BRUNIBRUNICapítuloCapítulo

Juros SimplesJuros Simples

Matemática Financeira

Adriano Leal Brunialbruni@minhasaulas.com.br

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CAPÍTULO 5CAPÍTULO 5

CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2

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BRUNIBRUNIConceito de juros simplesConceito de juros simples

Juros sempre Juros sempre

incidem sobre incidem sobre

o o

VALOR VALOR

PRESENTEPRESENTE

BRUNIBRUNIPreste atenção!!!Preste atenção!!!

EmpréstimoEmpréstimo Valor atual na data Valor atual na data

zero igual a $100,00zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p.Taxa igual a 10% a.p.

Considere Considere juros juros simplessimples

BRUNIBRUNIJuros simplesJuros simples

nn JurosJuros VFVF FórmulaFórmula

0 - 100,00 VF=VP

1 10,00 110,00 VF=VP + i.VP10% x $100

2 10,00 120,00 VF=VP + i.VP + i.VP10% x $100

n i.VP VF VF=VP (1+ i.n)

Juros simples sempreincidem sobre valor presente

BRUNIBRUNIFórmula dos juros simplesFórmula dos juros simples

VF=VP (1+ i.n)Devem estar

em uma mesmabase!!!

Como a taxa é sagrada,ajusta-se o valor de n

BRUNIBRUNIAbreviaturas nas taxas Abreviaturas nas taxas

Abreviatura Significado

a.d. ao dia

a.d.u. ao dia útil

a.m. ao mês

a.m.o. ao mês over

a.b. ao bimestre

a.t. ao trimestre

a.q. ao quadrimestre

a.s. ao semestre

a.a. ao ano

a.a.o. ao ano over

BRUNIBRUNICuidado com os anosCuidado com os anos

ano civil ou exatoano civil ou exatoformado por 365 formado por 365

dias;dias;ano comercialano comercial

formado por 360 formado por 360 dias.dias.

BRUNIBRUNIExemplo AExemplo A

Uma aplicação de $500,00 Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do 5% am. Qual o valor do resgate?resgate?

VFVF

-500-500

8 meses8 meses00

i = 5% a.m.i = 5% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)VF = 500 (1+0,05 x 8)VF = 500 (1+0,05 x 8)

VF = 700VF = 700

BRUNIBRUNICaracterísticas dos juros Características dos juros simplessimples

Valor uniforme dos Valor uniforme dos juros períodicosjuros períodicos

Valor futuro cresce Valor futuro cresce linearmentelinearmente

Capitalização LinearCapitalização Linear

Valor Futuro

Tempo

VP

BRUNIBRUNIExercícios de …Exercícios de …

Sala!Sala!

BRUNIBRUNIExemplo BExemplo B

Sabina precisará de Sabina precisará de $1.200,00 em dez meses. $1.200,00 em dez meses. Quanto deverá aplicar hoje Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia para ter a quantia desejada? Considere uma desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am taxa simples igual a 5% am

1.200,001.200,00

-VP-VP

10 meses10 meses00

i = 5% a.m.i = 5% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)1200 = VP (1+0,05 x 10)1200 = VP (1+0,05 x 10)

VP = 800VP = 800

BRUNIBRUNIExemplo CExemplo C

Neco aplicou $8.000,00 por Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e recebeu seis meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente Qual a taxa mensal vigente na operação?na operação?

10.400,0010.400,00

-8000-8000

6 meses6 meses00

i = ?i = ?

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)10400 = 8000 (1+i x 6)10400 = 8000 (1+i x 6)

i = 5%i = 5%

BRUNIBRUNIExemplo DExemplo D

A aplicação de $9.000,00 a A aplicação de $9.000,00 a uma taxa simples igual a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação? em meses dessa operação?

11.700,0011.700,00

-9000-9000

n=?n=?00

i = 6% a.m.i = 6% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)11700 = 9000 (1+0,06 x n)11700 = 9000 (1+0,06 x n)

n = 5n = 5

BRUNIBRUNIImportante!!!Importante!!!

Taxas são Taxas são sagradas!!!sagradas!!!

BRUNIBRUNIExemplo EExemplo E

Calcule o valor futuro de Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 uma aplicação de $500,00

por 24 meses a 8% a.a.por 24 meses a 8% a.a.

