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CONSTRUCcedilAtildeO DE FIGURAS GEOMEacuteTRICAS ESPACIAIS COM CANUDOS

DE JORNAIS NO ESTUDO DA GEOMETRIA ESPACIAL

Silvio Aparecido Barbosa 1 Lucas da Silva Ribeiro 2 12 Universidade Tecnoloacutegica Federal do Paranaacute ndash UTFPR ndashMedianeira ndash Brasil

profsilvioceuhotmailcom 1

lribeiroutfpredubr 2

Resumo O trabalho pretende facilitar o ensino de Geometria Espacial que recaem na falta de material

didaacutetico baacutesico para trabalhar em sala de aula salas exclusivas para o ensino de geometria e falta de

preacute-requisitos por parte dos alunos de conteuacutedos que fundamentam a geometria Em relaccedilatildeo a uma aula

ldquoidealrdquo tem levado os educadores a buscarem meios de facilitar o ensino das propriedades

matemaacuteticas que muitas vezes se tornam cansativas A atividade que eacute proposta aqui aleacutem de

possibilitar que o aluno construa estruturas com a geometria espacial torna possiacutevel a visualizaccedilatildeo de

alguns elementos que no quadro satildeo menos notados e tambeacutem por meio do uso de teacutecnicas de trabalho

manual despertar nos alunos o interesse em aprender

Palavras-chave geometria espacial ensino meacutedio professor ensino-aprendizagem

1 Introduccedilatildeo

A dificuldade de aprendizagem apresentada pelos alunos nas aulas de matemaacutetica tem levado os

educadores a buscarem meios de facilitar o ensino das propriedades matemaacuteticas que muitas vezes se

lsquotornam cansativas Sabe-se que uma das melhores formas de se fixar o que se aprende eacute poder ensinar

poder dividir o conhecimento adquirido (Oficina de canudinho 2013) Pensando nisso este trabalho visa

proporcionar um momento de interaccedilatildeo entre os alunos no qual eles poderatildeo expor seus conhecimentos

e interagir com os demais colegas aplicando na praacutetica o que aprendeu em sala de aula

As mudanccedilas sociais e tecnoloacutegicas as quais geram uma grande variedade de funccedilotildees no mercado de

trabalho colocam a necessidade de repensar as atitudes e estrateacutegias de aprendizado da matemaacutetica Para

Silva (1992) eacute urgente recorrer a um ensino de matemaacutetica com articulaccedilatildeo entre teoria e praacutetica

conteuacutedo e forma a partir do resgate da questatildeo cultural para que haja o desenvolvimento do raciociacutenio

loacutegico da criatividade e do espiacuterito criacutetico Ainda segundo o autor (SILVA1992) a matemaacutetica eacute um

bem cultural constituiacutedo a partir das relaccedilotildees do homem com a natureza sendo portanto dinacircmica e viva

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Todo o conhecimento matemaacutetico necessaacuterio para conquistar o desenvolvimento tecnoloacutegico estaacute muito

aleacutem da sala de aula devido agraves especificidades e complexidades teacutecnicas

A justificativa para a escolha do tema estudado trata da questatildeo de que a matemaacutetica ainda hoje eacute vista

por muitos alunos como uma disciplina difiacutecil e teoacuterica sendo que muitos dos conhecimentos natildeo tem

aplicaccedilatildeo praacutetica eacute necessaacuterio trabalhos que mostre novas maneiras de ensinar natildeo priorizando a

memorizaccedilatildeo de foacutermulas e situaccedilotildees sem contexto como acontecia em outros tempos

A geometria estaacute presente em diversas situaccedilotildees cotidianas tanto na escola quanto fora dela Ao andar

pelas ruas observar construccedilotildees e diferentes materiais observa-se que ela estaacute presente em toda parte

Para percebecirc-la basta ter um olhar sensiacutevel

No ensino da matemaacutetica eacute grande a necessidade da utilizaccedilatildeo de material praacuteticos especialmente no

ensino fundamental Poreacutem mesmo no ensino meacutedio esse material pode ser uma fonte que auxilia o

aluno na passagem do concreto para o abstrato tornando-o sujeito ativo do processo de construccedilatildeo do

conhecimento (Joseane e Silvio) Despertar o interesse do aluno na sala de aula ele deixaraacute a teoria e

passaraacute a ver a relaccedilatildeo entre o conteuacutedo estudado e a praacutetica A atividade que eacute proposta aqui aleacutem de

possibilitar que o aluno construa estruturas com a geometria espacial torna possiacutevel a visualizaccedilatildeo de

alguns elementos que no quadro satildeo menos notados Estes elementos satildeo os veacutertices as arestas as

faces e os apoacutetemas dos soacutelidos geomeacutetricos

Sendo destacados os objetivos especiacuteficos construir figuras geomeacutetricas espaciais com canudos de

jornais visualizar as propriedades matemaacuteticas de aacutereas e volumes compreender soluccedilotildees de problemas

estimular a vontade de aprender e proporcionar momentos de interaccedilotildees e aprendizagens entre os alunos

2 Referencial Teoacuterico

A geometria eacute frequentemente ensinada na lousa ou por meio de livros didaacuteticos Na abordagem de

figuras planas esse meacutetodo eacute faacutecil para o aprendizado da crianccedila mas quando se trata do ensino da

geometria espacial muitos alunos apresentam dificuldades na visualizaccedilatildeo dos soacutelidos geomeacutetricos e

com isso acabam se desinteressando pelas aulas

Segundo Viviane Aparecida Verona (mestre Engenharia e Ciecircncia de Mateacuterias) e Maria Regina Macieira

Lopes (Mestre em Meacutetodos Numeacutericos em Engenharia) ldquoNessa accedilatildeo reflexiva eacute que as Diretrizes

Curriculares do Estado do Paranaacute (SEED 2008) propotildeem que a matemaacutetica natildeo seja ensinada apenas

por sua beleza ou pela consistecircncia de suas teorias mas que a apropriaccedilatildeo do conhecimento matemaacutetico

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pelos alunos contribua para o desenvolvimento da sociedade A matemaacutetica reveste-se de significado

quando utiliza conceitos aplicaacuteveis na vida diaacuteria e ainda como suporte para as vaacuterias ciecircncias como

engenharia arquitetura fiacutesica medicina entre outra A geometria eacute um componente da Matemaacutetica

extremamente importante na construccedilatildeo desses conhecimentos cientiacuteficos e tecnoloacutegicos dos quais os

cidadatildeos devem se apropriar As recentes revisotildees do curriacuteculo de Matemaacutetica dos Ensinos

