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2ª Avaliação de Geometria Analítica

(Resolução)

1. Sejam ( ) ( ) e ( ) ( ) onde . Sejam os

pontos ( ) e ( ). Determine a equação vetorial da reta t que contém P

é concorrente com r e equidista de Q e s.

Se s e t forem paralelas:

Então o vetor diretor de t é paralelo ao vetor diretor de s. Assim: ( ).

( ) ( )

i) Verificando a condição: ( ) ( )

( ) | |

| | ( )

( ) | |

| | |( ) ( )|

|( )| |( )|

|( )|

( ) ( ) | |

| | ( ) ( )

( ) |( ) ( )|

|( )| |( )|

|( )|

Condição verificada, pois ( ) ( ).

ii) Verificando a condição: t é concorrente com r

Igualando-se as coordenadas, obtém-se o seguinte sistema:

Encontramos e . Logo, existe ponto de intersecção e as retas t e r são

concorrentes.

As condições foram verificas, portanto, se s e t forem paralelas, a equação da reta t é

( ) ( )

Se s e t forem reversas:

I pertence à r então é da forma ( )

2

P e I pertencem à reta t, então é o vetor diretor da reta t.

( )

Equação de t: ( ) ( )

Pela condição do problema ( ) ( )

i) Cálculo de ( )

( ) | |

| |

( ) |( ) ( ) ( )|

|( ) ( )| |( ) ( )|

|( )| | |

√

ii) Cálculo de ( )

( ) | |

| |

( ) |( ) ( )|

|( )| |( )|

|( )| √( )

√ ( )

√

√

iii) Igualando as distâncias

| |

√ √

√

Elevando ao quadrado ambos os lados, encontramos:

| |

Equação da reta t:

( ) ( )

2. Determine:

(a) m de modo que os planos e sejam

perpendiculares;

e são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais forem ortogonais.

Assim, .

( ) ( )

3

(b) a equação do plano que contém as retas e

onde .

Reescrevendo as equações das retas na forma paramétrica:

Sendo ( ) um ponto genérico do plano, a equação deste é dada por

[ ] . é o vetor diretor de r, o vetor diretor de s e R um ponto pertencente a

r.

[ ] |

|

( ) ( ) ( )

3. Calcule:

(a) a distância entre os planos e ;

( ) ( ), ( )

( ) ( ) | |

√

√

√ √

(b) a distância entre as retas e .

Reescrevendo as equações na forma paramétrica:

r e s são paralelas, então:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) | |

| | |( ) ( )|

|( )| |( )|

|( )| √( )

( ) ( ) √

𝑟 𝑠

𝑟 𝑠

4

4. Faça um esboço e determine o centro, vértices, focos e excentricidade da cônica:

[ ( ) ] [ ( ) ]

Observe que no primeiro colchete temos o equivalente a e no

segundo . Para que a segunda equação seja equivalente a primeira

devemos subtrair 64 no primeiro colchete e subtrair 9 no segundo.

[ ( ) ] [ ( ) ]

( ) ( )

( ) ( )

Multiplicando a equação por ⁄ :

( )

( )

A equação acima representa uma hipérbole.

Centro: ( ).

Vértices (considerando que o centro da hipérbole é a origem):

( ) ( )

( ) ( )

Focos (considerando que o centro da hipérbole é a origem):

( ) ( )

( ) ( )

Efetuando as translações (considerando o centro como (2,-1)), temos:

( ) e ( )

( ) e ( )

Excentricidade:

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Figura 1- Gráfico da hipérbole

5. Defina parábola como lugar geométrico. Identifique seus principais elementos e

indique sua equação geral.

Sejam r uma reta e F um ponto não pertencente a ela. O lugar geométrico P dos pontos

equidistantes de F e r chama-se parábola. F é o foco, r é a diretriz, e chamaremos o

número positivo p tal que d(F,r) = 2p de parâmetro da parábola. A reta que contém o

foco e é perpendicular à diretriz chama-se eixo. Se H é o ponto de intersecção da

diretriz com o eixo, o ponto V, ponto médio de HF, é chamado de vértice. Uma corda

da parábola é qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertencem a ela.

Amplitude focal de P é o comprimento da corda que contém o foco e é perpendicular

ao eixo. [1]

Equação geral:

1 CAMARGO, I. BOULOS, P. Geometria Analítica. 3 ed rev e ampl. São Paulo: Prentice Hall, 2005. p. 306