• O INFINITO ATRAVÉS DO TEMPO O INFINITO ATRAVÉS DO TEMPO

Cláudio Carvalho ViveirosCláudio Carvalho Viveiros Pólo de PetrópolisPólo de Petrópolis

Grupo 5Grupo 5

O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOSO INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS• 2.2 - Introdução:2.2 - Introdução:• A História da Ciência e, em particular, a HistóriaA História da Ciência e, em particular, a História dada Matemática, constitui um Matemática, constitui um

dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das idéias que deram forma à nossa cultura e observar também os origem das idéias que deram forma à nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento: enxergar os homens que criaram aspectos humanos do seu desenvolvimento: enxergar os homens que criaram essas idéias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Assim, essas idéias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Assim, esta história é um valioso instrumento para o ensino/aprendizado da própria esta história é um valioso instrumento para o ensino/aprendizado da própria matemática. Podemos entender porque cada conceito foi introduzido nesta matemática. Podemos entender porque cada conceito foi introduzido nesta ciência e porque, no fundo, ele sempre era algo natural no seu momento. ciência e porque, no fundo, ele sempre era algo natural no seu momento. Permite também estabelecer conexões com a história, a filosofia, a geografia e Permite também estabelecer conexões com a história, a filosofia, a geografia e várias outras manifestações da cultura.várias outras manifestações da cultura.

• A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.mundo da matemática.

O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOSO INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS• 2.3 - Objetivos2.3 - Objetivos

Pretende-se desenvolver situações de ensino e de aprendizagem que Pretende-se desenvolver situações de ensino e de aprendizagem que possibilitem aos alunos:possibilitem aos alunos:

• - investigar os problemas ou necessidades que impulsionaram o - investigar os problemas ou necessidades que impulsionaram o desenvolvimento de diferentes áreas de conhecimento matemático;desenvolvimento de diferentes áreas de conhecimento matemático;

• - compreender os processos através dos quais novos conceitos foram e - compreender os processos através dos quais novos conceitos foram e serão construídos – extensões, generalizações, resolução de problemas;serão construídos – extensões, generalizações, resolução de problemas;

• - explicitar o caráter não linear da evolução do conhecimento matemático, - explicitar o caráter não linear da evolução do conhecimento matemático, destacando as rupturas envolvidas na adoção de novos paradigmas;destacando as rupturas envolvidas na adoção de novos paradigmas;

• - investigar as restrições e possibilidades estabelecidas pela adoção de - investigar as restrições e possibilidades estabelecidas pela adoção de diferentes linguagens, procedimentos e modos de conceber a Matemática;diferentes linguagens, procedimentos e modos de conceber a Matemática;

O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOSO INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS• 2.3 - Objetivos:2.3 - Objetivos:

• - compreender o lugar do pensamento intuitivo, experimental e do - compreender o lugar do pensamento intuitivo, experimental e do pensamento dedutivo na produção e validação do conhecimento pensamento dedutivo na produção e validação do conhecimento matemático, em períodos determinados;matemático, em períodos determinados;

• - expressar as potencialidades e os limites de diferentes culturas e períodos;- expressar as potencialidades e os limites de diferentes culturas e períodos;

• - estudar a evolução dos conceitos e teorias relacionados aos tópicos da - estudar a evolução dos conceitos e teorias relacionados aos tópicos da súmula, estabelecendo nexos com outras áreas do conhecimento súmula, estabelecendo nexos com outras áreas do conhecimento matemático;matemático;

• - sensibilizar para os desafios e dificuldades envolvidas na produção do - sensibilizar para os desafios e dificuldades envolvidas na produção do conhecimento matemático que é disseminado, de forma simplificada e conhecimento matemático que é disseminado, de forma simplificada e acabada, no ensino médio. acabada, no ensino médio.

• -- Fixar conhecimento em análise de dados e cálculo de progressões Fixar conhecimento em análise de dados e cálculo de progressões matemáticas matemáticas

O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOSO INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS O PARADOXO DE AQUILES E A O PARADOXO DE AQUILES E A TARTARUGATARTARUGA

• 2.4 – Metodologia e Apresentação2.4 – Metodologia e Apresentação

O paradoxo de Aquiles e a Tartaruga possui o mesmo argumento que o O paradoxo de Aquiles e a Tartaruga possui o mesmo argumento que o paradoxo da dicotomia, porém em vez de um objeto, temos dois objetos em paradoxo da dicotomia, porém em vez de um objeto, temos dois objetos em movimento com velocidades diferentes. Ele é assim enunciado: Numa corrida movimento com velocidades diferentes. Ele é assim enunciado: Numa corrida entre Aquiles e a Tartaruga em que a Tartaruga saí com uma certa vantagem, entre Aquiles e a Tartaruga em que a Tartaruga saí com uma certa vantagem, mesmo sendo mais lenta que Aquiles, este jamais a alcança; pois aquele que mesmo sendo mais lenta que Aquiles, este jamais a alcança; pois aquele que persegue tem primeiro de chegar ao ponto de onde a fuga do mais lento persegue tem primeiro de chegar ao ponto de onde a fuga do mais lento começou, e o mais lento tem necessariamente de já estar a alguma distância à começou, e o mais lento tem necessariamente de já estar a alguma distância à frente. frente.

