Embed Size (px)
Citation preview
1
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Observación
1.- Dada la función con 0Ð>Ñ œ > > !
Determinar los tales que : converge= − / † 0Ð>Ñ.>‘ '!
_=>
Solución ' '
! !
_ _
/ † 0Ð>Ñ.> œ / † >.>=> =>
œ / † >.>lim,Ä_
=>'!
,
pero, como , si '
/ † >.> œ Ð Ñ † / = Á !=> =>> "= =#
œ Ð Ñ † /lim,Ä_
> "= =
=>#
!
,¸
œ Ð Ñ † / lim,Ä_
, " "= = =
=,# #
diverge si
diverge si
si
œ
= !
= œ !
= !
ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ "
=#
luego, se tiene que :
diverge si
diverge si
si
'ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ
!
_
#
/ † 0Ð>Ñ.> œ
= !
= œ !
= !
=>
"=
2
2.- Determinar los tales que : converge= − / † =/8Ð>Ñ.>‘ '!
_=>
Solución
' '! !
_ ,
/ † =/8Ð>Ñ.> œ / † =/8Ð>Ñ.>=> =>
,Ä_lim
pero, como '
/ † =/8Ð>Ñ.> œ / Ð-9=Ð>Ñ = † =/8Ð>ÑÑ=> =>""=#
œ / Ð-9=Ð>Ñ = † =/8Ð>ÑÑlim,Ä_
""=
=>#
!
,¸
œ / Ð-9=Ð>Ñ = † =/8Ð>ÑÑ lim,Ä_
" ""= "=
=># #
diverge si
diverge si
si
œ
= !
= œ !
= !
ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ "
"=#
luego, se tiene que :
diverge si
diverge si
si
'ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ
!
_
#
/ † =/8Ð>Ñ.> œ
= !
= œ !
= !
=>
""=
3
3.- Determinar los tales que : converge= − / † / .>‘ '!
_=> #>
Solución
' ' '! ! !
_ _ ,
/ † / .> œ / .> œ / .>=> #> Ð#=Ñ> Ð#=Ñ>
,Ä_lim
œ /lim,Ä_
"#=
Ð#=Ñ>¸!
,
œ Ð / Ñlim,Ä_
" "#= #=
Ð#=Ñ,
diverge si
diverge si
si
œ
= #
= œ #
= #
ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ "
=#
luego, se tiene que :
diverge si
diverge si
si
'ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ
!
_
/ † / .> œ
= #
= œ #
= #
=> #>
"=#
Definición
Una función se dice continua por tramos en 0 Ò+ß ,Ó ssi 1.- es acotada en 0 Ò+ß ,Ó 2.- es continua en salvo un número finito de puntos0 Ò+ß ,Ó
Teorema
Si es continua por tramos en Ò+ß ,Ó entonces es Riemann Integrable en 0 Ò+ß ,Ó
4
Observación
Sea función , 0 À qqqqqp = −‘ ‘ ‘!
se tiene que : '!
_
/ † 0Ð>Ñ.>=>
puede ser convergente para ciertos valores de , siempre que tenga= 0 ciertas caracteristicas que permitan la convergencia . Si esto es posible, se tendra que es posible definir una función que asigne a cada uno de los valores de , el valor de convergencia de la= integral impropia
Definición
Sea función0 À qqqqqp‘ ‘!
> qqqqqp 0Ð>Ñ
sea converge E œ Ö − Î / † 0Ð>Ñ.> × Á! ‘ 9'!
_ >!
Llamaremos Transformada de Laplace de a la función0
_ ‘Ò0 Ð>ÑÓ À E qqqqqp
= qqqp / † 0Ð>Ñ.>'!
_=>
es decir _Ò0 Ð>ÑÓÐ=Ñ À œ / † 0Ð>Ñ.>'!
_=>
Ejemplo
1.- Si ; se tiene que0Ð>Ñ œ > à > − ‘!
_ ‘ ‘Ò > Ó À qqqqqp
= qqqp "=#
es decir _Ò > ÓÐ=Ñ À œ / † > .> œ'!
_
#=> "
=
5
2.- Si ; se tiene que0Ð>Ñ œ =/8Ð>Ñ à > − ‘!
_ ‘ ‘Ò=/8Ð>ÑÓ À qqqqqp
= qqqp ""=#
es decir _Ò =/8Ð>Ñ ÓÐ=Ñ À œ / † =/8Ð>Ñ .> œ'!
_
#=> "
"=
3.- Si ; se tiene que0Ð>Ñ œ / à > −#>!‘
_ ‘Ò/ Ó À Ó#ß _Ò qqqqqp#>
= qqqp "=#
es decir _Ò / ÓÐ=Ñ À œ / † / .> œ#> => #> "=#
'!
_
Ejemplo
Determinar si _ ‘Ò0 Ð>ÑÓ 0 Ð>Ñ œ " à > − !
Solución
_ _Ò 0 Ð>Ñ ÓÐ=Ñ œ Ò " ÓÐ=Ñ œ / .> œ ß = !'!
_=> "
=
con lo cual :
es decir_ ‘ ‘ _Ò"Ó À qqqqqp Ò"ÓÐ=Ñ œ "=
= qqqp "=
Ejercicio
Determinar : 1.- 2.- 3.- 4.- _ _ _ _Ò> Ó à Ò=/8Ð#>Ñ Ó à Ò-9=Ð$>ÑÓ à Ò#> $Ó#
5.- 6.- 7.- _ _ _Ò#> "Ó à Ò> † / Ó à ÒÐ#> $Ñ † / Ó# > #>
8.- 9.- 10.- _ _ _Ò/ Ó à Ò=/8Ð+>Ñ Ó à Ò-9=Ð+>ÑÓ+>
6
Definición
Sea función0 À qqqqqp‘ ‘!
> qqqp 0Ð>Ñ
Diremos que es una función de orden exponencial0 ssi Ðb- − ÑÐb − ÑÐa> − ÑÐ 0Ð>Ñ Ÿ - † / Ñ‘ ! ‘ ‘ >
! ¸ ¸ !
Ejemplo
1.- función constante , es de orden exponencial ya que0Ð>Ñ œ -
¸ ¸ ¸ ¸ ¸0Ð>Ñ œ Ÿ † /- - !†>
2.- , es una función de orden exponencial ya que0Ð>Ñ œ >
¸ ¸ ¸0Ð>Ñ œ > Ÿ " † / œ /> >
3.- En general toda función del tipo :
0Ð>Ñ œ / ß 0Ð>Ñ œ =/8Ð+>Ñ ß 0 Ð>Ñ œ -9=Ð+>Ñ ß 0 Ð>Ñ œ / =/8Ð,>Ñ ß+> +>
0Ð>Ñ œ / -9=Ð,>Ñ ß 0 Ð>Ñ œ > ß 0Ð>Ñ œ > † / ß 0 Ð>Ñ œ > † / ß+> 8 +> 8 +>
0Ð>Ñ œ > † =/8Ð,>Ñ ß 0 Ð>Ñ œ > † -9=Ð,>Ñ ß 0 Ð>Ñ œ > † =/8Ð,>Ñ ß ÞÞÞÞ#
son funciones de orden exponencial.
Observación
1.- es de orden exponencial ya que , se sabe que :0Ð>Ñ œ >8
es decir , se cumple que a partir de cierto lim>Ä_
>/
8 >8
> œ ! ß > à > Ÿ /
2.- no es de orden exponencial ya que :0Ð>Ñ œ / œ _>
>Ä_ /
# >#
>lim e
7
Teorema
Si es continua por tramos y de orden exponencial en 0 ‘!
entonces converge Ðb − ÑÐa= − ÑÐ= Ê / 0Ð>Ñ.> Ñ! ‘ ‘ ! '
!
_=>
Observación
El ser de orden exponencial, es una condición suficiente para la existencia de la Transformada de Laplace, pero no es una condición necesaria
Ejemplo
no es de orden exponencial ,sin embargo0Ð>Ñ œ "
>È
converge, basta considerar :'!
_
/ .>=> "
>È
y las cuales son convergentes' '!
