Lista 0 - Geometria Analítica - Resolução

Geometria Analítica

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Vetores

1

1. Prove que .

Aplicando a propriedade do elemento oposto da adição, temos:

2. Prove que

, ou, equivalentemente, pela propriedade comutativa, .

Modificando o lado esquerdo da igualdade pela propriedade do elemento neutro da

multiplicação, temos

pela propriedade distributiva

( )

Logo, .

4. Sendo ABCDEFGH o paralelogramo acima, calcule:

(a)

(b)

(c) ( )

5. Se ( ) é um representante de e ( ) um representante de , prove que

Premissa:


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2

i.

Supondo que e tenham o mesmo sentido, obtém-se | |

| |.

| | | || | | |

| || | | | | | | |

Supondo que e tenham sentidos contrários, obtém-se | |

| |

| | | || | | |

| || | | | | | | |

O sinal negativo pode ser suprimido do vetor, pois fica implícito no valor da constante

A demonstração da recíproca é trivial.

6. Resolva a equação nas incógnitas x e y.

Substituindo y na primeira equação do sistema:

(

)

7. Prove que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um

trapézio é paralelo as bases e sua medida é a semi-soma das medidas das bases.

A

C D

B

M N


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3

Somando-se as duas equações vetoriais:

( )

e são paralelos, portanto, o módulo da sua soma é a soma dos seus módulos, ou

seja, | | | | | |. Então o módulo de é a semi-soma das bases do

trapézio, e, como é escrito na forma ( ) ele é paralelo a ambas as bases.

8. Prove que existe um único ponto comum as bissetrizes internas de um triângulo e que

esse ponto conhecido como incentro do triângulo é interior a ele.

Para que , e sejam vetores diretores das bissetrizes internas de um triângulo,

devem atender as seguintes condições:

| |

| | (

| |

| |)

| |

| | (

| |

| |)

| |

| | (

| |

| |)

Existe um ponto comum I às bissetrizes internas do triângulo ABC se, e somente se,

Provemos, inicialmente, a primeira asserção.

(

| |

| |) (

| |

| |)

Como e são constantes arbitrárias, fazemos e provemos que não existe que

torne válida a igualdade.

(

| |

| |) (

| |

| |)

| |

| |

| |

| |


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4

Mas , então

| |

| |

| |

| |( )

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| | (

| |

| |)

| |

A igualdade é válida se:

| |

| |

(| | | |)

| || |

| || |

| | | |

e

| | | |

Foram encontrados valores distintos para , então, por redução ao absurdo, conclui-se

que não existe que torne a asserção verdadeira. Portanto, e são concorrentes e

interceptam-se no ponto I, o incentro.

Analogamente, demonstra-se que e são concorrentes.

Pelas condições adotadas inicialmente para que as retas sejam dissetrizes,

nota-se que os vetores , e são múltiplos das somas de vetores diretores unitários

dos lados do triângulo, portanto, a resultante dessa soma, certamente, apontará para o

interior do triângulo. Daí se conclui, que I está no interior do triângulo ABC.

9. Sejam M, N e P os pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângulo ABC:

(a) Exprima em função de

( )

(b) Prove que as retas suportes de duas medianas quaisquer do triângulo são concorrentes.


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( ) (

)

A igualdade acima só é válida se

, no primeiro termo e , no segundo.

Entretanto, a mesma variável, não pode assumir valores diferentes. Logo,

, que implica em: e

A demonstração para quaisquer outras duplas de retas é trivial.

(c) Prove que as três medianas têm um único ponto comum, que divide AN, BP e CM na

razão 2 para 1. Esse ponto é conhecido como baricentro do triângulo.

Seja G o ponto comum entre as retas e H o ponto comum às retas .

Será provado que G = H e que o ponto pertence às três medianas.

Sendo A, G e N colineares, existe tal que , logo .

Analogamente, existe tal que . Portanto, pela hipótese,

. Mas, , então

que implica, pela proposição do cancelamento de ponto, em:

Substituindo

;

e , temos

(

) ( )

Então:

(

)

e

( )

onde se obtém que

.

Da hipótese da demonstração temos: , que implica em


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6

Quanto ao ponto H, supomos que e . Executando, de forma

análoga o procedimento adotado anteriormente, encontramos

Ou seja,

Fazendo a comparação entre as expressões do ponto G e do ponto H, conclui-se que:

que acarreta:

Como o escalar que multiplica os vetores é maior que 0 e menor que 1, concluímos que

os vetores à esquerda da igualdade são menores que os da direita, portanto, G está contido

nas três medianas. Além disso,

ou seja, o baricentro divide a mediana numa razão de 2 para 1.É o que queríamos provar.

10. Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O, prove que:

11. Prove que ( ) é L.I., então ( ) também são L.I.

A

B

C D

E

F

O


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Se ( ) é L.I. então é uma base no no espaço ( )

Então:

( )

( )

( )

|

| ( )

12. Prove que ( ) é L.I. se e somente se ( ).

i. ( ) ( ) é L.I.

Se ( ) é L.I., então B é uma base de vetores no plano, onde ( )

Logo, ( ) e ( ) .

não é múltiplo escalar de , portanto, ( ) é L.I.

ii.( ) ( )

Se ( ) é L.I., então C é uma base de vetores no plano, onde

( )

Logo, (

) e (

)

não é múltiplo escalar de , portanto, ( ) é L.I.

13. Prove que ( ) é L.D. para quaisquer

Se ( ) for L.D., são, portanto, coplanares. Todos os vetores que forem combinação

linear de são também coplanares. Logo, (

) é L.D

Se ( ) for L.I., forma a base ( ) Então:

( )

( )

( )


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|

|

( )

14. Mostre que os vetores são coplanares se e somente se um deles é combinação

linear dos outros dois.

Três vetores são, por definição, linearmente dependentes se forem paralelos a um mesmo

plano, ou seja, coplanares. Logo, a afirmativa acima é equivalente a

i. Se é paralelo a , então, Logo,

ii. Se não é paralelo a , nem a . Considerando a figura abaixo,

onde,

é paralelo a , portanto e é paralelo a , então

Mas, , logo, .

Analogamente, a recíproca pode ser reescrita como

Supondo .

Se , o conjunto é L.D, pois os três vetores ficam contidos no mesmo plano.

Senão, tomemos e (figura acima). Na

situação da figura, B não pertence à reta PA, nem à reta PC, o paralelogramo PNBM está

contido no plano determinado por P, A e C. Concluímos que P, A, C e B são

P

A

B

C M

N


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complanares, e, portanto, O mesmo raciocínio aplica-se caso B

pertença a PA ou PC.

15. Demonstre que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é

paralelo a base e sua medida é a semi-diferença das medidas das bases.

Somando-se as duas equações, obtêm-se:

( )

e são paralelos, portanto, o módulo da sua diferença é a diferença dos seus

módulos, ou seja, | | | | | |. Então o módulo de é a semi-diferença

das bases do trapézio, e, como é escrito na forma ( ) ele é paralelo a

ambas as bases.

16. Seja ABCD um quadrilátero, e O um ponto qualquer e seja P o ponto médio do

segmento que une os pontos médios das diagonais AC e BD. Prove que

( )

A B

C D

M N


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Provar que

( ) é o mesmo que provar

(

), pela definição de soma de ponto com vetor.

Reescrevendo o vetor , temos:

Somando-se as quatro equações:

Como e :

( )

( )

Base

1. Na figura abaixo ABCDEFGH é um paralelepípedo retângulo. Sejam ,

e

D

A B

C

P

O


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Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G, e H nos seguintes sistemas de

coordenadas:

Note que

(a) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(b) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(c) (

)

(

)

(

)

( )

( )


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(

)

(

)

( )

( )

(d) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2. Verifique se os vetores são L.I. ou L.D.

(a) ( ) ( ) ( )

|

|

(b) ( ) ( ) ( )

|

|

3. Determine m e n tais que ( ) seja L. D., sendo ( ) e ( ).

Condição: ( )

( ) ( ) ( ) ( [ ])

(I)

(II)

( ) (III)


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Substituindo (I) em (II), obtemos o sistema

(IV)

( ) (V)

Substituindo (IV) em (V),

( )

Com , calcula-se:

e

4. Sejam ( ) uma base, e considere os vetores ,

e . Deduza uma condição necessária e suficiente sobre a,b,c para

que ( ) sejam L.I.

( )

( )

( )

[ ] |

|

( ) é LI se [ ] , então .

Logo, ( ) .

5. Dado um quadrilátero MNPQ e seja A o ponto de intersecção das diagonais e seja B e

C os pontos médios dos lados opostos MN e PQ. Prove que se os pontos A, B e C estão

sobre a mesma reta então MNPQ é um trapezoide ou um paralelogramo.

MNPQ é um trapezoide ou paralelogramo se são concorrentes, ou seja


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( )

(

)

Ou seja, não existe que torne uma igualdade verdadeira, portanto, e

são concorrentes e MNPQ formam um trapezoide ou paralelogramo.

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