Fundamental e Meacutedio (SEED 2008) devolvem agrave Geometria a importacircncia que esta disciplina tem na

aprendizagem de Matemaacutetica no niacutevel elementar pois permite resolver problemas do cotidiano e

interfere fortemente na estruturaccedilatildeo do pensamento levando agrave construccedilatildeo do conhecimentordquo

Geometria Suas origens na Histoacuteria A palavra geometria eacute derivada do grego ldquogeometreinrdquo sendo

ldquogeordquo= terra e ldquometreinrdquo= medir A origem provaacutevel da Geometria vem da mediccedilatildeo dos terrenos do

Antigo Egito Poreacutem haacute registros na Histoacuteria de que outras civilizaccedilotildees antigas como Babilocircnia China

e Iacutendia tambeacutem possuiacuteam conhecimentos geomeacutetricos A Geometria surgiu da necessidade de melhorar

os sistema de arrecadaccedilatildeo de impostos de aacutereas rurais sendo os primeiros passos dados pelos egiacutepcios

para desenvolvecirc-la (figura 1)

Figura 1 - Aplicaccedilatildeo do conhecimento de semelhanccedila de triacircngulos

No chamado ldquoLivros dos Mortosrdquo do Egito antigo constava que roubar a terra do vizinho era considerado

uma ofensa tatildeo grave como quebrar um juramento ou assassinar algueacutem Naquela eacutepoca natildeo existiam

marcos fronteiriccedilos e os agricultores os administradores de templos palaacutecios e demais unidades

produtivas fundadas na agricultura natildeo tinham referecircncia clara do limite das suas posses tanto para

cultivo como para pagamento de impostos devidos aos governantes de acordo com a medida da sua

extensatildeo

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Todo o conhecimento matemaacutetico necessaacuterio para conquistar o desenvolvimento tecnoloacutegico estaacute muito

aleacutem da sala de aula devido agraves especificidades e complexidades teacutecnicas

A justificativa para a escolha do tema estudado trata da questatildeo de que a matemaacutetica ainda hoje eacute vista

por muitos alunos como uma disciplina difiacutecil e teoacuterica sendo que muitos dos conhecimentos natildeo tem

aplicaccedilatildeo praacutetica eacute necessaacuterio trabalhos que mostre novas maneiras de ensinar natildeo priorizando a

memorizaccedilatildeo de foacutermulas e situaccedilotildees sem contexto como acontecia em outros tempos

A geometria estaacute presente em diversas situaccedilotildees cotidianas tanto na escola quanto fora dela Ao andar

pelas ruas observar construccedilotildees e diferentes materiais observa-se que ela estaacute presente em toda parte

Para percebecirc-la basta ter um olhar sensiacutevel

No ensino da matemaacutetica eacute grande a necessidade da utilizaccedilatildeo de material praacuteticos especialmente no

ensino fundamental Poreacutem mesmo no ensino meacutedio esse material pode ser uma fonte que auxilia o

aluno na passagem do concreto para o abstrato tornando-o sujeito ativo do processo de construccedilatildeo do

conhecimento (Joseane e Silvio) Despertar o interesse do aluno na sala de aula ele deixaraacute a teoria e

passaraacute a ver a relaccedilatildeo entre o conteuacutedo estudado e a praacutetica A atividade que eacute proposta aqui aleacutem de

possibilitar que o aluno construa estruturas com a geometria espacial torna possiacutevel a visualizaccedilatildeo de

alguns elementos que no quadro satildeo menos notados Estes elementos satildeo os veacutertices as arestas as

faces e os apoacutetemas dos soacutelidos geomeacutetricos

Sendo destacados os objetivos especiacuteficos construir figuras geomeacutetricas espaciais com canudos de

jornais visualizar as propriedades matemaacuteticas de aacutereas e volumes compreender soluccedilotildees de problemas

estimular a vontade de aprender e proporcionar momentos de interaccedilotildees e aprendizagens entre os alunos

2 Referencial Teoacuterico

A geometria eacute frequentemente ensinada na lousa ou por meio de livros didaacuteticos Na abordagem de

figuras planas esse meacutetodo eacute faacutecil para o aprendizado da crianccedila mas quando se trata do ensino da

geometria espacial muitos alunos apresentam dificuldades na visualizaccedilatildeo dos soacutelidos geomeacutetricos e

com isso acabam se desinteressando pelas aulas

Segundo Viviane Aparecida Verona (mestre Engenharia e Ciecircncia de Mateacuterias) e Maria Regina Macieira

Lopes (Mestre em Meacutetodos Numeacutericos em Engenharia) ldquoNessa accedilatildeo reflexiva eacute que as Diretrizes

Curriculares do Estado do Paranaacute (SEED 2008) propotildeem que a matemaacutetica natildeo seja ensinada apenas

por sua beleza ou pela consistecircncia de suas teorias mas que a apropriaccedilatildeo do conhecimento matemaacutetico

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pelos alunos contribua para o desenvolvimento da sociedade A matemaacutetica reveste-se de significado

quando utiliza conceitos aplicaacuteveis na vida diaacuteria e ainda como suporte para as vaacuterias ciecircncias como

engenharia arquitetura fiacutesica medicina entre outra A geometria eacute um componente da Matemaacutetica

extremamente importante na construccedilatildeo desses conhecimentos cientiacuteficos e tecnoloacutegicos dos quais os

cidadatildeos devem se apropriar As recentes revisotildees do curriacuteculo de Matemaacutetica dos Ensinos

Fundamental e Meacutedio (SEED 2008) devolvem agrave Geometria a importacircncia que esta disciplina tem na

aprendizagem de Matemaacutetica no niacutevel elementar pois permite resolver problemas do cotidiano e

interfere fortemente na estruturaccedilatildeo do pensamento levando agrave construccedilatildeo do conhecimentordquo

Geometria Suas origens na Histoacuteria A palavra geometria eacute derivada do grego ldquogeometreinrdquo sendo

ldquogeordquo= terra e ldquometreinrdquo= medir A origem provaacutevel da Geometria vem da mediccedilatildeo dos terrenos do

Antigo Egito Poreacutem haacute registros na Histoacuteria de que outras civilizaccedilotildees antigas como Babilocircnia China

e Iacutendia tambeacutem possuiacuteam conhecimentos geomeacutetricos A Geometria surgiu da necessidade de melhorar

os sistema de arrecadaccedilatildeo de impostos de aacutereas rurais sendo os primeiros passos dados pelos egiacutepcios

para desenvolvecirc-la (figura 1)

Figura 1 - Aplicaccedilatildeo do conhecimento de semelhanccedila de triacircngulos

