Departamento de Engenharia Mecânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Universidade de Coimbra

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Luis Adriano Oliveira

Relações Diferenciais Aplicadas a um Elemento de Fluido

Relações Diferenciais Aplicadas a um Elemento de Fluido

Equações diferenciais e integrais: origem comum nas Leis Básicas.Conteúdo informativo análogo (embora domínios espaciais distintos)

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Equações Integrais podem obter-se :- via aplicação das leis básicas a um VC ( cf. Cap. III ) ;- via integração, a um VC, das equações diferenciais.

Equações Diferenciais podem obter-se :- por aplicação das leis básicas a um elemento de fluido (sistema) ;- por dedução formal matemática, partindo da formulação integral ;- por aplicação directa a um VC elementar da formulação integral :

( )VC SCDN ˆdv V.n dADt t

∂= ηρ + ηρ

∂ ∫∫∫ ∫∫

Equação Diferencial da Continuidade 3

Partindo da integral, por dedução formal:

( ) ( )

( )SC VC VC VC

ˆV.n dA dv div V dv dvt t

Ddiv V 0 V.grad divV 0 divV 0t t Dt

∂ ∂ρ = − ρ ⇒ ρ = − ρ ⇒

∂ ∂∂ρ ∂ρ ρ

+ ρ = ⇒ + ρ+ρ = ⇒ +ρ =∂ ∂

∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

[ ][ ]

MassaVolume.Tempo

(Balanço, por unidades de volume e de tempo, entre amatéria que entra e que sai, e a variação de densidade)

Fluido incompressível : tec. div V 0ρ = ⇒ =

u v2 D :x y∂ ∂

− = −∂ ∂

T. Gauss

Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) 4

Como relacionar com o campo de velocidade?

A caracterização do estado de tensão num ponto é dada peloconhecimento do estado de tensão em três faces infinitesimais

ortogonais que se intersectam nesse ponto

( ) c sVunid. vol. : f a V.grad V f ft

∂= ρ ⇒ ρ +ρ = +

∂

sf

Pressão (tensões normais): pf gradp= − (força “líquida”/un. Vol.)

Factor novo: atrito (origina tensões normais e tangenciais)

Tensor das tensões : 9 componentes ijσ

Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) 5

(Invariante do tensor)

τ : tensões originadas pelo atrito

ij

xx yx zx

xy yy zy

xz yz zz

σ σ σ

σ = σ σ σ

σ σ σ

( )xx yy zz1I3

= − σ +σ +σ

iiτ : desvios (de p) dos termos diagonais

xx yy zzSe 0 (Stokes) entao I pτ + τ + τ = ≡

ij

xx yx zx

xy yy zy

xz yz zz

p

p

p

− + τ τ τ

σ = τ − + τ τ

τ τ − + τ

O tensor das tensões é simétrico : τij = τji

Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) 6

Força “líquida” /xx sobre as faces de um elemento de fluido (p + τ) :

para un. vol. e por analogia:

xxdydzσ

xxxx dx dydz

x∂σ σ + ∂

yxyx dy dxdz

y∂σ

σ + ∂

zxdxdyσ

yxdxdzσ

zxzx dz dxdy

z∂σ σ + ∂

dz

dy

dx

x

yxxx zxs

yxxx zx

df dxdydzx y z

p dxdydzx x y z

∂σ ∂σ ∂σ= + + = ∂ ∂ ∂

∂τ ∂ ∂τ ∂τ= − + + + ∂ ∂ ∂ ∂

x

y

z

yxxx zxs

xy yy zys

yzxz zzs

pfx x y z

pfy x y z

pfz x y z

∂τ∂ ∂τ ∂τ= − + + +

∂ ∂ ∂ ∂∂τ ∂τ ∂τ∂

= − + + +∂ ∂ ∂ ∂

∂τ∂ ∂τ ∂τ= − + + +

∂ ∂ ∂ ∂Falta relacionar τij com V

Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) 7

- Estado de tensão taxa de deformação (campo de vel.)

