Aula 3 resistência ao cisalhamento

Rafaela Faciola

Universidade Federal de Alagoas Campus do Sertão – Delmiro Gouveia

Curso de Engenharia Civil

Agradecimentos: Prof. Dr. Jefferson Lins

Aula 3 – Resistência ao Cisalhamento

- Estado de Tensões

- Círculo de Mohr

- Coesão e Atrito

- Critérios de Ruptura

Capacidade de carga de fundações

Introdução - Resistência ao Cisalhamento

Estabilidade de encostas naturais



Talude de corte



Tração

Compressão

Cisalhamento


Estado de Tensões

- Seja considerado um corpo em equilíbrio, submetido a um conjunto de forças

- Esse corpo pode ser subdividido por um plano em duas partes S’ e S”

Estado de Tensões

Isolando a parte S’ , a área da seção de corte é A

Estado de Tensões

Numa área elementar dA, em torno do ponto P atua uma força dF.

Estado de Tensões

P

Tensão no ponto P, pelo plano : dA

dF =

Define-se como tensão no ponto P, pelo plano , a grandeza

A tensão é uma grandeza vetorial, com mesma direção e mesmo sentido da força dF

Estado de Tensões

Normal: tensão normal ()

Tangencial: tensão tangencial ou de cisalhamento ()

A tensão pode ser decomposta em duas componentes: uma normal () e outra tangente () ao plano .

Estado de Tensões

O módulo da tensão normal () varia entre dois extremos: Quando o seu módulo atinge o valor máximo, a tensão normal é chamada de tensão principal maior (1) e a tensão tangencial () será nula.

Quando o módulo atinge o valor mínimo, a tensão normal é chamada de tensão principal menor (2) e a tensão tangencial () também será nula.

Estado de Tensões

3 < < 1

1 plano principal maior ( = 0)

3 plano principal menor ( = 0)

2 ( = 0) ( 3 < 2 < 1 )

•Variando o plano pi, o módulo da tensão normal () varia entre dois extremos.

Estado de Tensões

- Existe uma relação entre a tensão normal e tensão de cisalhamento que atuam num plano de ruptura: f = f(σ) - Então, existem infinitas combinações (tensão normal) (tensão de cisalhamento máxima), que podem ser representadas por um gráfico (f ) versus ( ).

σz

zx

σx

xz

z

x

xy = yx= zy = yz = σy=0

xz = zx=

Por Equilíbrio

Estado de Tensões

xz = zx= 0 z

σ

σ1

zx

σ3

x

xz

Estado Particular

PPM

PPm

σ1: Tensão Principal Maior σ3: Tensão Principal Menor

Plano qualquer

Conhecidas as tensões atuantes nas faces do elemento é possível conhecer as tensões geradas em um plano alfa com inclinação qualquer em relação ao plano principal maior. Basta aplicar as equações de equilíbrio de força nas direções horizontais e verticais de forma a obter as seguintes relações de tensões:

z

σ

σ1

σ3

x

Plano qualquer

[σ- (σ1+ σ3)/2]2 + 2 = [(σ1- σ3)/2]2 + 2

EQUAÇÃO DE UM CÍRCULO

Estado de Tensões

Círculo de Mohr

• Tensão normal e a tensão de cisalhamento atuantes em qualquer plano, podem ser determinadas graficamente através do Círculo de Mohr.

[(σ1+ σ3)/2; 0]

=(σ1- σ3)/2

Convenção de

Sinais

Compressão (+)

Círculo de Mohr

[(σ1+ σ3)/2; 0]

=(σ1- σ3)/2

Como obter o ponto P???

σ1

zx

σ3

xz

Círculo de Mohr

Como obter o ponto P???

σ1

zx

σ3

xz

Considerando um ponto no círculo

que representa um conjunto de

tensões (normal e cisalhante), para

encontrar o Polo basta traçar por

este conjunto de pontos uma paralela

ao plano onde atuam essas tensões.

O ponto P é determinado pela

intersecção da reta paralela com o

círculo.

O Polo é um ponto único para um determinado estado de tensão

Para o elemento de solo mostrado na figura abaixo, determinar:

Tensão principal maior

Tensão principal menor

Tensões no plano AC

Direções dos planos principais

Máxima tensão de cisalhamento

A B

C D

600 kPa 240 kPa

360 kPa

240 kPa

Exercício de Aplicação

(600;240)

(360;-240)

(240;120)

Polo

748.32 kPa

tensão principal

maior

211.67 kPa

tensão principal menor

Plano principal maior Plano principal menor

= 268.32 kPa max

A B

C D

600 kPa

240 kPa

360 kPa

240 kPa


Para o elemento de solo mostrado na figura abaixo, determinar:

Tensão principal maior

Tensão principal menor

Direções dos planos principais

Máxima tensão de cisalhamento


100 kPa

400 kPa

100 kPa

200 kPa

1= 441,42

3= 158,58

max = 141.42 kPa

Plano principal menor

Plano principal

maior

Polo

(200;100)

(400;-100)

Plano principal

maior

Plano principal menor


Atrito e Coesão

Fmob

T = Fmob τ = τ mob = Fmob /A / A

R

T

N

N

RESISTÊNCIA POR ATRITO

Atrito e Coesão

Fat

τdisp = σ tg

τdisp = τf = c + σ tg Geral

max

R

Tmax

N

N RESISTÊNCIA POR ATRITO

Segundo a lei de Coulomb a resistência por atrito é função da tensão normal no

plano de deslizamento relativo.

