Apostila elementos de matemática aplicada

Elementos de Matemática Aplicada

Wagner Queiroz Barros

Engenheiro de Petróleo

2013

1

Esse documento foi compilado pelo Engenheiro de Petróleo Wagner Queiroz

Barros a partir de notas de aula do Professor Viatcheslav Ivanovich Priimenko,

da Universidade Estadual do Norte Fluminense - Dacy Ribeiro, Laboratório de

Engenharia e Exploração de Petróleo – LENEP.

Quaisquer dúvidas ou sugestões favor enviar um e-mail para:

[email protected].

2

Sumário

1 – Conceitos Básicos de EDP’s ........................................................................ 4

1.1 – Definição de EDP .................................................................................. 4

1.2 – Classificação de EDP’s .......................................................................... 4

1.3 – Solução clássica de EDP’s .................................................................... 7

2 – A Equação da Onda ................................................................................... 10

2.1 – Introdução ao estudo das ondas .......................................................... 10

2.2 – Vibração em uma corda, dedução da equação da onda ...................... 10

2.3 – Solução da equação da onda (Solução de D’Alembert) ...................... 14

3 – Leis de Conservação “Equações de 1ª Ordem não lineares” ..................... 21

3.1 – Derivação das leis de conservação ..................................................... 21

3.2 – Solução de equações conservativas “Método das Características ...... 24

4 – Catástrofe de Gradiente ............................................................................. 32

4.1 – Catástrofe de gradiente ....................................................................... 32

4.2 – Soluções do tipo ondas de choque ...................................................... 40

5 – Ondas de Rarefação .................................................................................. 52

5.1 – Áreas de rarefação .............................................................................. 52

5.2 – Solução geral de equações homogêneas com áreas de rarefação ..... 57

6 – Condição de Entropia ................................................................................. 62

6.1 – Não unicidade de soluções suaves por partes .................................... 62

6.2 – Condição de entropia ........................................................................... 63

7 – Propagação de Ondas em Meios Infinitos .................................................. 71

7.1 – Equação de D’Alembert ....................................................................... 71

7.2 – Curvas características da equação da onda ........................................ 74

7.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características ..... 76

7.4 – Conservação de energia na equação da onda .................................... 83

8 – Propagação de Ondas em Meios Semi-Infinitos ........................................ 85

8.1 – Meios semi-infinitos, condição de Dirichlet .......................................... 85

8.2 – Meios semi-infinitos, condição de Neumann ........................................ 89

3

8.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características para

um meio semi-infinito .................................................................................... 94

9 – Propagação de Ondas em Meios Finitos.................................................... 99

9.1 – Meio finito com limites fixos: ................................................................ 99

9.2 – Meio finito com termo fonte “Função de Green”: ............................... 109

9.3 – Meio finito com limites variáveis: ....................................................... 116

10 – Problemas de Propagação de Ondas em Meios Finitos ........................ 120

10.1 – Problema do martelo chato batendo em uma corda: ....................... 120

10.2 – Problema do martelo pontiagudo batendo em uma corda: .............. 122

10.3 – Problema da corda ressonante: ....................................................... 124

10.4 – Problema da corda com extremidades livre: .................................... 129

11 – Equação de Conservação de Calor ........................................................ 135

11.1 – Condução de calor em uma barra de comprimento finito: ............... 135

11.2 – Solução da equação do calor sem termo fonte: ............................... 137

11.3 – Solução da equação de calor considerando o termo fonte: ............. 139

11.4 – Solução final da equação de calor: .................................................. 142

Referências Bibliográficas .............................................................................. 146

Apêndice 1: Derivadas parciais e regra da cadeia para funções dependentes de

várias variáveis ............................................................................................... 147

A1.1 – Derivadas parciais ........................................................................... 147

A1.2 – Regra da cadeia para funções de várias variáveis .......................... 148

Apêndice 2: Solução alternativa da equação da onda ................................... 152

Apêndice 3: Ortogonalidade de Funções ....................................................... 154

A3.1 – Ortogonalidade de funções do tipo seno: ........................................ 154

A3.2 – Ortogonalidade de funções do tipo cosseno: .................................. 156

4

1 – Conceitos Básicos de EDP’s

1.1 – Definição de EDP

Uma equação diferencial parcial é uma equação que contém derivadas

parciais, sendo as funções desconhecidas dependentes de mais de uma

variável. Por exemplo, a temperatura em uma placa que depende da posição e

do tempo.

Para efeitos de simplificação, a seguinte notação é utilizada:

t

uut

x

uux

yx

uuxy

2

...

Pode-se definir uma EDP utilizando a seguinte notação clássica:

Considerando-se a seguinte função:

),( yxuu , 2),( RDyx “(x,y) pertencentes ao domínio D, contido no R²”

então, uma função do tipo:

0,...),,,,,,,( yyxyxxyx uuuuuuyxF , Dyx ),( (Eq. 1.1)

é chamada Equação Diferencial Parcial (EDP). Segue alguns exemplos de

EDP’s famosas:

1. tyxyyxxyxtt FuuCu ,,),( )( “Equação da onda”

2. txxt Fuu , “Equação de Burgers”

1.2 – Classificação de EDP’s

Existem seis classificações básicas de EDP’s:

i. Quanto à ordem da EDP:

A ordem da EDP é a ordem da derivada parcial mais alta presente na equação.

Exemplos:

xxt uu (2ª Ordem)

xt uu (1ª Ordem)

senxuuu xxxt . (3ª Ordem)

5

ii. Quanto ao número de variáveis:

Essa classificação leva em conta o número de variáveis independentes na

equação.

Exemplos:

xxt uu (Dependente de 2 variáveis, (x,t))

ur

ur

uu rrrt 2

11 (Dependente de 3 variáveis, (r,t,θ))

iii. Quanto à linearidade:

As equações diferenciais parciais podem ser classificadas em lineares e não-

lineares. Existem duas formas de se definir se uma EDP é linear:

1ª Forma: Uma EDP é dita linear se a variável dependente e todas suas

derivadas parciais puderem ser escritas em uma forma linear do tipo:

GFuEuDuCuBuAu yxyyxyxx (Eq. 1.2)

onde A, B, C, D, E, F, e G podem ser constantes ou funções das variáveis

independentes (x,y).

Exemplos:

)(. tsenueu xxt

tt (linear)

0. txx uuu (não linear)

0. yyxx uyu (linear)

2ª Forma: A equação diferencial parcial é chamada de linear, se ela é linear

com respeito da função u e todas as suas derivadas. Assim as soluções da

EDP podem ser obtidas a partir de uma combinação linear de outras soluções.

Exemplo 1.1:

0)( xxxtt ucu (linear)

Demonstração:

2211 uuu “Uma solução a partir de uma combinação linear de outras 2”

6

02211)(2211 xxxtt

uuCuu

02)(221)(11 xxxttxxxtt

ucuucu

Exemplo 1.2:

0. xt uuu (não linear)

Demonstração:

2211 uuu “Uma solução a partir de uma combinação linear de outras 2”

0. 221122112211 xt

uuuuuu

Desenvolvendo e agrupando:

0.. 1221212122222211

2111

xxxtxtuuuuuuuuuu

O aparecimento de termos cruzados torna impossível a escrita da solução

linear como combinação linear de outras duas, assim a equação é não linear.

iv. Quanto à homogeneidade:

Uma EDP é dita homogênea quando o termo independente yxG , da Equação

1.2 for igual à zero para todo ),( yx . Quando o termo yxG , for diferente de

zero, a EDP é dita não homogênea.

v. Quanto aos tipos de coeficientes:

Se o coeficientes A, B, C, D, E e F da Equação 1.2 forem constantes, a EDP é

dita como tendo coeficientes constantes. Caso contrário ela é dita como tendo

coeficientes variáveis.

vi. Três tipos básicos de equações lineares:

Todas as EDP’s do tipo da Equação 1.2 podem ser classificadas em

basicamente 3 tipos:

a) Parabólicas: Descrevem problemas de trocas de calor e problemas de

difusão, e satisfazem a seguinte propriedade 042 ACB .

b) Hiperbólicas: Descrevem problemas de ondas e vibrações, e satisfazem

a seguinte propriedade 042 ACB .

7

c) Elípticas: Descrevem problemas estacionários, e satisfazem a seguinte

propriedade 042 ACB .

Exemplos:

xxt uu (A=1, B=C=0, 042 ACB ) Parabólica

xxtt uu (A=1, B=0, C=-1, 442 ACB ) Hiperbólica

0 xxyy uu (A=1, B=0, C=1, 442 ACB ) Elíptica

1.3 – Solução clássica de EDP’s

Considere uma equação diferencial parcial de ordem m:

0,...,,,,, uDuuuyxF myx , (Eq. 1.3)

2),( Ryx “Para todos os pontos pertencentes a um espaço ômega,

contido no plano cartesiano.”

Onde, define-se o operador derivada parcial:

21

)21(

mm

mmm

yx

uuD

, 21 mmm

Uma função ),( yxu é dita solução clássica (ou solução suave) da Equação 1.3

se:

i. )(),( mCyxu “Função ),( yxu possuir derivadas de ordem m

contínuas no subespaço ômega”

ii. 0,...,,,,, uDuuuyxF myx , ),( yx

Exemplo 1.3:

Considere a seguinte equação da Advecção:

nteconstac

cuu xt

.

0 (Eq. 1.4)

8

Provar que a função ),( ctxfu )(1 RCf é solução da equação da

Advecção.

Demonstração:

Calcular as derivadas parciais da função u:

)(' ctxfux

ux

)).((' cctxfut

ut

Substituindo na Equação 1.4:

0 xt Cuu

0))('.()('. ctxfcctxfc

Assim, como a igualdade permanece verdadeira, a função )( ctxfu é

considerada solução clássica (ou suave) da Equação 1.4. Essa solução será

demonstrada com detalhes no Tópico 3.2.

As soluções do tipo )( ctxfu são chamadas de solução do tipo onda

viajante para a direita, pois para valores crescentes de ),( tx o perfil da solução

é deslocado para a direita, como pode ser visto na Figura 1.1.

Figura 1.1: Solução do tipo onda viajante para a direita

9

Exemplo 1.4:

Considere a seguinte equação da onda:

constantec

ucu xxtt 02

(Eq. 1.5)

Provar que a solução da Equação 1.5 é uma combinação linear das soluções

tipo ondas viajante para esquerda e ondas viajante para direita, ou seja, uma

combinação linear de:

)( ctxf “Onda viajante para direita”

)( ctxg “Onda viajante para esquerda”

Demonstração:

Escrevendo a função ),( txu como combinação linear das funções ),( txf e

),( txg :

)()(),( 21 ctxgCctxfCtxu

Calculando as derivadas parciais:

)(')(' 21 ctxgCctxfCux

)('')('' 21 ctxgCctxfCuxx

))(('))((' 21 cctxgCcctxfCut

22

21 ))((''))(('' cctxgCcctxfCutt

Substituindo as derivadas de segunda ordem na Equação 1.5:

02 xxtt ucu

0)('')('')('')('' 212

22

12 ctxgCctxfCcctxgCcctxfCc

Como a igualdade permaneceu verdadeira, podemos concluir que a

combinação linear das funções ),( txf e ),( txg é solução clássica da

Equação 1.5.

10

2 – A Equação da Onda

2.1 – Introdução ao estudo das ondas

A noção de onda é algo familiar para as pessoas de uma forma ou de outra,

uma noção intuitiva de onda é uma perturbação que se propaga por um meio.

Uma descrição física de uma onda é um transporte de energia de um ponto ao

outro sem que haja transporte de matéria. Segundo Whitham (1976) “uma onda

é um sinal reconhecível que é transferido de uma parte de um meio para outra

parte com uma velocidade de propagação reconhecida”. A Figura 2.1 mostra o

exemplo de pedras batendo em um lago gerando ondas na superfície.

Figura 2.1: Ondas na superfície de um lago geradas por pequenos impactos.

2.2 – Vibração em uma corda, dedução da equação da onda

A equação da onda (Equação 2.1) é uma equação diferencial parcial que

descreve o fenômeno ondulatório em vários ramos da física.

xxtt ucu 2 (Eq. 2.1)

Nesse tópico será demonstrada a Equação 2.1 que modela pequenas

vibrações em uma corda totalmente esticada.

Considere uma corda totalmente esticada, homogênea, que possui peso,

porém não é afetada pela gravidade (vibração em uma mesa horizontal, por

exemplo), localizada no eixo x, como mostrada na Figura 2.2.

11

Figura 2.2: Representação de uma onda unidimensional trafegando em uma

corda totalmente esticada

Para uma total derivação da equação da onda, serão utilizadas as seguintes

considerações:

Corda uniforme: A corda possui uma densidade linear constante;

Tensão constante: Será assumido que a tensão terá o mesmo módulo

em todos os pontos da corda, variando apenas a direção e o sentido;

Pequenas vibrações: A inclinação da corda indicada por ),( txux terá

sempre um valor pequeno.

Considere um elemento de comprimento infinitesimal da corda como mostrado

na Figura 2.3. Utilizando a segunda lei de Newton:

)()( aceleraçãoxmassaForças (Eq. 2.2)

Considera-se atuando as seguintes forças no elemento infinitesimal:

1. Forças devidas a tensão na corda:

Decompondo o vetor tensão na componente vertical em cada ponta da corda

mostrada na Figura 2.3 é possível obter a seguinte equação:

12 .. senTsenTT xxxvertical (Eq. 2.3)

12

Figura 2.3: Representação de um elemento infinitesimal de corda

Utilizando a consideração de tensão constante, é possível observar que a

derivada espacial da função ),( txu (função que representa o deslocamento da

corda) possui aproximadamente o mesmo valor do seno do ângulo formado

pela corda e a horizontal, em qualquer ponto da corda, assim a Equação 2.3

pode ser escrita como:

),(),( txutxxuTT xxvertical (Eq. 2.4)

2. Forças externas:

Consideram-se forças externas principalmente as forças de campo, ou seja, o

peso da própria corda, ou forças criadas pela passagem de outras ondas na

mesma corda. Utilizando o conceito de força média no elemento infinitesimal,

as forças externas podem ser escritas como:

xtxFexternasForças ).,(_ (Eq. 2.5)

no caso da gravidade, por exemplo, mgtxF ),( .

13

3. Força de fricção ao movimento da corda:

Essa força pode ser modelada como sendo uma resistência da corda à

passagem da onda, utilizando o conceito de média, pode ser descrita como:

xtxuFricçãoForça t ).,(_ (Eq. 2.6)

4. Força de restauração

Essa força pode ser entendida como uma força que tende a restaurar a corda

para a posição de equilíbrio, e pode ser escrita como:

xtxustauraçãoForça ),(_ Re (Eq. 2.7)

Observa-se que as forças com sinal negativo possuem o a direção contrária ao

movimento da corda, de forma a causar uma resistência à passagem da onda.

Substituindo as Equações (2.4 – 2.7) na Equação 2.2:

xuxtxuxtxuxtxFtxutxxuT tttxx ),(),(),()],(),([

(Eq. 2.8)

onde é a densidade linear da corda. Dividindo ambos os lados da equação

2.8 por x , e fazendo x tender para zero, a Equação 2.8 pode ser escrita

como:

),(1

txFuuTuu txxtt

(Eq. 2.9)

Desprezando as forças externas, e de atrito que atuam na corda, a Equação

2.9 fica escrita de uma forma mais simples:

xxtt uu 2 (Eq. 2.10)

onde:

T (Eq. 2.11)

14

2.3 – Solução da equação da onda (Solução de D’Alembert)

No Capítulo 1 foi provado que as funções tipo onda viajante para a esquerda e

para a direita são soluções da equação da onda, essa solução foi obtida por

Jean le Rond d'Alembert, e será demonstrada nesse tópico. Para o melhor

entendimento desse tópico, o Apêndice 1 mostra detalhes da regra da cadeia

para funções dependentes de mais de uma variável, e o Apêndice 2 mostra

uma segunda demonstração da solução para a equação da onda. Antes de

demonstrar a solução, será feita uma descrição matemática do problema.

O problema da solução da equação da onda (Equação 2.10) consiste em

encontrar a solução do seguinte conjunto:

constantec

ucu xxtt2

t

x

0 “EDP Hiperbólica” (Eq. 2.13)

Sujeito as seguintes condições iniciais:

)()0,(

)()0,(

xgxu

xfxu

t

x “Condições Iniciais” (Eq. 2.14)

A solução da Equação 2.13 será realizada em quatro passos.

1º Passo: Transformação de coordenadas:

Para se resolver a Equação 2.13, será utilizada uma transformação de

coordenadas ,, tx , definida por:

ctx

ctx

(Eq. 2.15)

Assim, tomando as derivadas parciais no novo sistema de coordenadas:

uucuuu ttt (Eq. 2.16)

t

uucutt

))((

tttttt uuuucu

uuucutt 2.2 (Eq. 2.17)

uuuuu xxx (Eq. 2.18)

15

x

uuuxx

)(

xxxxxx uuuuu

uuuuxx 2 (Eq. 2.19)

Substituindo as Equações 2.17 e 2.19 na Equação 2.13:

uuucuuuc 2.2. 22

04 2 uc (Eq. 2.20)

Como a constante c foi definida como positiva, a Equação 2.20 pode ser

reescrita como:

0u (Eq. 2.21)

2º Passo: Solução da equação diferencial parcial:

A Equação 2.21 pode ser resolvida utilizando-se duas integrações, uma em

relação à e outra em relação à . Integrando em relação à obtém-se:

ddu 0

)(),( u (Eq. 2.22)

onde )( é uma função qualquer dependente apenas da variável .

Integrando a Equação 2.22 em relação à , obtém-se:

ddu

)()(),( u (Eq. 2.23)

sendo )( a função anti-derivada de )( , e )( uma função dependente

apenas da variável . Assim a solução geral da Equação 2.21 pode ser

definida como a soma de quaisquer funções dependentes apenas de e .

Exemplo 2.1:

Provar que a função 3)(),( senu é solução da Equação 2.21.

16

Resolução:

Substituindo a função definida no problema na Equação 2.21:

0))(( 32

sen (Eq. 2.24)

Derivando a Equação 2.24 em relação à :

)())(( 3

cos

sen

(Eq. 2.25)

Derivando a Equação 2.25 em relação à :

0))((

cos (Eq. 2.26)

O que prova que a função 3)(),( senu é solução da Equação 2.21.

3º Passo: Transformação da solução nas coordenadas iniciais do

problema:

Para se encontrar a solução geral da Equação 2.13 é preciso aplicar a mesma

transformada de coordenadas definidas pela Equação 2.15 na Equação 2.23,

assim:

ctx

ctx

aplicadas em:

)()(),( u

resulta em:

)()(),( ctxctxtxu (Eq. 2.27)

dessa forma, a Equação 2.27 é a solução geral da Equação 2.13. Observa-se

que a Equação 2.27 é composta por uma soma de ondas viajantes para a

esquerda para a direita, como foi discutido no Exemplo 1.4 do Capítulo 1.

Exemplo 2.2: Provar que a equação )().(),( tcosxsentxu é solução geral da

equação da onda definida pela Equação 2.13 com 1c , e demonstrar que

essa solução pode ser escrita de acordo com a Equação 2.27.

17

Solução:

1ª Parte: Provar que )().(),( tcosxsentxu é solução de:

xxtt ucu 2 , com 1c (Eq. 2.28)

Derivando a função ),( txu :

)()( tcosxsenu

)()( tcosxcosux

)()( tcosxsenuxx (Eq. 2.29)

)()( tensxsenut

)()( tcosxsenutt (Eq. 2.30)


xxtt uu

)()()()( xcosxsenxcosxsen (Eq. 2.31)

O que prova que a função )().(),( tcosxsentxu é uma solução da equação

da onda com 1c .