O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOSO INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS

2.4 – Metodologia e Apresentação2.4 – Metodologia e Apresentação

O Paradoxo da DicotomiaO Paradoxo da Dicotomia

* O argumento desse paradoxo consiste basicamente na idéia de que aquilo * O argumento desse paradoxo consiste basicamente na idéia de que aquilo que se move tem que chegar na metade de seu percurso antes de chegar ao que se move tem que chegar na metade de seu percurso antes de chegar ao fim. O raciocínio é o seguinte: antes de percorrer todo o percurso, o objeto fim. O raciocínio é o seguinte: antes de percorrer todo o percurso, o objeto que se move deve percorrer metade do percurso. Antes de percorrer a que se move deve percorrer metade do percurso. Antes de percorrer a metade que falta, deve percorrer a metade deste, ou seja, a metade da metade que falta, deve percorrer a metade deste, ou seja, a metade da metade (um quarto do percurso inicial), e assim sucessivamente, o objeto metade (um quarto do percurso inicial), e assim sucessivamente, o objeto deverá percorrer um conjunto infinito de intervalos.deverá percorrer um conjunto infinito de intervalos.

O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOSO INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS• 2.4 –2.4 – Metodologia e Apresentação:Metodologia e Apresentação:• Inicialmente apresentamos um texto contendo a História da Descoberta do Inicialmente apresentamos um texto contendo a História da Descoberta do

Infinito desde à época de Zenão até os dias de hoje. Ao ler o texto com os Infinito desde à época de Zenão até os dias de hoje. Ao ler o texto com os alunos, recomendamos que eles anotem ou grifem as informações que alunos, recomendamos que eles anotem ou grifem as informações que considerarem mais significativas. Após relembramos à classe que em considerarem mais significativas. Após relembramos à classe que em Matemática lidamos com dois tipos diferentes de atividade: um que Matemática lidamos com dois tipos diferentes de atividade: um que envolve a contagem de elementos dados em unidades, os quais são envolve a contagem de elementos dados em unidades, os quais são discretos e indivisíveis (por exemplo, uma pedra), e outro que diz respeito discretos e indivisíveis (por exemplo, uma pedra), e outro que diz respeito à medida de quantidades contínuas, sujeitas a infinitas divisões, isto é, à medida de quantidades contínuas, sujeitas a infinitas divisões, isto é, infinitamente divisíveis. É o caso do comprimento, do volume, da massa, infinitamente divisíveis. É o caso do comprimento, do volume, da massa, do tempo, etc...Explicamos que muitos séculos se passaram até que o do tempo, etc...Explicamos que muitos séculos se passaram até que o homem construísse uma teoria sobre continuidade. A continuidade do homem construísse uma teoria sobre continuidade. A continuidade do tempo, a do espaço, a do movimento e da estrutura da matéria foram tempo, a do espaço, a do movimento e da estrutura da matéria foram especuladas desde a Antiguidade grega. Contudo, o desenvolvimento dessa especuladas desde a Antiguidade grega. Contudo, o desenvolvimento dessa teoria, responsável por um grande avanço da ciência, ocorreu somente no teoria, responsável por um grande avanço da ciência, ocorreu somente no século XIX. Assinalamos que tais idéias deram lugar a inúmeras século XIX. Assinalamos que tais idéias deram lugar a inúmeras polêmicas, uma das quais criada por Zenão de Eléia (460 a.C.). polêmicas, uma das quais criada por Zenão de Eléia (460 a.C.).