_1
1/ .> / .>=> =>" "
> >È È
Observación
Sean continua por tramos y de orden exponencial V œ Ö0 Î0 ×
ó con Y ‘œ Ö1 ÎH97Ð1Ñ œ Ó= ß _Ò H97Ð1Ñ œ Ò= ß _Ò = − ×! ! !
se tiene que
y son espacios vectoriales sobre con la suma yÐ ß ß Þ Ñ Ð ß ß Þ ÑV Y ‘
multiplicación por escalar usual ademas, se tiene que
es una función _ À V Yqqqqqp 0 Ò0 Ó qqqqp _
pero : si 0Ð>Ñ œ =/8Ð>Ñ à 1Ð>Ñ œ =/8Ð>Ñ
8
se cumple que :
Ð −_ _ _ _Ò0 Ó Ò1ÓÑÐ=Ñ œ Ò0 ÓÐ=Ñ Ò1ÓÐ=Ñ œ œ ! =" "= " = "# # si ‘
por otro lado, se tiene que
si _ _Ò0 1Ó Ð=Ñ œ Ò!ÓÐ=Ñ œ ! = − ‘
es decir, se tiene que
Ð_ _ _ _Ò0 Ó Ò1ÓÑÐ=Ñ Á Ò0 1Ó Ð=Ñ por lo tanto no es lineal
pero si consideramos que en dos funciones son igualesY ó ssi lo son en algún intervalo del tipo : Ó+ß _Ò Ò+ß _Ò
se tendra que es lineal, con lo cual podemos decir que_
_ À V Yqqqqqp es una función lineal, por lo tanto se cumple que : 0 Ò0 Ó qqqqp _
Ð_ _Ò0 Ó Ò1ÓÑÐ=Ñ œ / Ð0 1ÑÐ>Ñ.>'!
_=>
œ / 0 Ð>Ñ.> / 1 Ð>Ñ.>' '! !
_ _=> =>
œ Ò0 ÓÐ=Ñ Ò1ÓÐ=Ñ_ _
donde ambas convergen
9
Ejemplo
Se sabe que :
_ _ _Ò/ Ó œ ß = $ à Ò>Ó œ ß = ! à Ò"Ó œ ß = !$> " " "=$ = =#
_ _Ò=/8Ð>ÑÓ œ ß = ! à Ò-9=Ð>ÑÓ œ ß = !" == " = "# #
por lo tanto , se tiene que :
1.- para _Ò/ >Ó œ = $$> " "=$ =#
2.- para _Ò#/ %=/8Ð>ÑÓ œ = $$> # %=$ = "#
3.- para _Ò$ #>Ó œ = !" #= =#
4.- para _Ò # $-9=Ð>ÑÓ œ = !# $== = "#
5.- _ _ _ _Ò =/8 Ð>ÑÓ œ Ò Ó œ Ò "Ó Ò -9=Ð#>ÑÓ# "-9=Ð#>Ñ# # #
" "
para œ = !" " =#= # = %#
Ejercicios
Determinar
1.- 2.- 2.- _ _ _Ò >/ Ó à Ò > / Ó à Ò -9= Ð>ÑÓ#> # #> #
4.- si _Ò 0 Ð>ÑÓ 0 Ð>Ñ œ! à ! Ÿ > %
# à > %
ÚÛÜ
5.- si _Ò 0 Ð>ÑÓ 0 Ð>Ñ œ> à ! Ÿ > #
#> " à > #
ÚÛÜ
10
Observación
Como sabemos se tiene que :
_ À V Yqqqqqp es una función lineal 0 Ò0 Ó qqqqp _
pero, se tiene que : dadas 0 ß 1 − V tal que
0Ð>Ñ œ 1Ð>Ñ a> − ÏE E‘! con númerable
se cumple que :
_ _Ò0 ÓÐ=Ñ œ / 0 Ð>Ñ.> œ / 1 Ð>Ñ.> œ Ò1ÓÐ=Ñ' '! !
_ _=> =>
por lo tanto, se tiene que no es inyectiva_ pero, si consideramos en que dos funciones son iguales ssi son igualesV casi en todas partes , se tendra que : es inyectiva_
Teorema(DE LERCH)
Sean funciones continuas por tramo y de orden exponencial0 ß 1 tal que : Ðb= − ÑÐa= = ÑÐ Ñ! !‘ _ _Ò0 ÓÐ=Ñ œ Ò1ÓÐ=Ñ entonces salvo discontinuidades0Ð>Ñ œ 1Ð>Ñ a> !
Observación
Por lo anterior, la ecuación : _ :ÒCÓÐ=Ñ œ Ð=Ñ − Y
de tener solución ,ésta es única y la denotaremos por :
C œ _ :"Ò Ð=ÑÓ y diremos que es la Transformada Inversa
Teorema
Si es de orden exponencial entonces 0 Ò0 ÓÐ=Ñ œ !lim_
_
11
Observación
Por lo anterior, se tiene que no es epiyectiva ya que_ :Ð=Ñ œ =/8Ð=Ñ − Y
pero no existelim_=/8Ð=Ñ
por lo tanto , no existe 0 Ò0 ÓÐ=Ñ œ =/8Ð=Ñ− V tal que _
tambien, se tiene que À
:Ð=Ñ œ ==" − Y
pero lim_
==" œ " Á !
por lo tanto , no existe 0 Ò0 ÓÐ=Ñ œ− V tal que _ =="
Ejemplo
Determinar
1.- _" #="= #=Ò Ó#
Solución
_ _" "#=" #="= #= =Ð=#ÑÒ Ó œ Ò Ó#
œ Ò Ó_" = =#
" $# #
œ Ò Ó Ò Ó" " $ "# = # =#
" "_ _
œ /" $# #
#>
12
2.- _" = &= =#= =
Ò Ó$ #
% #
Solución
_ _" "= &= =# = &= =#= = = Ð= "ÑÒ Ó œ Ò Ó
$ # $ #
% # # #
œ Ò Ó_" " # #= $= = = " = "# # #
œ Ò Ó Ò Ó Ò Ó Ò Ó_ _ _ _" " " "" # #= $= = = " = "# # #
œ Ò Ó # Ò Ó # Ò Ó $ Ò Ó_ _ _ _" " " "" " = "= = = " = "# # #
œ " #> #-9=Ð>Ñ $=/8Ð>Ñ
3.- _" %= =#= =Ò Ó#
$ #
Solución
_ _" "%= =# %= =#= = = Ð="ÑÒ Ó œ Ò Ó# #
$ # #
œ Ò Ó_" $ # "= = ="#
œ Ò Ó Ò Ó Ò Ó_ _ _" " "$ # "= = ="#
œ $ Ò Ó # Ò Ó Ò Ó_ _ _" " "" " "= = ="#
œ $ #> />
13
4.- _" #=$= %Ò Ó#
Solución
_ _" "#=$ #= $= % = % = %Ò Ó œ Ò Ó# # #
œ Ò Ó Ò Ó_ _" "#= $= % = %# #
œ # Ò Ó Ò Ó_ _" "= $ #= % # = %# #
œ #-9=Ð#>Ñ =/8Ð#>Ñ$#
Ejercicios
1.- Determinar
3Ñ Ò / Ó_ #>%
33Ñ Ò =/8Ð#> ÑÓ_ 1%
333Ñ Ò -9= Ð$>ÑÓ_ #
3@Ñ Ò Ó_Ð#>"Ñ/#>
2.- Determinar
3Ñ Ò Ó_" #=$= %#
33Ñ Ò Ó_" $= &= ="= "
$ #
%
333Ñ Ò Ó_" #= ")="!Ð= *ÑÐ="Ñ
$
#
3@Ñ Ò Ó_" #=$Ð= "ÑÐ="Ñ# #
14
Teorema
Sea continua en y supongamos que es continua por tramos y0 0‘!
ß
de orden exponencial en ‘!
entonces _ _Ò 0 Ð>Ñ Ó œ = Ò 0 Ð>Ñ Ó 0Ð!Ñ
ß
Demostración
_Ò 0 Ð>Ñ Ó Ð=Ñ œ / 0 Ð>Ñ .>ß ß'
!
_=>
sea ? œ / à .@ œ 0 Ð>Ñ .>=>ß
.? œ =/ .> @ œ 0Ð>Ñ=>
con lo cual, se tiene que
_Ò 0 Ð>Ñ Ó œ / 0 Ð>Ñ = / 0 Ð>Ñ .>ß
=> =>¸ '!
_
!