-$500,00

0

24

VF

Taxa anual !!!

n em anosX

24 meses = 2 anos2 anos

BRUNIBRUNIAlterando o prazo …Alterando o prazo …

VF=VP (1+ i.n)

VF=500 (1+ 0,08.2)

VF=$580,00

BRUNIBRUNIDescontando em …Descontando em …

Juros Juros simples por simples por

dentrodentro

BRUNIBRUNIDesconto Racional Simples Desconto Racional Simples

Aplicar a fórmula dos Aplicar a fórmula dos juros simples para juros simples para calcular o valor presentecalcular o valor presente

Descontar significa extrair Descontar significa extrair os juros do valor futuro os juros do valor futuro para obter o valor para obter o valor presentepresente

Cuidado!!! Depois Cuidado!!! Depois veremos o descontoveremos o desconto

COMERCIALCOMERCIAL

BRUNIBRUNIDa fórmula dos juros simplesDa fórmula dos juros simples

VF = VP (1 + i.n)VF = VP (1 + i.n)

Como se deseja obter VPComo se deseja obter VP

niVF

VP

1

(1+in)(1+in)

BRUNIBRUNIExemplo FExemplo F

Uma empresa precisa descontar Uma empresa precisa descontar racionalmente ou por dentro uma racionalmente ou por dentro uma duplicata com valor nominal de duplicata com valor nominal de $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o desconto?desconto?

VP

0 2

-$4.400,00-$4.400,00

Valor PresenteValor PresenteJurosJuros

VP = VF/ (1+i.n)VP = VF/ (1+i.n)

VP = 4400/(1+0,05.2)VP = 4400/(1+0,05.2)

VP = 4000VP = 4000

D = 4400-4000D = 4400-4000

D = 400D = 400Valor FuturoValor Futuro

BRUNIBRUNITaxa efetivaTaxa efetiva

É aquela que É aquela que incide sobre o incide sobre o valor presente valor presente no processo de no processo de capitalização. capitalização.

BRUNIBRUNIExemplo GExemplo G

Ao antecipar em 30 dias o Ao antecipar em 30 dias o

recebimento de uma conta a recebimento de uma conta a

receber no valor de receber no valor de

$15.000,00, a Cia Cava Cava $15.000,00, a Cia Cava Cava

S. A. sofreu um desconto S. A. sofreu um desconto

igual a 1/3 (33,3333%) do igual a 1/3 (33,3333%) do

valor nominal. Calcule a taxa valor nominal. Calcule a taxa

efetiva mensal da operação.efetiva mensal da operação.

Taxa por fora = 33,3333%Taxa por fora = 33,3333%

BRUNIBRUNITaxa efetiva no DFC!Taxa efetiva no DFC!

$10.000,00

0 1

-$15.000,00-$15.000,00

Desconto = 1/3 de $15.000,00Desconto = 1/3 de $15.000,00

Desconto = $5.000,00Desconto = $5.000,00

Por fora =33,3333%Por fora =33,3333%

Por dentro =50%Por dentro =50%

VF = VP (1+i.n)VF = VP (1+i.n)

15000 = 10000 (1+i.1)15000 = 10000 (1+i.1) i = 50% a.m.i = 50% a.m.

BRUNIBRUNIEquivalência de CapitaisEquivalência de Capitais

““Dois ou mais capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com nominais, supostos com datas de vencimento datas de vencimento determinadas, dizem-se determinadas, dizem-se equivalentes quando, equivalentes quando, descontados para uma descontados para uma data focal, à mesma taxa data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas de juros, e em idênticas condições, produzem condições, produzem valores iguais”.valores iguais”.

BRUNIBRUNIConstatação importante …Constatação importante …

Dinheiro Dinheiro tem custo tem custo

nono tempo!!!tempo!!!

Deve ser Deve ser somado somado

apenas em apenas em mesma data!mesma data!

BRUNIBRUNIA operação de equivalênciaA operação de equivalência

00 11 22 33 44

-4.0

00,0

0-4

.000

,00

1.00

0,00

1.00

0,00

1.00

0,00

1.00

0,00

2.00

0,00

2.00

0,00

X?

X?

BRUNIBRUNIExemplo HExemplo H

Pedro pensa em comprar um carro novo, com Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00.preço a vista igual a $30.000,00.

Pagará uma entrada de $8.000,00Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 diasPagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 diasPagará X em 60 dias Taxa simples igual a 3% a.m.Taxa simples igual a 3% a.m.

Calcule o valor de XCalcule o valor de X$30.000,00

-$8.000,00 -$14.000,00 -X

Use a data focal 60 dias

0 30 60 dias

BRUNIBRUNITaxa simples igual a 3% a.m.Taxa simples igual a 3% a.m.

$30.000,00

-$8.000,00 -$14.000,00 -X

$22.000,00 $23.320,00

$14.420,00

$8.900,00

Capitalizando $22.000,00

VF = VP (1+in)

VF = 22000 (1+0,03.2)

VF = $23.320,00

Capitalizando $14.000,00

VF = VP (1+in)

VF = 14000 (1+0,03.1)

VF = $14.420,00

0 1 2 meses

BRUNIBRUNIExemplo IExemplo I

Uma loja anuncia um Uma loja anuncia um microondas a vista por microondas a vista por $500,00 ou em duas $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. entrada, iguais a X. Sabendo que a loja Sabendo que a loja cobra juros cobra juros simplessimples, , iguais a 4%, calcule o iguais a 4%, calcule o valor de X.valor de X.