A deform. de um elem. depende do mov. relativo de dois dos seus pontos

O conhecimento do campo de veloc. permite caracterizar a taxa de def. em qq. ponto

- Relação entre ambos só pode ser estabelecida por via empírica

Deve notar-se:

Pode admitir-se:

- A relação é linear (fluido Newtoneano)

- Não depende da direcção considerada (fluido isotrópico)

Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) 8

I) - Deformação linearseja:

Casos típicos:

Taxa de elongação relativa /x :

u0 , 0y x∂ ∂= >

∂ ∂x

yu dxdtx∂∂

dx

u / x∂ ∂

Taxa de dilatação volumétrica relativa :

u v wdx dxdt dy dydt dz dzdt dxdydzx y z

dxdydzdtu v w divVx y z

∂ ∂ ∂ + + + − ∂ ∂ ∂ =

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂(=0, se fluido incompressível)

Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) 9

II) - Deformação angularseja:

Casos típicos:

Deformação angular:

0 , 0y x∂ ∂≠ =

∂ ∂x

y

∆θ

dx

( )u / y dydttg

dy∂ ∂

∆θ ≅ ∆θ = Taxa =

dy

u dydty∂∂

uy∂∂

seja:0 , 0

y x∂ ∂≠ ≠

∂ ∂ dy

dx

u dydty∂∂

v dxdtx∂∂

Taxa de def. no plano xy: u vy x∂ ∂

+∂ ∂

(análogo nos planos xz e yz)

Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) 10

III) - Rotaçãoseja:

Casos típicos:

u v u v 0y x y x∂ ∂ ∂ ∂

= − ∴ + =∂ ∂ ∂ ∂

x

y

β

u dydty∂∂

Mas ocorreu rotação, de velocidade angular . No plano xy:v dxdt v uxtg

dt dt dxdt x y

1 v u2 x y

∂ β β ∂ ∂∂≅ = = = − ∂ ∂

∂ ∂∴ − ∂ ∂

v dxdtx∂∂

(deformação angular nula)

Velocidade angularde rotação no plano xy

(análogo nos planos xz e yz)

Ω

1 rotV2

Ω =

Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) 11

I) - Deformação linear deformação volumétrica

No movimento geral de um elemento de fluido:

u , ...x∂

∂ II) - Deformação angular u v , ...

y x ∂ ∂

+ ∂ ∂

III) - Rotação pura 1 v u , ...2 x y ∂ ∂

− ∂ ∂

IV) - Translação (u,v,w)

Apenas I e II originam deformações tensões a juntar à pressão

Considerando empirismo, linearidade e isotropia, postula-se, então:

Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) 12

xx xy

yy yz

zz zx

u v udivV 2x x y

v w vdivV 2y y z

w u wdivV 2z z x

∂ ∂ ∂τ = λ + µ τ = µ + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂τ = λ + µ τ = µ + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ τ = λ + µ τ = µ + ∂ ∂ ∂

Hipótese de Stokes :

, : coef . isotro picosde proporcionalidade

′µ λ

23

λ = − µ

xx yy zz 0τ + τ + τ = I = p (q.e.d.)

Ponto da situação : ( )s sDV g f com : f grad p G VDt

ρ = ρ + =− +

Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (conclusão) 13

( )DV grad p g G VDt

ρ = − +ρ +

x

y

u p u 2 u v u wV.gradu g 2 divVt x x x 3 y y x z z x

v p v 2 v wV.gradv g 2 divVt y y y 3 z z y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ + = − + ρ + µ − + µ + + µ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ + = − + ρ + µ − + µ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

z

v ux x y

w p w 2 w u w vV.gradw g 2 divVt z z z 3 x x z y y z

∂ ∂ ∂+ µ + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ + = − + ρ + µ − + µ + + µ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