Propostas de resolução Capítulo 5 – Figuras geométricas

Propostas de resolução

Matemática Dinâmica, 7.º ano – Parte 2 Capítulo 5 – Página 1

Capítulo 5 – Figuras geométricas

50 + 50 Avalia o que sabes

Pág. 50

1. Observando a posição relativa das faces do cubo na planificação conclui-se que:

Resposta: (A)

2. O número de diagonais de um hexágono é obtido por ( )6 6 3

92

× −= . Logo, a razão entre o

número de lados do hexágono (n = 6) e o número de diagonais (9) do hexágono é 6 29 3

= .

Resposta: (B)

3. O perímetro do círculo de diâmetro é obtido da forma P d= × π , sendo d o diâmetro do

círculo. Assim, ( ) cm 31,415 926 54...P d= × π ≈

Portanto, que, obteve melhor aproximação para o perímetro foi o João.

Resposta: (C)

50 + 50 Avalia o que sabes

Pág. 51

4. Atendendo aos dados da figura conclui-se que a largura de cada cartão é igual a 5 cm.

Assim, a área da fotografia visível é dada por ( ) 2 220 10 cm 200 cmA = × = .

A área da fotografia visível é 200 cm2.

5. Se os dois vértices coincidissem com os centros de cada quadrado

(ver figura ao lado), facilmente se concluiria que a área colorida seria

14

da área do quadrado. No entanto, basta que um vértice de um



quadrado coincida com o centro do outro quadrado para que as figuras obtidas (regiões

comuns aos dois quadrados) tenham a mesma área e igual a 14

da área do quadrado.

Assim: 2 2 2quadrado 10 cm 100 cmA = = .

Logo, a área colorida é 21100 cm

4× , ou seja, 25 cm2.

6. Triângulo acutângulo e escaleno Triângulo obtusângulo e escaleno

Triângulo acutângulo e equilátero

7. Por um lado, 10AB BC< + (1) e 10 AB BC< + (2). A condição (1) é sempre verdadeira,

para qualquer valor positivo de BC . A condição (2) é equivalente a AC BC= . Como o

perímetro do triângulo é inferior a 36 cm, tem-se:

10 36AC BC+ + < , ou seja, 26AC BC+ < . Como AC BC= , então 13AC < . Portanto, o

comprimento dos lados [AC] e [BC] é superior a 5 cm e inferior a 13 cm.

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Pág. 55

1.1. Linha poligonal não simples e aberta 1.2. Linha poligonal não simples e aberta

1.3. Linha poligonal simples fechada 1.4. Linha poligonal não simples e fechada



2. Por exemplo:

2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

3. (A) e (D), pois não é uma linha poligonal simples.

4. Sabe-se que o número de diagonais de um polígono é dada pela expressão ( )3

2

n n× −,

sendo n > 3. Neste caso, n = 22. Assim, ( )22 22 3

11 19 2092

× −= × = . O polígono tem 209

diagonais.

5. No caso do pentágono, o número de diagonais é igual ao número de lados. Vejamos:

( )5 5 3 5 25

2 2

× − ×= =

Atendendo à fórmula ( )3

2

n n× −, facilmente se conclui que toma o valor de n quando

3 2n − = , ou seja, n = 5.

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Pág. 57

1.1. Por exemplo, traçando a diagonal [AC].

1.2. Dado que o quadrilátero é decomposto em dois triângulos, então a soma das amplitudes

dos ângulos internos é 2 × 180 = 360, ou seja, 360°.

2. Sabe-se que a soma das medidas, em graus, das amplitudes dos ângulos internos de um

hexágono é dada por: ( )6 2 180 4 180 720− × = × = .

Assim, determinamos a amplitude do sexto ângulo interno do hexágono efetuando o

seguinte cálculo: ( )720º 100º 65º 98º 152º 170º 720º 585º 135º− + + + + = − =

O sexto ângulo interno do hexágono tem 135º de amplitude.



3. Sabe-se que a soma das medidas, em graus, das amplitudes dos ângulos externos (um

por vértice) de um qualquer polígono convexo é 360.

Como se trata de um polígono regular com 12 lados, tem-se que 360

3012

= é a medida, em

graus, da amplitude de um ângulo externo.