Use a data focal zero

BRUNIBRUNIResolução …Resolução …

-X -X

$500,00

0 1 2

i = 4% a.m. (JS)i = 4% a.m. (JS)

Descapitalizando X1

VF = VP (1+in)

VP = VF / (1+in)VP = X / (1+0,04.1)

VP = 0,9615.X

Descapitalizando X2

VF = VP (1+in)

VP = VF / (1+in)VP = X / (1+0,04.2)

VP = 0,9259.X

Como a soma a valor presente é igual a $500,00,

500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X X = 500/1,8874 = $264,91 X = 500/1,8874 = $264,91

$264,91$264,91 $264,91$264,91

BRUNIBRUNIExemplo JExemplo J

Um refrigerador é vendido Um refrigerador é vendido

à vista por $ 1.800,00 ou à vista por $ 1.800,00 ou

então a prazo mediante então a prazo mediante

$800,00 de entrada e mais $800,00 de entrada e mais

uma parcela de $ 1.150,00 uma parcela de $ 1.150,00

após 90 dias. Qual a taxa após 90 dias. Qual a taxa

mensal de juros simples do mensal de juros simples do

financiamento? financiamento?

BRUNIBRUNISolução do Exemplo JSolução do Exemplo J

$1.800,00

0 3

-$800,00-$800,00 -$1.150,00-$1.150,00

$1.000,00

0 3

-$1.150,00-$1.150,00

VF = VP (1+in)

1150 = 1000 (1+i.3)

i = [(1150/1000) – 1] / 3)

i = 5%

BRUNIBRUNIExemplo KExemplo K

Uma empresa comercial, para efetuar o Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juro final. Se a aplicação for feita a juro simples, à taxa de 4% ao mês, qual simples, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? deverá ser o valor de X?

Use a data focal zero

BRUNIBRUNIDFC e cálculos do Exemplo KDFC e cálculos do Exemplo K

0 3

XX

+$15.000,00+$15.000,00

8

+$20.000,00+$20.000,00

Descapitalizando X1

VF = VP (1+in)

VP = VF / (1+in)VP = 15000 / (1+0,04.3)

VP = 13.392,86

Descapitalizando X2

VF = VP (1+in)

VP = VF / (1+in)VP = 20000 / (1+0,04.8)

VP = 15.151,52

Soma = 13.392,86 + 15.151,52 = $28.544,38

BRUNIBRUNIProporcionalidade de taxasProporcionalidade de taxas

Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros simples são capitalização ou dos juros simples são proporcionais quando resultam no proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. o mesmo principal.

BRUNIBRUNIFórmula da equivalênciaFórmula da equivalência

ia = ib.(nb/na)ia = ib.(nb/na)Em juros Em juros

simples, vale simples, vale usar regra de usar regra de

três!!!três!!!Em juros Em juros

simples!!!simples!!!

BRUNIBRUNIExemplo LExemplo L

I. Determinar as taxas semestral e anual I. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de proporcionais à taxa de juros simples de 3% ao mês.3% ao mês.

II. Calcular a taxa mensal proporcional de II. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio.ao ano; c) 96% ao biênio.

BRUNIBRUNISolução do Exemplo LSolução do Exemplo L

I. I.

3% a.m. = [__] % a.s.3% a.m. = [__] % a.s.

1 semestre = 6 meses1 semestre = 6 meses

3% x 6 = 18% a.s.3% x 6 = 18% a.s.

3% a.m. = [__] % a.a.3% a.m. = [__] % a.a.

1 ano = 12 meses1 ano = 12 meses

3% x 12 = 36% a.a.3% x 12 = 36% a.a.

BRUNIBRUNISolução do Exemplo LSolução do Exemplo L

II. Cálculo de taxas mensaisII. Cálculo de taxas mensais

a) 1 semestre = 6 mesesa) 1 semestre = 6 meses

90% a.s. 90% a.s. ÷÷ 6 = 15% a.m. 6 = 15% a.m.

b) 1 ano = 12 mesesb) 1 ano = 12 meses

220,8% a.a. 220,8% a.a. ÷÷ 12 = 18,4% a.m. 12 = 18,4% a.m.

c) 1 biênio = 24 mesesc) 1 biênio = 24 meses

96% 96% ÷÷ 24 = 24 = 4% a.m. 4% a.m.

BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo

Entendemos operações Entendemos operações

com juros simplescom juros simples

Sabemos usar a Sabemos usar a

proporcionalidade de proporcionalidade de

taxastaxas

Compreendemos as Compreendemos as

operações com operações com

equivalência de capitaisequivalência de capitais