No chamado ldquoLivros dos Mortosrdquo do Egito antigo constava que roubar a terra do vizinho era considerado

uma ofensa tatildeo grave como quebrar um juramento ou assassinar algueacutem Naquela eacutepoca natildeo existiam

marcos fronteiriccedilos e os agricultores os administradores de templos palaacutecios e demais unidades

produtivas fundadas na agricultura natildeo tinham referecircncia clara do limite das suas posses tanto para

cultivo como para pagamento de impostos devidos aos governantes de acordo com a medida da sua

extensatildeo

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quando utiliza conceitos aplicaacuteveis na vida diaacuteria e ainda como suporte para as vaacuterias ciecircncias como

engenharia arquitetura fiacutesica medicina entre outra A geometria eacute um componente da Matemaacutetica

extremamente importante na construccedilatildeo desses conhecimentos cientiacuteficos e tecnoloacutegicos dos quais os

cidadatildeos devem se apropriar As recentes revisotildees do curriacuteculo de Matemaacutetica dos Ensinos

Fundamental e Meacutedio (SEED 2008) devolvem agrave Geometria a importacircncia que esta disciplina tem na

aprendizagem de Matemaacutetica no niacutevel elementar pois permite resolver problemas do cotidiano e

interfere fortemente na estruturaccedilatildeo do pensamento levando agrave construccedilatildeo do conhecimentordquo

Geometria Suas origens na Histoacuteria A palavra geometria eacute derivada do grego ldquogeometreinrdquo sendo

ldquogeordquo= terra e ldquometreinrdquo= medir A origem provaacutevel da Geometria vem da mediccedilatildeo dos terrenos do

Antigo Egito Poreacutem haacute registros na Histoacuteria de que outras civilizaccedilotildees antigas como Babilocircnia China

e Iacutendia tambeacutem possuiacuteam conhecimentos geomeacutetricos A Geometria surgiu da necessidade de melhorar

os sistema de arrecadaccedilatildeo de impostos de aacutereas rurais sendo os primeiros passos dados pelos egiacutepcios

para desenvolvecirc-la (figura 1)

Figura 1 - Aplicaccedilatildeo do conhecimento de semelhanccedila de triacircngulos

No chamado ldquoLivros dos Mortosrdquo do Egito antigo constava que roubar a terra do vizinho era considerado

uma ofensa tatildeo grave como quebrar um juramento ou assassinar algueacutem Naquela eacutepoca natildeo existiam

marcos fronteiriccedilos e os agricultores os administradores de templos palaacutecios e demais unidades

produtivas fundadas na agricultura natildeo tinham referecircncia clara do limite das suas posses tanto para

cultivo como para pagamento de impostos devidos aos governantes de acordo com a medida da sua

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A Geometria em seus primoacuterdios era uma ciecircncia empiacuterica ou seja experimental As mediccedilotildees

baseavam-se em algumas regras para se chegar a resultados aproximados As civilizaccedilotildees ora acertavam

em seus caacutelculos ora erravam pois natildeo havia um rigor matemaacutetico que os ajudasse em seus caacutelculos

Mas somente a partir do conhecimento desenvolvido pelos matemaacuteticos gregos eacute que a Geometria pocircde

ser estabelecida como teoria dedutiva Assim atraveacutes do raciociacutenio dedutivo comeccedilaram a provar a

veracidade das proposiccedilotildees atraveacutes de Hipoacuteteses e Demonstraccedilotildees Tales de Mileto (624-547 aC) e seu

disciacutepulo Pitaacutegoras (572-497 aC figura 2) reuniram todo o conhecimento do Egito da Etuacuterria da

Babilocircnia e mesmo da Iacutendia para desenvolvecirc-los e aplicaacute-los agrave matemaacutetica navegaccedilatildeo e religiatildeo A

curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados Um compasso logo substituiu a

corda e a estaca para traccedilar ciacuterculos e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geocircmetras O

conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagoacuterica chegou a afirmar que a Terra

era esfeacuterica e natildeo plana Surgiam novas construccedilotildees geomeacutetricas e suas aacutereas e periacutemetros eram agora

faacuteceis de calcular

Figura 2 - Pitaacutegora e as relaccedilotildees meacutetricas no triacircngulo retacircngulo

Pitaacutegoras apoacutes suas viagens ao Egito e agrave Babilocircnia estabeleceu-se em Crotona (cidade ao sul da Itaacutelia)

e fundou o que chamamos de ldquoEscola Pitagoacutericardquo um culto religioso e filosoacutefico que pregava a

purificaccedilatildeo do espiacuterito atraveacutes da muacutesica e da matemaacutetica Poreacutem natildeo existem documentos matemaacuteticos

produzidos por eles que tenham sido encontrados O que haacute registrado na Histoacuteria da Matemaacutetica eacute um

resumo feito por Proclo comentando os Elementos de Euclides do seacuteculo V aC referindo-se a Tales

de Mileto (figura 3) como o introdutor da Geometria na Greacutecia por importaccedilatildeo do Egito

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Figura 3 - Teorema de Tales importante ferramenta na determinaccedilatildeo de medidas utilizando a

proporcionalidade

As influecircncias da Geometria nas Ciecircncias fiacutesicas foi muito importante Como exemplo o astrocircnomo

Johannes Kepler mostrou que as relaccedilotildees entre as velocidades maacuteximas e miacutenimas dos planetas

propriedades intriacutensecas das oacuterbitas estavam em razotildees harmocircnicas (relaccedilotildees musicais) afirmando ser

uma muacutesica que soacute podia ser percebida com os ouvidos da alma (a mente do geocircmetra) A introduccedilatildeo do

ldquoPlano Cartesianordquo tambeacutem trouxe uma soluccedilatildeo simplificada para os problemas de Aacutelgebra

transformando-os em problemas de Geometria

1- Poliedro

Os poliedros satildeo figuras que fazem parte da geometria espacial ou seja possuem trecircs

dimensotildees (comprimento largura e altura) formados de veacutertices arestas e faces As faces do poliedro

satildeo formadas por poliacutegonos (figura plana fechada e composta de n segmentos de retas) e as arestas e os

veacutertices correspondem aos lados e aos veacutertices dos poliacutegonos

O Teorema ou Relaccedilatildeo de Euler eacute vaacutelido somente para poliedros regulares os quais todas as faces

possuem o mesmo nuacutemero de arestas e satildeo compostos de poliacutegonos regulares ou seja cada um com o

mesmo nuacutemero de lados Ademais nos poliacutegonos regulares para cada veacutertice converge um mesmo

nuacutemero de arestas Natildeo obstante o Teorema de Euler estabelece uma relaccedilatildeo entre o nuacutemero

de faces veacutertices e arestas a saber 119881 + 119865 minus 119860 = 2 sendo F o nuacutemero de faces V o nuacutemero de veacutertices

e A o nuacutemero de arestas

Alguns poliedros podem ser classificados em prismas (figura 4) ou piracircmides (figura 5) de acordo com

suas caracteriacutesticas

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Figura 4 - Prisma triangular