Como um ângulo interno é um ângulo suplementar e adjacente a um ângulo externo e o

polígono é regular, então a medida, em graus, da amplitude de um ângulo interno é igual a

180 30 150− = .

Concluindo, tem-se:

▪ amplitude do ângulo externo: 30º

▪ amplitude do ângulo interno: 150º

4.1. A medida, em graus, da amplitude de um ângulo externo de um polígono regular é dada

pela expressão 360

n.

4.2. A medida, em graus, da amplitude de ângulo interno de um polígono regular é dada pela

expressão 360

180n

− .

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Pág. 61

1.1. Os triângulos [ABD] e [ACD] são geometricamente iguais pelo critério LAL, dado que são

retos, respetivamente, em A e D e são geometricamente iguais os lados [AB] e [CD], sendo

comum o lado [AD].

1.2. Pela alínea anterior, conclui-se que as diagonais do retângulo, [DB] e [AC], são

geometricamente iguais por se oporem a ângulos geometricamente iguais em triângulos

geometricamente iguais.

2.1. a) Um papagaio é um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos

geometricamente iguais. Por hipótese, BA BC= , pelo que também se tem DA DC= .

Assim, os pontos B e D são ambos equidistantes dos pontos A e C, pelo que pertencem

à mediatriz do segmento [AC]. Logo, a reta BD é a mediatriz do segmento de reta [AC].

b) [AC] e [BD] ou os seus prolongamentos são perpendiculares, pois a mediatriz de um

segmento de reta é uma reta perpendicular a esse segmento de reta.

c) Um losango é um papagaio, pelo que as diagonais ou os seus prolongamentos são

perpendiculares.



2.2. a) [PQRS] é um paralelogramo, logo as diagonais bissetam-se.

b) QS é a mediatriz de [PR] pois é perpendicular a [PR] no seu ponto médio T.

c) Sabe-se que os lados opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais, ou

seja, que PS QR= e PQ SR= . Como QS é a mediatriz de [PR], então PQ QR= , logo

os quatro lados do paralelogramo são geometricamente iguais, pelo que este é um

losango.

3.1. [AECD] é um paralelogramo, logo AD EC= . Como o trapézio é isósceles, tem-se

CB AD= , pelo que também BC EC= , ou seja, o triângulo [CEB] é isósceles.

3.2. Como o triângulo [CEB] é isósceles podemos concluir que � �CEB CBE= , uma vez que, num

triângulo, a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais.

Como � �BEC EAD= , pois são ângulos correspondentes determinados pela secante AB em

retas paralelas, então � �EAD CBE= .

3.3. Os triângulos [ADB] e [ACB] são geometricamente iguais pelo critério LAL de igualdade de

triângulos, pois [AB] é um lado comum aos dois triângulos, AD BC= (o trapézio é

isósceles) e � �EAD CBE= , pela alínea anterior.

3.4. AC BD= porque, em triângulos geometricamente iguais, a ângulos geometricamente

iguais opõem-se lados geometricamente iguais.

4.1 e 4.2. Comecemos por marcar o ponto médio, M, do lado [DF]. Para tal, podemos definir a

mediatriz do segmento [DF] utilizando régua e compasso.

Assim, o transformado do triângulo [DEF] pela reflexão central de centro M é o triângulo

[FGD].

4.3. A reflexão central transforma cada segmento com extremos distintos do centro de reflexão

num segmento paralelo. Portanto, os lados opostos do quadrilátero [DEFG] são paralelos

pelo que se conclui que este é um paralelogramo.



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Pág. 63

1.1. Considerando os pontos A, B e C não colineares, tracemos

os lados [AB] e [AC]. Utilizando régua e compasso, tracemos

a semirreta de origem em C e paralela ao lado [AB]. Da

mesma forma, tracemos a semirreta com origem em B e

paralela ao lado [AC]. Designemos por D o ponto de

interseção das semirretas.

Obtém-se assim, o paralelogramo:

1.2. Podemos considerar três soluções como se mostra de seguida:

1.3. Sabe-se que as diagonais de um paralelogramo são

geometricamente iguais. Assim, tracemos o segmento [BD]

de tal modo que BO OD= ; segmento [AC] de tal modo que

AO OC= e os lados [CD], [AD] e [BC], obtendo, assim, o

paralelogramo [ABCD].