2ª Parte: Escrever a função )().(),( tcosxsentxu na forma da Equação 2.27:

Utilizando a propriedade de soma e subtração de arcos:

)().()().()( xcostsentcosxsentxsen (Eq. 2.32)

)().()().()( xcostsentcosxsentxsen (Eq. 2.33)

somando-se as Equações 2.32 e 2.33:

)().(2)()( tcosxsentxsentxsen

2

)(

2

)()().(

txsentxsentcosxsen

(Eq. 2.34)

como 1c , a Equação 2.34 pode ser escrita na forma:

)()(),( ctxctxtxu

sendo

18

2

)()(

txsenctx

“Onda viajante para direita” (Eq. 2.35)

2

)()(

txsenctx

“Onda viajante para esquerda” (Eq. 2.36)

4º Passo: Substituição das condições iniciais do problema

Nos passos anteriores foi encontrada a Equação 2.27 que é solução geral da

Equação 2.13. Nesse passo serão utilizadas as condições iniciais,

)()0,(

)()0,(

xgxu

xfxu

t

x “Condições Iniciais”

para se encontrar a solução específica do problema.

Substituindo as condições iniciais na Equação 2.27:

)()()()0()0()0,( xfxxcxcxxu (Eq. 2.37)

))(0('))(0(')0,( ccxccxxut

)()(')(')0,( xgxcxcxut (Eq. 2.38)

integrando a Equação 2.38:

Kdssgc

xxx

x

0

)(1

)()( , onde K é uma constante (Eq. 2.39)

As Equações 2.37 e 2.39 formam um conjunto de equações lineares, cuja

solução é dada por:

Kxfdssgc

xx

x

)(2

1)(

2

1)(

0

(Eq. 2.40)

Kxfdssgc

xx

x

)(2

1)(

2

1)(

0

(Eq. 2.41)

A solução específica da Equação 2.13 é feita substituindo )( ctx e

)( ctx nas Equações 2.40 e 2.41, e somando as duas equações:

19

Kctxfdssgc

ctxctx

x

)(2

1)(

2

1)(

0

(Eq. 2.42)

Kctxfdssgc

ctxctx

x

)(2

1)(

2

1)(

0

(Eq. 2.43)

)()(),( ctxctxtxu

)(2

1)(

2

1)(

2

1)(

2

1),(

00

ctxfdssgc

ctxfdssgc

txuctx

x

ctx

x

substituindo os limites de integração:

dssgc

ctxfctxftxuctx

ctx

)(2

1)()(

2

1),( (Eq. 2.44)

A Equação 2.44 é a solução da equação da onda de d’Alembert, onde a função

),( txu fica escrita utilizando as condições iniciais do problema.

Exemplo 2.3:

Encontrar a solução do seguinte problema de valor inicial:

0)0,(

)0,(2

xu

exu

uu

t

x

xxtt

(Eq. 2.45)

Solução:

Percebe-se que a Equação 2.45 é a equação da onda com 1c , assim a

solução é dada pela Equação 2.44, onde:

2

)( xexf (Eq. 2.46)

0)( xg (Eq. 2.47)

substituindo as Equações 2.46 e 2.47 na Equação 2.44:

dsc

eetxuctx

ctx

ctxctx

02

1

2

1),(

22 )()(

20

22 )()(

2

1),( txtx eetxu (Eq. 2.48)

A Equação 2.48 é a solução da Equação 2.45, composta por uma onda viajante

para esquerda e uma onda viajante para a direita. A Figura 2.4 mostra a

solução 2.48 plotada para vários tempos diferentes. Pode-se observar

claramente que existem duas ondas trafegando em sentidos contrários na

figura.

Figura 2.4: Solução da Equação 2.45 plotada para diferentes tempos.

21

3 – Leis de Conservação “Equações de 1ª Ordem não lineares”

As leis de conservação constituem equações que contabilizam a variação de

qualquer variável mensurável em um sistema isolado. Constituem na

matemática um conjunto amplo de equações diferenciais parciais hiperbólicas,

onde as equações das ondas são um sub-grupo das leis de conservação. No

próximo tópico será deduzido a lei de conservação em um sistema

unidimensional, e serão apresentados alguns exemplos de equações

conservativas.

3.1 – Derivação das leis de conservação

Imagine um meio unidimensional posicionado ao longo do eixo-x que contém

uma substância mensurável que consegue se mover ou fluir por esse meio.

Utiliza-se a variável Q para representar essa substância (carros, partículas,

energia, massa, etc...), para se deduzir a equação da conservação, utilizam-se

dois conceitos básicos:

1. Concentração:

Concentração ou densidade é definida como o número de unidades da

substância Q por unidade de comprimento em um tempo t qualquer, ou seja:

tx

QNtxu

)(),( (Eq. 3.1)

Podendo ser, por exemplo, número de carros por quilômetro em uma rodovia,

ou gramas de uma substância por metro de tubulação.

2. Fluxo:

Número de unidades da substância Q passando por um ponto x , em um

intervalo de tempo t , assim:

xt

QNtxF

)(),( (Eq. 3.2)

Considere um pequeno segmento S definido pelos pontos a e b , mostrado na

Figura 3.1. A variação do número de unidades da substância Q nesse

segmento acontecerá somente de duas maneiras, ou a substância atravessará

22

as fronteiras A e B , mostradas no esquema, ou a substância será criada ou

destruída no interior do segmento S , em outras palavras:

),()()()(

txst

QN

t

QN

t

QN

BAS

(Eq. 3.3)

Onde ),( txs é definida como termo fonte de uma substância, sendo

considerada a taxa (variação no tempo) em que a substância Q é adicionada

ou retirada do meio S .

Figura 3.1: Segmento S delimitado pelo intervalo ],[ ba do eixo-x.

Para se calcular o número de unidades da substância Q calcula-se a integral

da concentração nesse intervalo, assim:

b

aS

dxtxudt

d

t

QN),(

)( (Eq. 3.4)

logo a Equação 3.3 pode ser escrita como:

b

a

b

a

dxtxstbFtaFdxtxudt

d),(),(),(),( (Eq. 3.5)

A Equação 3.5 é conhecida como “Forma Integral da Lei da Conservação”, as

funções ),( taF e ),( tbF possuem sinais contrários, pois a substância Q está

entrando na fronteira A , e saindo na fronteira B . Considerando as funções

),( txu e ),( txF constantes e com primeiras derivadas constantes em todo o

domínio, e utilizando o teorema fundamental do cálculo, é possível escrever as

funções de fluxo da seguinte forma:

23

b

a

x dxtxFtbFtaF ),(),(),( (Eq. 3.6)

assim a Equação 3.5 fica escrita como:

b

a

b

a

x

b

a

t dxtxsdxtxFdxtxu ),(),(),( (Eq. 3.7)

então:

0),(),(),( b

a

xt dxtxstxFtxu (Eq. 3.8)

o que implica que o resultado da integral deve ser sempre igual à zero em

qualquer intervalo ],[ ba do domínio, ou seja:

sFu xt (Eq. 3.9)

A Equação 3.9 é conhecida como “Forma Diferencial da Lei da Conservação”,

também conhecida como lei fundamental da natureza. Apesar da Equação 3.9

ter um forte significado físico ela não consegue por si só modelar fenômenos

físicos, sendo necessárias equações constitutivas, que são relações entre

),( txu e ),( txF . No caso de ),( txF dependente de ),( txu , e aplicando a

regra da cadeia, a Equação 3.9 pode ser escrita como:

suuFu xt )(' (Eq. 3.10)

Exemplo 3.1:

constantec

cuu xt

,0

0 “Equação da Advecção” (Eq. 3.11)

A Equação 3.11 escrita na forma da lei da conservação:

),(.),(

0

txuctxF

Fu xt “Forma da Lei da Conservação” (Eq. 3.12)

Exemplo 3.2:

0 xt uuu “Equação de Burgers invíscida” (Eq. 3.13)


24

2

),(),(

0

2 txutxF

Fu xt

“Forma da Lei da Conservação” (Eq. 3.14)

Exemplo 3.3:

constante

uuuu xxxt

“Equação de Burgers víscida, viscosidade ” (Eq. 3.15)


),(2

),(),(

0

2

txutxu

txF

Fu

x

xt


Exemplo 3.4:

xxt uxu ').( (Eq. 3.17)


x

xt

uxtxF

Fu

).(),(

0


3.2 – Solução de equações conservativas “Método das Características"

No tópico anterior foram deduzidas as equações conservativas (Forma

Diferencial da Lei de Conservação), nesse tópico serão discutidos métodos de

solução desse tipo de equação, ou seja, solução de equações hiperbólicas de

primeira ordem. Assim o objetivo desse tópico é de se resolver o seguinte

problema:

)()0,(

),(),(

0 xuxu

txFutxcu xt

“Problema de Cauchy” (Eq. 3.19)

O problema descrito pela Equação 3.19 é conhecido como problema de

Cauchy, sendo composto por uma equação diferencial parcial e uma solução

inicial. Para se resolver esse problema será utilizado um método conhecido

como “método das características”, deduzido a partir da regra da cadeia

(descrita no apêndice 1). Para se resolver a Equação 3.19 será utilizada uma

parametrização da variável x , assim:

25

)),((),(

)(

ttxutxu

txx (Eq. 3.20)

derivando a função )),(( ttxu em relação ao tempo:

xt ut

txu

t

txu

t

tx

x

txu

t

ttxu

)(),()(),()),(( (Eq. 3.21)

comparando-se as Equações 3.19 e 3.21 chega-se a duas conclusões:

),()(

txct

tx

(Eq. 3.22)

),()),((

txFt

ttxu

(Eq. 3.23)

Observa-se que a equação diferencial parcial foi transformada em duas

equações diferenciais ordinárias, que são geralmente mais fáceis de resolver.

Resolvendo a Equação 3.22:

dttxcdx ),( (Eq. 3.24)

tx

x

dttxcdx0

),(

0

(Eq. 3.25)

t

dttxcxx0

0 ),( (Eq. 3.26)

A Equação 3.26 descreve as curvas características do problema, mostradas na

Figura 3.2. Resolvendo a Equação 3.23:

dttxFdu ),( (Eq. 3.27)

ttx

x

dttxFdu0

),(

)0),0((

),( (Eq. 3.28)

t

dttxFxutxu0

0 ),()0,(),( (Eq. 3.29)

Utilizando-se o valor inicial do problema de Cauchy:

t

dttxFxutxu0

00 ),()(),( (Eq. 3.30)

26

Combinando as Equações 3.26 e 3.30, chega-se a solução final da Equação

3.19:

tt

dttxFdttxcxutxu00

0 ),()),((),( (Eq. 3.31)

O princípio físico do métodos das características baseia-se no fato de que um

distúrbio em um ponto x qualquer do domínio se propaga ao longo de curvas

no plano ),( tx , chamadas de curvas características, mostradas na Figura 3.2.

Figura 3.2: Curvas características no plano ),( tx .

Teorema 3.1:

Seja 1

0 )( Cxu (contínua e com primeira derivada contínua), então existe uma

solução única do problema de Cauchy (Equação 3.19), dada pela Equação

3.31.

Exemplo 3.5:

Resolver a equação da Advecção, descrita por:

)()0,(

0

0 xuxu

cuu xt, onde

0t

x e constantec (Eq. 3.32)

Solução:

27

1ª parte: Construção das características:

Encontrar curvas que satisfazem a Equação 3.24, ou seja:

cdt

dx (Eq. 3.33)

Resolvendo a Equação 3.33:

ctxx 0 (Eq. 3.34)

ou

ctxx 0 (Eq. 3.35)

Plotando-se as características descritas pela Equação 3.34 (Figura 3.3)

observa-se que as características são representadas por retas no plano ),( tx .

Figura 3.3: Características do Exemplo 3.5, considerando 3c .

28

2ª Parte: Construção da solução:

Construir uma solução que satisfaça a Equação 3.27, com 0),( txF , ou seja:

0dt

du (Eq. 3.36)

ttx

x

dtdu0

),(

)0),0((

0 (Eq. 3.37)

)()0),0((),( 00 xuxutxu (Eq. 3.38)

Substituindo a Equação 3.35 na Equação 3.38, chega-se ao resultado da

Equação 3.32:

)(),( 0 ctxutxu (Eq. 3.39)

Essa solução é dada na forma de onda viajante para a direita, e foi comentada

com detalhes no Tópico 3.1.

Exemplo 3.6:

Utilizar o método das características para se resolver a seguinte equação:

2

)0,(

02

x

xt

exu

uu onde

0t

x (Eq. 3.40)

Solução:


Encontrar curvas que satisfaçam a seguinte equação:

0)0(

2

xx

dt

dx

(Eq. 3.41)

txx 20 (Eq. 3.42)

2ª parte: Construção da solução:

Para se construir a solução da Equação 3.40 deve-se resolver a seguinte

equação:

29

0dt

du (Eq. 3.43)

ttx

x

dtdu0

),(

)0),0((

0 (Eq. 3.44)

)0),0((),( xutxu (Eq. 3.45)

Substituindo a condição inicial na Equação 3.45, encontra-se:

20),(

xetxu

(Eq. 3.46)

Utilizando-se a Equação 3.42:

2)2(),( txetxu (Eq. 3.47)

A solução dada pela Equação 3.47 é do tipo onda viajante para a direita, a

Figura 3.4 mostra a solução, plotada para diferentes tempos.

Figura 3.4: Solução do Exemplo 3.6, para diferentes tempos.

Exemplo 3.7:

Utilizar o método das características para se resolver a seguinte equação:

21

1)0,(

0

xxu

txuu xt

onde

0t

x (Eq. 3.48)

Solução:

30



0)0( xx

xtdt

dx

(Eq. 3.49)

tx

x

tdtx

dx

00

(Eq. 3.50)

)2(0

2

. texx (Eq. 3.51)

As características definidas pela Equação 3.51 estão plotadas na Figura 3.5.

Observa-se que nesse caso as características não são definidas por retas no

plano ),( tx .

Figura 3.5: Características do Exemplo 3.7.

2ª parte: Construção da solução:

Para se construir a solução do Exemplo 3.7 deve-se resolver a seguinte

equação:

0dt

du (Eq. 3.52)

31

ttx

x

dtdu0

),(

)0),0((

0 (Eq. 3.53)

)0),0((),( xutxu (Eq. 3.54)

Substituindo a condição inicial dada:

201

1),(

xtxu

(Eq. 3.55)

222

.1

1),(

tex

txu

(Eq. 3.56)

A Figura 3.6 mostra a solução dada pela Equação 3.56 para diferentes tempos.

Figura 3.6: Solução do Exemplo 3.7 plotada para diferentes tempos

32

4 – Catástrofe de Gradiente

No Capítulo 3 foi deduzido o método das características, uma importante

ferramenta na resolução de equações diferenciais parciais de 1ª ordem. Nesse

capítulo será discutida uma extensão do método das características, utilizado

para resolver problemas em áreas onde existem mais de uma característica

(áreas de catástrofe de gradiente).

4.1 – Catástrofe de gradiente

Como descrito no capítulo anterior, o método das características baseia-se no

fato de uma perturbação do sistema se propagar ao longo de linhas

características no domínio. Porém em alguns casos essas linhas se colapsam

em um único ponto, inviabilizando a solução da EDP via método das

características. Para se entender a catástrofe do gradiente, considera-se o

seguinte exemplo:

Exemplo 4.1:

Plotar as características da seguinte equação diferencial:

2

)0,(

0

x

xt

exu

uuu onde

0t

x (Eq. 4.1)



0)0( xx

udt

dx

(Eq. 4.2)

Aplicando a definição do método das características:

0dt

du (Eq. 4.3)

)0),0((),( xutxu (Eq. 4.4)

Substituindo a Equação 4.4 na Equação 4.2:

33

x

x

t

dtxudx

0 0

0 )0,( (Eq. 4.5)

texxx

.20

0

(Eq. 4.6)

Plotando-se a Equação 4.6 (Figura 4.1) encontram-se as curvas características

da Equação 4.1. É possível observar que as curvas características se

colapsam em um único ponto após aproximadamente 2.1t .

Figura 4.1: Curvas características da Equação 4.1.

Esse fenômeno está associado com o princípio que a função solução ),( txu

acompanha a característica da solução no plano ),,( utx . A Figura 4.2 mostra

duas curvas da função solução ),( txu em uma região onde não ocorre a

catástrofe do gradiente. É possível observar que a função ),( txu determina

uma função contínua nesse domínio.

34

Figura 4.2: Função ),( txu plotada em um domínio ),,( utx o qual não ocorre à

catástrofe de gradiente.

A Figura 4.3 mostra duas curvas da função solução ),( txu plotada em um

domínio onde ocorre a catástrofe de gradiente. É possível perceber que no

ponto onde ocorre a catástrofe, a função ),( txu possui dois valores diferentes,

representando uma descontinuidade na função.

Figura 4.3: Função ),( txu plotada em um domínio ),,( utx o qual ocorre à


35

Traçando retas paralelas ao eixo t que ligam as duas curvas na Figura 4.3

observa-se que no ponto de quebra do gráfico, a reta traçada faz uma vertical

em relação ao plano ),( tx , conclui-se então que a função ),( txu é contínua

com relação ao tempo, e a catástrofe do gradiente ocorre quando a derivada

primeira da função ),( txu em relação à variável x tende ao infinito.

Pode-se chegar à mesma conclusão analisando-se o perfil da solução quando

ocorre e quando não ocorre a catástrofe do gradiente. A Figura 4.4 mostra o

avanço da solução com o tempo em um caso onde não ocorre a catástrofe do

gradiente, pode-se se perceber que a função é crescente com velocidade

crescente. A Figura 4.5 mostra o avanço da solução em um caso onde ocorre a

catástrofe do gradiente, nesse caso a função solução é decrescente em um

intervalo com velocidade crescente, o que leva à formação da catástrofe do

gradiente.

Figura 4.4: Avanço do perfil da solução ),( txu com o tempo, para um caso

onde não ocorre a catástrofe de gradiente.

Figura 4.5: Avanço do perfil da solução ),( txu com o tempo, para um caso

onde ocorre a catástrofe de gradiente.

Analisando o perfil da solução, observa-se que no momento em que ocorre a

catástrofe de gradiente, a reta que liga os dois pontos da solução se torna

vertical.

36

Definição:

Define-se tempo de queda (Breaking Time) o ponto onde ocorre a catástrofe de

gradiente pela primeira vez, ou seja, o menor tempo positivo em que ocorre a


O tempo de queda pode ser calculado da seguinte forma:

bt = tempo mínimo onde dx

txud )),(( (Eq. 4.7)

Exemplo 4.2:

Calcular o tempo de queda para uma equação diferencial parcial homogênea

de primeira ordem, definida por:

)()0,(

0)(

0 xuxu

uucu xt, com

0t

Rx (Eq. 4.8)

Solução:

Para se calcular o tempo de queda, primeiro é preciso se calcular a solução da

EDP, nesse caso, utilizando-se o método das características:

0dt

du (Eq. 4.9)

ttx

x

dtdu0

),(

)0),0((

(Eq. 4.10)

)()0),0((),( 00 xuxutxu , com 0)0( xx (Eq. 4.11)

Calculando a derivada parcial da função ),( txu em relação à x :

dx

xud

dx

txud ))(()),(( 00 (Eq. 4.12)

Utilizando a regra da cadeia:

dx

xd

dx

xud

dx

txud )(.

))(()),(( 0

0

00 (Eq. 4.13)

Construindo as características desse problema:

37

)(ucdt

dx (Eq. 4.14)

txucxx )).(( 000 (Eq. 4.15)

Derivando em relação à x :

tdx

xucd

dx

xd ))](([)(1 000 (Eq. 4.16)

Utilizando a regra da cadeia:

tdx

xd

dx

xucd

dx

xd )())](([)(1 0

0

000 (Eq. 4.17)

t

dx

xucd

dx

xd

0

000 ))](([1

)(1 (Eq. 4.18)

Combinando as Equações 4.13 e 4.18:

0

00

0

00

))](([.1

))((

)),((

dx

xucdt

dx

xud

dx

txud

(Eq. 4.19)

Analisando a Expressão 4.19, a derivada de ),( txu em relação à x tende ao

infinito quando o denominador da expressão for igual ao zero, assim o tempo

de queda é calculado escolhendo o menor tempo onde:

0))](([

.10

0 dx

xucdt ob (Eq. 4.20)

Ou seja:

0

0 ))](([

1

dx

xucdt

ob

(Eq. 4.21)

Para se encontrar o tempo de quebra deve se encontrar o maior valor negativo

do denominador da Equação 4.21.

