. figura 3), é possível apreciar  as diversas posições relativas que dois planos podem ocupar:

• os planos a e b contêm duas faces opostas do prisma e são neste caso paralelos;

• os planos que contêm duas faces consecutivas são concorrentes e neste caso oblíquos;

• o plano de uma face é perpendicular ao plano de cada uma das bases.

ConclusãoTrata – se de diferentes planos e retas, nas quais são muito usadas no nosso cotidiano, como num ponteiro de um relogio, quanto numa via dutra de uma cidade etc, tudo está interligado a figuras planas e espaciais e em seus formatos.