Figura 5 - Piracircmide quadrangular

II- Prismas

Textos histoacutericos mostram que o prisma eacute uma figura geomeacutetrica conhecida desde antes de 2000 aC

pois segundo Eves (2004) os estudiosos da eacutepoca jaacute mostram-se familiarizados com o volume do

paralelepiacutepedo reto retacircngulo e mais geralmente do volume do prisma reto de base trapezoidal Estudos

produzidos historicamente mostram que diversos estudiosos dedicaram-se ao estudo do prisma Dentre

estes estudiosos podemos destacar Platatildeo Demoacutecrito e Arquimedes Platatildeo que viveu no IV seacuteculo aC

dentre os seus estudos geomeacutetricos mostrou interesse pelo estudo do cubo quando estudou os poliedros

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regulares Ele associava cada poliedro com um dos elementos naturais sendo que o cubo era associado

com o elemento terra Enquanto Demoacutecrito comparou o volume do prisma com o volume da piracircmide

e Arquimedes (287 ndash 212 aC) definiu os soacutelidos arquimedianos Baseado nestes e outros dados diversos

matemaacuteticos dedicaram-se ao estudo do prisma com objetivos diversos neste trabalho seraacute abordado o

conceito de prisma segundo alguns autores contemporacircneos

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico que faz parte da geometria espacial caracterizado por ser

um poliedro convexo com duas bases (poliacutegonos iguais) congruentes e paralelas aleacutem das faces planas

laterais (paralelogramos) Note que os elementos que compotildeem o prisma satildeo base altura arestas

veacutertices e faces laterais

Assim as arestas das bases do prisma satildeo os lados das bases do poliacutegono enquanto que as arestas laterais

correspondem aos lados das faces que natildeo pertencem agraves bases Ademais os veacutertices do prisma satildeo os

pontos de encontro das arestas e a altura eacute calculada pela distacircncia entre os planos das bases

Classificaccedilatildeo dos Prismas Os primas (figura 6) satildeo classificados em retos (possuem arestas laterais

perpendiculares agrave base) e obliacutequos (possuem arestas laterais obliacutequas agrave base)

Figura 6 - prima reto (A) e prisma obliacutequo (B)

Bases do Prisma

De acordo com o formato das bases os primas (figura 7) satildeo classificados em

- Prisma Triangular base formada por triacircngulo

- Prisma Quadrangular base formada por quadrado

- Prisma Pentagonal base formada por pentaacutegono

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regulares Ele associava cada poliedro com um dos elementos naturais sendo que o cubo era associado

com o elemento terra Enquanto Demoacutecrito comparou o volume do prisma com o volume da piracircmide

e Arquimedes (287 ndash 212 aC) definiu os soacutelidos arquimedianos Baseado nestes e outros dados diversos

matemaacuteticos dedicaram-se ao estudo do prisma com objetivos diversos neste trabalho seraacute abordado o

conceito de prisma segundo alguns autores contemporacircneos

O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico que faz parte da geometria espacial caracterizado por ser

um poliedro convexo com duas bases (poliacutegonos iguais) congruentes e paralelas aleacutem das faces planas

laterais (paralelogramos) Note que os elementos que compotildeem o prisma satildeo base altura arestas

veacutertices e faces laterais

Assim as arestas das bases do prisma satildeo os lados das bases do poliacutegono enquanto que as arestas laterais

correspondem aos lados das faces que natildeo pertencem agraves bases Ademais os veacutertices do prisma satildeo os

pontos de encontro das arestas e a altura eacute calculada pela distacircncia entre os planos das bases

Classificaccedilatildeo dos Prismas Os primas (figura 6) satildeo classificados em retos (possuem arestas laterais

perpendiculares agrave base) e obliacutequos (possuem arestas laterais obliacutequas agrave base)

Figura 6 - prima reto (A) e prisma obliacutequo (B)

Bases do Prisma

De acordo com o formato das bases os primas (figura 7) satildeo classificados em

- Prisma Triangular base formada por triacircngulo

- Prisma Quadrangular base formada por quadrado

- Prisma Pentagonal base formada por pentaacutegono

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- Prisma Hexagonal base formada por hexaacutegono

- Prisma Heptagonal base formada por heptaacutegono

- Prisma Octogonal base formada por octoacutegono

Figura 7 - Exemplos de prismas

Importante ressaltar que os chamados ldquoprismas regularesrdquo satildeo aqueles cujas bases

satildeo poliacutegonos regulares e portanto formados por prismas retos Note que se todas as faces do prisma

forem quadrados trata-se de um cubo e se todas as faces satildeo paralelogramos o prisma eacute um

paralelepiacutepedo

Aacutereas do Prisma

- Aacuterea Lateral (119860119871) para calcular a aacuterea lateral do prisma basta somar as aacutereas das faces laterais Assim

a aacuterea lateral de um prisma reto que possui todas as aacutereas das faces laterais congruentes utiliza-se a

foacutermula 119860119871 = 119899 times 119860 onde 119899 = nuacutemero de lados e 119860119871 = aacuterea da face lateral

- Aacuterea Total (119860119879) para calcular a aacuterea total de um prisma basta somar as aacutereas das faces laterais e as

aacutereas das bases a saber 119860119879 = 119860119871 + 2 times 119860119861 onde 119860119861 = aacuterea do poliacutegono da base

Volume do Prisma

O volume (119881) do prisma eacute calculado pela seguinte foacutermula 119881 = 119860119861 times ℎ onde 119860119861 = aacuterea do poliacutegono

da base e ℎ = altura do prisma

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III- Piracircmides

Pode-se perceber atraveacutes das piracircmides do Egito que o estudo da piracircmide tem despertado interesse haacute

milhares de anos Observa-se isso atraveacutes da grande piracircmide de Gizeacute construiacuteda por volta de 2600 aC

em que ldquoo erro relativo envolvendo os lados da base quadrada eacute inferior a 114000 e o erro relativo

envolvendo os acircngulos retos dos veacutertices da base natildeo excedem a 127000rdquo (EVES 2004) mostrando

assim o conhecimento e a capacidade de engenharia empreendida na obra Para uma anaacutelise mais

aprofundada sobre a engenharia da eacutepoca eacute preciso considerar que os estudiosos babilocircnicos tinham um

conhecimento matemaacutetico superior aos dos egiacutepcios no mesmo periacuteodo ao mesmo tempo em que a

matemaacutetica romana era bastante inferior agrave da Greacutecia nestes mesmos anos Um dado que torna clara a