_
œ 0 Ð!Ñ = Ò 0 Ð>Ñ Ó_
œ = Ò 0 Ð>Ñ Ó 0Ð!Ñ_
Observación
En general se tiene que :
si son continuas en y supongamos que es0 ß 0 ß ÞÞÞÞß 0 0ß Ð8"Ñ Ð8Ñ
‘!
continua por tramos y de orden exponencial en ‘!
entonces _ _Ò 0 Ð>Ñ Ó œ = Ò 0 Ð>Ñ Ó = 0Ð!Ñ = 0 Ð!ÑÐ8Ñ 8 8" 8#
ß
= 0 Ð!Ñ ÞÞÞÞÞ 0 Ð!Ñ8$ßß Ð8"Ñ
15
Ejemplo
Determinar
1.- _Ò >=/8Ð>Ñ Ó
Solución
sea se tiene que0Ð>Ñ œ >=/8Ð>Ñ
0 Ð>Ñ œ =/8Ð>Ñ >-9=Ð>Ñ à 0 Ð>Ñ œ #-9=Ð>Ñ >=/8Ð>Ñß ßß
es decir : 0 Ð>Ñ œ #-9=Ð>Ñ 0Ð>Ñßß
por lo tanto, se tendra que
_ _Ò0 Ð>Ñ Ó œ Ò #-9=Ð>Ñ 0Ð>Ñ Óßß
Í = Ò 0 Ð>Ñ Ó =0Ð!Ñ 0 Ð!Ñ œ # Ò -9=Ð>Ñ Ó Ò 0Ð>Ñ Ó#_ _ _ß
Í = Ò 0 Ð>Ñ Ó œ # Ò -9=Ð>Ñ Ó Ò 0Ð>Ñ Ó#_ _ _
Í Ð= "Ñ Ò 0 Ð>Ñ Ó œ# #== "_ #
Í Ò 0 Ð>Ñ Ó œ_ #=Ð= "Ñ# #
16
# Ò >/ Ó.- _ #>
Solución
sea se tiene que0Ð>Ñ œ >/#>
0 Ð>Ñ œ / #>/ œ / #0Ð>Ñß
#> #> #>
por lo tanto, se tendra que
_ _Ò0 Ð>Ñ Ó œ Ò / #0Ð>Ñ Óß
#>
Í = Ò 0 Ð>Ñ Ó 0Ð!Ñ œ Ò / Ó # Ò 0Ð>Ñ Ó_ _ _#>
Í = Ò 0 Ð>Ñ Ó œ Ò / Ó # Ò 0Ð>Ñ Ó_ _ _#>
Í Ð= #Ñ Ò 0 Ð>Ñ Ó œ_ "=#
Í Ò 0 Ð>Ñ Ó œ_ "Ð=#Ñ#
17
3.- _Ò -9= Ð>ÑÓ#
Solución
sea se tiene que0Ð>Ñ œ -9= Ð>Ñ#
0 Ð>Ñ œ #-9=Ð>Ñ=/8Ð>Ñ œ =/8Ð#>Ñß
por lo tanto, se tendra que
_ _Ò0 Ð>Ñ Ó œ Ò =/8Ð#>Ñ Óß
Í = Ò 0 Ð>Ñ Ó 0Ð!Ñ œ Ò =/8Ð#>Ñ Ó_ _
Í = Ò 0 Ð>Ñ Ó " œ Ò =/8Ð#>Ñ Ó_ _
Í = Ò 0 Ð>Ñ Ó " œ _ #= %#
Í = Ò 0 Ð>Ñ Ó œ_ = #= %
#
#
Í Ò 0 Ð>Ñ Ó œ_ = #=Ð= %Ñ
#
#
es decir :
_Ò -9= Ð>ÑÓ œ# = #=Ð= %Ñ
#
#
18
4.- _Ò / -9=Ð>ÑÓ>
Solución
sea se tiene que0Ð>Ñ œ / -9=Ð>Ñ>
0 Ð>Ñ œ / -9=Ð>Ñ / =/8Ð>Ñ œ 0Ð>Ñ / =/8Ð>Ñß
> > >
0 Ð>Ñ œ 0 Ð>Ñ / =/8Ð>Ñ / -9=Ð>Ñßß ß
> >
œ 0 Ð>Ñ / =/8Ð>Ñ 0Ð>Ñß
>
œ #0 Ð>Ñ #0Ð>Ñß
es decir : 0 Ð>Ñ œ #0 Ð>Ñ #0Ð>Ñßß ß
por lo tanto, se tendra que
_ _Ò0 Ð>Ñ Ó œ Ò #0 Ð>Ñ #0Ð>Ñ Óßß ß
Í = Ò 0 Ð>Ñ Ó =0Ð!Ñ 0 Ð!Ñ œ # Ò0 Ð>Ñ Ó # Ò 0Ð>Ñ Ó#_ _ _ß ß
Í = Ò 0 Ð>Ñ Ó = " œ # Ò0 Ð>Ñ Ó # Ò 0Ð>Ñ Ó#_ _ _ß
Í = Ò 0 Ð>Ñ Ó = " œ #Ð= Ò0 Ð>Ñ Ó 0Ð!ÑÑ # Ò 0Ð>Ñ Ó#_ _ _
Í = Ò 0 Ð>Ñ Ó = " œ #= Ò0 Ð>Ñ Ó # # Ò 0Ð>Ñ Ó#_ _ _
Í Ð= #= #Ñ Ò 0 Ð>Ñ Ó œ = "# _
Í ÐÐ= "Ñ "Ñ Ò 0 Ð>Ñ Ó œ = "# _
Í Ò 0 Ð>Ñ Ó œ_ ="Ð="Ñ "#
es decir :
_Ò / -9=Ð>ÑÓ œ> ="Ð="Ñ "#
19
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial con condición inicial
1.- tal que C $C #C œ ! CÐ!Ñ œ $ ß C Ð!Ñ œ %ßß ß ß
Solución
Aplicando transformada, se tiene :
_ _Ò C $C #CÓ œ Ò !Óßß ß
Í Ò C Ó $ Ò C Ó # Ò CÓ œ !_ _ _ßß ß
Í = Ò C Ó =CÐ!Ñ C Ð!Ñ $Ð= Ò C Ó CÐ!ÑÑ # Ò CÓ œ !#_ _ _ß
Í = Ò C Ó $= % $= Ò C Ó * # Ò CÓ œ !#_ _ _
Í Ð= $= #Ñ Ò C Ó œ $= &# _
Í Ð= #ÑÐ= "Ñ Ò C Ó œ $= &_
Í Ò C Ó œ_ $=&Ð=#ÑÐ="Ñ
Í Ò C Ó œ _ " #=# ="
Í C œ Ò Ó_" " #=# ="
Í C œ Ò Ó # Ò Ó_ _" "" "=# ="
Í C œ / #/#> >
20
2.- C C %C %C œ #ßßß ßß ß
tal que À CÐ!Ñ œ ! ß C Ð!Ñ œ " ß C Ð!Ñ œ "ß ßß
Solución
Aplicando transformada, se tiene :
_ _Ò C C %C %CÓ œ Ò #Óßßß ßß ß
Í Ò C Ó Ò C Ó % Ò C Ó % Ò CÓ œ _ _ _ _ßßß ßß ß
#=
Í Ð= Ò C Ó = CÐ!Ñ =C Ð!Ñ C Ð!ÑÑ$ #_ß ßß
Ð= Ò C Ó =CÐ!Ñ C Ð!ÑÑ#_ß
%Ð= Ò C Ó CÐ!ÑÑ % Ò CÓ œ _ _ #=
Í = Ò C Ó = " = Ò C Ó " %= Ò C Ó % Ò CÓ œ $ # #=_ _ _ _
Í Ð= = %= %Ñ Ò C Ó œ$ # = #=_#
Í Ð= "ÑÐ= %Ñ Ò C Ó œ# = #=_#
Í Ò C Ó œ_ = #=Ð="ÑÐ= %Ñ
#
#
Í Ò C Ó œ _" " #* $# & "! &
#= =" = %
=
Í C œ Ò Ó_" = =" = %
=" " #* $# & "! &
#
Í C œ Ò Ó Ò Ó Ò Ó Ò Ó" " " " #* = $ ## = & =" "! = % "! = %
" " " "_ _ _ _# #
Í C œ Ó / -9=Ð#>Ñ =/8Ð#>Ñ" " #* $# & "! "!