Atrito e Coesão

RESISTÊNCIA POR ATRITO

τdisp = τf = c + σ tg

Atrito e Coesão

τdisp = τf = c + σ tg COESÃO

Por isso, quando falamos em resistência de um solo, estamos implicitamente falando de sua resistência ao cisalhamento.

Fundação Direta Talude

Superfícies de ruptura

Nos solos, são consideradas somente as solicitações por cisalhamento.

De uma forma geral, os solos rompem por cisalhamento:

mob

= disp Ruptura

Critérios de Ruptura


√ São formulações que “tentam” refletir as condições em que ocorre a ruptura do material.

√ Existem critérios que estabelecem:

- Máximas tensões de compressão, de tração ou de cisalhamento

- Máximas deformações

- Consideram a energia de deformação

√ Um critério de ruptura satisfatório é aquele que é capaz de refletir o comportamento do material.


√ A análise do estado de tensões que provoca a ruptura é o estudo da RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO.

√ Para os solos, os critérios de ruptura que melhor representam o comportamento, são:

CRITÉRIOS DE COULOMB

CRITÉRIOS DE MOHR


CRITÉRIOS DE COULOMB

“não há ruptura se a tensão de cisalhamento não ultrapassar um valor dado pela expressão c + f.σ , sendo c e f constantes do material, e σ a tensão normal existente no plano de cisalhamento”.

√ Os parâmetros c e f são denominados de coesão e coeficiente de atrito, respectivamente. Sendo o coeficiente de atrito, pode ser expresso como a tangente de um ângulo, denominado de ângulo de atrito interno.


CRITÉRIOS DE MOHR

“não há ruptura enquanto o círculo representativo do estado de tensões se encontrar no interior de uma curva, que é a envoltória dos círculos relativos a estados de ruptura observados experimentalmente para o material”.

A

B

ENVOLTÓRIAS DE MOHR


A Envoltória de Ruptura de Mohr é representada por uma linha, na qual é curva.

ENVOLTÓRIAS DE MOHR-COULOMB


- Para a maioria dos problemas de mecânica dos solos esta função pode ser aproximada por uma reta. Essa relação é denominada de critério de ruptura de Mohr-Coulomb.

f = f(σ)

Critério de ruptura de

Mohr-Coulomb

Tensão normal ()

ten

são

de c

isalh

am

en

to (

)

c

Envoltória de

ruptura de Mohr

f = c + σ tg

MOHR - COULOMB


A Envoltória de Ruptura de Mohr foi ajustada à

uma reta...

f = f(σ)

Critério de Ruptura de

Mohr-Coulomb

f = c + σ tg

σ tg

c

resistência por

atrito

resistência por

coesão

MOHR - COULOMB


- Para um mesmo solo, os parâmetros c e variam em função de vários fatores:

• faixa de carregamento aplicada ao solo • tipo de ensaio efetuado • histórico de tensões • etc.

- Por essa razão, os parâmetros de resistência não são intrínsecos do solo. - Eles devem ser obtidos de forma a atender as condições peculiares do problema em estudo. - Os parâmetros de resistência podem ser obtidos tanto em laboratório como em ensaios in situ.


MOHR - COULOMB


c e não são parâmetros intrínsecos do solo

Obtidos para atender as condições particulares do problema

’ = tensão efetiva e = índice de vazios w = teor de umidade

e = deformação H = histórico das tensões

S = estrutura T = temperatura

laboratório e/ou ensaios in situ

MOHR - COULOMB


MOHR - COULOMB

Obs:

- Os dois critérios de ruptura apontam para a importância da tensão normal no plano de ruptura.

Portanto...

Quando o círculo de Mohr tangencia a envoltória, em que plano se dará a ruptura?


O plano de ruptura faz um ângulo q com plano principal maior.

DIREÇÃO DO PLANO DE RUPTURA

- Segmento OB representa o plano de ruptura para um círculo que toca na envoltória.

- Segmento Bd representa a tensão máxima cisalhante. Esta tensão cisalhante é menor do que a máxima indicada pelo segmento aD.

B

D

B

- Ou seja, no plano de máxima tensão cisalhante, a tensão normal indicada pelo segmento Oa, proporciona uma resistência ao cisalhamento maior do que a tensão cisalhante atuante.


DIREÇÃO DO PLANO DE RUPTURA

- O plano de ruptura forma o ângulo Ɵ com o plano principal maior. Se do centro do círculo “a” , traça-se uma paralela à envoltória de resistência , constata-se que o ângulo 2Ɵ é igual ao ângulo ɸ + 90°.

ɸ + 90°

α = 45°+ ɸ/2

Do triângulo fda:

Critérios de Ruptura – Tensões Efetivas

u= '

Nos solos saturados tem-se:

Como as tensões de cisalhamento só poder ser resistidas pelo esqueleto sólido, a equação da envoltória de Mohr-Coulomb deve ser re-escrita como:

'tan'''tan)(' == cucf

SOLOS SATURADOS

Estado de Tensões frente ao Critério de Ruptura

Estado I – Solo sob estado de tensões isotrópico

Estado II – A tensão cisalhante em qualquer plano é menor que a resistência ao cisalhamento.

Estado III – O círculo de Mohr tangencia a envoltória , onde τθ=τ caracteriza a ruptura em um plano

inclinado de θr com o plano onde atua σ1.

Estado III – O solo não consegue atingir esse estado de tensões.

O círculo de Mohr ultrapassou a envoltória.

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