1.4. Desenha-se a diagonal [AC] com 6 cm de comprimento;

o ângulo CAD de amplitude 40°; a mediatriz de [AC] e

assinala-se o ponto O. O ponto D é o ponto de

interseção da mediatriz com a semirreta ADɺ , obtendo-

se o lado [AD] do triângulo [ACD]. O ponto B é tal que

OD OB= . De seguida, desenha-se [AB] e completa-se

o paralelogramo, sendo BC AD= , AB // DC e AD // BC.

1.5. Utilizando régua e compasso tracemos o segmento [MC] com comprimento 2 cm. Em

seguida, construímos um ângulo CMD cuja amplitude é 120º. Defina-se o segmento de



reta [MD] com comprimento 3 cm. Tracemos os segmentos de reta [MA] e [MB] com

comprimento 2 cm e 3 cm, respetivamente. Obtém-se:

2.1. Um papagaio é um quadrilátero com dois pares de lados consecutivos geometricamente

iguais. O losango é um caso particular que tem os quatro lados geometricamente iguais.

2.2. Um quadrado é um quadrilátero com quatro ângulos retos e quatro lados geometricamente

iguais. Os quatro triângulos formados pelas diagonais são triângulos retângulos isósceles

e, pelo critério ALA, estes triângulos são geometricamente iguais. Logo, as diagonais são

perpendiculares, geometricamente iguais e bissetam-se. Por outro lado, se as diagonais se

bissetam, então o quadrilátero é um paralelogramo. Se tem as diagonais geometricamente

iguais, então é um retângulo, ou seja, os ângulos internos são retos. Como as diagonais

são perpendiculares, então é um losango, ou seja, tem os lados geometricamente iguais.

Logo, o quadrilátero é um quadrado.

2.3. Um losango é um paralelogramo com os lados todos geometricamente iguais. Os quatro

triângulos formados pelas diagonais são geometricamente iguais pelo critério LLL, logo

cada diagonal bisseta os ângulos internos que têm vértices nos seus extremos.

2.4. Os ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares, pelo que os restantes

ângulos do paralelogramo são retos. Portanto, o paralelogramo é um retângulo.

3. Se o quadrilátero é convexo e tem os três ângulos

geometricamente iguais, então [PQRS] é um

paralelogramo. Como � 110ºQPS = , então

� 110ºSRQ = .

Como os ângulos adjacentes a um mesmo lado são

suplementares, então � �70ºPSR RQP= = .



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Pág. 67

1. Um trapézio com as bases geometricamente iguais a b unidades e altura a unidades é um

paralelogramo de base b e altura a. Portanto, a área é dada por a * b unidades

quadradas.

ou

Fixada uma unidade de comprimento, a área de um trapézio de bases de comprimento B e

b unidades e a unidades de altura é igual2

B ba

+ × unidades quadradas. Como B = b,

então: 2

2 2 2B b b b b

a a a b a+ +× = × = × = × .

2. A diagonal [BD] é bissetada pela diagonal [AC] do papagaio.

Assim, 2 2 2 4AB ED= × = × = .

Logo, a área do papagaio é dada por: [ ]

8 416

2 2ABCD

AC BDA

× ×= = =

A área do papagaio [ABCD] é 16 cm2.

3. Sabe-se que 752

AC BD× = , ou seja, 150AC BD× = . Pretende-se dois números positivos,

tais que o seu produto é igual a 150 e a diferença entre eles sejam 5 unidades. Analisando

algumas hipóteses, conclui-se que:

▪ o comprimento da diagonal menor é 10 cm;

▪ o comprimento da diagonal maior é (10 + 5) cm = 15 cm.

4. A área da região a verde é dada pela diferença entre a área do quadrado e a área do

círculo. A área do quadrado é 52 = 25 cm2. A área do círculo é 2 2 22,5 cm 6,25 cmπ × = π .

Portanto, a área da região verde é ( ) 225 6,25 cm− π .

5. O trapézio [ABCD] é isósceles, pelo que BC AD= . Como o triângulo é isósceles, pois

� � 45ºADE EAD= = , então 2 cmAE a= = .

Portanto, a área do trapézio é obtida por:

[ ]

6 22 8

2ABCDA+= × =

A área do trapézio [ABCD] é 8 cm2.