inferioridade da matemaacutetica egiacutepcia eacute o fato de que esta natildeo distinguia claramente medidas exatas de

medidas aproximadas Um exemplo disso eacute que ldquoo volume de um tronco de piracircmide era achado agraves

vezes tomando a meacutedia aritmeacutetica das bases e multiplicando pela alturardquo (BOYER 1974) Em

contrapartida tem-se o papiro de Moscou que traz uma foacutermula para o caacutelculo do volume de um tronco

de piracircmide de base quadrada que pode ser usada ateacute os dias atuais

A piracircmide eacute uma figura geomeacutetrica espacial um poliedro composto por uma base (triangular

pentagonal quadrada retangular paralelogramo) um veacutertice (veacutertice da piracircmide o ponto mais distante

da base da piracircmide) que une todas as faces laterais triangulares

Em outros termos a piracircmide eacute um soacutelido geomeacutetrico de base poligonal que possui todos os veacutertices num

plano (plano da base) donde sua altura corresponde a distacircncia entre o veacutertice e sua base Observe que o

nuacutemero de lados do poliacutegono da base corresponde ao nuacutemero de faces laterais da piracircmide

Elementos da Piracircmide

Figura 8 - Piracircmide quadrangular regular Figura 9 - Piracircmide quadrangular

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Das figuras 9 e 10

- Base (B) corresponde agrave regiatildeo plana poligonal na qual se sustenta a piracircmide

- Arestas laterais segmentos formados pela distacircncia do veacutertice da piracircmide ateacute sua base

- Apoacutetema da piracircmide (mrsquo) corresponde agrave altura de cada face lateral

- Apoacutetema da base (m) Medida que vai do ponto P ateacute qualquer lado da base de modo que forme um

acircngulo de 90deg com o lado da base

- Superfiacutecie Lateral eacute a superfiacutecie polieacutedrica composta por todas as faces laterais da piracircmide

- Veacutertice da piracircmide (V) representa o ponto de uniatildeo de todas as arestas laterais

- Altura da piracircmide (h) eacute a altura medida de V ateacute P Como estamos falando de piracircmides retas entatildeo

a altura seraacute sempre a medida de V ateacute P

- P ndash Ponto central da aacuterea da base

- r ndash Medida do ponto P ateacute qualquer veacutertice da base

Tipos de Piracircmide

Segundo as bases e o nuacutemero arestas que formam as piracircmides elas satildeo classificadas

- Piracircmide Triangular sua base eacute um triacircngulo composta de quatro faces (trecircs faces laterais e a face da

base)

- Piracircmide Quadrangular sua base eacute um quadrado composta de cinco faces (quatro faces laterais e a face

da base)

- Piracircmide Pentagonal sua base eacute um pentaacutegono composta de seis faces (cinco faces laterais e a face da

base)

- Piracircmide Hexagonal sua base eacute um hexaacutegono composta de sete faces (seis faces laterais e face da

base)

No tocante agrave inclinaccedilatildeo da base as piracircmides satildeo classificadas em piracircmides retas (a reta que une o

veacutertice da piracircmide ao centro da base eacute perpendicular ao plano que contem a base) ou piracircmides obliacutequas

(a reta que une o veacutertice da piracircmide (ponto mais alto) ao centro da base natildeo eacute perpendicular ao plano

que contem a base)

ico

Universidade Tecnoloacutegica Federal do Paranaacute

Campus Medianeira ndash Paranaacute ndash Brasil ISSN 2175-1846 v01 n01 2010 INOVACcedilAtildeO E TECNOLOGIA

Figura 10 - O Museu do Louvre em Paris tem a forma de uma piracircmide de base quadrangular

httpwwwinfoescolacomhistoriamuseu-do-louvre

Aacutereas

Para calcular a aacuterea total da piracircmide (119860119879) utiliza-se a seguinte foacutermula 119860119879 = 119860119871 + 119860119861 onde 119860119871 Aacuterea

lateral (soma das aacutereas de todas as faces laterais) e 119860119861 Aacuterea da base

Volume

Temos um prisma e uma piracircmide com a mesma base e a mesma altura (figura 11) Vamos comparar os

seus volumes

Figura 11 - Piracircmide e prisma com a mesma base e a mesma altura

ico

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Figura 10 - O Museu do Louvre em Paris tem a forma de uma piracircmide de base quadrangular

httpwwwinfoescolacomhistoriamuseu-do-louvre

Aacutereas

Para calcular a aacuterea total da piracircmide (119860119879) utiliza-se a seguinte foacutermula 119860119879 = 119860119871 + 119860119861 onde 119860119871 Aacuterea

lateral (soma das aacutereas de todas as faces laterais) e 119860119861 Aacuterea da base

Volume

Temos um prisma e uma piracircmide com a mesma base e a mesma altura (figura 11) Vamos comparar os

seus volumes

Figura 11 - Piracircmide e prisma com a mesma base e a mesma altura

ico

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Se enchermos de aacutegua e vertermos dentro do prisma ficaraacute cheia uma terccedila parte deste Quer dizer satildeo

necessaacuterias trecircs piracircmides para completar o volume do prisma

Figura 12 Volume da piracircmide ocupando a terccedila parte do volume do prisma

Para calcular o volume da piracircmide tem-se a expressatildeo

119881119901119894119903acirc119898119894119889119890 =1

3Aacute119903119890119886119887119886119904119890 times 119886119897119905119906119903119886

3 Metodologia

O projeto foi desenvolvido em uma turma de segundo ano do Ensino Meacutedio do Coleacutegio Passos Firmes

em Matelacircndia com 24 alunos no mecircs de setembro de 2014 Nessa turma foi abordado o conteuacutedo de

poliedros destacando para este trabalho os prismas e as piracircmides dentro das oito horasaula propostas

utilizando construccedilotildees para manipulaccedilatildeo aleacutem de atividades contextualizadas e demonstraccedilotildees praacuteticas

para o entendimento de foacutermulas Nas duas primeiras aulas uma revisatildeo em geometria plana em especial

os poliacutegonos regulares Aplicando atividades para calcular a aacuterea das figuras planas fazendo as correccedilotildees

e esclarecendo as duacutevidas Nas trecircs aulas seguintes divisatildeo da turma em grupos de quatro alunos e

relatando sobre os prismas e as piracircmides em seguida foi feita uma oficina com os alunos onde eles

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aprenderam a confeccionar estruturas que representam esboccedilos de soacutelidos geomeacutetricos Nas trecircs aulas

finais cada grupo de alunos apresentaram os trabalhos aos outros colegas fazendo o caacutelculo de aacuterea total

e volume de cada figura

4 Desenvolvimento das Atividades

Para a elaboraccedilatildeo desse trabalho foi necessaacuterio a utilizaccedilatildeo de canudos de jornais cola fita adesiva reacutegua

e tesoura Com o uso de canudos de jornais eles aprendem a montar as figura por meio de suas arestas

