AREAS DE FIGURAS AREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS GEOMÉTRICAS

ESPACIAISESPACIAIS

Claudio Carvalho ViveirosClaudio Carvalho Viveiros

Aluno da Pós Graduação em Novas Aluno da Pós Graduação em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática.Tecnologias no Ensino da Matemática.

PRISMASPRISMAS

• Prisma reto é um prisma que tem as arestas laterais perpendiculares às bases.

• Prisma oblíquo é um prisma em que as arestas laterais não são perpendiculares às bases.

• Prisma regular é um prisma recto em que as bases são dois polígonos regulares.

Área do PrismaÁrea do Prisma

• A superfície lateral do prisma encontra-se sombreada a vermelho, e a sua área, a que se chama área lateral do prisma e se representa por Al, é dada por  Al = (a + b + c). h , sendo h a altura do prisma, ou seja, a distância entre as bases. Sombreada a cinzento está a superfície correspondente às duas bases. Representando a área de cada base por Ab, teremos então que a área total do prisma será At = Al + 2Ab .

PARALELEPÍPEDOSPARALELEPÍPEDOS• Uma caixa de fósforos, uma embalagem de detergente,

um tijolo, algumas caixas de medicamentos, um livro, uma pedra de dominó são objectos com os quais lidamos diariamente e cuja forma se associa a um sólido geométrico a que chamamos paralelepípedo retângulo, pois as faces são perpendiculares às bases e estas são retângulos.

ÁREA DE PARALELEPÍPEDOSÁREA DE PARALELEPÍPEDOS

• Para a construção de um paralelepípedo é necessário conhecer os comprimentos das três arestas concorrentes a um mesmo vértice.   Através de uma embalagem de caixa de sabão em pó para a roupa, os alunos podem descobrir a relação existente entre a área da sua superfície e a soma das áreas das várias faces. Para isso, os alunos podem abrir a embalagem de sabão com uma tesoura até tornarem a embalagem plana e depois desenharem uma figura que represente a planificação obtida. Nesta altura, os alunos verificarão que a área da superfície de um paralelepípedo retângulo é a soma das áreas das suas faces.

A área do paralelepípedo retângulo é então dada por A = 2 (ab + ac + bc).

CUBOCUBO• É, de entre todos os poliedros, talvez o mais conhecido, dado

existirem muitos objetos de uso corrente de forma cúbica, como por exemplo um dado.  O cubo é um poliedro regular pois as suas faces são geometricamente iguais. Para construir um cubo basta

conhecer a medida de uma aresta.

ÁREA DO CUBOÁREA DO CUBO

• A área da superfície do cubo pode calcular-se facilmente atendendo ao fato das suas faces serem 6 quadrados iguais. Sendo a o comprimento da aresta do cubo, a área de cada face será a2, e portanto, temos: 

Área lateral do cubo:     A área lateral do cubo é a soma das áreas das faces laterais, sendo

dada por:   Al = 4a2 , onde: Al - área lateral Area total do cubo: • A área total do cubo é a soma da área lateral com a área das duas

bases, ou seja:• At = Al + 2Ab = 4a2 + 2a2 = 6a2, onde: At - área total , onde:• Al = 4a2 - área lateral • Ab = a2 - área da base

PirâmidePirâmide

É um poliedro em que uma das faces é um polígono qualquer, a que se chama base; as outras faces são triângulos que têm um vértice comum, chamado vértice da pirâmide.

• Uma pirâmide diz-se reta, se o projeção do vértice da pirâmide coincide com o centro da base. Uma pirâmide recta cuja base é um polígono regular diz-se uma pirâmide regular. Nas pirâmides regulares, as faces laterais são triângulos isósceles. Quando a projecção do vértice não coincide com o centro do polígono da base, diz-se que a pirâmide é oblíqua.

ÁREA DE PIRÂMIDESÁREA DE PIRÂMIDES• Para que os alunos compreendam o processo pelo qual se determina a área da

superfície de uma pirâmide regular, sugerimos a construção de uma pirâmide quadrangular em cartolina, cuja base tenha 49 cm2 de área e cujo apótema tenha 10 cm.

• Atendendo à planificação, os alunos poderão ver facilmente que a área não é mais do que a soma da área lateral, Al (sombreada a vermelho), com a área da base, Ab (sombreada a cinzento):

•    A área lateral é a soma das áreas das faces (triângulos isósceles). Sendo p o perímetro da base, Al = (p × a) ÷ 2 . A área total será, então, dada pela seguinte fórmula: At = (p × a) ÷ 2 + Ab .

CILINDROCILINDRO• Cilindro circular reto é um corpo redondo

formado pela ligação entre infinitos vértices pertencentes a dois círculos iguais e paralelos.

Fórmulas: • Área da base(AB): nr2 • Área lateral(AL): 2.n.r.h• Área total(AT): 2.AB + AL

CONESCONES

CONESCONES• Em um cone, podem ser identificados vários elementos: • Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos

de reta.• Base de um cone é a região plana contida no interior da curva,

inclusive a própria curva.• Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui

centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.

• Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.

• Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.• Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de

reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.

• Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.

• Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

CONESCONES• Ao observar a posição relativa do eixo em relação à

base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto.

ÁREA DE UM CONE CIRCULAR RETOÁREA DE UM CONE CIRCULAR RETO

• A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(lateral) = pi.r.g

• A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(total) = pi.r.g + pi.r² = = pi.r.(g+r)

ÁREA DE UM CONE CIRCULAR ÁREA DE UM CONE CIRCULAR RETORETO

• Cones Eqüiláteros• Um cone circular reto é um cone eqüilátero, se a sua seção meridiana é

uma região triangular eqüilátero e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

A área da base do cone é dada por: A(base) = pi r² Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)²=h²+r², logo h²=4r²-r²=3r²,

assim: h = r Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base

pela altura,então: V = (1/3) pi r3 Como a área lateral pode ser obtida por: A(lateral) = pi.r.g = pi.r.2r = 2.pi.r² então a área total será dada por: A(total) = 3 pi r²