>
21
3.- tal que C C œ > CÐ!Ñ œ " ß C Ð!Ñ œ $ßß ß
Solución
Aplicando transformada, se tiene :
_ _Ò C CÓ œ Ò >Óßß
Í Ò C Ó Ò CÓ œ_ _ßß
"=#
Í = Ò C Ó =CÐ!Ñ C Ð!Ñ Ò CÓ œ# "=_ _
ß#
Í = Ò C Ó = $ Ò CÓ œ# "=_ _ #
Í Ð= "Ñ Ò C Ó œ $ =# "=_ #
Í Ð= "Ñ Ò C Ó œ# = $= "=_
$ #
#
Í Ò C Ó œ_ = $= "= Ð= "Ñ
$ #
# #
Í Ò C Ó œ _ # ="= = "# #
Í C œ Ò Ó_" # = "= = " = "# # #
Í C œ # Ò Ó Ò Ó Ò Ó_ _ _" " "" = "= = " = "# # #
Í C œ #> -9=Ð>Ñ =/8Ð>Ñ
22
Observación
1.- El Teorema nos sirve para resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes con condición inicial.
2.- En general dada una ecuación diferencial del tipo :
con coeficientes constantes ,con condición inicialPÐCÑ œ 2ÐBÑ
siempre que sea de orden exponencial ,aplicando Laplace2ÐBÑ se transforma en una ecuación del tipo :
donde _ : _ :Ò C Ó œ Ð=Ñ C œ Ò Ð=Ñ Ó"
Teorema
Sea función de orden exponencial y continua por tramos en 0 ‘!
y sea + − ‘! Se cumple que = _ _Ò 0 ÐBÑ.B Ó Ò 0 Ð>Ñ Ó 0ÐBÑ.B' '
+ !
> +" "= =
Demostración Sea 1Ð>Ñ œ 0ÐBÑ.B'
+
>
Ê 1 Ð>Ñ œ 0Ð>Ñß
Ê Ò1 Ð>ÑÓ œ Ò 0Ð>ÑÓ_ _ß
Ê = Ò1Ð>ÑÓ 1Ð!Ñ œ Ò 0Ð>ÑÓ_ _
Ê = Ò 0ÐBÑ.BÓ 0ÐBÑ.B œ Ò 0Ð>ÑÓ_ _' '+ +
> !
Ê = Ò 0ÐBÑ.BÓ œ Ò 0Ð>ÑÓ 0ÐBÑ.B_ _' '+ +
> !
Ê Ò 0ÐBÑ.BÓ œ Ò 0Ð>ÑÓ 0ÐBÑ.B_ _' '+ !
> +" "= =
23
Observación
1.- En general, se tiene que À
....._ _Ò 0 ÐBÑ.BÞÞÞ.BÓ œ Ò 0Ð>ÑÓ 0ÐBÑ.B' ' ' '+ + + !
> > > +
8 8" "= =
-veces8
...." "= =8"
! + ! + +
+ > + > >' ' ' ' '0ÐBÑ.BÞÞÞÞÞÞ ÞÞÞ 0 ÐBÑ.B .B
-vecesÐ8 "Ñ
2.- Si se cumple que :+ œ !
_ _Ò 0 ÐBÑ.BÓ œ Ò 0Ð>ÑÓ'!
>"=
....._ _Ò 0 ÐBÑ.BÞÞÞ.BÓ œ Ò 0Ð>ÑÓ' ' '! ! !
> > >
8"=
por lo tanto , se tendra que:
'!
>
0ÐBÑ.B œ Ò Ò 0Ð>ÑÓÓ_ _" "=
.....' ' '! ! !
> > >
80ÐBÑ.BÞÞÞ.B œ Ò Ò 0Ð>ÑÓÓ_ _" "=
Ejemplo Determinar
1.- _Ò =/8 ÐBÑ.BÓ'!
>#
Solución _ _Ò =/8 ÐBÑ.BÓ œ Ò =/8 Ð>ÑÓ'
!
># #"
=
œ Ò Ó"= #
"-9=Ð#>Ñ_
œ Ò"Ó Ò -9=Ð#>ÑÓ" "#= #=_ _
œ œ" " = ##= #= = % = Ð= %Ñ# # # #
24
2.- _Ò >/ Ó#>
Solución
Se tiene que
' ¸!
> #B
!
>
B/ .B œ Ð#B "Ñ#B /%
œ Ð#> "Ñ / "% %
#>
œ >/ / " " "# % %
#> #>
por lo tanto
_ _Ò B/ .BÓ œ Ò >/ / Ó'!
>#B #> #>" " "
# % %
Í Ò >/ Ó œ Ò >/ Ó Ò / Ó Ò " Ó" " " "
= # % %#> #> #>_ _ _ _
Í Ð Ñ Ò >/ Ó œ Ò / Ó Ò " Ó" " " "= # % %
#> #>_ _ _
Í Ð Ñ Ò >/ Ó œ " " " " " "= # % =# % =
#>_
Í Ð Ñ Ò >/ Ó œ#= "#= #=Ð=#Ñ
#>_
Í Ò >/ Ó œ_ #> "Ð=#Ñ#
25
3.- _" #=Ð= %ÑÒ Ó#
Solución
_ _" "# " #=Ð= %Ñ = Ð= %ÑÒ Ó œ Ò † Ó# #
œ Ò † Ò =/8Ð#>ÑÓÓ_ _" "=
œ =/8Ð#BÑ.B'!
>
œ -9=Ð#BÑ"#
¸!
>
œ -9=Ð#>Ñ " "# #
Ejercicios
Resolver aplicando el Teorema anterior
1.- _Ò -9= ÐBÑ.BÓ'!
>#
2.- _Ò Ð#> "Ñ/ Ó$>
3.- _" #= Ð="ÑÒ Ó#
4.- _" #= Ð= "ÑÒ Ó# #
26
Teorema
Si entonces _ : _ :Ò0 Ð>ÑÓÐ=Ñ œ Ð=Ñ Ò/ † 0 Ð>ÑÓÐ=Ñ œ Ð= +Ñ+>
Demostración
_Ò/ † 0 Ð>ÑÓÐ=Ñ œ / / † 0Ð>Ñ .>+> => +>'!
_
œ / † 0Ð>Ñ .>'!
_=>+>
œ / † 0Ð>Ñ .>'!
_Ð=+Ñ>
œ Ò0Ð>ÑÓÐ= +Ñ œ Ð= +Ñ_ :
Observación
Como _ :Ò/ † 0 Ð>ÑÓÐ=Ñ œ Ð= +Ñ+>
Ê / † 0Ð>Ñ œ Ò Ð= +ÑÓ+> "_ :
Ê Ò Ð= +ÑÓ œ / † 0Ð>Ñ_ :" +>
Ê Ò Ð= +ÑÓ œ / † Ò Ð= ÑÓ_ : _ :" +> "
Ê Ò Ð= ÑÓ œ / † Ò Ð= + ÑÓ_ : _ :" +> "
Ejemplo
Se sabe que _ : Ò=/8Ð$>ÑÓ œ œ Ð= Ñ$= *#
con lo cual, se tiene que
: :Ð= # Ñ œ à Ð= % Ñ œ$ $Ð=#Ñ * Ð=%Ñ *# #
por lo tanto : _ : Ò/ =/8Ð$>ÑÓ œ Ð= # Ñ œ#> $
Ð=#Ñ *#
_ : Ò/ =/8Ð$>ÑÓ œ Ð= % Ñ œ%> $Ð=%Ñ *#
27
Ejemplo
Se tiene que
1.- _ : Ò/ -9=Ð&>ÑÓ œ Ð= % Ñ œ%> =%Ð=%Ñ #&#
2.- _ : Ò/ > Ó œ Ð= " Ñ œ> # #
Ð="Ñ$
Ejemplo
Se tiene que
1.- _ _ _" " "$="= #="! Ð="Ñ * Ð="Ñ *
$Ð=""Ñ" $Ð=" Ñ# Ò Ó œ Ò Ó œ Ò Ó# # #
œ Ò Ó Ò Ó_ _" "$Ð=" ÑÐ="Ñ * Ð="Ñ *
# # #
œ $ Ò Ó Ò Ó_ _" "Ð=" ÑÐ="Ñ * $ Ð="Ñ *
# $ # #
œ $/ Ò Ó / Ò Ó> " > "= # $= * $ = *_ _
# #
œ $/ -9=Ð$>Ñ / =/8Ð$>Ñ> >#$
2.- _ _ _" " "$=" $="= #=#% Ð='ÑÐ=%Ñ =' =%
Ò Ó œ Ò Ó œ Ò Ó#
"( "$"! "!