As atividades desenvolvidas com detalhes (fotos) estatildeo na sequecircncia

- Atividade 1 Construccedilatildeo de prismas

Figura 13 - Confecccedilotildees dos canudos de jornais

Figura 14 - Alunos do 2ordm ano do Ensino Meacutedio montando um prisma triangular

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Figura 15 - Alunas do 2ordm ano do Ensino Meacutedio colocando as diagonais de um cubo

Figura 16 - Alunos do 2ordm ano do Ensino Meacutedio apresentando um prisma octogonal

Figura 17 - Alunos do 2ordm ano do Ensino Meacutedio preparando as base do prisma hexagonal

ico

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Figura 18 - Bases do prisma hexagonal com suas arestas laterais

Figura 19 - Prisma hexagonal destacando suas diagonais

- Atividade 2 Construccedilatildeo de piracircmides

Figura 20 - Piracircmide quadrangular destacando a sua altura diagonal da base e o apoacutetema da base

ico

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Figura 21 - Piracircmide triangular regular destacando sua altura e os apoacutetemas

Figura 22 - Piracircmide hexagonal regular destacando a altura o apoacutetema da base e diagonal da base

- Atividade 3 Construccedilatildeo composta de primas e piracircmides

Figura 23 - Construccedilatildeo composta de um prisma hexagonal regular e uma piracircmide hexagonal regular

ico

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Figura 24 - Cubo com uma piracircmide quadrangular regular inscrita

5 Consideraccedilotildees Finais

Neste trabalho foi desenvolvido o conhecimento e o gosto pela geometria espacial fazendo com que os

alunos se sentissem envolvidos pelo trabalho e percebessem durante seu desenvolvimento que as

atividade com formas geomeacutetricas podem ser agradaacuteveis bem compreendida e aplicada no cotidiano dos

alunos (esqueleto do silo)

Por isso eacute essencial que o educador encare as dificuldades como um desafio estimulante Coerentemente

com esta postura eacute necessaacuterio que o mesmo reflita permanentemente sobre sua pratica pedagoacutegica

buscando cada vez mais aperfeiccediloaacute-la a fim de proporcionar a seus educandos um ensino de qualidade

Eacute importante destacar que o auxiacutelio aos alunos nas resoluccedilotildees de problemas atraveacutes da figuras

geomeacutetricas despertou neles um interesse maior pelos conteuacutedos que foram abordados contribuindo no

desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem

Ao teacutermino desse trabalho conclui-se que as atividades aqui propostas sirvam para que os professores

constatem a importacircncia de recapitular preacute-requisitos de geometria espacial ou mesmo de ensinaacute-los pela

primeira vez jaacute que nem sempre os alunos os estudam adequadamente

Tambeacutem eacute importante destacar que a maneira de avaliar os conteuacutedos de geometria espacial seja

repensada priorizando o raciociacutenio e natildeo a mera memorizaccedilatildeo Contribuindo assim de forma mais

efetiva para um processo de ensino e aprendizagem que faccedila diferenccedila na vidas dos alunos

Abstract The work is intended to facilitate the spatial geometry teaching that fall in the absence of basic

educational materials to work in the classroom exclusive rooms for the teaching of geometry and lack

of prerequisites by the content of pupils underlying geometry In relation to an ideal class has led

ico

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educators to seek ways to facilitate the teaching of mathematical properties which often become

tiresome The activity that is proposed here and enable the student to build structures with the spatial

geometry makes it possible to display some elements in the table are less noticed and also through the

use of manual work techniques arouse students interest in learn

Key-words spatial geometry high school teacher teaching and learning

Referecircncias

BOYER Carl Benjamin Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica volume uacutenico 1ordf ediccedilatildeo 4ordm impressatildeo Satildeo Paulo Aacutetica 2010

EVES Howard Introduccedilatildeo agrave Histoacuteria da Matemaacutetica Campinas SP Unicamp 2004

GIOVANNI Joseacute Ruy Matemaacutetica Atividades volumes 5 11 e 12 Satildeo Paulo FTD 1990

lthttpsletrasfaccatbrmoodlemodresourceviewphpid=368gt CALONI E MELLO Joseane

Casiraghi Silvio Quintino de Geometria Espacial no Ensino Meacutedio atividades praacuteticas e

contextualizadas para uma aprendizagem mais significativa

lthttpwwwsomatematicacombrhistoriaphpgt Acesso de janeiro de 2015 agrave setembro de 2015

lthttpwwwdiaadiaeducacaoprgovbrportalspdearquivos2455-8pdfgt Acesso de janeiro agrave setembro

de 2015 Artigo Aplicaccedilatildeo da Geometria Espacial em Ambientes Diversos mestres Viviane Aparecida

Verona e Maria Regina Macieira Lopes A Geometria Suas origens na Histoacuteria

lthttpmateeducblogspotcombr201203primordios-da-geometria-suas-origens-nahtmlgt Acesso de

janeiro agrave setembro de 2015 Geometria Suas origens na Histoacuteria

lthttpwwwtrabalhosfeitoscomensaiosOficina-De-Canudinho43655365htmlgt Acesso fevereiro de

2015 Oficina de canudinho (2013) TrabalhosFeitoscom

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Figura 15 - Alunas do 2ordm ano do Ensino Meacutedio colocando as diagonais de um cubo

Figura 16 - Alunos do 2ordm ano do Ensino Meacutedio apresentando um prisma octogonal

Figura 17 - Alunos do 2ordm ano do Ensino Meacutedio preparando as base do prisma hexagonal

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Figura 19 - Prisma hexagonal destacando suas diagonais

- Atividade 2 Construccedilatildeo de piracircmides

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Figura 21 - Piracircmide triangular regular destacando sua altura e os apoacutetemas

Figura 22 - Piracircmide hexagonal regular destacando a altura o apoacutetema da base e diagonal da base

- Atividade 3 Construccedilatildeo composta de primas e piracircmides

Figura 23 - Construccedilatildeo composta de um prisma hexagonal regular e uma piracircmide hexagonal regular

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Figura 24 - Cubo com uma piracircmide quadrangular regular inscrita

5 Consideraccedilotildees Finais

Neste trabalho foi desenvolvido o conhecimento e o gosto pela geometria espacial fazendo com que os

alunos se sentissem envolvidos pelo trabalho e percebessem durante seu desenvolvimento que as

atividade com formas geomeacutetricas podem ser agradaacuteveis bem compreendida e aplicada no cotidiano dos

alunos (esqueleto do silo)