38

Exemplo 4.3:

Encontrar o tempo de queda do seguinte problema de Cauchy:

2

)0,(

0

x

xt

exu

uuu, com

0t

Rx (Eq. 4.22)

Solução:

A Equação 4.22 é análoga a Equação 4.8, com:

20))(( 00

xexuc

(Eq. 4.23)

Assim:

0

0

00 .2))](([ 2

0 xedx

xucd x (Eq. 4.23)

Essa função terá valor máximo quando a derivada for igual ao zero, ou seja:

0))](([

2

0

002

dx

xucd (Eq. 4.24)

0222

0

20

20

xee

xx (Eq. 4.25)

2

10 x (Eq. 4.26)

Para valores negativos de 0x a Equação 4.23 se torna positiva, e o tempo de

queda se torna negativo. Utilizando a Equação 4.21:

0

0 ))](([

1

dx

xucdt

ob

(Eq. 4.27)

Substituindo a parte positiva da Equação 4.26, encontra-se um tempo de queda

igual a:

2

etb (Eq. 4.28)

De fato esse valor vale aproximadamente 2.1bt , fato que foi comprovado

graficamente na Figura 4.1.

39

Exemplo 4.4:

Encontrar o tempo de queda do seguinte problema de Cauchy, e confirmar o

valor graficamente plotando as características do problema:

2

2

1

1)0,(

0

xxu

uuu xt

, com

0t

Rx (Eq. 4.29)

Solução:

A Equação 4.29 é análoga a Equação 4.8, com:

22

0

00)1(

1))((

xxuc

(Eq. 4.30)

Assim:

32

0

0

0

00

1

4))](([

x

x

dx

xucd

(Eq. 4.31)

Essa função terá valores máximos em pontos de descontinuidade, assim:

0))](([

2

0

002

dx

xucd (Eq. 4.32)

01

1241462

0

22

0

2

0

32

0

x

xxx (Eq. 4.33)

Ou seja:

5

10 x (Eq. 4.34)

Para valores negativos de 0x a Equação 4.34 se torna positiva, e o tempo de

queda se torna negativo. Utilizando a Equação 4.21:

0

0 ))](([

1

dx

xucdt

ob

(Eq. 4.35)

Substituindo a parte positiva da Equação 4.34 na Equação 4.35, encontra-se

um tempo de queda igual a:

40

125

554bt (Eq. 4.36)

As características da Equação 4.29 estão plotadas na Figura 4.6. É possível

ver que o tempo de queda ocorre em um tempo aproximado de 97.0bt , que

é numericamente igual ao tempo de queda encontrado na Equação 4.36.


4.2 – Soluções do tipo ondas de choque

No tópico anterior foi visto que ao depender do tipo da equação diferencial, e

do tipo da solução inicial do problema, podem ocorrer áreas onde mais de uma

característica passa pelo mesmo ponto, denominada área de catástrofe de

gradiente, foi também deduzida no tópico anterior, uma metodologia capaz de

se prever o tempo mínimo onde ocorre a catástrofe, denominado de tempo de

queda ou “Breaking Time”. Para se construir a solução da equação diferencial

em área de catástrofe, primeiro entenderemos o conceito de função suave por

partes.

Definição:

Uma função ),( txu que divide o domínio R em duas regiões distintas R e

R (Figura 4.7) é dita suave por partes quando obedecer as seguintes

condições:

41

i. A função possui primeiras derivadas contínuas nos intervalos R e

R ,

e a função é solução do seguinte conjunto de equações:

)()0,(

0

0 xuxu

Fu xt,

)0(

),(

sxx

Rtx

“Lei de conservação” (Eq. 4.37)

)()0,(

0

0 xuxu

Fu xt,

)0(

),(

sxx

Rtx

“Lei de conservação” (Eq. 4.38)

ii. O limite )0),0((),( sxtx tendendo pelas regiões R e

R existem,

podendo assumir valores diferentes.

Figura 4.7: Domínio de uma função suave por partes, onde sx é a curva de

descontinuidade da função.

A Figura 4.8 mostra um exemplo de uma função suave por partes. É possível

ver que nos domínios R e

R a função ),( txu é contínua e com primeiras

derivadas contínuas, sendo que a curva sx define um plano de

descontinuidade na função, sendo que os limites laterais existem possuindo

valores diferentes.

42

Figura 4.8: Função ),( txu suave por partes.

Para se resolver o problema da catástrofe do gradiente, observa-se que se

pode escrever uma curva no plano ),( tx , onde as características se unem,

tornando assim a região de características uniforme, a Figura 4.9 mostra uma

curva s qualquer, onde as características se encontram de ambos os lados,

tornando a região das características uniforme.

Figura 4.9: Construção da curva s na região de catástrofe de gradiente.

43

A construção da solução resolvendo-se a equação da continuidade na forma

diferencial utilizando o método das características é interrompida a partir do

tempo de queda, porém o processo físico é um processo contínuo no tempo,

não havendo paradas, assim devemos voltar à lei de conservação na forma

diferencial, com termo fonte nulo, dada por:

),(),(),( tbFtaFdxtxudt

d b

a

(Eq. 4.39)

Considerando o conceito de solução suave, o domínio agora é segmentado em

duas regiões dividas por uma curva )),(( ttxss , como mostrado na Figura

4.10, a Equação 4.39 pode ser escrita como:

),(),(),(),()(

)(

tbFtaFdxtxudxtxudt

dtx

a

b

tx

s

s

(Eq. 4.40)

Figura 4.10: Domínio da solução segmentado em dois domínios.

Desenvolvendo o lado esquerdo da equação:

),(),()),(()),(()(

)(

tbFtaFdxttxudt

ddxttxu

dt

dtx

a

b

tx

s

s

(Eq. 4.41)

Utilizando a regra da cadeia para se resolver a derivada, e integral por partes

para se resolver a integral:

)()(

)()]),(([)]),(([)),((

tx

a

tx

a

ss

dxdt

tdx

dx

ttxud

dt

ttxuddxttxu

dt

d (Eq. 4.42)

44

)()()(

)()]),(([),()),((

tx

a

tx

a

t

tx

a

sss

dxdt

tdx

dx

ttxuddxtxudxttxu

dt

d (Eq. 4.43)

)( 2)()(

)().,(),(),()),((

tx

a

ss

tx

a

t

tx

a

sss

dxdtdx

txdtxu

dt

dxtxudxtxudxttxu

dt

d

(Eq. 4.44)

Como )(tx depende apenas de t , a Equação 4.44 pode ser escrita como:

dt

dxtxudxtxudxttxu

dt

d ss

tx

a

t

tx

a

ss

),(),()),(()()(

(Eq. 4.45)

Analogamente para o segundo termo do lado esquerda da Equação 4.41:

dt

dxtxudxtxudxttxu

dt

d ss

b

tx

t

b

tx ss

),(),()),(()()(

(Eq. 4.46)


),(),(),(),(),(),()(

)(

tbFtaFdt

dxtxudxtxu

dt

dxtxudxtxu s

s

b

tx

ts

s

tx

a

t

s

s

(Eq. 4.47)

Fazendo sxa e

sxb , a Equação 4.47 pode ser escrita como:

),(),(),(),( txFtxFdt

dxtxu

dt

dxtxu ss

ss

ss

(Eq. 4.48)

Que pode ser escrita da seguinte forma:

),(),(

),(),(

txutxu

txFtxF

dt

dx

ss

sss

(Eq. 4.49)

De acordo com a equação deduzida, uma solução suave por partes que

satisfaz a lei de conservação na forma integral deve satisfazer a Equação 4.49.

Essa equação é também chamada de condição de Rankine-Hugoniot, que

pode ser escrita utilizando-se a notação de função salto, dada por:

][

][

u

F

dt

dxs “Condição de Rankine-Hugoniot” (Eq. 4.50)

45

Para se encontrar precisamente essa curva, necessita-se de um dado inicial,

para isso se utiliza o tempo de queda descrito na Tópico 4.1, assim, encontrar

a função que descreve a curva ),( txs é o mesmo que se resolver a seguinte

equação:

bbs

s

ss

xtx

u

F

dt

dx

tx

)(

][

][

),( (Eq. 4.51)

Sendo o ponto ),( bb tx o ponto onde ocorre a catástrofe de gradiente pela

primeira vez.

Definição:

Dada uma função ),( txu , que seja solução suave de 0 xt Fu , satisfazendo

a condição de Rankine-Hugoniot, essa solução é dita “ondas de choque”, e a

função salto ),( txs que divide o domínio em duas partes é dita “caminho de

choque”.

Exemplo 4.5:

Resolver o seguinte problema de valor inicial:

0,0

0,1)0,(

0

x

xxu

uuu xt

(Eq. 4.52)

Solução:

1° Passo: Construção das características:

udt

dx (Eq. 4.53)

Como a Equação 4.52 é homogênea, as características são dadas da seguinte

forma:

txuCxx )).(( 000 (Eq. 4.54)

Ou seja:

46

0,

0,

0

0

xx

xtxx (Eq. 4.55)

As características do problema estão plotadas na Figura 4.11. É possível

observar que o breaking time ocorre no ponto )0,0(),( bb tx .


2º Passo: Construção da solução:

De acordo com a Figura 4.11 existe uma zona de catástrofe de gradiente,

assim a solução será construída utilizando-se o conceito de ondas de choque.

0dt

du (Eq. 4.56)

)0,(),( 0xutxu (Eq. 4.57)

Utilizando a definição de solução suave por partes:

Rx

Rxtxu

,0

,1),( (Eq. 4.58)

Portando, para se encontrar as regiões R e

R , deve-se encontrar a curva de

caminho de choque. Assim, utilizando a Equação 4.51:

47

bbs

s

ss

xtx

u

F

dt

dx

tx

)(

][

][

),( (Eq. 4.59)

A função fluxo pode ser encontrada utilizando-se a seguinte definição:

xx uuF . (Eq. 4.60)

Integrando a Equação 4.60 em relação a variável x , tem-se:

2

2uF (Eq. 4.61)

Assim, a Equação 4.59 pode ser escrita como:

0)0(

2

1

),(

22

s

s

ss

x

uu

uu

dt

dx

tx (Eq. 4.62)

De acordo com a Equação 4.58 0u e 1u , assim:

0)0(

2

1

),(

s

s

ss

x

dt

dx

tx (Eq. 4.63)

2

txs (Eq. 4.64)

A Figura 4.12 mostra as características plotadas considerando a curva de

caminho de choque dada pela Equação 4.64, assim a solução final pode ser

escrita como:

2,0

2,1

),(t

x

tx

txu (Eq. 4.65)

A Figura 4.13 mostra a Solução 4.65 plotada para diferentes tempos. É

possível observar que a frente de choque se move com velocidade igual a 5.0 .

48

Figura 4.12: Características do Exemplo 4.5 plotadas junto à curva de caminho

de choque.

Figura 4.13: Solução do Exemplo 4.5 para diferentes valores de tempo.

Exemplo 4.6:

Resolver o seguinte problema de valor inicial:

1,1

1,2)0,(

02

x

xxu

uuu xt

(Eq. 4.66)

49

Solução:

1° Passo: Construção das características:


forma:

txuCxx )).(( 000 (Eq. 4.67)

Ou seja:

1,

1,4

0

0

xtx

xtxx (Eq. 4.68)


observar que o breaking time ocorre no ponto )0,1(),( bb tx .


2º Passo: Construção da solução:

De acordo com a Figura 4.14 existe uma zona de catástrofe de gradiente,

assim a solução será construída utilizando-se o conceito de ondas de choque.

Utilizando a definição de solução suave por partes:

50

Rx

Rxtxu

,1

,2),( (Eq. 4.69)

Portando, para se encontrar as regiões R e

R , deve-se encontrar a curva de

caminho de choque. Assim:

bbs

s

ss

xtx

u

F

dt

dx

tx

)(

][

][

),( (Eq. 4.70)

A função fluxo pode ser encontrada utilizando-se a seguinte definição:

xx uuF .2 (Eq. 4.71)

Integrando a Equação 4.60 em relação a variável x , tem-se:

3

3uF (Eq. 4.72)


1)0(

3

1

),(

33

s

s

ss

x

uu

uu

dt

dx

tx (Eq. 4.73)

De acordo com a Equação 4.69 1u e 2u , assim:

1)0(

3

7

),(

s

s

ss

x

dt

dx

tx (Eq. 4.74)

13

7

txs (Eq. 4.75)

A Figura 4.15 mostra as características plotadas considerando a curva de

caminho de choque dada pela Equação 4.75, assim a solução final pode ser

escrita como:

51

13

7,1

13

7,2

),(t

x

tx

txu (Eq. 4.76)

A Figura 4.16 mostra a Solução 4.76 plotada para diferentes tempos. É

possível observar que a frente de choque se move com velocidade 3/7 .

Figura 4.15: Características do Exemplo 4.6 plotadas junto à curva de caminho

de choque.

Figura 4.16: Solução do Exemplo 4.6 para diferentes valores de tempo.

52

5 – Ondas de Rarefação

No Capítulo 3 foi deduzido o método das características para solução de

equações diferenciais parciais de 1ª ordem, e no Capítulo 4 foi deduzida uma

extensão do método das características para lidar com áreas de catástrofe de

gradiente. Nesse capítulo será deduzida a solução para uma área ainda não

discutida por onde não se passa nenhuma característica, denominadas áreas

de rarefação.

5.1 – Áreas de rarefação

Como discutido no tópico anterior, quando a função solução é decrescente com

velocidade crescente algumas áreas podem possuir mais de uma

característica, denominadas áreas de catástrofe de gradiente. Nesse tópico

serão discutidas algumas equações que possuem um vazio no plano das

características, essas áreas são denominadas áreas de rarefação. Para se

entender melhor a formação dessas zonas, o tópico será começado com o

Exemplo 5.1:

Exemplo 5.1:

Plotar as características da seguinte equação diferencial:

0,1

0,0)0,(

0

x

xxu

uuu xt

(Eq. 5.1)

Solução:

Utilizando o fato da Equação 5.1 ser homogênea:

txucxx )).(( 000 (Eq. 5.2)

0,

0,

0

0

xtx

xxx (Eq. 5.3)

As características dadas pela Equação 5.3 estão plotadas na Figura 5.1. É

possível ver o aparecimento de uma zona 0R onde não passam

características, tal zona é denominada zona de rarefação.

53


Para melhor entendimento da solução do tipo ondas de rarefação, antes de se

apresentar a solução geral, será resolvido o Exemplo 5.1.

Podemos aproximar a solução do problema inicial por um problema que possui

as características homogêneas, apenas substituindo a condição inicial, da

seguinte forma:

x

xxg

x

xu

uuu xt

,1

),(

,0

)0,(

0

(Eq. 5.4)

A Figura 5.2 mostra a diferença entre os perfis das soluções iniciais dada pelas

Equações 5.1 e 5.4. A Figura 5.3 mostra as características da Equação 5.4.

Do fato da Equação 5.4 ser homogênea, a solução pode ser escrita da seguinte

forma:

tx

txtxg

x

txu

,1

),,(

,0

),( (Eq. 5.5)

54

Figura 5.2: Modificação da solução inicial da Equação 5.1.

Figura 5.3: Características da Equação 5.4.

Agora tomando o seguinte limite:

),(lim0

txu

(Eq. 5.6)

Tem-se:

tx

txtxg

x

txu

,1

0),,(

0,0

),( (Eq. 5.7)

55

A Figura 5.4 mostra as características da Equação 5.7. Agora o problema se

tornou se encontrar uma função ),( txg que possua características contínuas e

que seja solução da Equação 5.1. De acordo com a Figura 5.4 a inclinação das

características muda na zona de rarefação, o que indica que a função ),( txg

possua a seguinte forma:

t

xgtxg ),( (Eq. 5.8)


Assim, como a função ),( txg deve ser solução da Equação 5.1:

0)],([

),()],([

dx

txgdtxg

dt

txgd (Eq. 5.9)

01

''2

tt

xg

t

xg

t

x

t

xg (Eq. 5.10)

01

'2

t

x

tt

xg

t

xg (Eq. 5.11)

56

A Equação 5.11 admite duas soluções:

constantetxg ),( (Eq. 5.12-a)

t

xtxg ),( (Eq. 5.12-b)

Para se decidir qual solução melhor representa o Problema 5.1, deve-se

analisar a condição de Rankine-Hugoniot nas duas soluções, assim:

1ª: Solução 5.12-a:

tx

txa

x

txu

,1

0,

0,0

),( , onde constantea (Eq. 5.13)

Aplicando a condição de Rankine-Hugoniot nas descontinuidades da função:

uu

uu

u

F

dt

dxs22 )()(

2

1

][

][ (Eq. 5.14)

020

a

dt

dx

sx

s (Eq. 5.15)

Ou seja, 0a .

12

1

a

dt

dx

tx

s

s

(Eq. 5.16)

Ou seja, 1a .

Como a constante a tem que assumir dois valores diferentes, a Equação 5.13

não obedece à condição de Rankine-Hugoniot.

2ª: Solução 5.12-b:

tx

txt

x

x

txu

,1

0,

0,0

),( (Eq. 5.17)

Aplicando a condição de Rankine-Hugoniot nas descontinuidades da função:

57

uu

uu

u

F

dt

dxs22 )()(

2

1

][

][ (Eq. 5.18)

020

t

x

dt

dx

sx

s (Eq. 5.19)

12

1

t

x

dt

dx

tx

s

s

(Eq. 5.20)

Fazendo 0x na Equação 5.19, e tx na Equação 5.20, observa-se que

a Equação 5.17 obedece à condição de Rankine-Hugoniot, sendo considerada

a solução da Equação 5.1.

A Figura 5.5 mostra a solução dada pela Equação 5.17 plotada para diferentes

tempos. Observa-se a presença de uma onda de avanço da solução, chamada

de onda de rarefação.

Figura 5.5: Solução da Equação 5.1, para diferentes valores de tempo.

5.2 – Solução geral de equações homogêneas com áreas de rarefação

No Tópico 5.1 foi construída uma solução do tipo ondas de rarefação para

resolver o Exemplo 5.1. Nesse tópico irá ser construída uma solução geral que

pode ser aplicada em todos os casos. Assim será construída a solução do

seguinte problema de Cauchy:

axu

axuxu

uuCu xt

,

,)0,(

0)(

(Eq. 5.21)

58

Solução:

Utilizando o fato da Equação 5.21 ser homogênea, as características são

dadas da seguinte forma:

txucxx )).(( 00 (Eq. 5.22)

axtuucx

axtuucxx

,)).((

,)).((

0

0 (Eq. 5.23)

De acordo com a Equação 5.23 as características são retas, plotadas na Figura

5.6.


Da mesma forma que o Exemplo 5.1, a solução da Equação 5.21 pode ser

aproximada da seguinte forma:

])).(([,

])).(([])).(([),,(

])).(([,

),(

tuucaxu

tuucaxtuucatxg

tuucaxu

txu (Eq. 5.24)

De acordo com a Figura 5.6 a inclinação das características muda na zona de

rarefação, o que indica que a função ),( txg possua a seguinte forma da

Equação 5.8, porém deslocada de uma constante a , ou seja:

59

t

axgtxg ),( (Eq. 5.25)

Assim, calculando as derivadas parciais da função ),( txg através da regra da

cadeia:

2

)().,('

)],([

t

axtxg

dt

txgd (Eq. 5.26)

ttxg

dx

txgd 1).,('

)],([ (Eq. 5.27)

Substituindo as Equações 5.26 e 5.27, na Equação 5.21:

01

).,(')).,(()(

).,('2

ttxgtxgC

t

axtxg (Eq. 5.28)

0)(1

)).,((),('2

t

ax

ttxgCtxg (Eq. 5.29)

Da mesma forma que na Equação 5.11, a Equação 5.29 possui duas soluções

distintas, assim verificando a condição de Rankine-Hugoniot nas duas

condições, chega-se a conclusão que a solução fisicamente coerente da

Equação 5.29 é dada por:

0)(1

)).,((2

t

ax

ttxgC (Eq. 5.30)

t

axtxgC

)()),(( (Eq. 5.31)

Por isso, a função ),( txg é dada da seguinte forma:

t

axCtxg

)(),( 1

(Eq. 5.32)

Logo, a solução da Equação 5.21 é dada por:

60

])).(([,

])).(([])).(([,)(

])).(([,

),( 1

tuucaxu

tuucaxtuucat

axC

tuucaxu

txu (Eq. 5.33)

Exemplo 5.2:

Resolver o seguinte problema de Cauchy:

1,2

1,1)0,(

03

x

xxu

uuu xt

(Eq. 5.34)

Solução:

1º Passo: Construção das características:


forma:

txucxx )).(( 00 (Eq. 5.35)

1,8

1,

0

0

xtx

xtxx (Eq. 5.36)


perceber uma zona de rarefação que começa no ponto )0,1(),( bb tx .


