Departamento de Engenharia Mecânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Universidade de Coimbra

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Luis Adriano Oliveira

Introdução – Conceitos Fundamentais

Mecânica: Estática, Cinemática, Dinâmica

Fluido: Substância que não oferece resistência finita a deformaçõestangenciais (mas resiste à velocidade de deformação). Uma vez retirada a solicitação, permanece a deformação.

Mecânica dos Fluidos: Estuda os fluidos em repouso ou em movim.,para determinar os respectivos efeitos sobre as fronteiras.

Relevância prática: 75% da Terra coberta por água, 100% por ar !

Domínios de aplicação:

- Transportes (aerodinâmica, hidrodinâmica)- Energia (produção, utilização): bombas, turbinas- Combustão- Lubrificação- Biofísica (Aparelhos respiratório, circulatório)- Meteorologia, Oceanografia, ...

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Sólido - Líquido - Gás

Propriedades de uma substância: consequência directa da sua estrutura molecular.

Molécula - campo de forças de natureza quântica - d0=O(10-8cm)

Estado da matéria:

- Sólido:

- Líquido:

- Gás:

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Distância média d entre moléculasLivre percurso médio ∆d

0 0d d ; d d≈ ∆ <<

0 0d 3a 4d ; d d≈ ∆ ≈

0 0d d ; d d>> ∆ >>

Hipótese do Continuum

Fluido:moléculas << distância que as separa (essencialm/ vácuo)

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Experimental:Resoluções espacial e temporal macroscópicas

Teoria:Funções contínuas ( deriváveis, integráveis)∴

Hipótese do Continuum: Variação contínua das propriedades

Ponto elemento de volume ∆v∆v>>(d0)3; ∆v<<(L)3

Mecânica dos Fluidos

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- Definição do problema físico (domínio, condições de fronteira)

- via experimental

- via teórica

Abordagem típica de um problema:

- Definição do modelo físico (hipóteses simplificadoras)

- Modelo matemático (equações, condições de fecho matemático)

- Resolução (variáveis dependentes em função das independentes)

- Verificação experimental (“validação”)

Objectivo:conhecer distribuições temporal e espacial de incógnitas-chave

Incógnitas

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- conservação de massa (“continuidade”)

- três componentes da velocidade (u,v,w)

- duas propriedades de estado (p,ρ) , (p,T), ...

Leis básicas:

Em resumo: 5 equações para 5 incógnitas (+ condições limites)

2.ª lei da Termodinâmica condiciona o sentido das transferências

- conservação de quantidade de movimento (F ma)=

- conservação de energia (1.ª lei da Termodinâmica)

+ incógnitas + equações (eq. Estado, p.e.)

Leis básicas7- eq. Integrais (resultados globais: forças, etc.)

- eq. Diferenciais (distribuições: u, v, T, p, …)

Via experimental Análise dimensional- protótipo- modelo (escala)- eq. empíricas

Hipóteses da partida:(globais ou locais)

te te/ t 0, 0, c. , T c. , ...∂ ∂ = µ = ρ = =

Representação gráfica de um escoamento (linhas típicas):

- Linha de corrente (tangente, em cada ponto e instante, a )V- Trajectória (linha seguida por uma partícula ao longo do tempo)- Linha de emissão (linha formada pelo conjunto de partículas que, em

instantes anteriores, passaram por um dado ponto - visualização)/ t 0 linhas∂ ∂ = ⇒ ≡

Dois pontos de vista: Euler, Lagrange

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- Descrição de Lagrange: T=T(t), segue-se a partícula

- Descrição de Euler: T=T(x,y,z,t), referencial de observação fixo

Leis básicas directam/ aplicáveis a sistemas

Mec. Fluidos: sistema + VC (predomina)

- Sistema Lagrange (matéria c.te)

- Volume de Controlo (VC) Euler (pos. fixa, matéria evolui)

Fund.tal relacionar

Derivada substancial ( ou Material) 9

Exemplo: gota de tinta não miscível em água (ζ : concentração de cor)

( )Seja (x, y, z, t) ou (x, y, z, t)ζ ζ uma propriedade de variação contínua:

D x y z u v wDt t x t y t z t t x y z

ζ ∂ζ ∂ζ ∂ ∂ζ ∂ ∂ζ ∂ ∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂ζ= + + + = + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

local advectivaDerivada definida num instante e num ponto

D 0Dt

ζ=

M M MMu v w

t x y z⎛ ⎞∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂ζ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )Ex.: a DV / Dt=

Lagrange:

Euler (ponto fixo M):

( Concentração não varia )

Caudal volúmico e caudal mássico de um escoamento 10

Quant. de fluido que, por unidade de tempo, atravessa uma superfície

“atravessa”- Velocidade

- Apenas contribui componente de paralela a

V

V n̂

ˆdA ndA= n̂ 1=

n̂ V dQ V.dA (dim ensoes)⇒ =

ˆ ˆcos (n,V) 1 dQ (V.n)dA V.dA.cos≠ ⇒ = = θ

s s sˆQ dQ V.dA (V.n)dA= = =∫ ∫ ∫

sA dA= ∫

sˆdm .dQ m (V.n)dA= ρ ⇒ = ρ∫

s

s

ˆ(V.n)dAQVA dA

= =∫

∫

V V=

Propriedades Termodinâmicas de um Fluido 11

Descrevem o estado de um sistema

Termostática- Estática

- Equilíbrio Mec. Fluidos: + Movimento

Mec. Fluidos: noção de equilíbrio permanece válida

- As três mais frequentes: p, ρ, T ( é uma propr. cinemática)V

- Propr. de transporte (permeabilidades): µ, k, D

- Para balanços energéticos: v pv p

p dQ dQˆe, h u , s, C , CdT dT

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Termod.: (energia da actividade molecular + forças de ligação)ˆe u≡

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Mec. Fluidos: movimento, conta a posição :

Resistência à veloc. de escorregamento entre 2 camadas adjacentes

( )21 energiaˆe u V g.r2 massa

⎡ ⎤= + + − ⎢ ⎥⎣ ⎦

r

cinética potencial

Estado definido por duas propr. Termod. (eq. Estado determina restantes)

(ambas propr. cinemáticas)

Viscosidade

Tensão: (τ)M Taxa de deformação: (du/dy)M

xu

u+duU

dy

y

L

u

u+du

dydx

dx

13Viscosidade (continuação)

Newton postulou: ( )MM

dudy

⎛ ⎞τ = µ⎜ ⎟

⎝ ⎠µ : viscosidade dinâmica

m(u+δu)

mu

µ constante: fluido “Newtoniano” τ=0µ=0

u 0y

∂=

∂

[ ] [ ][ ]

[ ]2 1

2 2 2F muMLT MLTS L L T L T

− −τ = = = =

⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] 2 1 1FTL ML T− − −µ = = CGS: Poise

µν =

ρν : viscosidade cinemática [ ] 2 1L T−ν = CGS: Stoke

14Analogia Newton - Fourier - Fick

( )pd c Tq

dy

ρ= −α A

Adj Ddyρ

= −

τ : densidade de fluxo de quantidade de movimento

q : densidade de fluxo de calor

jA : densidade de fluxo de massa (mistura monofásica)

ν , α , D : permeabilidades ao transporte difusivo (molecular)

d( u)dyρ

τ = ν

[ν] , [α] , [D] : L2T-1

fluxos gradientes de concentração

15Pressão de vapor

Se escoamento originar localmente p < pv cavitação

Superfície livre de um líquido vapor

espaço aberto à atmosfera evaporação contínua

espaço fechado evaporação pára quando vapor saturar

Pressão de vapor: pressão de equilíbrio (líquido,vapor) em esp. fechado

pv : função crescente da temperatura (água, 0ºC): 0.611 KN/m2

16Tensão superficial

Superfície livre:“membrana” sob tensão

F

c

1,2F F.c Energiac c.c sup erf .

γ = = =

Raramente determinante em aplicações correntes

Tensão superficial:

F c∝

17Capilaridade

Aderência: atracção molecular entre fluido e sólido limítrofe, na presença de um terceiro meio

Coesão vs aderência curvatura de sup. livre

Água “molha” vidro, mercúrio não