O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOSO INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS• 2.4 –2.4 – Metodologia e Apresentação:Metodologia e Apresentação:• Zenão bolou fantásticos quebra-cabeças, dos quais o mais famoso é o Zenão bolou fantásticos quebra-cabeças, dos quais o mais famoso é o

paradoxo de Aquiles. Essas proposições tornaram-se ícones para os estudos paradoxo de Aquiles. Essas proposições tornaram-se ícones para os estudos envolvendo continuidade e infinitésimos, dois conceitos básicos do cálculo envolvendo continuidade e infinitésimos, dois conceitos básicos do cálculo diferencial. Propomos um desafio, parodiando o paradoxo de Aquiles e a diferencial. Propomos um desafio, parodiando o paradoxo de Aquiles e a tartaruga. Chamaremos dois jovens à lousa, um para marcar os passos da tartaruga. Chamaremos dois jovens à lousa, um para marcar os passos da tartaruga e outro para, em seguida, indicar as posições correspondentes do tartaruga e outro para, em seguida, indicar as posições correspondentes do corredor. Começa a brincadeira. Avisamos que Aquiles corre, por corredor. Começa a brincadeira. Avisamos que Aquiles corre, por suposição, dez vezes mais depressa que a tartaruga e, para compensar essa suposição, dez vezes mais depressa que a tartaruga e, para compensar essa desvantagem, o bichinho sai com uma vantagem de 100 metros à frente. desvantagem, o bichinho sai com uma vantagem de 100 metros à frente. Assim, cada aluno deve desenhar a posição relativa de um dos Assim, cada aluno deve desenhar a posição relativa de um dos competidores. Segundo Zenão, Aquiles percorre 100 metros e chega ao competidores. Segundo Zenão, Aquiles percorre 100 metros e chega ao ponto de onde a tartaruga partiu. Enquanto isso, ela anda um décimo do que ponto de onde a tartaruga partiu. Enquanto isso, ela anda um décimo do que percorreu Aquiles ficando, portanto, 10 metros à frente deste (peço que esse percorreu Aquiles ficando, portanto, 10 metros à frente deste (peço que esse ponto seja registrado). Aquiles corre esses 10 metros e chega, portanto, onde ponto seja registrado). Aquiles corre esses 10 metros e chega, portanto, onde estava a tartaruga no instante anterior. A tartaruga ficará 1 metro à sua estava a tartaruga no instante anterior. A tartaruga ficará 1 metro à sua frente. Na etapa seguinte, ela estará um decímetro à frente, depois, 1 frente. Na etapa seguinte, ela estará um decímetro à frente, depois, 1 centímetro, 1 milímetro e assim por diante. centímetro, 1 milímetro e assim por diante.

O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOSO INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS• Revelamos, então, a conclusão de Zenão: o corredor estará sempre a se Revelamos, então, a conclusão de Zenão: o corredor estará sempre a se

aproximar da tartaruga, sem jamais alcançá-la, e pior, sem ultrapassá-la. aproximar da tartaruga, sem jamais alcançá-la, e pior, sem ultrapassá-la. Deixarei claro que os filósofos da época sabiam que Aquiles poderia Deixarei claro que os filósofos da época sabiam que Aquiles poderia ultrapassar a tartaruga. A questão é a dificuldade de resolver o dilema dentro ultrapassar a tartaruga. A questão é a dificuldade de resolver o dilema dentro do raciocínio criado por Zenão. Comentamos que faltava uma linguagem do raciocínio criado por Zenão. Comentamos que faltava uma linguagem matemática capaz de explorar livremente essa questão, o que só seria possível matemática capaz de explorar livremente essa questão, o que só seria possível com a criação do conceito de infinito e de limites.De forma intuitiva, podemos com a criação do conceito de infinito e de limites.De forma intuitiva, podemos resolver e interpretar o problema utilizando a determinação da geratriz de uma resolver e interpretar o problema utilizando a determinação da geratriz de uma dízima periódica indicando os espaços percorridos por Aquiles na forma de dízima periódica indicando os espaços percorridos por Aquiles na forma de uma seqüência: (100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001... ). A soma desses termos dá: 100 uma seqüência: (100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001... ). A soma desses termos dá: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ... = 111,1111, que é uma dízima + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ... = 111,1111, que é uma dízima periódica de período 1. Podemos estabelecer que 111,1111 = x. Assim, periódica de período 1. Podemos estabelecer que 111,1111 = x. Assim, 1111,111 = 10x.1111,111 = 10x. Subtraindo a primeira expressão da segunda, temos 1000 = 9x Subtraindo a primeira expressão da segunda, temos 1000 = 9x –> x = 1000/9. Ou seja, o limite da distância percorrida por Aquiles é 1000/9. –> x = 1000/9. Ou seja, o limite da distância percorrida por Aquiles é 1000/9. Para finalizar, é interessante distribuir o quadro abaixo a fim de que os Para finalizar, é interessante distribuir o quadro abaixo a fim de que os estudantes tenham uma idéia das supostas origens do símbolo dessa estudantes tenham uma idéia das supostas origens do símbolo dessa quantidade, o chamado 8 deitado. quantidade, o chamado 8 deitado.