61

2° Passo: Construção da solução

A solução do tipo onda de rarefação pode ser escrita utilizando-se a Equação

5.33, dessa forma:

]81[,2

]81[]1[,)1(

]1[,1

),( 1

tx

txtt

xC

tx

txu (Eq. 5.37)

Nesse problema a função )(uC é dada da seguinte forma:

3)( uuC (Eq. 5.38)

Dessa forma, a solução da Equação 5.24 é dada por:

]81[,2

]81[]1[,)1(

]1[,1

),( 3

tx

txtt

x

tx

txu (Eq. 5.39)

A Figura 5.8 mostra a solução dada pela Equação 5.39 plotada para diferentes

tempos.

Figura 5.8: Solução do Exemplo 5.2 plotadas em diferentes tempos.

62

6 – Condição de Entropia

As soluções do tipo ondas de choque e ondas de rarefação são soluções

particulares da lei de conservação, quando é utilizada a noção de solução

suave por partes. Nesse tópico será visto que a noção de solução suave por

partes pode fazer com que um mesmo problema possua diversas soluções,

assim a condição de entropia será utilizada para se definir qual solução possui

maior significado físico.

6.1 – Não unicidade de soluções suaves por partes

Considere o seguinte problema de Cauchy:

0,1

0,0)0,(

0

x

xxu

uuu xt

(Eq. 6.1)

Utilizando-se a solução do tipo onda de rarefação, a solução da Equação 6.1

pode ser escrita como:

tx

txt

x

x

txu

,1

0,

0,0

),( (Eq. 6.2)

Porém, utilizando-se a solução do tipo ondas de choque, a solução da Equação

6.1 pode ser escrita como:

xtA

tAxAtA

Atx

txu

)1(2

1,1

)1(2

1

2

1,

2

1,0

),( , “onde )10( A ” (Eq. 6.3)

Assim a Equação 6.1 possui uma solução do tipo onda de rarefação, e infinitas

soluções do tipo ondas de choque, note que todas as soluções obedecem à

condição de Rankine-Hugoniot.

63

6.2 – Condição de entropia

Quando um problema de valor inicial tem mais de uma solução, utiliza-se a

condição de entropia para se escolher a solução mais realista do ponto de vista

da física do problema. A condição de entropia pode ser definida da seguinte

forma:

Definição:

Uma função ),( txu satisfaz a condição de entropia se é possível encontrar

uma constante positiva E que satisfaz:

t

E

h

txuthxu

),(, (Eq. 6.4)

Para todo Rx e 0t .

Graficamente a condição de entropia expressa à inclinação máxima que função

pode possuir com relação à variável x, como pode ser visto na Figura 6.1.

Figura 6.1: Representação gráfica da condição de entropia.

A condição de entropia também pode ser representada utilizando-se o conceito

de derivada parcial, da seguinte forma:

t

E

h

txuthxuh

),(,lim 0 (Eq. 6.5)

Que pode ser escrito como:

t

Etxux ),( , Rx , e 0t . (Eq. 6.6)

64

Assim voltando ao Problema 6.1, deve-se analisar a condição de entropia nas

soluções do tipo ondas de choque e ondas de rarefação.

I. Condição de Entropia na solução do tipo ondas de choque:

A Figura 6.2 mostra o gráfico da solução dada pela Equação 6.3, é possível ver

que a maior inclinação acontece nos pontos de descontinuidade da função,

assim, analisando o ponto da primeira descontinuidade, quando 2/Atx :

h

A

h

txuthxu

),(, (Eq. 6.7)

h

Ah 0lim (Eq. 6.8)

O que indica que as soluções do tipo ondas de choque não satisfazem a

condição de entropia.

Figura 6.2: Solução do tipo ondas de choque, da Equação 6.1, para um tempo

1t qualquer.

65

II. Condição de Entropia na solução do tipo ondas de rarefação:

A Figura 6.3 mostra o gráfico representando a solução do tipo ondas de

rarefação para uma tempo t qualquer. É possível ver que a maior inclinação

ocorre no intervalo 1,0 tx , dessa forma:

),('

),(,11 ttu

h

txuthxux

(Eq. 6.9)

Figura 6.3: Solução do tipo ondas de rarefação, da Equação 6.1, para um

tempo 1t qualquer.

1

11

1),('

tttu x , 01 t (Eq. 6.10)

Dessa forma, utilizando-se a condição de entropia:

t

E

h

txuthxu

),(,, quando 1E (Eq. 6.11)

Assim a solução do tipo ondas de rarefação satisfaz a condição de entropia,

sendo a solução mais fisicamente aceita.

Exemplo 6.1:

Verificar se a solução do tipo ondas de rarefação da equação 6.12 satisfaz a


66

0,2

0,10,

0,,02

x

xxu

txuuu xt

(Eq. 6.12)

Solução:

1° Passo: Construção das curvas características:

Do fato da Equação 6.12 ser homogênea, as características são definidas da

seguinte forma:

txucxx )).(( 00 (Eq. 6.13)

0,4

0,

0

0

xtx

xtxx (Eq. 6.14)

A Figura 6.4 mostra as características definidas pela Equação 6.14. É possível

observar a formação de uma zona de rarefação a partir do tempo 0t .


2° Passo: Construção da solução:

A solução do tipo ondas de rarefação é dada de acordo com a seguinte

equação:

67

tx

txtt

x

tx

txu

4,2

4,

,1

),( (Eq. 6.15)

A Figura 6.5 mostra o perfil da solução do Problema 6.12, para um tempo 1t

qualquer a partir do início.

Figura 6.5: Perfil da solução da Equação 6.12, para um tempo 1t qualquer a

partir do início do problema.

3° Passo: Verificação da condição de entropia

De acordo com a Figura 6.5, a inclinação é máxima quando 1tx , dessa

forma:

),('

),(,11 ttu

h

txuthxux

(Eq. 6.16)

tx

txtxt

tx

txu x

4,0

4,2

1

,0

),(' (Eq. 6.17)

68


0),('lim 11

txu xtx

(Eq. 6.18)

11

2

1),('lim

1t

txu xtx

, 01 t (Eq. 6.19)

Assim, aplicando a condição de entropia:

t

E

h

txuthxu

),(,, quando

2

1E (Eq. 6.20)

Assim a solução do tipo ondas de rarefação dada pela Equação 6.15 satisfaz a


Exemplo 6.2:

Verificar se a solução do tipo ondas de rarefação da equação 6.21 satisfaz a


0,1

0,00,

0,,02

x

xxu

txuuu xt

(Eq. 6.21)

Solução:

1° Passo: Construção das curvas características:

As curvas características são dadas por:

0,

0,

0

0

xtx

xxx (Eq. 6.22)

A Figura 6.6 mostra as características definidas pela Equação 6.22. É possível

observar a formação de uma zona de rarefação a partir do tempo 0t .

69


2° Passo: Construção da solução:

A solução do tipo ondas de rarefação é dada de acordo com a seguinte

equação:

tx

txt

x

x

txu

,1

0,

0,0

),( (Eq. 6.23)

A Figura 6.7 mostra o perfil da solução do Problema 6.21, para um tempo 1t

qualquer a partir do início do problema.

3° Passo: Verificação da condição de entropia

De acordo com a Figura 6.7, a inclinação é máxima quando 0x , dessa

forma:

),0('

),(,1tu

h

txuthxux

(Eq. 6.24)

70

Figura 6.7: Perfil da solução da Equação 6.21, para um tempo 1t qualquer a

partir do início do problema.

xt

txxt

x

txu x

,0

0,2

1

0,0

),(' (Eq. 6.25)


0),('lim 10

txu xx

(Eq. 6.26)

),('lim 10

txu xx

, 01 t (Eq. 6.27)

De acordo com a Equação 6.27 é impossível encontrar um valor E positivo

que satisfaça a condição de entropia, logo, a solução do tipo ondas de

rarefação dada pela Equação 6.23 não satisfaz a condição de entropia.

71

7 – Propagação de Ondas em Meios Infinitos

No Capítulo 2 foi deduzida a solução de D’Alembert para a propagação de

ondas em meios infinitos, nesse capítulo essa equação será estudada em mais

detalhes.

7.1 – Equação de D’Alembert

Considerando o problema de propagação de ondas em meios infinitos, pode-se

enunciar o problema do seguinte modo:

Encontrar a solução da equação da onda:

constantec

ucu xxtt2

t

x

0 “EDP Hiperbólica” (Eq. 7.1)

Sujeito as seguintes condições iniciais:

)()0,(

)()0,(

1

0

xuxu

xuxu

t

x “Condições Iniciais” (Eq. 7.2)

A solução desse conjunto de equações foi deduzida no Capítulo 2, dada pela

equação de D’Alembert escrita como:

dssuc

ctxuctxutxu

ctx

ctx

o

)(2

1

2

)()(),( 1

0 (Eq. 7.3)

Segue alguns exemplos da aplicação da Equação 7.3:

Exemplo 7.1:

Encontre a solução do seguinte problema:

0)0,(

)sin()0,(

0,,,2

xu

xxu

txucu

t

xxtt

(Eq. 7.4)

Solução:

A solução da Equação 7.4 pode ser dada na forma de D’Alembert, escrita da

seguinte forma:

72

dsc

ctxctxtxu

ctx

ctx

02

1

2

)sin()sin(),( (Eq. 7.5)

2

)sin()sin(),(

ctxctxtxu

(Eq. 7.6)

Utilizando identidades trigonométricas, a Equação 7.6 pode ser escrita da

seguinte forma:

)cos().sin(),( ctxtxu (Eq. 7.7)

O que mostra que a solução possui um formato senoidal no espaço, com

amplitude oscilando segundo )cos(ct . A Figura 7.1 mostra a solução dada pela

Equação 7.7, considerando 2c .

Figura 7.1: animação da solução da Equação 7.4, para um valor 2c .

Exemplo 7.2:


2

)0,(

0)0,(

0,,,2

xt

xxtt

xexu

xu

txucu

(Eq. 7.8)

Solução:

A solução é dada pela fórmula de D’Alembert:

dssuc

ctxuctxutxu

ctx

ctx

o

)(2

1

2

)()(),( 1

0 (Eq. 7.9)

dssec

txuctx

ctx

s

2

2

1),( (Eq. 7.10)

73

ctx

ctx

sec

txu

2

2

1

2

1),( (Eq. 7.11)

22

4

1),( ctxctx ee

ctxu (Eq. 7.12)

A Figura 7.2 mostra o perfil da solução dada pela Equação 7.12 para alguns

valores de tempo. É possível observar que a solução é composta por uma onda

viajante para a esquerda e outra para a direita, onde no início do problema elas

estão com interferência destrutiva, o que explica a condição de contorno

0)0,( xu .


Exemplo 7.3:


2

)0,(

)sin()0,(

0,,,2

xt

xxtt

xexu

xxu

txucu

(Eq. 7.13)

Solução:

Observe que as condições iniciais da Equação 7.13 é igual à soma das

condições iniciais das Equações 7.4 e 7.8. Devido ao fato da equação da onda

ser linear, a solução é dada pela soma das Soluções 7.7 e 7.12. Para

demonstrar tal fato o problema será resolvido sem utilizar essa hipótese.

A solução do Problema 7.13 é dada pela equação de D’Alembert:

74

dssuc

ctxuctxutxu

ctx

ctx

o

)(2

1

2

)()(),( 1

0 (Eq. 7.14)

dssec

ctxctxtxu

ctx

ctx

s

2

2

1

2

)sin()sin(),( (Eq. 7.15)

22

4

1)cos().sin(),( ctxctx ee

cctxtxu (Eq. 7.16)

Que de fato é a soma das Equações 7.7 e 7.12. A Figura 7.3 mostra o perfil da

solução dada pela Equação 7.16 plotada para alguns valores de tempo. É

possível ver que a solução possui a característica oscilatória da Equação 7.7, e

a característica de onda viajante da Equação 7.12.


Teorema 7.1:

Se 2

10 )(),( Cxuxu “As funções possuem derivadas segundas contínuas”

então existe a solução clássica e única da propagação da equação da onda em

meios infinitos, dada pela Equação de D’Alembert. Além disso, pode-se provar

que a solução além de única é estável, o que mostra que o problema da

propagação da onda é bem posto.

7.2 – Curvas características da equação da onda

A Equação da onda possui solução dada pela equação de D’Alembert, que

pode ser reescrita da seguinte forma:

dssuc

ctxuctxutxu

ctx

ctx

t

)0,(2

1

2

)0,()0,(),( (Eq. 7.17)

75

Essa forma mostra que a solução em um ponto ),( 00 tx qualquer, depende

apenas da região compreendida entre ),( 0000 ctxctx , esse intervalo é

chamado de domínio de dependência da solução em um ponto ),( 00 tx . A

Figura 7.4 mostra o intervalo de dependência de um ponto ),( 00 tx qualquer. É

possível observar que esse domínio pode ser encontrado traçando duas retas

com inclinações c/1 e c/1 .

Figura 7.4: Intervalo de dependência de um ponto ),( 00 tx qualquer.

Da mesma forma que foi definido o intervalo de dependência, pode-se definir o

domínio de influência de um intervalo I qualquer, que é a região do espaço

onde a solução é influenciada pelas condições de contorno no intervalo I . A

Figura 7.5 mostra o domínio de influência do intervalo I , é possível perceber

que esse domínio é delimitado traçando-se duas retas com inclinações c/1 e

c/1 .

Figura 7.5: domínio de influência de um intervalo I qualquer.

76

7.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características

Quando a equação da onda possui como condição inicial 0)( xut , a solução

dada pela equação de D’Alembert pode ser escrita como:

2

)0,()0,(),(

ctxuctxutxu

(Eq. 7.18)

O que mostra que a solução em todos os pontos do domínio depende somente

dos valores iniciais da função no domínio. A Figura 7.6 mostra que a solução

em um ponto qualquer é dada por uma média dos valores iniciais nos extremos

do intervalo de dependência.

Figura 7.6: Solução da Equação da onda baseado nas curvas características.

Exemplo 7.4:

Resolver o seguinte problema de propagação de onda:

0)0,(

)1,0(,0

)1,0(,1)0,(

4

xu

x

xxu

uu

t

xxtt

, ( Rx , 0t ) (Eq. 7.19)

Solução:

Nesse caso o domínio de influência do intervalo inicial é calculado traçando-se

as seguintes retas:

2

101

tt

cxr (Eq. 7.20)

77

2

102

tt

cxr (Eq. 7.21)

21

113

tt

cxr (Eq. 7.22)

21

114

tt

cxr (Eq. 7.23)

A Figura 7.7 mostra essas curvas plotadas no plano tx . É possível perceber

que o domínio foi dividido em seis regiões distintas, onde a solução deve ser

construída separadamente para cada domínio.

Figura 7.7: Domínio de influência do perfil de solução inicial.

As soluções para cada domínio são dadas por:

0)00(2

11 Du (Eq. 7.24)

1)11(2

12 Du (Eq. 7.25)

0)00(2

13 Du (Eq. 7.26)

2

1)10(

2

14 Du (Eq. 7.27)

78

0)00(2

15 Du (Eq. 7.28)

2

1)10(

2

16 Du (Eq. 7.29)

A Figura 7.8 exemplifica graficamente o cálculo feito para os domínios 2D e

4D .

Figura 7.8: Cálculo da solução da Equação 7.19 nos domínio 2D e 4D .

A Figura 7.9 mostra todas as soluções plotadas no plano tx . É possível

perceber a presença do domínio de influência no perfil da solução no domínio.

Figura 7.9: Soluções da Equação 7.19 plotadas no plano tx .

79

Com base na Figura 7.9 é possível criar uma animação no perfil da solução,

criando cortes com tempo constante, como mostrado na Figura 7.10.

Figura 7.10: Corte feito no plano tx para um tempo constante, mostrando o

perfil da solução naquele tempo.

A Figura 7.11 mostra uma animação do perfil da solução criada a partir de

quatro cortes realizados no plano tx . É possível observar que o perfil inicial

da solução se dissolve em duas ondas viajando com sentidos contrários.

Figura 7.11: Animação da solução da Equação 7.19, considerando quatro

tempos distintos.

A solução da Equação 7.19 também pode ser dada da forma analítica, da

seguinte forma:

80

Para 1t Para 1t

xt

txt

txt

txt

tx

txu

2

11,0

2

11

2

11,

2

1

2

11

2

1,1

2

1

2

1,

2

1

2

1,0

),(

xt

txt

txt

txt

tx

txu

2

11,0

2

11

2

1,

2

1

2

1

2

11,0

2

11

2

1,

2

1

2

1,0

),(

(Eq. 7.30)

Exemplo 7.5:

Resolver o seguinte problema de propagação de onda:

0)0,(

5,0

54,1

41,0

10,1

0,0

)0,(

9

xu

x

x

x

x

x

xu

uu

t

xxtt

, ( Rx , 0t ) (Eq. 7.31)

Solução:

1° Passo: Construção dos domínios de influências:

As retas que delimitam os domínios de influência são dadas por:

c

txr 0 (Eq. 7.32)

Ou seja:

31

tr (Eq. 7.33)

32

tr (Eq. 7.34)

81

313

tr (Eq. 7.35)

314

tr (Eq. 7.36)

345

tr (Eq. 7.37)

346

tr (Eq. 7.38)

357

tr (Eq. 7.39)

358

tr (Eq. 7.40)

A Figura 7.12 mostra o domínio de influência da solução inicial da Equação

7.31 plotado no plano tx . É possível perceber a formação de 15 domínios

separados.

Figura 7.12: Domínio de influência da solução inicial da Equação 7.31.

A Figura 7.13 mostra as soluções em cada domínio do problema, utilizando-se

a Equação 7.18.

82

Figura 7.13: Solução da Equação 7.31, plotada no plano tx .

A Figura 7.14 mostra uma animação do perfil da solução para alguns valores

de tempo. É possível ver o aparecimento de duas ondas viajantes para cada

condição de contorno inicial, e a interferência causada entre elas.

Figura 7.14: Animação do perfil da solução da Equação 7.31.