6.1. ▪ Área, em cm2, do papagaio A:

5 2

52× =

▪ Comprimento da diagonal menor, d, em cm, do papagaio B:

1222 12 44

244 1112 3

dd

d

× = ⇔ × =

⇔ = =

▪ Comprimento da diagonal maior, D, em cm, do papagaio C:

1042 10 84

284

8,410

DD

D

× = ⇔ =

⇔ = =

▪ Comprimento da diagonal maior, D, em cm, do papagaio D:

27 7

2D

D× = ⇔ =

▪ Comprimento da diagonal menor, d, em cm, do papagaio E:

8,522,1 8,5 44,2

244,2

5,28,5

dd

d

× = ⇔ × =

⇔ = =

Completando a tabela, tem-se:

6.2. ▪ Área, em cm2, do trapézio F:

10 7 17

3 3 25,52 2+ × = × =

▪ Comprimento da base menor, b, em cm, do trapézio G:

( )84 32 8 2 32 8 16 16 8 8

2b

b b b b+ × = ⇔ + × = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ =

Papagaio Diagonal maior (D) cm

Diagonal menor (d) cm

Área (cm 2)

A 5 2 5

B 12 113

22

C 8,4 10 42

D 7 2 7

E 8,5 5,2 22,1



▪ Comprimento da base maior, B, em cm, do trapézio H:

( )6 1005 50 6 5 100 6 6 20 20 6 14

2 5B

B B B B B+ × = ⇔ + × = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ =

▪ Altura, a, em cm, do trapézio I:

( )20 13 9949,5 20 13 99 33 99 3

2 33a a a a

+ × = ⇔ + × = ⇔ = ⇔ = =

▪ Altura, a, em cm, do trapézio J:

11 5 11 5 11 51 7 6 1 43 11 5 432 3 2 3 2 37

2 6 2 6 2 6 2 3 3a a a a

+ + +× + × = ⇔ × = ⇔ × = ⇔ + × =

33 10 43 43 43 43 43:

6 6 3 6 3 3 6

43 62

3 43

a a a

a a

⇔ + × = ⇔ × = ⇔ =

⇔ = × ⇔ =

▪ Comprimento da base maior, B, em cm, do trapézio K:

( )5 534 26,5 5 4 53 5 13,25 5 8,25

2 4B

B B B B+ × = ⇔ + × = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ =

Completando a tabela, tem-se:

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Pág. 71

1.1. Os retângulos A e B não são semelhantes, pois não existe correspondência entre os lados

tal que os comprimentos de lados correspondentes sejam diretamente proporcionais:

3,5 1 3,5 1

e3 0,6 0,6 3

≠ ≠

Trapézio Base maior (B) cm

Base menor (b) cm

Altura (a) cm

Área (cm 2)

F 10 7 3 25,5

G 8 8 4 32

H 14 6 5 50

I 20 13 3 49,5

J 112

53

2 1

76

K 8,25 5 4 26,5



1.2. Se a razão de semelhança é 2, então vamos obter

uma ampliação do retângulo A, onde cada um dos

comprimentos dos seus lados é multiplicado por 2.

1.3. A razão de semelhança é ( )21

3< , logo o retângulo obtido será uma

redução do retângulo B. Cada um dos comprimentos dos lados do

retângulo é multiplicado por 23

.

2.1. Como os retângulos são semelhantes então existe uma correspondência entre os vértices

de um e do outro, de tal modo que os comprimentos dos lados e das diagonais são,

respetivamente, diretamente proporcionais. Assim, considerando o retângulo original com a

largura 3 cm, a razão de semelhança é 25

2,510

r = = .

2.2. De forma semelhante à questão anterior, conclui-se que a razão de semelhança, r, é

1,50,5

3r = = .

3. Como a razão de semelhança é 34

, cada comprimento da figura original é multiplicado por

34

, obtendo-se uma redução.

4. A razão de semelhança é 65

.

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Pág. 75

1.1. Pelo Teorema de Tales, obtém-se: 18,9 18,9 15

634,5 15 4,5

OCOC

×= ⇔ = =

Portanto, 63OC = cm.



1.2. Determinemos AD , pelo Teorema de Tales:

( )24 10 24010 24 15 10 10

15 10 15

16 10 6

ADAD AD

AD AD

+= ⇔ × = × × ⇔ = +

⇔ − = ⇔ =

Logo, 6AD = cm.