œ Ò Ó Ò Ó_ _" "=' =%
"( "$"! "!
œ Ò Ó Ò Ó"( " "$ ""! =' "! =%
" "_ _
œ / Ò Ó / Ò Ó"( " "$ ""! = "! =
'> " %> "_ _
œ / /"( "$"! "!
'> %>
28
3.- _ _" "$=)= %=) Ð=#Ñ %
$Ð=##Ñ) Ò Ó œ Ò Ó# #
œ Ò Ó_"$Ð=#ÑÐ=#Ñ % Ð=#Ñ %
# # #
œ $ Ò Ó Ò Ó_ _" "Ð=#ÑÐ=#Ñ % Ð=#Ñ %
# # #
œ $/ Ò Ó / Ò Ó#> " #> "= #= % = %_ _
# #
œ $/ -9=Ð#>Ñ / =/8Ð#>Ñ#> #>
4.- _ _" "#=$= %=#! Ð=#Ñ "'
#Ð=##Ñ$ Ò Ó œ Ò Ó# #
œ Ò Ó_"#Ð=#Ñ
Ð=#Ñ "' Ð=#Ñ "'(
# #
œ Ò Ó Ò Ó_ _" "#Ð=#ÑÐ=#Ñ "' Ð=#Ñ "'
( # #
œ # Ò Ó Ò Ó_ _" "Ð=#ÑÐ=#Ñ "' % Ð=#Ñ "'
( % # #
œ #/ Ò Ó / Ò Ó#> " #> "= ( %= "' % = "'_ _
# #
œ #/ -9=Ð%>Ñ / =/8Ð%>Ñ#> #>(%
& Ò Ó œ Ò Ó.- _ _> #>& > #> &/ / / /
& &
$> $> $> $>
œ Ò / > / #> &/ ÓÓ_ $> & $> $>
œ Ò/ > Ó Ò / #>Ó Ò& / Ó_ _ _ $> & $> $>
œ Ò/ > Ó # Ò / >Ó & Ò / Ó_ _ _ $> & $> $>
œ "#! # &Ð=$Ñ Ð=$Ñ =$' #
29
Definición
Llamaremos función escalón unitario a :
. ‘+!Ð>Ñ œ ß + −
! à ! Ÿ > Ÿ +" à > +œ
Observación
Dada la función
1.- 0Ð>Ñ œ$> à ! Ÿ > Ÿ %
&> à > %œ #
se tiene que :
0Ð>Ñ œ $> Ð>ÑÐ&> $>Ñ.%#
2.- 0Ð>Ñ œ# à ! Ÿ > Ÿ $#> $ à $ > Ÿ &
/ $> " à > &
ÚÛÜ #>
se tiene que :
0Ð>Ñ œ # Ð>ÑÐ#> $ #Ñ Ð>ÑÐ/ $> " #> $ Ñ. .$ &#>
œ # Ð>ÑÐ#> "Ñ Ð>ÑÐ/ &> # Ñ. .$ &#>
3.- 0Ð>Ñ œ! à ! Ÿ > Ÿ #
> > " à # > Ÿ %
/ > $ à > %
ÚÛÜ
#
>
se tiene que :
0Ð>Ñ œ Ð>ÑÐ> > "Ñ Ð>ÑÐ/ > $ > > " Ñ. .# %# > #
œ Ð>ÑÐ> > "Ñ Ð>ÑÐ/ # > Ñ. .# %# > #
30
Observación Se tiene que _ . .Ò Ð>ÑÓ œ / Ð>Ñ .>+ +
=>'!
_
œ / .>'+
=>_
œ / .> / .>' '! !
_ +=> =>
œ Ò"Ó /_ "==>¸
!
+
œ / œ" " " /= = = =
=+ =+
es decir _ .Ò Ð>ÑÓ œ+/=
=+
Teorema
Sea 0Ð>Ñ œ Ð>Ñ † 1Ð> +Ñ à + !.+
función continua por tramos y de orden exponencial, se cumple que
_ _ . _Ò 0 Ð>ÑÓ œ Ò Ð>Ñ † 1Ð> +ÑÓ œ / † Ò 1Ð>ÑÓ+=+
Demostración
_ .Ò 0 Ð>ÑÓ œ / Ð>Ñ † 1Ð> +Ñ.>'!
_=>
+
œ / † 1Ð> +Ñ.>'+
=>_
consideremos la sustitución : B œ > + ß .B œ .> se tendra : sea œ / † 1ÐBÑ .B B œ >'
!
_=ÐB+Ñ
œ / † 1Ð>Ñ .>'!
_=Ð>+Ñ
œ / / † 1Ð>Ñ .>=+ = >'!
_
œ / † Ò 1Ð>ÑÓ=+ _
31
Observación
Si 0Ð>Ñ œ Ð>Ñ † 1Ð> +Ñ à + !.+
_ _Ò0 Ð>ÑÓ œ / † Ò 1Ð>ÑÓ=+
Í 0Ð>Ñ œ Ò/ † Ò 1Ð>ÑÓÓ_ _" =+
Í Ð>Ñ † 1Ð> +Ñ œ Ò/ † Ò 1Ð>ÑÓÓ. _ _+" =+
Í Ò/ † Ò 1Ð>ÑÓÓ œ Ð>Ñ † 1Ð> +Ñ_ _ ." =++
Ejemplo
1.- _ . _ .Ò Ð>Ñ † Ð#> "Ñ Ó œ Ò Ð>Ñ † Ð#Ð> $ $Ñ "Ñ Ó$ $
œ / † Ò#Ð> $Ñ " Ó$= _
œ / † Ò#> ( Ó$= _
œ / † Ð# Ò > Ó ( Ò " ÓÑ$= _ _
œ / † Ð Ñ$= # (= =#
2.- _ . _ .Ò Ð>Ñ † Ð/ Ñ Ó œ Ò Ð>Ñ † Ð/ Ñ Ó% $#>$ #Ð>%%Ñ$
œ / † Ò/ Ó%= #Ð>% Ñ$_
œ / † Ò/ Ó$= # >&_
œ / † Ò/ Ó$=& # >_
œ / †$=& "=#
32
Ejemplo
Determinar si_Ò0 Ð>Ñ Ó
0Ð>Ñ œ> à ! Ÿ > Ÿ %
/ à % > Ÿ '% à > '
ÚÛÜ
>
Solución
se tiene que : 0Ð>Ñ œ > Ð>ÑÐ/ > Ñ Ð>ÑÐ% / Ñ. .% '> >
con lo cual, se tiene que :
_ _ . .Ò0 Ð>Ñ Ó œ Ò> Ð>ÑÐ/ > Ñ Ð>ÑÐ% / Ñ Ó% '> >
œ Ò> Ó Ò Ð>ÑÐ/ > ÑÓ Ò Ð>ÑÐ% / ÑÓ_ _ . _ .% '> >
œ Ò> Ó Ò Ð>ÑÐ/ Ð> % %ÑÑ Ó_ _ .%>%%
Ò Ð>ÑÐ% / Ñ Ó_ .'>''
œ Ò> Ó / Ò / Ð> % Ñ Ó / Ò % / Ó_ _ _%= >% '= >'
œ Ò> Ó / Ò / Ó / ÒÐ> % Ñ Ó_ _ _%=% > %=
/ Ò %Ó / Ò/ Ó'= '=' >_ _
œ / † Ð Ñ / † " / " % % /= =" = = = ="
%= '=# #
%=% '='
33
Ejemplo
Determinar si_Ò0 Ð>Ñ Ó
0Ð>Ñ œ$ =/8Ð>Ñ à ! Ÿ > Ÿ #" =/8Ð>Ñ à # > Ÿ $
=/8Ð>Ñ > à > $
ÚÛÜ #
Solución
se tiene que :
0Ð>Ñ œ $ =/8Ð>Ñ Ð>ÑÐ #Ñ Ð>ÑÐ> "Ñ. .# $#
con lo cual, se tiene que :
_ _ . .Ò0 Ð>Ñ Ó œ Ò$ =/8Ð>Ñ Ð>ÑÐ #Ñ Ð>ÑÐ> "Ñ Ó# $#
œ Ò$Ó Ò=/8Ð>ÑÓ Ò Ð>ÑÐ #ÑÓ Ò Ð>ÑÐ> "ÑÓ_ _ _ . _ .# $#