83

7.4 – Conservação de energia na equação da onda

Em vários problemas da física é assumido que a energia total do sistema é

conservada, no caso da propagação de ondas em meios infinitos, podemos

definir a função energia do sistema como:

R

xt dxtxuctxute ),(),(2

1)( 222

(Eq. 7.41)

O próximo passo é provar que a energia do sistema se conserva, ou seja:

)0()( ete (Eq. 7.42)

Para isso assumem-se as seguintes hipóteses:

R

dxxu )(21 (Eq. 7.43)

R

dxdx

xud2

0 ))(( (Eq. 7.44)

0)(lim

xtx

uu (Eq. 7.45)

Agora, derivando a equação da energia (Equação 7.41) no tempo:

R

xt dxtxuctxudt

d

dt

ted),(),(

2

1))(( 222 (Eq. 7.46)

Trocando a ordem da derivada com a integração, e aplicando a regra da

cadeia:

R

xtxttt dxtxutxuctxutxudt

ted),(),(),(),(

))(( 2 (Eq. 7.47)

Utilizando a regra de integral por partes no segundo membro da Equação 7.47:

R

txxtx

R

xtx dxtxutxucuucdxtxutxuc ),(),(),(),( 222 (Eq. 7.48)

84

Utilizando a consideração 7.45, pode-se escrever a Equação 7.48 como:

R

txx

R

xtx dxtxutxucdxtxutxuc ),(),(),(),( 22 (Eq. 7.49)


R

txxtt dxtxutxuctxudt

ted),(),(),(

))(( 2 (Eq. 7.50)

Percebe-se que o termo dentro da integral é a equação da onda, assim:

0)( tedt

d (Eq. 7.51)

Ou seja, a energia da onda é uma constante. Substituindo as condições de

contorno do problema:

R

dxxucxuete2

022

1 )(')(2

1)0()( (Eq. 7.52)

85

8 – Propagação de Ondas em Meios Semi-Infinitos

No Capítulo anterior foi estudada a solução de D’Alembert para a propagação

de ondas em meios infinitos, nesse capítulo será desenvolvida a equação de

D’Alembert modificada capaz de modelar a propagação de ondas em meios

semi-infinitos. Quando o meio é tratado como semi-infinito é necessário à

criação de uma condição de contorno capaz de modelar a interação da onda

com o ponto de descontinuidade do domínio, nesse capítulo serão estudadas

duas condições de contorno diferentes:

i. Condição de Dirichlet:

A condição de Dirichlet é deduzida considerando-se que a corda por onde se

propaga a onda é fixa em um ponto, ou seja:

)(),0( tftu (Eq. 8.1)

ii. Condição de Neumann:

A condição de Neumann é deduzida considerando-se que a corda possui a

extremidade livre para oscilar, ou possui uma oscilação criada por algum

mecanismo, ou seja:

)(),0( tgtux (Eq. 8.2)

8.1 – Meios semi-infinitos, condição de Dirichlet

O problema de propagação de uma onda em um meio semi-infinito, utilizando-

se a condição de Dirichlet pode ser definido como:

)(),0(

)()0,(

)()0,(

1

0

2

tftu

xuxu

xuxu

ucu

t

xxtt

, ( 0x , 0t ) (Eq. 8.3)

De fato, primeiro será encontrada a solução para o caso onde a corda estará

fixa na origem do sistema, ou seja:

86

0),0(

)()0,(

)()0,(

1

0

2

tu

xuxu

xuxu

ucu

t

xxtt

, ( 0x , 0t ) (Eq. 8.4)

Para se resolver essa equação, será utilizada uma técnica chamada

superposição de efeitos, ou seja, a solução será composta por uma solução no

domínio real, porém apenas a parte positiva da solução será considerada. Para

se construir a solução, será assumido que as condições iniciais são dadas por

funções ímpares, ou seja:

0),(

0),()(~

0

00

xxu

xxuxu (Eq. 8.5)

0),(

0),()(~

1

11

xxu

xxuxu (Eq. 8.6)

Dessa forma, a condição de contorno 0),0( tu será satisfeita para qualquer

valor de tempo. A Figura 8.1 mostra uma extensão ímpar de uma função

qualquer, observe que a função obrigatoriamente passa pela origem do

sistema.

Figura 8.1: Extensão ímpar de uma função qualquer.


)(~)0,(~

)(~)0,(~

~~

1

0

2

xuxu

xuxu

ucu

t

xxtt

, ( Rx , 0t ) (Eq. 8.7)

A Equação 8.7 possui solução dada pela Equação de D’Alembert, definida por:

dssuc

ctxuctxutxu

ctx

ctx

o

)(~

2

1

2

)(~)(~),(~

10

(Eq. 8.8)

87

Utilizando as definições de funções ímpares, e observando que )( ctx é

sempre positivo para o semieixo positivo, a solução pode ser rescrita como:

0)(,)(2

1

2

)()(

0)(,)(2

1

2

)()(

),(

10

10

ctxdssuc

ctxuxctu

ctxdssuc

ctxuctxu

txuctx

xct

o

ctx

ctx

o

(Eq. 8.9)

A Equação 8.9 é chamada de equação de D’Alembert modificada, e

corresponde à solução da Equação 8.4, considerando-se que 0),( tx .

Exemplo 8.1:

Resolver o seguinte problema de propagação de onda em meio semi-infinito:

0),0(

0)0,(

)0,(

4

25

tu

xu

exu

uu

t

x

xxtt

, ( 0x , 0t ) (Eq. 8.10)

Solução:

A solução do problema 8.10 é dada pela Equação 8.9, substituindo os valores:

0)(,2

)()(

0)(,2

)()(

),(0

0

ctxctxuxctu

ctxctxuctxu

txuo

o

(Eq. 8.11)

txee

txee

txuxttx

txtx

2,2

2,2

),(22

22

)52()52(

)52()52(

(Eq. 8.12)

A Figura 8.2 mostra o perfil da Solução 8.12 plotada para alguns valores de

tempo. É possível perceber que nos momentos iniciais o perfil inicial se divide

em dois pulsos, um viajando para a esquerda e outro para a direita. Quando o

pulso viajante para a esquerda encontra a origem, ele é refletido, ocorrendo

uma inversão de fase, característica de condições do tipo Dirichlet.

88

Figura 8.2: Solução da Equação 8.10, plotada para alguns valores de tempo.

Após a criação da solução da Equação 8.4, será criada a solução da seguinte

equação:

)(),0(

0)0,(

0)0,(

2

tftu

xu

xu

ucu

t

xxtt

, ( 0x , 0t ) (Eq. 8.13)

A solução do Problema 8.13 é dada por uma onda viajante para a direita e uma

para esquerda, assim:

)()(),( ctxGctxFtxu (Eq. 8.14)

Como a única fonte de propagação de onda está no limite esquerdo do

problema, só é possível a criação de ondas viajantes para a direita, assim:

)(),( ctxFtxu (Eq. 8.15)

Aplicando a condição de contorno:

)()( ctFtf (Eq. 8.16)

Considerando a seguinte substituição:

ctxct (Eq. 8.17)

A Equação 8.16 pode ser escrita como:

c

xtfctxF )( (Eq. 8.18)

Porém a substituição feita só vale para valores positivos do tempo, assim, a

solução da Equação 8.13 é dada por:

89

c

xt

c

xt

c

xtf

txu

0

),( (Eq. 8.19)

Agora, com as soluções dos Problemas 8.4 e 8.13, e devido ao fato da

equação da onda ser linear, a solução da Equação geral 8.3 é dada pela soma

das soluções encontradas, assim a solução é dada por:

0)(,)(2

1

2

)()(

0)(,)(2

1

2

)()(

),(

10

10

ctxc

xtfdssu

c

ctxuxctu

ctxdssuc

ctxuctxu

txuctx

xct

o

ctx

ctx

o

(Eq. 8.20)

8.2 – Meios semi-infinitos, condição de Neumann

O problema de propagação de uma onda em um meio semi-infinito, utilizando-

se a condição de Neumann pode ser definido como:

)(),0(

)()0,(

)()0,(

1

0

2

tgtu

xuxu

xuxu

ucu

x

t

xxtt

, ( 0x , 0t ) (Eq. 8.21)

Primeiro será encontrada a solução quando 0)( tg , assim o problema passa

a ser definido como:

0),0(

)()0,(

)()0,(

1

0

2

tu

xuxu

xuxu

ucu

x

t

xxtt

, ( 0x , 0t ) (Eq. 8.22)

Para se resolver essa equação, será utilizada novamente à técnica da

superposição de efeitos, só que agora as condições iniciais são dadas por

funções pares, ou seja:

90

0),(

0),()(~

0

00

xxu

xxuxu (Eq. 8.23)

0),(

0),()(~

1

11

xxu

xxuxu (Eq. 8.24)

Uma propriedade importante das funções pares é que suas derivadas são

funções ímpares, ou seja:

0),0(~ tux (Eq. 8.25)

Dessa forma, a condição de contorno 0),0( tux será satisfeita para qualquer

valor de tempo. A Figura 8.3 mostra uma extensão par de uma função

qualquer, observe que a função possui derivada zero na origem do sistema.

Figura 8.3: Extensão par de uma função qualquer.

Assim a Equação 8.22 pode ser reescrita como:

)(~)0,(~

)(~)0,(~

~~

1

0

2

xuxu

xuxu

ucu

t

xxtt

, ( 0x , 0t ) (Eq. 8.26)

A solução da Equação 8.26 é dada pela fórmula de D’Alembert, definida como:

dssuc

ctxuctxutxu

ctx

ctx

o

)(~

2

1

2

)(~)(~),(~

10

(Eq. 8.27)

Utilizando as definições de funções pares, e observando que )( ctx é

sempre positivo para o semieixo positivo, a solução pode ser rescrita como:

91

0)(,)()(2

1

2

)()(

0)(,)(2

1

2

)()(

),(

0

1

0

10

10

ctxdssudssuc

ctxuxctu

ctxdssuc

ctxuctxu

txuxctctx

o

ctx

ctx

o

(Eq. 8.28)

De fato a Equação 8.28 é a solução da Equação 8.22. O próximo passa é

encontrar a solução do seguinte problema:

)(),0(

0)0,(

0)0,(

2

tgtu

xu

xu

ucu

x

t

xxtt

, ( 0x , 0t ) (Eq. 8.29)

A solução do Problema 8.29 é dada por uma onda viajante para a direita e uma

para esquerda, assim:

)()(),( ctxGctxFtxu (Eq. 8.30)

Como a única fonte de propagação de onda está no limite esquerdo do

problema, só é possível a criação de ondas viajantes para a direita, assim:

)(),( ctxFtxu (Eq. 8.31)

Aplicando a condição de contorno:

)()('),0( tgctFtu xx (Eq. 8.32)

Definindo a seguinte substituição:

ctxct (Eq. 8.33)


c

xtgctxF x )(' (Eq. 8.34)

Ou seja:

x

x

dc

tgctxF

)( (Eq. 8.35)

Aplicando uma substituição de variáveis:

92

c

xt

c

xt

dgcctxF )( (Eq. 8.36)

Como a condição de contorno só tem validade para a parte positiva do

domínio:

c

xt

c

xtdgc

txu

c

xt

,0

,)(),(

0

(Eq. 8.37)

Agora, com as soluções dos Problemas 8.22 e 8.29, e devido ao fato da

equação da onda ser linear, a solução da Equação geral 8.21 é dada pela

soma das soluções encontradas, assim a solução é dada por:

0)( ctx

0)(,)(2

1

2

)()(),( 1

0

ctxdssuc

ctxuctxutxu

ctx

ctx

o

0)( ctx

c

xt

xctctxo dgcdssudssu

c

ctxuxctutxu

00

1

0

10 )()()(

2

1

2

)()(),(

Exemplo 8.2:

Resolver o seguinte problema de propagação de onda em meio semi-infinito

com condição de Neumann:

(Eq. 8.38)

93

0),0(

0)0,(

)0,(

4

25

tu

xu

exu

uu

x

t

x

xxtt

, ( 0x , 0t ) (Eq. 8.39)

Solução:

A solução do problema 8.39 é dada pela Equação 8.38, substituindo os valores:

0)(,2

)()(

0)(,2

)()(

),(0

0

ctxctxuxctu

ctxctxuctxu

txuo

o

(Eq. 8.40)

txee

txee

txuxttx

txtx

2,2

2,2

),(22

22

)52()52(

)52()52(

(Eq. 8.41)

A Figura 8.4 mostra o perfil da Solução 8.41 plotada para alguns valores de

tempo. É possível perceber que a solução é a mesma da Figura 8.2, porém a

reflexão não é acompanhada por uma inversão de fase da onda, caraterística

da condição de contorno do tipo de Neumann.

Figura 8.4: Solução da Equação 8.41, plotada para alguns valores de tempo.

94

8.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características

para um meio semi-infinito

Quando a equação da onda possui como condição inicial 0)( xut , e

condições de contorno nulas, a solução dada pela equação de D’Alembert

modificada pode ser escrita como:

Condição de Dirichlet:

0)(,2

)()(

0)(,2

)()(

),(0

0

ctxctxuxctu

ctxctxuctxu

txuo

o

(Eq. 8.42)

Condição de Neumann:

0)(,2

)()(

0)(,2

)()(

),(0

0

ctxctxuxctu

ctxctxuctxu

txuo

o

(Eq. 8.43)

Plotando no plano tx (Figura 8.5) é possível ver a aparição de duas zonas

distintas.

Figura 8.5: Domínio do problema de propagação de ondas em meios semi-

infinitos.

Como mostrado na Figura 8.6, a solução na Região 1 não está no domínio de

influência da condição de contorno, assim a solução é dada pela equação de

D’Alembert normal, definida por:

2

)()(),( 0 ctxuctxu

txu o (Eq. 8.44)

95

Figura 8.6: Intervalo de dependência da solução na Região 1.

A Figura 8.7 mostra que a solução na Região 2 sofre influência da condição de

contorno, assim a solução é dada pela fórmula de D’Alembert modificada,

definida por:

Condição de Dirichlet

2

)()(),( 0 xctuctxu

txu o (Eq. 8.45)

Condição de Neumann

2

)()(),( 0 xctuctxu

txu o (Eq. 8.46)

Outra forma de se resolver o problema é definir as extensões ímpares ou pares

da condição inicial do problema, e resolver o problema utilizando-se a equação

de D’Alembert, como será mostrado no próximo exemplo.

Exemplo 8.3:

Resolver o seguinte problema de propagação de onda em meio semi-infinito:

0),0(

0)0,(

)2,1(,0

)2,1(,1)0,(

4

tu

xu

x

xxu

uu

t

xxtt

, ( 0x , 0t ) (Eq. 8.47)

Solução:

Como a condição de contorno do problema é do tipo Dirichlet, será utilizada

uma extensão ímpar do perfil inicial do problema, definido por:

96

x

x

x

x

x

xu

2,0

21,1

11,0

12,1

2,0

)0,(~ (Eq. 8.48)

Dessa forma, a Equação 8.39 pode ser escrita como:

0)0,(~

)(~)0,(~

~4~

xu

xuxu

uu

t

o

xxtt

(Eq. 8.49)

De fato a solução da Equação 8.41 é dada pela Equação de D’Alembert,

definida como:

2

)(~)(~),(~ 0 ctxuctxu

txu o (Eq. 8.50)

O domínio de influência da condição inicial é encontrado traçando-se as

seguintes retas:

22

101

tt

cxr (Eq. 8.51)

22

102

tt

cxr (Eq. 8.52)

21

103

tt

cxr (Eq. 8.53)

21

104

tt

cxr (Eq. 8.54)

21

105

tt

cxr (Eq. 8.55)

21

106

tt

cxr (Eq. 8.56)

22

107

tt

cxr (Eq. 8.57)

97

22

108

tt

cxr (Eq. 8.58)

A Figura 8.7 mostra o domínio de influência da solução inicial da Equação 8.47

plotado no plano tx . É possível perceber a formação de 15 regiões

separadas no domínio.

Figura 8.7: Domínio de influência da solução inicial da Equação 8.47.

A Figura 8.8 mostra a solução do problema em cada região do domínio, dada

pela Equação 8.50.

Figura 8.8: Solução da Equação 8.49, plotada no plano tx .

Porém o domínio é definido apenas para valores reais do eixo da abscissa,

assim a solução considerada será somente a parte positiva da solução,

mostrada na Figura 8.9.

98

Figura 8.9: Solução da Equação 8.47.

A Figura 8.10 mostra uma animação do perfil da solução para alguns valores

de tempo. É possível ver a reflexão na origem, seguido de uma mudança de

fase da onda.

Figura 8.10: Animação do perfil da solução da Equação 8.47.

99

9 – Propagação de Ondas em Meios Finitos

Nos capítulos anteriores foram deduzidas soluções da equação da onda em

meios infinitos, e em meios semi-infinitos. Nesse capítulo será deduzida a

solução da propagação de ondas em meios finitos, dada pela transformada de

Fourier, um método com aplicações em diversos problemas práticos, esses

problemas serão discutidos com mais detalhes no Capítulo 10.

9.1 – Meio finito com limites fixos:

Um caso particular de propagação de ondas em meios finitos é quando o meio

possui os limites fixados em uma certa posição, o problema pode ser descrito

como:

0),(

0),0(

)()0,(

)()0,(

1

0

2

tLu

tu

xuxu

xuxu

ucu

t

xxtt

,

0

),0(

t

Lx (Eq. 9.1)

A Figura 9.1 mostra um diagrama esquemático do problema. É possível

perceber uma onda trafegando em uma corda finita, onde as pontas dessa

corda estão presas na origem.

Figura 9.1: Propagação de uma onda em um meio semi-infinito.

Para se resolver a Equação 9.1 serão encontradas soluções não triviais da

seguinte forma:

)().(),( xXtTtxu (Eq. 9.2)

Substituindo a Equação 9.2 em 9.1:

)('')()('').( 2 xXtTctTxX (Eq. 9.3)

100


)(

)(''

)(

)(''2 xX

xX

tTc

tT (Eq. 9.4)

Como as funções )(tT e )(xX são independentes é possível criar uma

constante , tal que:

)(

)(''

)(

)(''2 xX

xX

tTc

tT (Eq. 9.5)

Dessa forma:

0)()(''

0)()('' 2

xXxX

tTctT

(Eq. 9.6)

Utilizando as condições de contorno:

0),(

0),0(

tLu

tu

0)()(

0)()0(

tTLX

tTX (Eq. 9.7)

Como queremos soluções não triviais:

0)(

0)0(

LX

X (Eq. 9.8)

Dessa forma, é possível construir o seguinte problema:

0)()0(

0)()(''

LXX

xXxX (Eq. 9.9)

Encontrar os autovalores para os quais o Problema 9.9 possui soluções não

triviais é denominado problema de Sturm-Liouiville, para se resolver o problema

é necessário analisar três casos distintos:

i. 0

Nesse caso a solução geral da Equação 9.9 é dada por:

xx eCeCxX )(2

)(1)( (Eq. 9.10)


0)0( X 021 CC (Eq. 9.11)

101

0)( LX 0)(2

)(1 LL eCeC

(Eq. 9.12)

Analisando o determinante da matriz dos coeficientes, formada pelas Equações

9.11 e 9.12:

011

LL ee (Eq. 9.13)

O que indica que a única solução do sistema é a solução trivial, ou seja:

021 CC (Eq. 9.14)

Como procuramos soluções não triviais para o problema 9.9, não é possível

encontrar autovalores negativos, que satisfaça essa condição.

ii. 0


21)( CxCxX (Eq. 9.15)

Substituindo os valores iniciais:

0)0( X 02 C (Eq. 9.16)

0)( LX 01 C (Eq. 9.17)

Como procuramos soluções não triviais, não é possível a escolha de um

autovalor nulo.

iii. 0


xcosCxsenCxX 21)( (Eq. 9.18)


0)0( X 02 C (Eq. 9.19)

0)( LX 01 LsenC (Eq. 9.20)

102

Dessa forma, é possível de encontrar uma constante 1C não nula, se o

autovalor for escrito da seguinte forma:

,

2

L

n ,...3,2,1n (Eq. 9.21)

Dessa forma, a função )(xX pode ser escrita como:

L

xnsenCxX

1)( , ,....3,2,1n (Eq. 9.22)

Como 1C é uma constante qualquer positiva, escolheremos 11 C , assim:

L

xnsenxX

)( , ,....3,2,1n (Eq. 9.23)

A Equação 9.23 é a solução do Problema de Sturm-Liouiville 9.9, e é conhecida

como autofunções do problema.