Por isso eacute essencial que o educador encare as dificuldades como um desafio estimulante Coerentemente

com esta postura eacute necessaacuterio que o mesmo reflita permanentemente sobre sua pratica pedagoacutegica

buscando cada vez mais aperfeiccediloaacute-la a fim de proporcionar a seus educandos um ensino de qualidade

Eacute importante destacar que o auxiacutelio aos alunos nas resoluccedilotildees de problemas atraveacutes da figuras

geomeacutetricas despertou neles um interesse maior pelos conteuacutedos que foram abordados contribuindo no

desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem

Ao teacutermino desse trabalho conclui-se que as atividades aqui propostas sirvam para que os professores

constatem a importacircncia de recapitular preacute-requisitos de geometria espacial ou mesmo de ensinaacute-los pela

primeira vez jaacute que nem sempre os alunos os estudam adequadamente

Tambeacutem eacute importante destacar que a maneira de avaliar os conteuacutedos de geometria espacial seja

repensada priorizando o raciociacutenio e natildeo a mera memorizaccedilatildeo Contribuindo assim de forma mais

efetiva para um processo de ensino e aprendizagem que faccedila diferenccedila na vidas dos alunos

Abstract The work is intended to facilitate the spatial geometry teaching that fall in the absence of basic

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tiresome The activity that is proposed here and enable the student to build structures with the spatial

geometry makes it possible to display some elements in the table are less noticed and also through the

use of manual work techniques arouse students interest in learn

Key-words spatial geometry high school teacher teaching and learning

Referecircncias

BOYER Carl Benjamin Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica volume uacutenico 1ordf ediccedilatildeo 4ordm impressatildeo Satildeo Paulo Aacutetica 2010

EVES Howard Introduccedilatildeo agrave Histoacuteria da Matemaacutetica Campinas SP Unicamp 2004

GIOVANNI Joseacute Ruy Matemaacutetica Atividades volumes 5 11 e 12 Satildeo Paulo FTD 1990

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contextualizadas para uma aprendizagem mais significativa

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Figura 19 - Prisma hexagonal destacando suas diagonais

- Atividade 2 Construccedilatildeo de piracircmides

Figura 20 - Piracircmide quadrangular destacando a sua altura diagonal da base e o apoacutetema da base

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Figura 22 - Piracircmide hexagonal regular destacando a altura o apoacutetema da base e diagonal da base

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Figura 23 - Construccedilatildeo composta de um prisma hexagonal regular e uma piracircmide hexagonal regular

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Neste trabalho foi desenvolvido o conhecimento e o gosto pela geometria espacial fazendo com que os

alunos se sentissem envolvidos pelo trabalho e percebessem durante seu desenvolvimento que as

atividade com formas geomeacutetricas podem ser agradaacuteveis bem compreendida e aplicada no cotidiano dos

alunos (esqueleto do silo)

Por isso eacute essencial que o educador encare as dificuldades como um desafio estimulante Coerentemente

com esta postura eacute necessaacuterio que o mesmo reflita permanentemente sobre sua pratica pedagoacutegica

buscando cada vez mais aperfeiccediloaacute-la a fim de proporcionar a seus educandos um ensino de qualidade

Eacute importante destacar que o auxiacutelio aos alunos nas resoluccedilotildees de problemas atraveacutes da figuras

geomeacutetricas despertou neles um interesse maior pelos conteuacutedos que foram abordados contribuindo no

desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem

Ao teacutermino desse trabalho conclui-se que as atividades aqui propostas sirvam para que os professores

constatem a importacircncia de recapitular preacute-requisitos de geometria espacial ou mesmo de ensinaacute-los pela

primeira vez jaacute que nem sempre os alunos os estudam adequadamente

Tambeacutem eacute importante destacar que a maneira de avaliar os conteuacutedos de geometria espacial seja

repensada priorizando o raciociacutenio e natildeo a mera memorizaccedilatildeo Contribuindo assim de forma mais

efetiva para um processo de ensino e aprendizagem que faccedila diferenccedila na vidas dos alunos

Abstract The work is intended to facilitate the spatial geometry teaching that fall in the absence of basic

educational materials to work in the classroom exclusive rooms for the teaching of geometry and lack

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tiresome The activity that is proposed here and enable the student to build structures with the spatial

geometry makes it possible to display some elements in the table are less noticed and also through the

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Key-words spatial geometry high school teacher teaching and learning

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DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica volume uacutenico 1ordf ediccedilatildeo 4ordm impressatildeo Satildeo Paulo Aacutetica 2010

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Figura 22 - Piracircmide hexagonal regular destacando a altura o apoacutetema da base e diagonal da base

- Atividade 3 Construccedilatildeo composta de primas e piracircmides

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5 Consideraccedilotildees Finais

Neste trabalho foi desenvolvido o conhecimento e o gosto pela geometria espacial fazendo com que os

alunos se sentissem envolvidos pelo trabalho e percebessem durante seu desenvolvimento que as

atividade com formas geomeacutetricas podem ser agradaacuteveis bem compreendida e aplicada no cotidiano dos

alunos (esqueleto do silo)

Por isso eacute essencial que o educador encare as dificuldades como um desafio estimulante Coerentemente

com esta postura eacute necessaacuterio que o mesmo reflita permanentemente sobre sua pratica pedagoacutegica

buscando cada vez mais aperfeiccediloaacute-la a fim de proporcionar a seus educandos um ensino de qualidade

Eacute importante destacar que o auxiacutelio aos alunos nas resoluccedilotildees de problemas atraveacutes da figuras

geomeacutetricas despertou neles um interesse maior pelos conteuacutedos que foram abordados contribuindo no

desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem

Ao teacutermino desse trabalho conclui-se que as atividades aqui propostas sirvam para que os professores

constatem a importacircncia de recapitular preacute-requisitos de geometria espacial ou mesmo de ensinaacute-los pela

primeira vez jaacute que nem sempre os alunos os estudam adequadamente

Tambeacutem eacute importante destacar que a maneira de avaliar os conteuacutedos de geometria espacial seja

repensada priorizando o raciociacutenio e natildeo a mera memorizaccedilatildeo Contribuindo assim de forma mais

efetiva para um processo de ensino e aprendizagem que faccedila diferenccedila na vidas dos alunos

Abstract The work is intended to facilitate the spatial geometry teaching that fall in the absence of basic

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tiresome The activity that is proposed here and enable the student to build structures with the spatial

geometry makes it possible to display some elements in the table are less noticed and also through the

use of manual work techniques arouse students interest in learn

Key-words spatial geometry high school teacher teaching and learning

Referecircncias

BOYER Carl Benjamin Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica volume uacutenico 1ordf ediccedilatildeo 4ordm impressatildeo Satildeo Paulo Aacutetica 2010