œ Ò$Ó Ò=/8Ð>ÑÓ / Ò # Ó_ _ _#=
/ Ò ÐÐ> $Ñ "ÑÓ$= #_
œ Ò> Ó / Ò / Ð> % Ñ Ó / Ò % / Ó_ _ _%= >% '= >'
œ Ò> Ó / Ò / Ó / ÒÐ> % Ñ Ó_ _ _%=% > %=
/ Ò %Ó / Ò/ Ó'= '=' >_ _
œ / † Ð Ñ † " / " % %/ /= =" = = = ="
%=# #
%=% '= '='
34
Ejemplo Determinar
1.- _" /= )=#!Ò Ó
#=
#
Solución
_ _ ." " #=/ "= )=#! = )=#! #Ò Ó œ Ò / † Ó œ Ð>Ñ † 1Ð> #Ñ
#=
# #
donde 1Ð>Ñ œ Ò Ó œ Ò Ó_ _" "" "
= )=#! Ð=%Ñ ## # #
œ Ò Ó œ † Ò Ó" # / ## Ð=%Ñ # # = #
" "_ _# # # #
%>
œ † =/8Ð#>Ñ/#
%>
con lo cual : (1Ð> #Ñ œ † =/8Ð# > #ÑÑ/#
%Ð>#Ñ
es decir : _ ." / /= )=#! ##Ò Ó œ Ð>Ñ † † =/8Ð#> %Ñ
#= %>)
#
2.- _" /=$Ò Ó=
Solución
_ _ ." " =/ "=$ =$ "Ò Ó œ Ò / † Ó œ Ð>Ñ † 1Ð> "Ñ=
donde 1Ð>Ñ œ Ò Ó_" "
=$
œ / † Ò Ó$> " "=_
œ /$>
con lo cual : 1Ð> "Ñ œ /$Ð>"Ñ
es decir : _ ." $>$/=$ "Ò Ó œ Ð>Ñ † /=
35
3.- _" / Ð=#Ñ= Ð= #="!ÑÒ Ó
#=
# #
Solución
_ _ ." " #=/ Ð= '= Ñ Ð= '= Ñ= Ð= ="!Ñ = Ð= ="!Ñ #Ò Ó œ Ò / † Ó œ Ð>Ñ † 1Ð> #Ñ#= # #
# # # #
#! #!# #
donde 1Ð>Ñ œ Ò Ó œ Ò Ó_ _" "Ð= '= Ñ
= Ð= ="!Ñ = = = ="!" # =
#
# # # #
#!# #
"
œ Ò Ó Ò Ó Ò Ó_ _ _" " "" # == = = ="!
# #
"#
œ Ò Ó Ò Ó Ò Ó_ _ _" " "" # == = Ð="Ñ $
# # #
"
œ Ò Ó Ò Ó / Ò Ó_ _ _" " > "" # == = = $
# # #
œ " #> / -9=Ð$>Ñ / -9=Ð$>Ñ> >
luego 1Ð> #Ñ œ " #Ð> #Ñ / -9=Ð$> 'Ñ / -9=Ð$> 'Ñ># >#
es decir : _ ." / Ð=#Ñ= Ð= #="!Ñ #Ò Ó œ Ð>Ñ †
#=
# # 1Ð> #Ñ
36
Teorema
Si entonces _ : _Ò0 Ð>ÑÓÐ=Ñ œ Ð=Ñ Ò> † 0 Ð>ÑÓÐ=Ñ œ Ð "Ñ †8 8 . Ò Ð=ÑÓ.=
8
8
:
Demostración
como se tiene:Ð= Ñ œ / † 0Ð>Ñ .> Î'!
_=> .
.=
. Ð= Ñ.= .=
. =>: œ Ð / † 0Ð>Ñ .>Ñ'!
_
œ Ð Ð/ † 0Ð>ÑÑ .>'!
_``=
=>
œ >/ † 0Ð>Ñ .>'!
_=>
œ / † > † 0 Ð>Ñ .>'!
_=>
œ Ò> † 0Ð>ÑÓ_ 8
con lo cual, se tiene que _Ò> † 0 Ð>ÑÓ œ . Ð= Ñ.=:
y así sucesivamente.
Observación
Si se tiene que_ :Ò0 Ð>ÑÓÐ=Ñ œ Ð=Ñ
_Ò> † 0 Ð>ÑÓÐ=Ñ œ Ð "Ñ †8 8 . Ò Ð=ÑÓ.=
8
8
:
Í > † 0Ð>Ñ œ ÒÐ "Ñ † Ó8 " 8 . Ò Ð=ÑÓ.=_8
8
:
Í ÒÐ "Ñ † Ó œ > † 0Ð>Ñ_" 8 8. Ò Ð=ÑÓ.=
8
8
:
Í ÒÐ "Ñ † Ó œ > † Ò Ð=ÑÓ_ _ :" 8 8 ". Ò Ð=ÑÓ.=
8
8
:
Í Ò Ó œ Ð "Ñ † > † Ò Ð=ÑÓ_ _ :" 8 8 ". Ò Ð=ÑÓ.=
8
8
:
37
en particular, se tendra que :
_ _ :" ". Ò Ð=ÑÓ.=Ò Ó œ > † Ò Ð=ÑÓ
:
_ _ :" # ". Ò Ð=ÑÓ.=Ò Ó œ > † Ò Ð=ÑÓ#
#
:
Ejemplo
1.- _Ò> † / Ó œ Ð "Ñ † œ# $> # . Ò Ò / ÓÓ.= .=
. Ò Ó# $>
# #
# "=$_
œ.Ò Ó
.= Ð=$Ñ#
"Ð=$Ñ#
$
2.- _Ò> † =/8Ð>ÑÓ œ " † œ .Ò Ò =/8Ð>ÑÓÓ.= .=
.Ò Ó_"
= "#
œ #=Ð= "Ñ# #
3.- _ _ _" " "&= & #= &Ð= *Ñ # Ð= *Ñ # .=
.Ò ÓÒ Ó œ † Ò Ó œ † Ò Ó# # # #
"= *#
œ † Ð "Ñ † > † Ò Ó& "# = *
"_ #
œ † Ð "Ñ † > † Ò Ó& $' = *
"_ #
œ > † =/8Ð$>Ñ&'
4.- _ _ _" " "" "Ð=#Ñ .= =#
.Ò ÓÒ Ó œ Ò Ó œ " † > † Ò Ó#
"=#
œ > † /#>
38
Ejemplo
Determinar _" Ð= %ÑÒ Ó1# #
Solución
_ _" "Ð= %Ñ #= Ð= %Ñ
" #=Ò Ó œ Ò † Ó1# # # #
œ † Ò † Ó" "# = .=
" .Ò Ó_
"= %#
œ † Ò † Ò Ò ÓÓÓ" "# = .=
" " .Ò Ó_ _ _
"= %#
œ † Ò Ó.B"# .=
" .Ò Ó'!
> "= %#
_
œ † B † Ò Ó.B" "# = %
"'!
>
#_
œ † B † Ò Ó.B" " ## # = %
"'!
>
#_
œ † B † Ò Ó.B" #% = %
"'!
>
#_
œ † B † =/8Ð#BÑ.B"%
'!
>
œ † Ò B-9=Ð#BÑ =/8Ð#BÑÓ" " "% # %
¸!
>
œ >-9=Ð#>Ñ =/8Ð#>Ñ" ") "'
luego, se tiene que
_" Ð= %Ñ ) "'" "Ò Ó œ >-9=Ð#>Ñ =/8Ð#>Ñ1
# #
39
Ejemplo
Determinar _" Ð= "ÑÒ Ó1# #
Solución
_ _" "Ð= "Ñ #= Ð= "Ñ
" #=Ò Ó œ Ò † Ó1# # # #
œ † Ò † Ó" "# = .=
" .Ò Ó_
"= "#
œ † Ò † Ò Ò ÓÓÓ" "# = .=
" " .Ò Ó_ _ _
"= "#
œ † Ò Ó.B"# .=
" .Ò Ó'!
> "= "#
_
œ † B † Ò Ó.B" "# = "
"'!