Agora, com os valores calculados de , é possível encontrar uma solução da

Equação 9.6. Para isso é necessário encontrar a solução da seguinte equação:

2

2

)(

0)()(''

L

nn

tTctT

(Eq. 9.24)

A solução geral da Equação 9.24 é dada por:

ctcosBctsenAtT nnn )()()( (Eq. 9.25)

L

ctncosB

L

ctnsenAtT nnn

)( (Eq. 9.26)

Dessa forma a Equação 9.2 pode ser escrita como:

L

xnsen

L

ctncosB

L

ctnsenAtxu nnn

),( , ,....3,2,1n (Eq. 9.27)

Para cada valor diferente de n , é possível ter uma solução diferente da

Equação 9.1, assim, como a equação é linear, a solução completa da Equação

9.1 é dada pela soma de todas as soluções:

103

1

),(n

nnL

xnsen

L

ctncosB

L

ctnsenAtxu

(Eq. 9.28)

Os coeficientes nA e nB são determinados a partir das condições iniciais do

problema:

)()0,(

)()0,(

1

0

xuxu

xuxu

t

(Eq. 9.29)

)(

)(

11

10

xuL

xnsen

L

cnA

xuL

xnsenB

nn

nn

(Eq. 9.30)

Foi demonstrado no Apêndice 3 a ortogonalidade das funções tipo seno e

cosseno, assim, multiplicando os dois lados da equação pela função seno:

11

10

)(

)(

nn

nn

L

xmsenxu

L

xnsen

L

cnA

L

xmsen

L

xmsenxu

L

xnsenB

L

xmsen

(Eq. 9.31)

Como o sistema é completo e contínuo no intervalo ],0[ Lx , a multiplicação

pode ser incluída no operador somatório, dessa forma:

11

10

)(

)(

nn

nn

L

xmsenxu

L

xmsen

L

xnsen

L

cnA

L

xmsenxu

L

xmsen

L

xnsenB

(Eq. 9.32)

Integrando no intervalo ],0[ Lx , e incluindo o operador integral no operador

somatório:

1 0

1

0

1 0

0

0

)(

)(

n

LL

n

n

LL

n

dxL

xmsenxudx

L

xmsen

L

xnsen

L

cnA

dxL

xmsenxudx

L

xmsen

L

xnsenB

(Eq. 9.33)

104

O resultado da integral da Equação 9.33 vale 2/L se nm , assim:

1 0

1

1 0

0

)(2

)(2

n

L

n

n

L

n

dxL

xnsenxu

L

L

cnA

dxL

xnsenxu

LB

(Eq. 9.34)

Logo, os coeficientes nA e nB valem:

L

n

L

n

dxL

xnsenxu

cnA

dxL

xnsenxu

LB

0

1

0

0

)(2

)(2

(Eq. 9.35)

Conclusão:

A solução do Problema 9.1 é dada por:

L

n

L

n

nnn

dxL

xnsenxu

LB

dxL

xnsenxu

cnA

L

xnsen

L

ctncosB

L

ctnsenAtxu

0

0

0

1

1

)(2

)(2

),(

(Eq. 9.36)

Para a Equação 9.36 realmente representar a solução do Problema 9.36, a

série tem que ser convergente e duas vezes diferenciável no domínio

estudado. Por sorte, a maioria das funções “comuns” possuem essas

características.

Exemplo 9.1:

Resolver o seguinte problema de propagação de ondas em meios finitos:

0),(

0),0(

0)0,(

)()0,(

4

tLu

tu

xu

xxxu

uu

t

xxtt

,

0

),0(

t

x (Eq. 9.37)

105

Solução:

A solução do Exemplo 9.1 é dada pela Equação 9.36, calculando os

coeficientes nA e nB :

002

0

L

n dxL

xnsen

cnA

(Eq. 9.38)

L

n dxL

xnsenxx

LB

0

)(2

(Eq. 9.39)

Utilizando integral por partes:

LL

n dxL

xncosx

n

L

n

L

L

xncosxx

LB

00

)2()(2

(Eq. 9.40)

L

n dxL

xncosxncosLL

nB

0

)2()(2

(Eq. 9.41)

Integrando novamente:

LL

ndx

n

L

L

xnsen

n

L

L

xnsenx

ncosLL

nB

00

)2()2(

)(

2

(Eq. 9.42)

L

n dxn

L

L

xnsenncosLL

nB

0

2)(2

(Eq. 9.43)

L

nL

xncos

n

LncosLL

nB

0

2

2)(2

(Eq. 9.44)

12)(

22

ncosn

LncosLL

nBn (Eq. 9.45)

Substituindo os limites do problema:

1

12

22

ncosnn

Bn (Eq. 9.46)

106

ncosn

Bn 14

3 (Eq. 9.47)

Rescrevendo a função cosseno:

nn

nB )1(1

43

(Eq. 9.48)

Dessa forma, a solução do problema é escrita como:

1

),(n

nnL

xnsen

L

ctncosB

L

ctnsenAtxu

(Eq. 9.49)

13

2)1(14

),(n

n nxsenntcosn

txu

(Eq. 9.50)

A Figura 9.2 mostra a solução do Exemplo 9.1 plotado para diferentes valores

de tempo, e utilizando nove termos da série de Fourier. É possível ver a

vibração da corda com o avanço do tempo.

Figura 9.2: Solução do Exemplo 9.1, dada pela Equação 9.50.

Exemplo 9.2:

Resolver o seguinte problema de propagação de ondas em meios finitos:

0),3(),0(

0)0,(

]3,2(,3

]2,0[,2)0,(

9

tutu

xu

xx

xx

xu

uu

t

xxtt

,

0

)3,0(

t

x (Eq. 9.51)

107

Solução:

A solução do Exemplo 9.2 é dada pela Equação 9.36, calculando os

coeficientes nA e nB :

002

0

L

n dxL

xnsen

cnA

(Eq. 9.52)

3

2

2

0

)3(2

2dx

L

xnsenxdx

L

xnsen

x

LBn

(Eq. 9.53)

Calculando as integrais da Equação 9.53, via integral por partes:

2

0

2

0

2

02

1

22dx

n

L

L

xncos

n

L

L

xncos

xdx

L

xnsen

x

(Eq. 9.54)

2

0

22

0

3

32

13

2

n

xnsen

3

2ncos

ndx

L

xnsen

x (Eq. 9.55)

3

2ncos

n

nsen

ndx

L

xnsen

x

3

3

23

2

1

2

22

0

(Eq. 9.56)

3

2

3

2

3

2

)3()3( dxn

L

L

xncos

n

L

L

xncosxdx

L

xnsenx

(Eq. 9.57)

3

2

23

2

3

3

2)3(

n

L

L

xnsen

n

ncosdx

L

xnsenx

(Eq. 9.58)

23

2

3

3

23

3

2)3(

n

nsen

n

ncosdx

L

xnsenx

(Eq. 9.59)


23

3

2

n

nsenBn (Eq. 9.60)

108

Montando a solução do problema:

1

),(n

nnL

xnsen

L

ctncosB

L

ctnsenAtxu

(Eq. 9.61)

1 3),(

n

2xn

sentncos3

2nsen

n

3txu

(Eq. 9.62)

A Figura 9.3 mostra a condição inicial do problema, plotada utilizando a

Equação 9.62 com 0t , para diferentes valores de n . É possível observar

que quanto mais termos da série de Fourier forem utilizados, mais a solução se

aproxima do perfil inicial da solução.

Figura 9.3: Variação do perfil inicial da solução, com o aumento da precisão do

método de Fourier.

A Figura 9.4 mostra a solução do Exemplo 9.2 plotado para diferentes valores

de tempo, e utilizando vinte termos da série de Fourier. É possível ver que a

vibração da corda possui um período igual a duas unidades de tempo do

problema.

Figura 9.4: Solução do Exemplo 9.2, dada pela Equação 9.62.

109

9.2 – Meio finito com termo fonte “Função de Green”:

A solução da equação da onda para um meio finito com limites fixos foi

desenvolvida no Tópico 9.1, nesse tópico será desenvolvida a solução do

mesmo caso, porém, a propagação de ondas é devido ao acréscimo de um

termo fonte na equação, definido por:

0),(

0),0(

0)0,(

0)0,(

),(2

tLu

tu

xu

xu

txfucu

t

xxtt

,

0

),0(

t

Lx (Eq. 9.63)

De forma análoga ao discutido no Tópico 9.1, vamos considerar que a solução

da Equação 9.63 pode ser dada da seguinte forma:

)().(),( xXtTtxu nnn (Eq. 9.64)

E que o termo fonte pode ser escrito da seguinte forma:

)().(),( xXtFtxf nnn (Eq. 9.65)


)()()('')()('')( 2 xXtFxXtTctTxX nnnnnn (Eq. 9.66)

)('')()()('')( 2 xXtTctFtTxX nnnnn (Eq. 9.67)

)(

)(''

)(

)()(''2 xX

xX

tTc

tFtT

n

n

n

nn (Eq. 9.68)


0)()(''

)()()('' 2

xXxX

tFtTctT

nn

nnn

(Eq. 9.69)


0),(

0),0(

tLu

tu

0)()(

0)()0(

tTLX

tTX

nn

nn (Eq. 9.70)


110

0)(

0)0(

LX

X

n

n (Eq. 9.71)

Dessa forma, é possível construir o seguinte problema de Sturm-Liouiville:

0)()0(

0)()(''

LXX

xXxX

nn

nn (Eq. 9.72)

A solução do problema 9.72 foi discutida no Tópico 9.1 e é dada por:

L

xnsenxX n

)( , ,....3,2,1n (Eq. 9.73)

Então as Equações 9.64 e 9.65 podem ser escritas como:

L

xnsentTtxu nn

).(),( (Eq. 9.74)

L

xnsentFtxf nn

).(),( (Eq. 9.75)

Como a Equação 9.63 é linear, a solução é dada como combinação linear de

outras soluções, assim:

1

).(),(n

nL

xnsentTtxu

(Eq. 9.76)

1

).(),(n

nL

xnsentFtxf

(Eq. 9.77)


),(2 txfucu xxtt (Eq. 9.78)

11

22

1

).().().(''n

nn

nn

nL

xnsentF

L

n

L

xnsentTc

L

xnsentT

(Eq. 9.79)

111

11

2

1

).().().(''n

nn

nn

nL

xnsentF

L

cn

L

xnsentT

L

xnsentT

(Eq. 9.80)

Que pode ser escrito como:

0)()()(''1

2

nnnn

L

xnsentF

L

cntTtT

(Eq. 9.81)

Utilizando o princípio de ortogonalidade, discutido no Apêndice 3:

L

xmsen

L

xmsen

L

xnsentF

L

cntTtT

nnnn

.0)()()(''

1

2

(Eq. 9.82)

0)()()(''0 1

2

L

nnnn dx

L

xmsen

L

xnsentF

L

cntTtT

(Eq. 9.83)

Por isso:

0)()()(''1

2

nnnn tF

L

cntTtT

(Eq. 9.84)

Observa-se que a Equação 9.84 é uma equação diferencial ordinária, muito

mais simples de resolver que a equação diferencial parcial original. As

condições de contorno dessa equação são dadas pelas condições de contorno

da equação original, ou seja:

0).0()0,(1

nn

L

xnsenTxu

(Eq. 9.85)

Logo:

0)0( nT (Eq. 9.86)

0).0(')0,(1

nnt

L

xnsenTxu

(Eq. 9.87)

112

0)0(' nT (Eq. 9.88)

Assim pode ser formulada a seguinte equação diferencial ordinária:

0)0('

0)0(

)()()(''

2

n

n

nnn

T

T

tFL

cntTtT

(Eq. 9.89)

Para se resolver a Equação 9.89, é possível supor que a função:

)()( 2211 tTCtTCT nnn (Eq. 9.90)

é solução da equação homogênea associada:

0)()(''

2

tT

L

cntT nn

(Eq. 9.91)

Resolvendo essa equação, encontra-se que:

t

L

cncosat

L

cnsenaTn

21 (Eq. 9.92)

É possível supor que:

t

L

cncostt

L

cnsentTn

)()( 21 (Eq. 9.93)

É solução do problema 9.89. Dessa forma:

tensttcosttcosttsentT n )()(')()('' 2211

(Eq. 9.94)

Onde:

L

cn (Eq. 9.95)

Como condição suplementar, é possível supor que:

0)(')(' 21 tcosttsent (Eq. 9.96)

113

Assim:

tensttcostT n )()(' 21 (Eq. 9.97)

Derivando novamente:

tcosttensttensttcostT n 222

211 )()(')()('''

(Eq. 9.98)


)()()(

)()(')()('

212

222

211

tFtcosttsent

tcosttensttensttcost

n

(Eq. 9.99)

Rearranjando a equação:

)()(')(' 21 tFtensttcost n (Eq. 9.100)

As Equações 9.96 e 9.100 formam o seguinte sistema:

)()(')('

0)(')('

21

21

tFtensttcost

tcosttsent

n

(Eq. 9.101)

Resolvendo as funções:

)()(1

'1 tcostFn

(Eq. 9.102)

)()(1

'2 tsentFn

(Eq. 9.103)

)()(1

1 tcostFn

(Eq. 9.104)

)()(1

2 tsentFn

(Eq. 9.105)


tcosdttenstFtsendttcostFT nnn

.)()(1

.)()(1

(Eq. 9.106)

Colocando as funções na integral:

114

t

n

t

nn dtcostsentFdtsentcostFT00

)()()(1

)()()(1

(Eq. 9.107)

Utilizando a seguinte relação trigonométrica:

)()(2

1)()( basenbasenbcosasen (Eq. 9.108)

É possível escrever a Equação 9.107 como:

t

n

t

nn

dttsentsentF

dttsentsentFT

0

0

)()()(2

1

)()()(2

1

(Eq. 9.109)

Simplificando:

t

n

t

nn dttsentFdttsentFT00

)()(2

1)()(

2

1

(Eq. 9.110)

t

n

t

nn dttsentFdttsentFT00

)()(2

1)()(

2

1

(Eq. 9.111)

t

nn dttsentFT0

))(()(1

(Eq. 9.112)

Substituindo o valor de , e trocando os índices t por :

t

nn dtL

cnsenF

cn

LT

0

)()(

(Eq. 9.113)

Aplicando a Equação 9.113 na Equação 9.76 é possível escrever a solução do

problema, na seguinte forma:

1 0

)()(),(n

t

nL

xnsendt

L

cnsenF

cn

Ltxu

(Eq. 9.114)

Relembrando a definição utilizada para a função fonte, dada pela Equação

9.77:

115

1

).(),(n

nL

xnsentFtxf

(Eq. 9.115)

Utilizando o princípio de ortogonalidade:

L

n dxL

xnsentxf

LtF

0

),(2

)(

(Eq. 9.116)


1 0 0

)(.),(2

),(n

t L

L

xnsendt

L

cnsendx

L

xnsenxf

Lcn

Ltxu

(Eq. 9.117)

1 0 0

.)(),(2

),(n

t L

dL

xnsendxt

L

cnsen

L

xnsenxf

cntxu

(Eq. 9.118)

Substituindo a variável espacial:

1 0 0

.)(),(2

),(n

t L

dL

xnsendt

L

cnsen

L

nsenf

cntxu

(Eq. 9.119)

É possível rearranjar a Equação 9.119 de forma que todos os termos fiquem

dentro da integral, assim:

t L

n

ddfL

nsent

L

cnsen

L

xnsen

nctxu

0 0 1

),()(12

),(

(Eq. 9.120)


ddftxGtxut L

),(,,),(0 0

(Eq. 9.121)

A função ,, txG é conhecida como função de Green, capaz de

expressar a solução de uma EDP associada com um termo fonte, definida por:

116

1

)(12

),,(n L

nsent

L

cnsen

L

xnsen

nctxG

(Eq. 9.122)

A Equação 9.122 é a solução da Equação 9.63, definida com base na função

de Green do problema.

9.3 – Meio finito com limites variáveis:

A solução da equação da onda para um meio finito com limites fixos foi

desenvolvida nos Tópicos 9.1 e 9.2, nesse tópico será desenvolvida a solução

de um caso mais geral, que pode ser definido como:

)(),(

)(),0(

)()0,(

)()0,(

),(

1

0

2

thtLu

tgtu

xuxu

xuxu

txfucu

t

xxtt

,

0

),0(

t

Lx (Eq. 9.123)

Deve-se encontrar uma solução ),( txw , tal que:

)(),(

)(),0(

thtLw

tgtw (Eq. 9.124)

De fato, a função ),( txw pode ser definida como:

)(1)(),( tgL

xth

L

xtxw

(Eq. 9.125)

Onde ),( txw obedece as condições impostas pela Equação 9.124. É possível

fazer a seguinte substituição de variáveis:

),(),(),( txwtxutxV (Eq. 9.126)

Derivando a função ),( txV :

L

tg

L

thuwuV xxxx

)()( (Eq. 9.127)

xxxx uV (Eq. 9.128)

ttt wuV (Eq. 9.129)

117

tttttt wuV (Eq. 9.130)

Substituindo as Equações 9.128 e 9.130 em 9.123:

),(2 txfVcwV xxtttt (Eq. 9.131)

Que pode ser escrita como:

ttxxtt wtxfVcV ),(2 (Eq. 9.132)

Definindo as condições iniciais do problema:

),(),(),(

),0(),0(),0(

)0,()0,()0,(

)0,()0,()0,(

tLwtLVtLu

twtVtu

xwxVxu

xwxVxu

ttt (Eq. 9.133)

A Equação 9.133 pode ser escrita com base na função ),( txV , assim:

0),(

0),0(

)0,()()0,(

)0,()()0,(

1

0

tLV

tV

xwxuxV

xwxuxV

tt (Eq. 9.134)

Assim, o problema inicial dado pela Equação 9.123, pode ser escrito como:

0),(

0),0(

)0,()()0,(

)0,()()0,(

),(),(

1

0

2

tLV

tV

xwxuxV

xwxuxV

txwtxfVcV

tt

ttxxtt

,

0

),0(

t

Lx (Eq.9.135)

Que pode ser escrita como:

0),(

0),0(

)()0,(

)()0,(

),(

1

0

2

tLV

tV

xVxV

xVxV

txFVcV

t

xxtt

,

0

),0(

t

Lx (Eq.9.136)

118

Onde:

)0,()()(

)0,()()(

),(),(),(

11

00

xwxuxV

xwxuxV

txwtxftxF

t

tt

(Eq. 9.137)

Como a Equação 9.136 é linear, a solução pode ser representada como uma

combinação linear de outras soluções. Assim, a função ),( txV será construída

da seguinte forma:

),(),(),( 21 txVtxVtxV (Eq. 9.138)

Onde a Equação 9.136 fica escrita da seguinte forma:

0),(

0),0(

)()0,(

)()0,(

1

1

11

01

121

tLV

tV

xVxV

xVxV

VcV

t

xxtt

,

0

),0(

t

Lx (Eq.9.139)

0),(

0),0(

0)0,(

0)0,(

),(

2

2

2

2

222

tLV

tV

xV

xV

txFVcV

t

xxtt

,

0

),0(

t

Lx (Eq.9.140)

A solução da Equação 9.139 foi discutida no Tópico 9.1, dada pela Equação

9.36, assim:

1

1 ),(n

nnL

xnsen

L

ctncosB

L

ctnsenAtxV

(Eq. 9.141)

A solução da Equação 9.40 foi discutida no Tópico 9.2, dada pela Equação

9.121, definida por:

119

ddFtxGtxVt L

),(,,),(0 0

2 (Eq. 9.142)

Dessa forma a solução final da Equação 9.123 é dada por:

),(),(),(),(),(),( 21 txwtxVtxVtxwtxVtxu (Eq. 9.143)

)(1)(),(,,

),(

0 0

1

tgL

xth

L

xddFtxG

L

xnsen

L

ctncosB

L

ctnsenAtxu

t L

nnn

(Eq. 9.144)

A Equação 9.144 representa a solução do caso mais geral possível da

propagação de ondas em meios finitos. No Capítulo 10 serão discutidas

algumas aplicações da Equação 9.144 em diversos problemas práticos.

120

10 – Problemas de Propagação de Ondas em Meios Finitos

No Capítulo 9 foi deduzida a solução da propagação de ondas em meios

finitos, dada pela forma de séries de Fourier. Nesse capítulo serão tratados

alguns exemplos de aplicação das soluções deduzidas no capítulo anterior.

10.1 – Problema do martelo chato batendo em uma corda:

Um problema interessante que pode ser modelado pelas séries de Fourier é a

geração de ondas em um meio elástico devido ao impacto de um martelo com

cabeça quadrada ou pontiaguda.

Primeiramente será discutido o caso onde o martelo possui a cabeça quadrada,

ou martelo chato. Um martelo de densidade transfere à corda uma energia

igual ao impulso que o martelo possuía antes do choque. Inicialmente a corda

está totalmente esticada, e recebe um impacto do martelo que possui largura

igual a 2 . A Figura 10.1 mostra um esboço esquematizando o problema.

Figura 10.1: Esboço do problema do martelo com a cabeça quadrada.