1.6. Pelo Teorema de Tales, tem-se: 5 5 3

3,754 3 4

CDCD

×= ⇔ = = .

Logo, 3,75CD = m.

2.1. Pelo Teorema de Tales, determinemos, em cm, BD :

200 602 120 60 60

100 60 60AB BD

BD BD+= ⇔ = ⇔ = + ⇔ =

Determinemos, em cm, CD tendo em conta o Teorema de Tales:

200 752 150 75

100 75 75

150 75 75

AC CECE

CE CE

+= ⇔ = ⇔ = +

⇔ − = ⇔ =

Concluindo, 60 cm e 75 cmBD CE= = .

2.2. Determinemos BC de acordo com o Teorema de Tales:

27 45 72 2520

5645 35 45 35 45

BC BCBC BC

+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Determinemos CD de acordo com o Teorema de Tales:

27 45 40 72 40

1,6 40 4045 40 45 40

64 40 24

CD CDCD

CD CD

+ + += ⇔ = ⇔ × = +

⇔ − = ⇔ =

Concluindo, 56 cm e 24 cmBC CD= = .

3.1. Consideremos o segmento de reta [AB], tal que 6 cmAB = .

Algumas etapas da construção:

1.º: Considerar um ponto C exterior ao segmento [AB].

2.º: Traçar a semirreta ACɺ .

3.º: Com o compasso, assinalar seis segmentos de igual comprimento sobre ACɺ .

4.º: Traçar o segmento [BD].

5.º: Traçar os segmentos paralelos a [BD].



3.2. Consideremos o segmento de reta [AB], tal que 6 cmAB = .

Algumas etapas da construção:

1.º: Dividir o segmento de reta [AB] em dez segmentos de igual comprimento utilizando o

procedimento descrito em 3.1.

2.º: Assinalar o ponto P sobre [AB] tal que 37

AP

BP= .

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Pág. 79

1.1. Os triângulos são semelhantes pelo critério LLL: 3 2,4 1,5

0,754 3,2 2

= = =

1.2. Sabe-se que dois triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes geometricamente

iguais. Assim, tem-se: � � � � � �; ;BAC MON ACB NMO CBA ONM= = =

2. Não podemos concluir que são semelhantes, pois não podemos aplicar nenhum dos três

critérios de semelhança estudados.

3. Os triângulos da figura são semelhantes atendendo ao critério AA: são ambos triângulos

retângulos e partilham o ângulo BAE.

( ) ( )16 15

15 16 12 15 240 12 15 20 1512 15

20 15 5

xx x x

x x

+= ⇔ × = × + ⇔ = × + ⇔ = +

⇔ − = ⇔ =

O valor de x é 5 cm.



4. Começa-se por traçar a diagonal [AC] do quadrilátero [ABCD]. Em seguida, constrói-se o

triângulo [FHG] semelhante ao triângulo [ABC].

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Pág. 81

1.1. Os triângulos são semelhantes, pois são ambos retângulos e têm um ângulo em comum, o

ângulo BAC.

1.2. Como os triângulos são semelhantes, então os comprimentos dos lados são,

respetivamente, diretamente proporcionais:

217,5 217,5 1,2145

1,2 1,8 1,8ED

ED ED×= ⇔ = ⇔ =

A Torre Vasco da Gama tem 145 m de altura.

2.1. Dado que a // b , então os triângulos da figura têm dois pares de ângulos geometricamente

iguais, pois são ângulos de lados paralelos. Pelo critério AA de semelhança de triângulos,

os triângulos são semelhantes.

2.2. ( )5,4 3,6 3 9 3 2727 5,4 3 3 5 3 2

5,4 3 5,4 3 5,4x x

x x x x+ + += ⇔ = ⇔ = × + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ =

Logo, x = 2.

3.1. Os triângulos [EAD] e [CAB] são semelhantes atendendo ao critério AA, pois:

� � � �;AED ACB CBD EDA= = (ângulos de lados paralelos).

3.2. Determinemos o diâmetro da base do depósito, BC :

15 15 5 7512,5

5 6 6 6BC

BC BC×= ⇔ = ⇔ = =

Portanto, o diâmetro da base do depósito mede 12,5 m. Calculando o perímetro da base,

tem-se: ( )12,5 cm 39,27 cmP = × π ≈

A base do depósito tem, aproximadamente, 39,27 cm de perímetro.