>
#_
œ † B † Ò Ó.B" "# = "
"'!
>
#_
œ † B † Ò Ó.B" "# = "
"'!
>
#_
œ † B † =/8ÐBÑ.B"#
'!
>
œ † Ò B-9=ÐBÑ =/8Ð#BÑÓ"#
¸!
>
œ >-9=Ð>Ñ =/8Ð >Ñ" "# #
luego, se tiene que
_" Ð= "Ñ # #" "Ò Ó œ >-9=Ð>Ñ =/8Ð >Ñ1
# #
40
Ejemplo
Determinar _" "=Ð=#ÑÒ Ó#
Solución
_ _" "=Ð=#Ñ = Ð=#Ñ
" "Ò Ó œ Ò † Ó1# #
œ Ò † Ó_" "= .=
.Ò Ó"=#
œ Ò † Ò Ò ÓÓÓ_ _ _" ""= .=
.Ò Ó"=#
œ Ò Ó.B'!
> "=#_"
.Ò Ó
.=
œ B † Ò Ó.B'!
>
_" "=#
œ B † Ò Ó.B'!
>
_" "=#
œ B † / .B'!
>#B
œ Ð B Ñ † /" "# %
#B¸!
>
œ Ð > Ñ † / " " "# % %
#>
luego, se tiene que
_" #>=Ð=#Ñ # % %
" " "Ò Ó œ Ð > Ñ † / 1#
41
Ejercicios
Determinar
1.- 2.- _ _" "#= =Ð= "Ñ = #=&Ò Ó Ò Ó
$
# $ #
3.- 4.- _ _" "=Ð="Ñ Ð= %Ñ
#=Ò Ó Ò Ó1$ # #
5.- 6.- _ _" "Ð= "Ñ Ð= "Ñ
$=Ò Ó Ò Ó1# $ # #
#
7.- 8.- _ _" "$/ /$= " =Ò Ó Ò Ó
#= =
#1
9.- 10.- _ _" "/ == $=# = )Ò Ó Ò Ó
= #
# $
11.- 12.- _ _" "=$ = "=# = $=Ò68Ð ÑÓ Ò68Ð Ó
#
#
42
Teorema Si es función periodica de periodo , de orden exponencial y 0 : continua por tramos entonces
_Ò0 Ð>ÑÓ œ'!
:=>
=:
/ 0Ð>Ñ.>
"/
Demostración
Como _Ò0 Ð>ÑÓ œ / † 0Ð>Ñ .>'!
_=>
œ / † 0Ð>Ñ .> / † 0Ð>Ñ .>' '! :
: #:=> =>
ÞÞÞÞÞÞ / † 0Ð>Ñ .> ÞÞÞ'8:
Ð8"Ñ:=>
es claro que para cualquier se tiene que :8 si À B 8: œ > à .B œ .> cuando cuando > œ 8: ßB œ ! à > œ Ð8 "Ñ: ß B œ : por lo tanto, se tendra:
' '8: !
Ð8"Ñ: :
/ † 0Ð>Ñ .> œ / † 0ÐB 8:Ñ.B=> =ÐB8:Ñ
œ / / † 0ÐB 8:Ñ.B8:= =B'!
:
œ / / † 0ÐB Ñ .B8:= =B'!
:
con lo cual : _Ò0 Ð>ÑÓ œ / † 0Ð>Ñ .> / † / † 0 Ð>Ñ .>' '
! :
: #:=> =: =>
ÞÞÞÞÞÞ / † / † 0 Ð>Ñ .> 8=: =>'8:
Ð8"Ñ:
ÞÞÞ
œ Ð" / ÞÞÞÞÞ / ÞÞÑ / † 0 Ð>Ñ.>=: 8=: =>'!
:
pero : !5œ!
_=:5/ œ
""/=:
por lo tanto, se tendra que: _Ò0 Ð>ÑÓ œ'!
:=>/ †0Ð> Ñ .>
"/=:
43
Ejemplo
1.- _Ò=/8Ð>ÑÓ œ'!
# =>1
1
/ †=/8Ð>Ñ .>
"/# =
œ Ð Ñ/"
"/# =1-9=Ð>Ñ=†=/8Ð>Ñ
= "=> #
#!¸ 1
œ † † / †" "
"/ "/# = # =1 1" "= " = "
# =# #
1
œ † œ""/
/ " "= " = "
# =
# #
1
1# =
2.- _ _Ò=/8Ð>Ñ-9=Ð>ÑÓ œ Ò=/8Ð#>Ñ Ó œ" "# #
/ †=/8Ð#>Ñ .>'!
=>1
1"/ =
œ Ð Ñ/"# = %
#-9=Ð#>Ñ=†=/8Ð#>Ñ =>""/ =1 #
!¸1
œ Ð Ñ/""/
/ "= %
= =
#
1
1 =1
œ Ð Ñ"= %#
3.- si es una función periodica cuyo grafico es :0Ð>Ñ
_Ò0 Ð>ÑÓ œ œ' ' '! !
$ " $=> => =>
$ $
"/ †0Ð>Ñ .> / †0Ð>Ñ .> / †0Ð>Ñ .>
"/ "/ = =
œ œ œ œ' ¸! =
" =>
$ $ $ $
#=
=> =
!
"##/ =/ †# .> / #Ð"/ Ñ
"/ "/ "/ =Ð"/ Ñ = = = =
44
4.- si es una función periodica cuyo grafico es :0Ð>Ñ
_Ò0 Ð>ÑÓ œ œ' ' ' '! !
& # % &=> => => =>
& &
# %/ †0Ð>Ñ .> / †0Ð>Ñ .> / †0Ð>Ñ .> / †0Ð>Ñ .>
"/ "/ = =
œ' ' '!
# % &=> => =># %
&
/ †> .> / †# .> / †Ð#>"!Ñ .>
"/ =
œ/ †Ð Ñ Ð / Ñ / †Ð Ñ=> => =>> " # #>"! #
= = == =# #! #
# % &
%
&
¸ ¸ ¸"/ =
œ/ †Ð Ñ / / / †Ð Ñ/ †Ð Ñ#= %= #= &= %=# " " # # # # #
= = = == = = =# # # #
&"/ =
œ
"/
" " # #= = = =# # # #
#= &= %=
&
/ / †Ð Ñ /
=
DefiniciónÐConvolución)
Dadas las funciones continuas por tramos la convolución de ellas 0 ß 1 se denotara por donde :0‡1
( )0‡1 Ð>Ñ œ 0Ð> Ñ † 1Ð Ñ.'!
>
6 6 6
Ejemplo
1.- si 0Ð>Ñ œ -9=Ð>Ñ ß 1Ð>Ñ œ =/8Ð>Ñ se tiene que :
( )0‡1 Ð>Ñ œ -9=Ð>ч=/8Ð>Ñ œ -9=Ð> Ñ † =/8Ð Ñ.'!
>
6 6 6
45
se sabe que : =/8ÐB CÑ =/8ÐB CÑ œ #-9=ÐBÑ=/8ÐCÑ es decir : -9=ÐBÑ=/8ÐCÑ œ =/8ÐB CÑ =/8ÐB CÑ" "
# #
por lo tanto se tiene que
( )0‡1 Ð>Ñ œ -9=Ð> Ñ † =/8Ð Ñ.'!
>
6 6 6
œ =/8Ð> Ñ =/8Ð> Ñ.'!
>" "# #6 6 6 6 6
œ =/8Ð> Ñ =/8Ð> # Ñ.'!
>" "# # 6 6
œ Ð=/8Ð> Ñ =/8Ð> # ÑÑ."#'!
>
6 6
œ Ð =/8Ð> Ñ -9=Ð> # Ñ" "# #6 6 ¸
!
>
œ Ð >=/8Ð> Ñ -9=Ð>ÑÑ Ð -9=Ð>ÑÑ" " " "# # # #
œ >=/8Ð> Ñ"#
luego, se tiene que : -9=Ð>ч=/8Ð>Ñ œ >=/8Ð> Ñ"#
1.- si 0Ð>Ñ œ / ß 1Ð>Ñ œ =/8Ð>Ñ>
se tiene que :
( )0‡1 Ð>Ñ œ / ‡=/8Ð>Ñ œ / † =/8Ð Ñ.> >'!
>6 6 6
œ / / † =/8Ð Ñ.> '!