A velocidade inicial da corda, transferida pelo martelo é pode ser calculada

utilizando-se a seguinte relação:

mvI (Eq. 10.1)

Considerando o martelo bidimensional:

2

Iv (Eq. 10.2)

Assim a equação que governa esse problema pode ser modelada como:

121

0),(),0(

],[,0

],[,2)0,(

0)0,(

00

00

2

tLutu

xxx

xxxI

xu

xu

ucu

t

xxtt

,

0

),0(

t

Lx (Eq. 10.3)

A solução do problema é dada pela Equação 9.36, repetida aqui por

conveniência:

L

n

L

n

nnn

dxL

xnsenu

LB

dxL

xnsenu

cnA

L

xnsen

L

ctncosB

L

ctnsenAtxu

0

0

0

1

1

2

2

),(

(Eq. 10.4)

Calculando os coeficientes nA e nB :

L

n dxL

xnsen

LB

0

0.02

(Eq. 10.5)

L

n dxL

xnsenu

cnA

0

1

2

(Eq. 10.6)

0

02

2x

x

n dxL

xnsen

I

cnA (Eq. 10.7)

0

0

x

x

nn

L

L

xncos

cn

IA (Eq. 10.8)

L

nsen

L

xnsen

cn

ILAn

0

2

2 (Eq. 10.9)


122

1

),(n

nnL

xnsen

L

ctncosB

L

ctnsenAtxu

(Eq. 10.10)

1

0

2

2),(

n L

xnsen

L

ctnsen

L

nsen

L

xnsen

cn

ILtxu

(Eq. 10.11)

A Equação 10.11 representa a solução do problema do martelo com cabeça

quadrada. A Figura 10.2 mostra a solução plotada considerando os quinhentos

primeiros termos da série de Fourier, e o seguinte conjunto de dados:

5.2

1

2

1

5

10

0x

c

L

I

(Eq. 10.12)

É possível observar a vibração da corda após o impacto do martelo na mesma.

Nos momentos iniciais após o impacto, a corda assume um perfil parecido com

a largura do martelo.

Figura 10.2: Solução do problema do martelo com cabeça quadrada, plotado

com os dados mostrados na Equação 10.12.

10.2 – Problema do martelo pontiagudo batendo em uma corda:

Consideremos agora um martelo com a cabeça pontiaguda, batendo na mesma

posição que o martelo com a cabeça quadrada, como mostrado na Figura 10.3.

123

Figura 10.3: Esboço do problema do martelo com a cabeça pontiaguda.

A equação que governa esse problema levará em consideração uma função do

tipo delta de Dirac, porém a solução pode ser encontrada com base na solução

do tipo cabeça quadrada, considerando que a largura do martelo tende à zero.

Dessa forma, marcando a Equação 10.11 como ),( txu , a solução é dada

por:

)],([lim),(0

txutxu

(Eq. 10.13)

Aplicando a propriedade da soma do limite, podemos introduzir o limite dentro

do operador somatório, assim:

1 0

0

2

12),( lim

n L

nsen

L

xnsen

L

ctnsen

L

xnsen

cn

ILtxu

(Eq. 10.14)

Esse limite é conhecido como limite fundamental trigonométrico, e possui valor

igual a um, assim:

1

0

2

2),(

n L

n

L

xnsen

L

ctnsen

L

xnsen

cn

ILtxu

(Eq. 10.15)

1

02),(

n L

xnsen

L

ctnsen

L

xnsen

cn

Itxu

(Eq. 10.16)

124

A Equação 10.16 representa a solução do problema do martelo com cabeça

pontiaguda. A Figura 10.4 mostra a solução plotada considerando os

quinhentos primeiros termos da série de Fourier, e os mesmos dados da

Equação 10.12. É possível ver que a resposta do sistema ao estimulo é muito

parecido, porém o formato da onda que trafega no meio é afetado pela

diferença entre os tipos de martelo.

Figura 10.4: Solução do problema do martelo com cabeça pontiaguda, plotado

com os dados mostrados na Equação 10.12.

10.3 – Problema da corda ressonante:

O problema da corda ressonante é um problema de propagação de ondas em

meios finitos, onde o mecanismo de geração de ondas é um termo fonte

externo à corda. Esse problema pode ser modelado segundo a seguinte

equação:

0),(

0),0(

0)0,(

0)0,(

)( 0

tLu

tu

xu

xu

tsenxGcuu

t

xxtt

,

0

),0(

t

Lx (Eq. 10.17)

Onde 0 é a frequência de oscilação da fonte, e )(xG é uma função

comportada, ou seja, possui valores reais em todo o domínio do problema, com

derivadas primeiras e segundas contínuas. A solução de problemas com

termos fonte é discutida no Tópico 9.2, onde a solução é dada na forma da

integral de Green (Equação 9.121), definida como:

ddftxGtxut L

),(,,),(0 0

(Eq. 10.18)

Onde:

125

1

)(12

),,(n L

nsent

L

cnsen

L

xnsen

nctxG

(Eq. 10.19)

O termo fonte da Equação 10.18 é dado por:

)()(),( 0 senGf (Eq. 10.20)


ddsenG

L

nsent

L

cnsen

L

xnsen

cntxu

t L

n

)()()(2

),( 0

0 0 1

(Eq. 10.21)

A Equação 10.21 pode ser reescrita como:

1

0

0

0

)(.

.)()(.2

),(n

L

t

dGL

nsen

dsentL

cnsen

L

xnsen

cntxu

(Eq. 10.22)

Resolvendo a integral com relação ao tempo:

dsentL

cnsenI

t

t

0

0 )()( (Eq. 10.23)

É possível definir a frequência natural de oscilação da corda como:

L

cnn

(Eq. 10.24)

Utilizando um substituição trigonométrica, a Equação 10.23 fica escrita como:

dtcostcosIt

nnt 0

00 )()(2

1 (Eq. 10.25)

Integrando a equação:

t

n

n

n

nt

tsentsenI

00

0

0

0 )()(

2

1

(Eq. 10.26)

Substituindo os limites de integração:

126

n

n

n

nt

tsentsentsentsenI

0

0

0

0 )()()()(

2

1 (Eq. 10.27)

Rearranjando a Equação 10.27, a solução da integral 10.23 fica escrita como:

220

00 )()(

n

nnt

tsentsenI

(Eq. 10.28)

Substituindo o resultado da integral 10.23 na Equação 10.22:

1 022

0

00 )()()(.

2),(

n

L

n

nn tsentsendG

L

nsen

L

xnsen

cntxu

(Eq. 10.29)

Essa equação expressa à solução do Problema 10.17, quando n 0 .

Agora, será calculado esse resultado quando n 0 que é conhecido como

o problema da ressonância. Para isso será calculado o seguinte limite:

),(lim),(0

txutxun

R

(Eq. 10.30)

Utilizando a regra da soma para o limite, o operador limite pode ser introduzido

dentro do operador somatório, assim:

1 0

.)(.2

),(

Rn

LRR

RR dG

L

nsen

L

xnsen

cntxu

(Eq. 10.31)

Onde:

220

00 )()(lim

0 n

nn tsentsen

n

(Eq. 10.32)

O subscrito R indica apenas os valores de n onde em que n 0 .

Utilizando a regra de L’hôpital:

n

n tsentcost

n

2

)()(lim 00

0

(Eq. 10.33)

0

000

2

)()(

tcosttsen (Eq. 10.34)

Logo a Equação 10.31 fica escrita como:

127

1 0 0

000

2

)()(.)(.

2),(

Rn

LRR

RR

tcosttsendG

L

nsen

L

xnsen

cntxu

(Eq. 10.35)

Como a função )(xG é uma função comportada, a amplitude de vibração da

corda cresce indefinidamente com o passar do tempo. Assim, é fácil perceber

que:

),(lim txuRt

(Eq. 10.36)

Assim, a solução final do problema da corda ressonante é dada pela soma das

Equações 10.29 e 10.35, ou seja:

1 0 0

000

1 022

0

00

2

)()(.)(.

2

)()()(.

2),(

Rn

LRR

R

n

L

n

nn

tcosttsendG

L

nsen

L

xnsen

cn

tsentsendG

L

nsen

L

xnsen

cntxu

(Eq. 10.37)

Exemplo 10.1:

Encontrar a solução do problema da corda ressonante, dada pela seguinte

equação:

0),2(

0),0(

0)0,(

0)0,(

5104

tu

tu

xu

xu

tsenuu

t

xxtt

,

0

)2,0(

t

x (Eq. 10.38)

Solução:

A solução do problema é dada pela Equação 10.37, calculando a integral

espacial:

2

02

10 dn

senIS (Eq. 10.39)

128

2

0

2

2cos10

n

nIS (Eq. 10.40)

nS

nI )1(1

20 (Eq. 10.41)

A solução pode ser escrita como:

1 0

000

2

122

0

00

2

2

)()()1(1.

40

)()(.)1(1

40),(

Rn

nR

R

n n

nnn

tcosttsen

L

xnsen

cn

tsentsen

L

xnsen

cntxu

(Eq. 10.42)

Substituindo os valores do problema:

12

1222

10

)5(5)5()1(1.

2

20

5

)5()(5.)1(1

2

20),(

Rn

nR

R

n n

nnn

tcosttsenxnsen

n

tsentsennxsen

ntxu

(Eq. 10.43)

Como

nL

cnn

(Eq. 10.44)

É possível observar que a frequência ressonante é quando 5n , assim:

10

)5(5)5(

2

5

5

8

25

)5()(5.)1(1

2

20),(

51

22

tcosttsenxsen

n

tsenntsennxsen

ntxu

nn

nn

(Eq. 10.45)

A Figura 10.5 mostra a solução dada pela Equação 10.45 plotada para alguns

valores de tempo. É possível perceber que a amplitude de oscilação cresce

indefinidamente com o tempo.

129

Figura 10.5: Variação do perfil da Solução 10.45 para alguns valores de tempo.

10.4 – Problema da corda com extremidades livre:

Até o momento, a solução do tipo funções de Fourier foram obtidas quando a

ponta da corda está presa em algum ponto do domínio, agora será considerado

o caso da propagação de ondas em uma corda que possui as duas

extremidades livres para oscilar ao longo de uma haste, como mostrada na

Figura 10.6.

Figura 10.6: Problema de propagação de ondas em uma corda com

extremidades livres.

Esse problema pode ser descrito segundo a seguinte equação:

0),(

0),0(

)()0,(

)()0,(

1

0

2

tLu

tu

xuxu

xuxu

ucu

x

x

t

xxtt

,

0

),0(

t

Lx (Eq. 10.46)

130

Onde as condições de contorno do tipo 0),(),0( tLutu xx são construídas

de forma em que as extremidades da corda estão sempre sendo forçadas

contra as hastes verticais. Para se resolver esse problema é necessário se

construir o problema de Sturm-Liouiville associado, assim será considerado

que a solução do problema possui a seguinte forma:

)().(),( xXtTtxu (Eq. 10.47)


)('')()('').( 2 xXtTctTxX (Eq. 10.48)


)(

)(''

)(

)(''2 xX

xX

tTc

tT (Eq. 10.49)

Como as funções )(tT e )(xX são independentes é possível criar uma

constante , tal que:

)(

)(''

)(

)(''2 xX

xX

tTc

tT (Eq. 10.50)

Dessa forma:

0)()(''

0)()('' 2

xXxX

tTctT

(Eq. 10.51)


0),(

0),0(

tLu

tu

x

x

0)()('

0)()0('

tTLX

tTX (Eq. 10.52)


0)('

0)0('

LX

X (Eq. 10.53)

Dessa forma, é possível construir o seguinte problema de Sturm-Liouiville:

0)(')0('

0)()(''

LXX

xXxX (Eq. 10.54)

131

Da mesma forma como foi feito no Capítulo 9, para se resolver esse problema

é necessário fazer três suposições a respeito da constante :

i. 0


xx eCeCxX )(2

)(1)( (Eq. 10.55)


0)0(' X 021 CC (Eq. 10.56)

0)(' LX 0)(2

)(1 LL eCeC (Eq. 10.57)

Analisando o determinante da matriz dos coeficientes, formada pelas Equações

10.56 e 10.57:

0

LL ee

(Eq. 10.58)

O que indica que a única solução do sistema é a solução trivial, ou seja:

021 CC (Eq. 10.59)

Como procuramos soluções não triviais para o problema 10.54, não é possível

encontrar autovalores negativos, que satisfaça essa condição.

ii. 0


21)( CxCxX (Eq. 10.60)

Substituindo os valores iniciais:

0)0(' X 01 C (Eq. 10.61)

0)(' LX 0KC 2 (Eq. 10.62)

Onde 0K é uma constante qualquer. Observe que nesse caso a escolha de

um autovalor nulo satisfaz a Equação 10.54, sendo assim considerada uma

solução do problema de Sturm-Liouiville, escrevendo a solução:

00 )( KxX (Eq. 10.63)

132

iii. 0


xcosCxsenCxX 21)( (Eq. 10.64)


0)0(' X 01 C (Eq. 10.65)

0)(' LX 02 LsenC (Eq. 10.66)

Ou seja:

nL , ...3,2,1n (Eq. 10.67)

2

L

nn

, ...3,2,1n (Eq. 10.68)

Por isso, considerando a constante 2C igual a um:

L

xncosxX n

)( , ...3,2,1n (Eq. 10.69)

A solução final do problema de Sturm-Liouiville deve ser construída como a

soma das soluções para 0 e 0 , assim:

2

0

L

nn

, ...2,1,0n (Eq. 10.70)

)()()( 0 xXxXxX nn (Eq. 10.71)

Considerando a constante 0K igual a um:

L

xncosxX n

)( , ...2,1,0n (Eq. 10.72)

A Equação 10.72 é a solução do Problema de Sturm-Liouiville 10.54.

substituindo o valor encontrado de n na Equação 10.51:

0)()('' 2 tTctT (Eq. 10.73)

Resolvendo o sistema:

133

)()()( ctcosBctsenAtT nnn (Eq. 10.74)

L

ctncosB

L

ctnsenAtT nnn

)( , ...2,1,0n (Eq. 10.75)

Substituindo as Equações 10.72 e 10.75, na Equação 10.47:

L

xncos

L

ctncosB

L

ctnsenAtxu nnn

),( , ...2,1,0n (Eq. 10.76)

Como a equação da onda é linear, solução geral é dada pela soma de todas as

soluções parciais, assim:

0

),(n

nnL

xncos

L

ctncosB

L

ctnsenAtxu

(Eq. 10.77)

Observa-se que uma mudança no tipo de condição de contorno do problema

mudou a forma da solução dada pela série de Fourier, e mudou o índice do

operador somatório. Os coeficientes nA e nB são determinados a partir das

condições iniciais do problema:

)()0,(

)()0,(

1

0

xuxu

xuxu

t

(Eq. 10.78)

)(

)(

01

00

xuL

xncos

L

cnA

xuL

xncosB

nn

nn

(Eq. 10.79)

Foi demonstrado no Apêndice 3, a ortogonalidade das funções tipo seno e

cosseno, assim, multiplicando os dois lados da equação pela função cosseno:

L

xmcosxu

L

xncos

L

cnA

L

xmcos

L

xmcosxu

L

xncosB

L

xmcos

nn

nn

)(

)(

01

00

(Eq. 10.80)


pode ser incluída no operador somatório, dessa forma, integrando no intervalo

dado:

134

0 0

1

0

0 0

0

0

)(

)(

n

LL

n

n

LL

n

dxL

xmcosxudx

L

xmcos

L

xncos

L

cnA

dxL

xmcosxudx

L

xmcos

L

xncosB

(Eq. 10.81)

O resultado da integral no lado esquerdo da Equação 10.81 foi demonstrado no

Apêndice 3, assim:

L

n

L

n

dxL

xmcosxu

cnA

dxL

xmcosxu

LB

0

1

0

0

)(2

)(2

(Eq. 10.82)

Logo a solução final do problema da corda com extremidades livres, pode ser

escrito como:

L

n

L

n

nnn

dxL

xmcosxu

LB

dxL

xmcosxu

cnA

L

xncos

L

ctncosB

L

ctnsenAtxu

0

0

0

1

0

)(2

)(2

),(

(Eq. 10.83)

Observa-se que a solução final possui uma forma semelhante ao problema da

corda com extremidades fixas (Eq. 9.36), porém os auto vetores dos sistemas

foram escritos com base na função cosseno.

135

11 – Equação de Conservação de Calor

As equações de conservação de calor são um tipo especial das leis de

conservação demonstradas no Capítulo 3, que pode ser resolvido utilizando as

séries de Fourier. A metodologia desenvolvida nesse capítulo é a mesma

desenvolvida no Capítulo 9.

11.1 – Condução de calor em uma barra de comprimento finito:

Para se modelar a condução de calor, primeiro deve ser lembrada a forma

diferencial da lei de conservação:

),( txfFu xt (Eq. 11.1)

A função ),( txF foi modelada como sendo o fluxo de uma propriedade através

do volume de controle. No caso da conservação de calor, o fluxo condutivo é

dado pela lei de Fourier, definida por:

x

TtxF

),( (Eq. 11.2)


),(. txfTT xxt (Eq. 11.3)

A equação 11.3 define a condução de calor em uma barra homogênea.

Considerando uma barra finita, e condições de contorno do tipo de Dirichlet, é

possível se escrever a seguinte equação:

2

1

0

),(

),0(

)()0,(

),(

TtLT

TtT

xTxT

txfTT xxt

,

0

),0(

t

Lx (Eq. 11.4)

Onde 1T e 2T são constantes. O primeiro passo para se resolver esse

problema é a construção de condições de contorno homogêneas, assim é

possível se escrever uma função ),( txw onde:

12 1),( TL

xT

L

xtxw

(Eq. 11.5)

Utilizando uma substituição de variáveis do tipo:

136

),(),(),( txwtxTtxu (Eq. 11.6)

Calculando as derivadas parciais:

),(),(),(),(

),(),(),(),(

txTtxwtxTtxu

txTtxwtxTtxu

xxxxxxxx

tttt (Eq. 11.7)

Calculando as condições de contorno:

0),(),(),(

0),0(),0(),0(

)()0,()0,()0,( 0

tLwtLTtLu

twtTtu

xuxwxTxu

(Eq. 11.8)

Dessa forma a Equação 11.4 fica escrita como:

0),(

0),0(

)()0,(

),(

0

tLu

tu

xuxu

txfuu xxt

,

0

),0(

t

Lx (Eq. 11.9)

Como a Equação 11.9 é linear, a solução pode ser dada pela combinação

linear de outras soluções, assim a solução pode ser escrita como:

),(),(),( 21 txutxutxu (Eq. 11.10)

Onde ),(1 txu é a solução dada sem o termo fonte, definida por:

0),(

0),0(

)()0,(

1

1

01

11

tLu

tu

xuxu

uu xxt

,

0

),0(

t

Lx (Eq. 11.11)

E ),(2 txu é a solução dada com o termo fonte, definida por:

0),(

0),0(

0)0,(

),(

2

2

2

22

tLu

tu

xu

txfuu xxt

,

0

),0(

t

Lx (Eq. 11.12)

137

11.2 – Solução da equação do calor sem termo fonte:

A solução da Equação 11.11 pode ser assumida como:

)()(),(1 tTxXtxu (Eq. 11.13)

Assim a Equação 11.11 pode ser escrita como:

)(

)(''

)(.