4. Determinemos AC :

18 8 1812

8 12 12AC

AC AC×= ⇔ = ⇔ =

Determinemos BC :

18 9 1813,5

9 12 12BC

BC BC×= ⇔ = ⇔ =

Concluindo, 12AC = cm e 13,5BC = cm.

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Pág. 85

1.1.

1.2. A' (4 , 4) ; B’ (10 , 4) ; C’ (4 , 8); A’’ (– 4 , – 4) ; B’’ (– 10 , – 4) ; C’’ (– 4 , – 8)

2. Os lados correspondentes do triângulo têm de ser paralelos e, as retas BB' , CC' e AA' têm

de se intersetar num mesmo ponto.

3. Dado que a homotetia multiplica as distâncias entre pontos pelo módulo da respetiva

razão, então, no caso particular dos triângulos, garante-se que estes são semelhantes

(critério LLL) e a razão de semelhança é 32

.

4.1.



4.2. Como 6 38 4

OE

OA= = e OAɺ e OEɺ são semirretas opostas, então

34

r = − .

4.3. Pelo Teorema de Tales sabe-se que uma homotetia multiplica as distâncias entre pontos

pelo módulo da respetiva razão. Assim, garante-se que os polígonos são semelhantes.

4.4. A razão de semelhança que transforma o polígono [ABCD] no polígono [EFGH] é 3 34 4

− = .

Logo, a razão de semelhança que transforma o polígono [EFGH] no polígono [ABCD] é 43

.

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Pág. 89

1.1. A razão de semelhança que transforma A em B é 32

.

1.2. Sabe-se que dados dois polígonos semelhantes de razão de semelhança r, a razão entre

as suas áreas é r2.

Assim, 2

3 92 4

BB

AA x

x = ⇔ =

.

2. Largura, l, do terreno de maior área: 4800

40 m120

l = =

Perímetro, P, do terreno de maior área: ( ) ( )2 120 2 40 m 240 80 m 320 mP = × + × = + =

Determinemos a razão de semelhança que transforma o terreno de menor área no de

maior área:

2 2

0

48004 4 2

1200 rr r r

>= ⇔ = ⇔ = =

Como a razão entre os perímetros é igual à razão de semelhança, o perímetro do terreno

menor, x, é dado por:

320 3202 160

2x x

x= ⇔ = ⇔ =

O perímetro do campo menor é 160 m.

3.1. Como os triângulos semelhantes têm os ângulos correspondentes geometricamente iguais,

então as amplitudes dos ângulos do triângulo ampliado são iguais às amplitudes dos

ângulos correspondentes do triângulo [ABC], ou seja,

� � �' ' ' 90º ; ' ' ' 45º ' ' 'A B C A C B C B A= = =



3.2. Como o triângulo é isósceles, então 3 mmAB AC= = . Logo, a área do triângulo [ABC] é

2 23 3mm 4,5 mm

2× =

3.3. Como a razão de semelhança da ampliação é 3, então a área A do triângulo ampliado é

dado por: 23 9 4,5 40,54,5A

A A= ⇔ = × ⇔ = .

A área do triângulo ampliado é 40,5 mm2.

3.4. Como a razão entre os perímetros de figuras semelhantes é igual à razão de semelhança,

então o perímetro P do triângulo ampliado é dado por:

3 3 10,24 30,7210,24

PP P= ⇔ = × ⇔ =

O perímetro do triângulo ampliado é 30,72 mm.

Aplicar

Pág. 91

1.1. 3 5AB EF e CE EF= = . Logo, 35

AB

CE= .

1.2. 2DF EF= , pelo que 12

EF DF= . Assim,

13 32

1 552

DFAB

CE DF

×= =

×.

Os quocientes são iguais.

2.1. Pelo Teorema de Tales, tem-se:

( )15 1215 9 12 15 108 9 15 9 108

9EC

EC EC EC EC EC ECEC

+= ⇔ × = × + ⇔ × = + ⇔ − = ⇔

108

6 108 186

EC EC⇔ = ⇔ = =

Logo, ( )12 18 cm 30 cmBC = + = .

2.2. 18 cm e 12 cmEC BE= = . Tomando BE como unidade de medida, tem-se:

181,5

12EC = = unidades de BE .



