Introdução às Introdução às FunçõesFunções

Ao final dessa aula você Ao final dessa aula você saberá:saberá:

O que é uma função e todas as O que é uma função e todas as formas de representá-laformas de representá-la

Definição de domínio, Definição de domínio, contradomínio e imagem, além contradomínio e imagem, além do cálculo para determiná-los.do cálculo para determiná-los.

Representação das funções Representação das funções através de gráficos.através de gráficos.

O que é O que é funçãofunção??

É a É a relaçãorelação entre entre dois conjuntosdois conjuntos

quaisquerquaisquer, A e B, onde cada , A e B, onde cada valor de valor de AA

correspondecorresponde a a somente um valor de somente um valor de BB.. Ou seja, pode sobrar elementos em B, mas não pode

sobrar em A.Podem chegar duas setas em

um mesmo elemento de B, mas não podem partir duas setas

do mesmo elemento de A.

Exemplos de Exemplos de funções:funções: B

A

8

7

6

5

4

3

2

1

BA

8

7

6

5

4

3

2

1

9

BA

7

6

5

4

3

2

1

Como indicamos uma Como indicamos uma função?função?

a) Representação cartesiana: a) Representação cartesiana: A x A x BB

b) Pelo diagrama:b) Pelo diagrama:

c) Simbologia formal matemática:c) Simbologia formal matemática:

f: A B ou A f: A B ou A B B

BA

ff

Se considerarmos que x é um Se considerarmos que x é um elementoelemento

de A e y um elemento de B, temos de A e y um elemento de B, temos maismais

duas formas de representar uma duas formas de representar uma função:função:

y = x ou f(x) = xy = x ou f(x) = xSe liga!

f(x) é a mesma coisa que y.

f(x) lê-se: “f de x”.

Exemplos de funções:Exemplos de funções: y = x + 1y = x + 1

f (x) = xf (x) = x22 + 3 + 3

y =y =

4

x

2mm

32

4

x5t

y =y =

f (x) =f (x) =

y =y =

Essas expressões são chamadas de lei da função.

O que é O que é domíniodomínio de uma de uma função?função?

É o conjunto de onde partem as setas, ou seja, os possíveis valores de x.

BA

8

7

6

5

4

3

2

1

D(f) = A = {1,2,3,4}

Como Como calcularcalcular o o domíniodomínio de de uma função?uma função?

A princípio, A princípio, qualquerqualquer número do conjunto número do conjunto

dos dos números reaisnúmeros reais pode ser o domínio da pode ser o domínio da

função, mas existem algumas função, mas existem algumas restriçõesrestrições,,

quando a expressão apresentada for umaquando a expressão apresentada for uma

fraçãofração de de denominador literaldenominador literal ou uma ou uma raizraiz

de índice parde índice par..

Ou seja, qualquer nº real pode ocupar o valor de x, menos quando

temos uma fração de denominador x ou uma raiz de índice par.

ExemplosExemplos Função Função sem sem fração de fração de denominador literal denominador literal ou ou

raiz de índice parraiz de índice par::

Função com fração de Função com fração de denominador literaldenominador literal::

Função com raiz de Função com raiz de índice paríndice par::

1xy RfD )(

2m

my 02m 2m

}2{)(, RfDLogo

5)( txf 05 t 5t}5/{)(, tRtfDLogo

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!

Encontre o domínio da Encontre o domínio da função:função:

2

x

xy

SoluçãoSolução

Se a restrição para denominador Se a restrição para denominador literal é ser e pra raiz com índice literal é ser e pra raiz com índice par é ser . Então, se juntarmos as par é ser . Então, se juntarmos as duas restrições, temos que: duas restrições, temos que:

0 0

2x

02 x

}2/{)(, xRxfDEntão

Moleza!Hehehe...

Qual é a diferença entre Qual é a diferença entre contradomínio e imagem?contradomínio e imagem?

BA

87

65

4321

9

ContradomínioContradomínio é todo o é todo o conjuntoconjunto onde onde chegam as setaschegam as setas. .

ImagemImagem é o conjunto das é o conjunto das respostasrespostas..

CD (f) = B = CD (f) = B = {5,6,7,8,9}{5,6,7,8,9}

Im (f)={5,6,7,8}Im (f)={5,6,7,8}

A imagem é um subconjunto do contradomínio.

De que outra forma De que outra forma podemos indicar a podemos indicar a imagemimagem de um determinadode um determinado valor valor

para para xx??Escrvendo Escrvendo f(nº)f(nº)..

Exemplo:Exemplo:

Sendo f(x) = x + 4, calcule f(3).Sendo f(x) = x + 4, calcule f(3).

Substituindo 3 no lugar do x, Substituindo 3 no lugar do x, temos:temos: f(3) = 3 + 4 = 7 f(3) = 3 + 4 = 7

Ou seja, quando x = 3, a imagem da função é igual a 7.

Como determinamos o Como determinamos o domíniodomínio e a e a imagemimagem através do através do gráficográfico? ?

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5x

y

D(f) = [1,5]

Im(f) = [1,5]

Resolvendo problemasResolvendo problemasNuma indústria automobilística, o Numa indústria automobilística, o

valor de um pedido é igual a um custo valor de um pedido é igual a um custo fixo de R$200,00 mais um custo fixo de R$200,00 mais um custo variável de R$0,07 por peça fabricada. variável de R$0,07 por peça fabricada. Determine o custo final desse pedido, Determine o custo final desse pedido, sabendo que foram entregues 100 sabendo que foram entregues 100 peças.peças.

f(x) = 200 + 0,7xf(x) = 200 + 0,7x

f(100) = 200 + 0,7.100f(100) = 200 + 0,7.100

f(100) = 200 + 70f(100) = 200 + 70

f(100) = 270f(100) = 270

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!(U.F. Ouro Preto - MG) Uma piscina está (U.F. Ouro Preto - MG) Uma piscina está cheia com 10.000 litros de água. Abre-se cheia com 10.000 litros de água. Abre-se o fundo de um ralo, pelo qual escoam o fundo de um ralo, pelo qual escoam 100 litros de água por minuto.100 litros de água por minuto.

a) Determine a função que relaciona o a) Determine a função que relaciona o volume V de água da piscina, t minutos volume V de água da piscina, t minutos após o ralo ser aberto.após o ralo ser aberto.

b) Determine depois de quantos minutos a b) Determine depois de quantos minutos a piscina estará vazia.piscina estará vazia.

c) Faça um gráfico de V como função de t.c) Faça um gráfico de V como função de t.

SoluçãoSoluçãoa) a) V = 10.000 – 100 tV = 10.000 – 100 t

b) 0 = 10.000 – 100 tb) 0 = 10.000 – 100 t

100 t = 10.000100 t = 10.000

t = 100.t = 100. Resp: Resp: 100 100 minutosminutos

c) c)

V

t

10.000

100