EVES Howard Introduccedilatildeo agrave Histoacuteria da Matemaacutetica Campinas SP Unicamp 2004

GIOVANNI Joseacute Ruy Matemaacutetica Atividades volumes 5 11 e 12 Satildeo Paulo FTD 1990

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Casiraghi Silvio Quintino de Geometria Espacial no Ensino Meacutedio atividades praacuteticas e

contextualizadas para uma aprendizagem mais significativa

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de 2015 Artigo Aplicaccedilatildeo da Geometria Espacial em Ambientes Diversos mestres Viviane Aparecida

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5 Consideraccedilotildees Finais

Neste trabalho foi desenvolvido o conhecimento e o gosto pela geometria espacial fazendo com que os

alunos se sentissem envolvidos pelo trabalho e percebessem durante seu desenvolvimento que as

atividade com formas geomeacutetricas podem ser agradaacuteveis bem compreendida e aplicada no cotidiano dos

alunos (esqueleto do silo)

Por isso eacute essencial que o educador encare as dificuldades como um desafio estimulante Coerentemente

com esta postura eacute necessaacuterio que o mesmo reflita permanentemente sobre sua pratica pedagoacutegica

buscando cada vez mais aperfeiccediloaacute-la a fim de proporcionar a seus educandos um ensino de qualidade

Eacute importante destacar que o auxiacutelio aos alunos nas resoluccedilotildees de problemas atraveacutes da figuras

geomeacutetricas despertou neles um interesse maior pelos conteuacutedos que foram abordados contribuindo no

desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem

Ao teacutermino desse trabalho conclui-se que as atividades aqui propostas sirvam para que os professores

constatem a importacircncia de recapitular preacute-requisitos de geometria espacial ou mesmo de ensinaacute-los pela

primeira vez jaacute que nem sempre os alunos os estudam adequadamente

Tambeacutem eacute importante destacar que a maneira de avaliar os conteuacutedos de geometria espacial seja

repensada priorizando o raciociacutenio e natildeo a mera memorizaccedilatildeo Contribuindo assim de forma mais

efetiva para um processo de ensino e aprendizagem que faccedila diferenccedila na vidas dos alunos

Abstract The work is intended to facilitate the spatial geometry teaching that fall in the absence of basic

educational materials to work in the classroom exclusive rooms for the teaching of geometry and lack

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educators to seek ways to facilitate the teaching of mathematical properties which often become

tiresome The activity that is proposed here and enable the student to build structures with the spatial

geometry makes it possible to display some elements in the table are less noticed and also through the

use of manual work techniques arouse students interest in learn

Key-words spatial geometry high school teacher teaching and learning

Referecircncias

BOYER Carl Benjamin Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica volume uacutenico 1ordf ediccedilatildeo 4ordm impressatildeo Satildeo Paulo Aacutetica 2010

EVES Howard Introduccedilatildeo agrave Histoacuteria da Matemaacutetica Campinas SP Unicamp 2004

GIOVANNI Joseacute Ruy Matemaacutetica Atividades volumes 5 11 e 12 Satildeo Paulo FTD 1990

lthttpsletrasfaccatbrmoodlemodresourceviewphpid=368gt CALONI E MELLO Joseane

Casiraghi Silvio Quintino de Geometria Espacial no Ensino Meacutedio atividades praacuteticas e

contextualizadas para uma aprendizagem mais significativa

lthttpwwwsomatematicacombrhistoriaphpgt Acesso de janeiro de 2015 agrave setembro de 2015

lthttpwwwdiaadiaeducacaoprgovbrportalspdearquivos2455-8pdfgt Acesso de janeiro agrave setembro

de 2015 Artigo Aplicaccedilatildeo da Geometria Espacial em Ambientes Diversos mestres Viviane Aparecida

Verona e Maria Regina Macieira Lopes A Geometria Suas origens na Histoacuteria

lthttpmateeducblogspotcombr201203primordios-da-geometria-suas-origens-nahtmlgt Acesso de

janeiro agrave setembro de 2015 Geometria Suas origens na Histoacuteria

lthttpwwwtrabalhosfeitoscomensaiosOficina-De-Canudinho43655365htmlgt Acesso fevereiro de

2015 Oficina de canudinho (2013) TrabalhosFeitoscom

ico

Universidade Tecnoloacutegica Federal do Paranaacute

Campus Medianeira ndash Paranaacute ndash Brasil ISSN 2175-1846 v01 n01 2010 INOVACcedilAtildeO E TECNOLOGIA

educators to seek ways to facilitate the teaching of mathematical properties which often become

tiresome The activity that is proposed here and enable the student to build structures with the spatial

geometry makes it possible to display some elements in the table are less noticed and also through the

use of manual work techniques arouse students interest in learn

Key-words spatial geometry high school teacher teaching and learning

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BOYER Carl Benjamin Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica volume uacutenico 1ordf ediccedilatildeo 4ordm impressatildeo Satildeo Paulo Aacutetica 2010

EVES Howard Introduccedilatildeo agrave Histoacuteria da Matemaacutetica Campinas SP Unicamp 2004

GIOVANNI Joseacute Ruy Matemaacutetica Atividades volumes 5 11 e 12 Satildeo Paulo FTD 1990

lthttpsletrasfaccatbrmoodlemodresourceviewphpid=368gt CALONI E MELLO Joseane

Casiraghi Silvio Quintino de Geometria Espacial no Ensino Meacutedio atividades praacuteticas e

contextualizadas para uma aprendizagem mais significativa

lthttpwwwsomatematicacombrhistoriaphpgt Acesso de janeiro de 2015 agrave setembro de 2015

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de 2015 Artigo Aplicaccedilatildeo da Geometria Espacial em Ambientes Diversos mestres Viviane Aparecida

Verona e Maria Regina Macieira Lopes A Geometria Suas origens na Histoacuteria

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janeiro agrave setembro de 2015 Geometria Suas origens na Histoacuteria

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2015 Oficina de canudinho (2013) TrabalhosFeitoscom

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Universidade Tecnoloacutegica Federal do Paranaacute

Campus Medianeira ndash Paranaacute ndash Brasil ISSN 2175-1846 v01 n01 2010 INOVACcedilAtildeO E TECNOLOGIA

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCACcedilAtildeO DO PARANAacute Diretrizes Curriculares da Educaccedilatildeo

Baacutesica Matemaacutetica Paranaacute 2008

SILVA Tomaz T O que Produz e o que Reproduz em Educaccedilatildeo Porto Alegre Artmed 1992