)('

xX

xX

tT

tT (Eq. 11.14)


0),(

0),0(

1

1

tLu

tu

0)()(

0)()0(

tTLX

tTX (Eq. 11.15)


0)(

0)0(

LX

X (Eq. 11.16)

Dessa forma, é possível construir o seguinte problema:

0)()0(

0)()(''

LXX

xXxX (Eq. 11.17)

A Equação 11.17 é o problema de Sturm-Liouiville associado ao problema de

condução de calor em uma barra metálica homogênea. A solução desse

problema foi deduzida no Tópico 9.1 e é dada por:

,

2

L

nn

,...3,2,1n (Eq. 11.18)

L

xnsenxX n

)( , ,....3,2,1n (Eq. 11.19)

Substituindo os autovalores encontrados na Equação 11.14:

0)(.)(' tTtT (Eq. 11.20)

A solução da Equação 11.20 é dada por:

tnn eAtT )( , ,....3,2,1n (Eq. 11.21)

138

tL

n

nn eAtT

2

)(

, ,....3,2,1n (Eq. 11.22)

Dessa forma a Solução 11.13 fica escrita como:

tL

n

nn eL

xnsenAtxu

2

),(1

, ,....3,2,1n (Eq. 11.23)

Como a Equação 11.11 é linear, sua solução é dada por combinação linear de

outras soluções, assim:

11

2

),(n

tL

n

n eL

xnsenAtxu

(Eq. 11.24)

A Equação 11.24 é a solução da Equação 11.11, o coeficiente nA pode ser

encontrado utilizando-se a condição inicial, assim:

101 )()0,(

nn

L

xnsenAxuxu

(Eq. 11.25)

Utilizando o princípio de ortogonalidade desenvolvido no Apêndice 3:

10 )(

nn

L

xnsenA

L

xmsenxu

L

xmsen

(Eq. 11.26)


pode ser incluída no operador somatório, dessa forma, integrando no intervalo

dado:

100

0 )(n

L

n

L

dxL

xmsen

L

xnsenAdxxu

L

xmsen

(Eq. 11.27)

O resultado da integral do lado direito foi deduzido no Apêndice 3, assim o

coeficiente nA é dado por:

dxxuL

xnsen

LA

L

n

0

0 )(2

(Eq. 11.28)

Por isso, a solução final do Problema 11.11 é dado por:

139

dxxuL

xnsen

LA

eL

xnsenAtxu

L

n

n

tL

n

n

0

0

11

)(2

),(

2

(Eq. 11.29)

11.3 – Solução da equação de calor considerando o termo fonte:

A equação de calor considerando o termo fonte é dada pela Equação 11.12,

para se resolver essa equação à solução será definida como:

)()(),(2 tTxXtxu (Eq. 11.30)

E o termo fonte será definido como:

)()(),( tFxXtxf (Eq. 11.31)

A função )(xX foi encontrada na solução do problema de Sturm-Liouiville

definido no Tópico 11.2, dada por:

L

xnsenxX n

)( , ,....3,2,1n (Eq. 11.32)

Dessa forma, a Equação 11.12 fica escrita como:

L

xnsentF

L

xnsentT

L

ntT

L

xnsen nn

)()()('

2

(Eq. 11.33)

Colocando a função seno em evidência:

0)()()('

2

tFtT

L

ntT

L

xnsen nn

(Eq. 11.34)

Utilizando a condição inicial:

0)0()()0,(2 TxXxu (Eq. 11.35)

Como buscamos soluções não triviais:

0)0( T (Eq. 11.36)

Dessa forma é possível se escrever a seguinte equação diferencial ordinária:

140

0)0(

)()()('

2

T

tFtTL

ntT nn

(Eq. 11.37)

Para se resolver a Equação 11.37 será utilizado o método dos fatores

integrantes, multiplicando a equação pelo fator integrante:

)()()(' tFetTetTe tn

tn

t (Eq. 11.38)

Onde

2

L

n (Eq. 11.39)


)()( tFetTedt

d tn

t (Eq. 11.40)

Resolvendo a equação:

cdttFetTe tn

t )(1

)(

(Eq. 11.41)

Substituindo a condição de contorno:

t

tn

t dttFetTe0

)(1

)(

(Eq. 11.42)

Finalmente:

t

tt

n dttFee

tT0

)()(

(Eq. 11.43)

A equação 11.43 pode ser reescrita como:

t

L

nt

n dFen

LtT

0

)(

2

2

)()(

2

(Eq. 11.44)

Substituindo a Equação 11.44 na Equação 11.30:

)()(),(2 tTxXtxu (Eq. 11.45)

141

L

xnsendFe

n

Ltxu

tL

nt

n

.)(),(0

)(

2

2

2

2

, ,....3,2,1n (Eq. 11.46)

Como a Equação da condução é linear:

1 0

)(

2

2

2 .)(),(

2

n

tL

nt

L

xnsendFe

n

Ltxu

(Eq. 11.47)

O termo fonte dado pela Equação 11.31 pode ser escrito como:

)(),( tFL

xnsentxf

(Eq. 11.48)

Utilizando as relações de ortogonalidade:

LL

dxL

xmsen

L

xnsentFdxtxf

L

xmsen

00

)(),(

(Eq. 11.49)

A integral do lado direito da equação foi resolvida no Apêndice 3, assim o termo

fonte é dado por:

L

dxtxfL

xnsen

LtF

0

),(2

)(

(Eq. 11.50)


1 0 0

)(

22 .),(2

),(

2

n

t LL

nt

L

xnsenddxxf

L

xnsene

n

Ltxu

(Eq. 11.51)

Que pode ser reescrita da seguinte forma:

t L

n

L

nt

ddfeL

nsen

L

xnsen

n

Ltxu

0 0 1

)(

22 ),(2

),(

2

(Eq. 11.52)

A Equação 11.52 representa a solução da conservação de calor em uma barra

finita e homogênea com a presença de um termo fonte. É possível escrever

essa solução com base na função de Green, dada pela seguinte forma:

142

ddftxGtxut L

),(,,),(0 0

2 (Eq. 11.53)

Onde:

1

)(

2

2

2),,(

n

L

nt

eL

nsen

L

xnsen

n

LtxG

(Eq. 11.54)

11.4 – Solução final da equação de calor:

No Tópico 11.1 foi definida a equação geral da conservação de calor, dada

pela Equação 11.4. Foi definida e seguinte substituição de variáveis:

),(),(),( txwtxTtxu (Eq. 11.55)

E foi definido que a função ),( txu podia ser escrita como:

),(),(),( 21 txutxutxu (Eq. 11.56)

No tópico 11.2 foi encontrada a solução da função ),(1 txu , dada pela Equação

11.29. No tópico 11.3 foi encontrada a solução da função ),(2 txu , dada pela

Equação 11.53. Agora para se encontrar a solução do problema inicial, pode se

reescrever a Equação 11.55 como:

),(),(),(),( 21 txutxutxwtxT (Eq. 11.57)

Logo, a solução formal da equação de calor em uma barra finita e homogênea

é dada por:

ddftxG

eL

xnsenAT

L

xT

L

xtxT

t L

n

tL

n

n

),(,,

1),(

0 0

112

2

(Eq. 11.58)

Onde:

143

1

)(

2

0

0

0

2

2),,(

)0,()0,()(

)(2

n

L

nt

L

n

eL

nsen

L

xnsen

n

LtxG

xwxTxu

dxxuL

xnsen

LA

(Eq. 11.59)

Exemplo 11.1:

Considere uma barra de 50 cm, inicialmente a 200 °C. Essa barra possui as

extremidades isoladas e a 30°C, e condutividade térmica 2 . Escrever e

plotar a solução para a condução de calor no interior da barra.

Solução:

O Exemplo 11.1 pode ser modelado segundo a seguinte equação:

30),50(

30),0(

200)0,(

2

tT

tT

xT

TT xxt

,

0

)50,0(

t

x (Eq. 11.60)

A solução dessa equação é dada pela Equação 11.58, onde:

0),( f (Eq. 11.61)


112

2

1),(n

tL

n

n eL

xnsenAT

L

xT

L

xtxT

(Eq. 11.62)

Substituindo os dados do problema:

1

502

2

5030),(

n

tn

n exn

senAtxT

(Eq. 11.63)

Calculando o coeficiente nA :

144

)0,()0,()(

)(2

0

0

0

xwxTxu

dxxuL

xnsen

LA

L

n

(Eq. 11.64)

17030200)(

)(2

0

0

0

xu

dxxuL

xnsen

LA

L

n

(Eq. 11.65)

dxxn

senAL

n

0505

34 (Eq. 11.66)

50

0

50

505

34

n

xncosAn (Eq. 11.67)

ncosn

An 1340

(Eq. 11.68)

nn

nA )1(1

340

(Eq. 11.69)

Dessa forma, a solução é definida como:

1

502

2

50)1(1

34030),(

n

tn

n exn

senn

txT

(Eq. 11.70)

Figura 11.1: Distribuição de temperatura na barra do Exemplo 1.

145

A Figura 11.1 mostra a distribuição de temperatura para a barra do Exemplo

11.1, dada pela Equação 11.70, plotado para alguns valores diferentes de

tempo. É possível ver a dissipação de calor na barra, e a estabilização da

temperatura da mesma.

146

Referências Bibliográficas

Boas, M. L., Mathematical Methods in the Phsical Sciences, John Wiley &

Sons, 1983.

Boyce, W. E., DiPrima, R. C., “Elementary Differential Equations and Boundary

Value Problems”, Seventh Edition, John Wiley & Sons, 2001.

Farlow, S., “Partial Differencial Equations for Scientists and Engineers”, Dover

Publications, New York, 1993.

Figueiredo, D. G., “Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais”, IMPA,

1977.

Knobel, R., “An Introduction to the Mathematical Theory of Waves”, American

Mathematical Society, 1999.

Spiegel, M. R., “Análise de Fourier”, McGraw-Hill, 1976.

Whitham, G.B., “Linear and Nonlinear Waves”, John Wiley & Sons, 1976.

147

Apêndice 1: Derivadas parciais e regra da cadeia para funções

dependentes de várias variáveis

A1.1 – Derivadas parciais

As derivadas parciais descrevem um papel importante quando calculamos

funções dependentes de várias variáveis, sendo o sentimento físico de uma

derivada parcial o de se calcular a inclinação da superfície no sentido em que

se está derivando.

As notações mais comuns utilizadas são:

yx

u

2

(Eq. A1.1)

onde se lê derivada da função ),( yxu em relação a y e em relação a x .

Observa-se que nessa notação as derivadas ocorrem da direita para a

esquerda. Existe também uma segunda notação que simplifica a escrita para

cálculos muito extensos:

yxuyx

u

2

(Eq. A1.2)

observa-se agora que o sentido de leitura dessa segunda notação é da

esquerda para a direita.

O seguinte teorema enunciado a seguir, implica que o sentido de leitura da

derivada não influencia no valor final para funções contínuas:

Teorema A1.1: “Comutatividade da Derivada Parcial”

Seja 2),( Ryxu , sendo que ),( yxu é uma função de classe

2C , (

),( yxu admite derivadas de segunda ordem contínuas e possui todas as

derivadas contínuas), definida em um subconjunto 2R contínuo, então:

xy

u

yx

u

22

(Eq. A1.3)

A demonstração desse teorema pode ser encontrada em livros de cálculo, e

suas implicações (comutatividade) podem ser estendidas para derivadas de

qualquer ordem.

148

A1.2 – Regra da cadeia para funções de várias variáveis

Esse tópico será iniciado relembrando os conceitos da regra da cadeia. A

derivada de uma função ))(( xgf é dada por:

dx

dg

dg

gdfxgf

)())((' (Eq. A1.4)

Exemplo:

Calcular a derivada em relação a x da seguinte função:

)2()( 2 xxxf (Eq. A1.5)

Resolução:

Definem-se as seguintes funções compostas:

xxxg

xgxgf

2)(

)())((

2 (Eq. A1.6)

Utilizando-se a Equação A1.4:

dx

dg

dg

xgdfxgf

))(())(('

)22.()(2

1))((' x

xgxgf

Então:

)2(2

)22())(('

2 xx

xxgf

(Eq. A1.7)

Teorema A1.2: “Regra da Cadeia para funções de n variáveis e um

parâmetro”

Dada uma função ),...,,,( 321 nxxxxf onde )(txx ii ),...,2,1( ni , temos

que:

149

t

x

x

f

t

x

x

f

t

x

x

f

t

x

x

f

dt

df n

n

...3

3

2

2

1

1

(Eq. A1.8)

Exemplo:

Calcular a derivada de yzxzyxf .),,( , onde ttx )( , 2)( tty e

ttz 2)( com relação à t :

Resolução:

Utilizando a Equação A1.8:

t

z

z

f

t

y

y

f

t

x

x

f

dt

zyxdf

),,(

)2)(()2).(()1).(1(),,(

ytzdt

zyxdf

)2)(()2).(2(1),,( 2ttt

dt

zyxdf

261),,(

tdt

zyxdf (Eq. A1.9)

Teorema A1.3: “Regra da Cadeia para funções de n variáveis e m

parâmetros”

Dada uma função ),...,,,( 321 nxxxxf onde ),...,,,( 321 mii ttttxx

),...,2,1( ni , temos que:

n

i j

i

ij t

x

x

f

dt

df

1

(Eq. A1.10)

Exemplo 1:

Calcular a derivada de yxyxf .),( , onde vuvux .),( , )(),( 2 vsenuvuy

com relação à u :

Resolução:

Utilizando a Equação A1.10:

150

u

y

y

f

u

x

x

f

du

df

))(.2).(()).(( vsenuxvydu

df

))(.2).(.())).((( 2 vsenuvuvvsenudu

df

)(..3 2 vsenvudu

df (Eq. A1.11)

Exemplo 2:

Considere a função ),( yxf , onde ),( vuxx e ),( vuyy , Calcule:

a) uuf

b) uvf

Resolução da Letra a):

Calculando a derivada da função ),( yxf em relação à u :

u

y

y

f

u

x

x

f

du

df

uyuxu yfxff

Calculando a derivada segunda da função ),( yxf em relação à u :

u

y

y

f

uu

x

x

f

udu

fd2

2

Podendo ser escrita como:

uyux yfu

xfudu

fd

2

2

Utilizando a regra do produto:

uuyuyuuxux yfyfu

xfxfudu

fd

)).(()).((

2

2

151

Observe que as funções derivadas definidas por xf e yf também são funções

que dependem das variáveis ),( yx , assim para calcularmos a derivada parcial,

devemos utilizar novamente o conceito de regra da cadeia, assim:

uuyu

yy

uuxuxx

uu yfyu

y

y

f

u

x

x

fxfx

u

y

y

f

u

x

x

ff

..

uuyuuyyuyxuuxuuxyuxxuu yfyyfxfxfxyfxff ..

uuyuuxuuxyuyyuxxuu yfxfyxfyfxff 222

uuyuuxuuxyuyyuxxuu yfxfyxfyfxff 222 (Eq. A1.12)

Resolução da Letra b):

Calculando a derivada da função ),( yxf em relação à u :

uyuxu yfxff

Calculando a derivada de uf em relação à v :

uyuxuv yfv

xfv

f

Novamente utilizando a regra do produto e a regra da cadeia:

uvyuyuvxuxuv yfyfv

xfxfv

f

).().(

uvyuvyyvyxuvxuvxyvxxuv yfyyfxfxfxyfxff ).().(

Assim:

uvyuvxuvxyvuxyuvyyuvxxuv yfxfyxfyxfyyfxxff (Eq. A1.13)

152

Apêndice 2: Solução alternativa da equação da onda

No Tópico 2.3 foi discutido a solução clássica da equação da onda, obtida por

Jean le Rond d'Alembert, nesse tópico será discutida uma solução geral de

uma forma mais simples e eficiente, utilizando operações lineares sobre os

operadores diferenciais.

O problema da solução da equação da onda consiste em encontrar a solução

da seguinte equação:

constantec

ucu xxtt2

t

x

0 “EDP Hiperbólica” (Eq. A2.1)

A Equação A2.1 pode ser escrita da seguinte forma:

02 xxtt ucu (Eq. A2.2)

ou utilizando operadores diferenciais:

02

22

2

2

x

uc

t

u (Eq. A2.3)

Considerando que operadores diferenciais são de fato operadores lineares,

onde a demonstração está fora do escopo desse livro, pode-se escrever a

Equação A2.3 da seguinte forma:

0

u

xc

txc

t (Eq. A2.4)

assim têm-se que a Equação A2.4 é válida se e somente se:

0

x

uc

t

u (Eq. A2.5)

ou

0

x

uc

t

u (Eq A2.6)

que são as equações da advecção para a esquerda e para a direita. A solução

dessas equações é feita utilizando-se o método das características, e é

descrita com mais detalhes no Capítulo 3, sendo escrita como:

)(),( ctxftxu (Eq. A2.7)

153

)(),( ctxgtxu (Eq. A2.8)

Assim a solução geral da Equação A2.1 é dada pela soma das Equações A2.7

e A2.8:

)()(),( ctxgctxftxu (Eq. A2.9)

Que é a mesma solução demonstrada no Tópico 2.3.

154

Apêndice 3: Ortogonalidade de Funções

Na álgebra linear o produto interno de dois vetores bidimensionais é dado por:

yyxx vuvuvu , (Eq. A3.1)

Adotando uma notação indexada:

2211, vuvuvu (Eq. A3.2)

Estendendo essa notação para vetores tridimensionais:

332211, vuvuvuvu (Eq. A3.3)

De forma análoga, se o vetor possuir um tamanho n , o produto interno é dado

por:

n

iiivuvu

1

, (Eq. A3.4)

Agora, se substituirmos os vetores por funções contínuas no domínio, o

produto interno de duas funções pode ser definido como:

b

a

dxxgxfxgxf )()()(),( (Eq. A3.5)

A Equação A3.5 define produto interno de duas funções contínuas. Por

definição, dois vetores são ditos ortogonais se são perpendiculares entre si, ou

seja, se o produto interno entre eles for nulo. De forma análoga, duas funções

são ditas ortogonais se:

0)(),( xgxf (Eq. A3.6)

A3.1 – Ortogonalidade de funções do tipo seno:

Agora que foi apresentado o conceito de ortogonalidade de funções, vamos

definir as seguintes funções:

L

xnsenxf

)( (Eq. A3.7)

155

L

xmsenxg

)( (Eq. A3.8)

As funções definidas são as mesmas deduzidas no Capítulo 9, quando se

estuda a propagação de ondas em meios finitos. O estudo dessas funções é

denominado análise de Fourier, onde Joseph Fourier no século 19 contribui

com os principais estudos dessa área. Aplicando o produto interno dessas

funções em um domínio finito dado por ),0( Lx :

L

dxL

xmsen

L

xnsenxgxf

0

)(),(

(Eq. A3.9)

Existem duas situações diferentes na integral acima:

i. nm

Nessa situação a Equação A3.9 pode ser escrita como:

L

dxL

xmsenxgxf

0

2)(),(

(Eq. A3.10)


L

dxL

xmcosxgxf

0

21

2

1)(),(

(Eq. A3.11)

Integrando:

L

m

L

L

xmsenxxgxf

02

2

2

1)(),(

(Eq. A3.12)

Enfim,

2)(),(

Lxgxf (Eq. A3.13)

ii. nm

Nessa forma a Equação A3.9 pode ser escrita como sendo:

156

L

dxL

xmsen

L

xnsenxgxf

0

)(),(

(Eq. A3.14)


L

dxL

xmncos

L

xmncosxgxf

0

)()(

2

1)(),(

(Eq. A3.15)

Integrando a Equação A3.15:

L

L

xmnsen

m)(n

L

L

xmnsen

m)-(n

Lxgxf

0

)()(

2

1)(),(

(Eq. A3.15)

Substituindo os valores, é possível verificar que:

0)(),( xgxf (Eq. A3.16)

Dessa forma, foi deduzida a propriedade de ortogonalidade da função seno:

L

nm

nmL

dxL

xmsen

L

xnsen

0 ,0

,2

(Eq. A3.17)

A3.2 – Ortogonalidade de funções do tipo cosseno:

De forma análoga ao que foi feito para a função seno, é possível definir a

seguinte função cosseno:

L

xncosxf

)( (Eq. A3.18)

E formar o seguinte produto interno no domínio finito dado por ),0( Lx :

L

dxL

xmcos

L

xncosxgxf

0

)(),(

(Eq. A3.19)

Para se resolve essa integral é necessário analisar dois casos distintos:

i. nm

157

Nesse caso:

L2 dx

L

xncosxgxf

0

)(),(

(Eq. A3.20)

Utilizando uma substituição trigonométrica:

L2 dx

L

xnsen-1xgxf

0

)(),(

(Eq. A3.21)

Essa integral foi resolvida no caso seno, e possui a seguinte solução:

L

L

xmsen

m

Lxxgxf

0

2

42)(),(

(Eq. A3.22)

2)(),(

Lxgxf (Eq. A3.23)

ii. nm

Nesse caso a Equação A3.19 fica escrita como:

L

dxL

xmcos

L

xncosxgxf

0

)(),(

(Eq. A3.24)

Utilizando uma substituição trigonométrica, a Equação A3.24 pode ser escrita

da seguinte forma:

L

dxL

xmncos

L

xmncosxgxf

0

)()(

2

1)(),(

(Eq. A3.25)

Resolvendo a integral:

L

L

xmnsen

mn

L

L

xmnsen

mn

Lxgxf

0

)(

)(

)(

)(2

1)(),(

(Eq. A3.26)

Substituindo os valores, encontra-se o seguinte valor:

158

0)(),( xgxf (Eq. A3.27)

Assim, combinando as Equações A3.23 e A3.27, encontra-se a relação de

ortogonalidade da função cosseno.

L

nm

nmL

dxL

xmcos

L

xncos

0 ,0

,2

(Eq. A3.28)

Technology

Apostila elementos de matemática aplicada