>6 6 6
œ / Ð-9=Ð Ñ =/8Ð ÑÑ"#>6 6 6 ¸
!
>
œ Ð-9=Ð>Ñ =/8Ð>ÑÑ /" "# #
>
luego, se tiene que : / ‡=/8Ð>Ñ œ Ð-9=Ð>Ñ =/8Ð>ÑÑ /> >" "# #
46
Teorema(Convolución)
Sean funciones continuas por tramo y de orden exponencial0 ß 1 tal que _ : _ <Ò0 Ð>ÑÓ œ Ð=Ñ ß Ò1Ð>ÑÓ œ Ð=Ñ entonces _ : <Ò0 Ð>ч1Ð>ÑÓ œ Ð=Ñ † Ð=Ñ
Demostración
: <Ð=Ñ † Ð=Ñ œ / † 0Ð?Ñ .? † / † 1Ð@Ñ .@' '! !
_ _=? =@
œ / 0Ð?Ñ † 1Ð@Ñ .@ .?' ' ‘! !
_ _=Ð?@Ñ
sea > œ ? @ ß .> œ .@ con lo cual, se tiene œ / 0Ð?Ñ † 1Ð> ?Ñ.> .?' ' ‘
!
_ _
?=t
cambiando orden,se tiene
œ / 0Ð?Ñ † 1Ð> ?Ñ.? .>' ' ‘! !
_ >=t
œ / 1Ð> ?Ñ † 0Ð?Ñ .? .>' ' ‘! !
_ >=t
œ / 1‡0 .> œ / 0‡1 .>' ' ‘ ‘! !
_ _= =t t
œ Ò0Ð>ч1Ð>ÑÓ_
47
Observación
1.- si _ : _ <Ò0 Ð>ÑÓ œ Ð=Ñ ß Ò1Ð>ÑÓ œ Ð=Ñ
_ _ 6 6 6 : <Ò0 Ð>ч1Ð>ÑÓ œ Ò 0Ð> Ñ † 1Ð Ñ. Ó œ Ð=Ñ † Ð=Ñ'!
>
Í 0Ð> Ñ † 1Ð Ñ. œ Ò Ð=Ñ † Ð=ÑÓ'!
>
6 6 6 _ : <"
2.- 0Ð>ч1Ð>Ñ œ Ò Ð=ÑÓ‡ Ò Ð=ÑÓ_ : _ <" "
Ejemplo
1.- _ _ _ _" " " "# " # " #=Ð= %Ñ = = % = = %Ò Ó œ Ò † Ó œ Ò Ó‡ Ò Ó# # #
œ "‡=/8Ð#>Ñ
œ 0Ð> Ñ † 1Ð Ñ.'!
>
6 6 6
donde 0Ð>Ñ œ " ß 1Ð>Ñ œ =/8Ð#>Ñ
por lo tanto, se tiene que
œ " † =/8Ð# Ñ. œ -9=Ð# Ñ' ¸!
>
!
>
6 6 6"#
œ -9=Ð#>Ñ " "# #
2.- _ _ _ _" " " "= " = " =Ð= "Ñ = " = " = " = "Ò Ó œ Ò † Ó œ Ò Ó‡ Ò Ó# # # # # #
œ =/8Ð>ч-9=Ð >Ñ
œ 0Ð> Ñ † 1Ð Ñ.'!
>
6 6 6
donde 0Ð>Ñ œ =/8Ð>Ñ ß 1Ð>Ñ œ -9=Ð>Ñ por lo tanto, se tiene que
œ =/8Ð> Ñ † -9= Ð Ñ. œ >=/8Ð> Ñ'!
>
6 6 6 "#
48
3.- _ _ _ _" " " "$= = = = =Ð= "Ñ = " = " = " = "Ò Ó œ $ Ò † Ó œ $ Ò Ó‡ Ò Ó
#
# # # # # #
œ $Ð-9=Ð>ч-9=Ð >ÑÑ
œ $ 0Ð> Ñ † 1Ð Ñ.'!
>
6 6 6
donde 0Ð>Ñ œ -9=Ð>Ñ ß 1Ð>Ñ œ -9=Ð>Ñ por lo tanto, se tiene que
œ -9=Ð> Ñ † -9= Ð Ñ.'!
>
6 6 6
œ ÞÞÞÞÞÞ
4.- _ _ _ _" " " "" " " " "Ð="ÑÐ="Ñ =" =" =" ="Ò Ó œ Ò † Ó œ Ò Ó‡ Ò Ó
œ / ‡/> >
œ 0Ð> Ñ † 1Ð Ñ.'!
>
6 6 6
donde 0Ð>Ñ œ / ß 1Ð>Ñ œ /> >
por lo tanto, se tiene que
œ / † / .'!
>Ð> Ñ6 6 6
œ / . œ / œ / /' ¸!
>
!
>># ># > >" " "
# # #6 66 6
FORMULARIO
49
1.- _ _Ò 0 Ð>Ñ Ó œ = Ò 0 Ð>Ñ Ó 0Ð!Ñß
2.- _ _Ò 0 Ð>Ñ Ó œ = Ò 0 Ð>Ñ Ó = 0Ð!Ñ = 0 Ð!ÑÐ8Ñ 8 8" 8#ß
= 0 Ð!Ñ ÞÞÞÞÞ 0 Ð!Ñ8$ßß Ð8"Ñ
3.- = _ _Ò 0 ÐBÑ.B Ó Ò 0 Ð>Ñ Ó 0ÐBÑ.B' '+ !
> +" "= =
4.- _ _Ò 0 ÐBÑ.BÓ œ Ò 0Ð>ÑÓ'!
>"=
5.- ....._ _Ò 0 ÐBÑ.BÞÞÞ.BÓ œ Ò 0Ð>ÑÓ' ' '! ! !
> > >
8"=
6.- '!
>
0ÐBÑ.B œ Ò Ò 0Ð>ÑÓÓ_ _" "=
7.- .....' ' '! ! !
> > >
80ÐBÑ.BÞÞÞ.B œ Ò Ò 0Ð>ÑÓÓ_ _" "=
8.- Si entonces _ : _ :Ò0 Ð>ÑÓÐ=Ñ œ Ð=Ñ Ò/ † 0 Ð>ÑÓÐ=Ñ œ Ð= +Ñ+>
9.- _ _ . _Ò 0 Ð>ÑÓ œ Ò Ð>Ñ † 1Ð> +ÑÓ œ / † Ò 1Ð>ÑÓ+=+
10.- _ _ ." =++Ò/ † Ò 1Ð>ÑÓÓ œ Ð>Ñ † 1Ð> +Ñ
11.- Si entonces _ : _Ò0 Ð>ÑÓÐ=Ñ œ Ð=Ñ Ò> † 0 Ð>ÑÓÐ=Ñ œ Ð "Ñ †8 8 . Ò Ð=ÑÓ.=
8
8
:
12.- _ _ :" 8 8 ". Ò Ð=ÑÓ.=Ò Ó œ Ð "Ñ † > † Ò Ð=ÑÓ8
8
:
13.- de periodo _Ò0 Ð>ÑÓ œ 0 :'!
:=>
=:
/ 0Ð>Ñ.>
"/
14.-.- si _ : _ <Ò0 Ð>ÑÓ œ Ð=Ñ ß Ò1Ð>ÑÓ œ Ð=Ñ
_ _ 6 6 6 : <Ò0 Ð>ч1Ð>ÑÓ œ Ò 0Ð> Ñ † 1Ð Ñ. Ó œ Ð=Ñ † Ð=Ñ'!
>
15.-.- 0Ð>ч1Ð>Ñ œ Ò Ð=ÑÓ‡ Ò Ð=ÑÓ_ : _ <" "
50
TRANSFORMADAS BÁSICAS
1.- _Ò"Ó œ à = !"=
2.- _Ò>Ó œ à = !"=#
3.- _Ò> Ó œ à = !8 8x=8"
4.- _Ò/ Ó œ à = ++> "=+
5.- _Ò-9=Ð+>ÑÓ œ à = !== +# #
6.- _Ò=/8Ð+>ÑÓ œ à = !+= +# #
7.- _Ò=/82Ð+>ÑÓ œ à = ++= +# #
¸ ¸8.- _Ò-9=2Ð+>ÑÓ œ à = +=
= +# #¸ ¸
9.- _ .Ò Ð>ÑÓ œ à = !+/=
=+