Aplicar

Pág. 93

1.1. A afirmação é falsa.

1.2. A afirmação é verdadeira. Basta considerar o triângulo retângulo de catetos 3 cm, 4 cm e

de hipotenusa 5 cm.

2. Por exemplo:

Os segmentos [AC] e [BD] são comensuráveis.

Os segmentos [AO] e [AB] são incomensuráveis.

3.1. Por exemplo: [AB] e [AC] ; [CE] e [CF] 3.2. Por exemplo: [AB] e [GH]

Atividades fundamentais

Pág. 94

1. Resposta (A), pois é uma sequência de segmentos de reta num dado plano, tal que:

▪ pares de segmentos partilham um extremo;

▪ segmentos que se intersetam não são colineares;

▪ não há mais do que dois segmentos partilhando um extremo.

2. Um polígono é a união dos lados de uma linha poligonal fechada com a respetiva parte

interna.

Resposta: (D)

3. Analisemos cada uma das seguintes opções:

(A): A afirmação é falsa, poi um triângulo isósceles (que não equilátero) tem dois ângulos

geometricamente iguais, os quais se opõem aos lados geometricamente iguais.

(B): A afirmação é falsa, pois os ângulos de um triângulo equilátero são geometricamente

iguais de amplitude 60º.

(C): A Afirmação é falsa, pois a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo

é 180º.

(D): A afirmação é verdadeira, pois a soma das amplitudes dos restantes dois ângulos

internos é igual a 90º, o que implica que sejam ambos agudos.

Resposta: (D)



4. Como sabemos que o perímetro de um terreno retangular é de 600 m e que efetuamos um

desenho à escala desse terreno à escala 1 : 100, então podemos apenas tirar conclusões

acerca do perímetro.

Resposta: (B)

5. Os triângulos [BCD] e [ABD] são semelhantes. Assim: 2 2

0

6,46,4 10 64 64 8

10 BD

BDBD BD BD BD

EC >= ⇔ = × ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Resposta: (C)


Pág. 95

5. Aplicando o Teorema de Tales, obtém-se:

6 9,9 64,5

9,9 13,2 13,2x

x×= ⇔ = =

Resposta: (C)

7. Os triângulos obtidos por cada um dos amigos no mesmo instante são semelhantes.

Assim: 1,80 2,88 2,88 1,62

2,5921,62 1,80

xx

×= ⇔ = =

Resposta: (B)

8. Determinemos o valor de y:

11,9 47,64 11,9 8,5 47,6 8,5 5,6

8,5 4 8,5y

y y y y= ⇔ × = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Determinemos o valor de x:

11,9 4,9 4,9 8,5

3,58,5 11,9

xx

×= ⇔ = =

Logo, x = 3,5 cm e y = 5,6 cm.

Resposta: (B)


Pág. 96

9. Dimensões no desenho (cm) Dimensões no real (cm)

7,6 -------------------- 7600

1 -------------------- x 7600

10007,6

x = =

Logo, a escala utilizada foi 1 : 1000.

Resposta: (C)



10.1. Sabe-se que 7 cm e 5,2 cmCB DE= = . Como 7 cmCE CB= = (são raios do círculo),

então 7 5,2 12,2CD CE DE= + = + = .

Assim, o perímetro do retângulo é dado por:

( ) ( )2 7 2 12,2 cm 14 24,4 cm 38,4 cmP = × + × = + =

Resposta: (A)

10.2. A área do círculo, em cm2, é dada por:

( )249 49A CB= π × = π × = π

Resposta: (A)

10.3. A área, em cm2, da parte do retângulo não contida no círculo é igual à diferença entre a

área do retângulo e 14

da área do círculo.

( ) 497 12,2 85,4 12,25

4A

π= × − = − π

Resposta: (A)


Pág. 97

11. Área, em metros quadrados, do círculo: 25 25A = π × = π

Área, em metros quadrados, do losango:

2 5 525

2A

× ×= =

A área da parte do jardim que não é ocupado pelo losango é igual à diferença entre as

áreas do círculo e do losango.

( ) ( )2 225 25 m 53,5 m 1 c.d.A = π − ≈

Resposta: (B)

12. Os triângulos [ACD] e [ABC] são geometricamente iguais. Logo, a área do paralelogramo é

igual à soma das áreas dos triângulos anteriores.

[ ] [ ]2 5 2

102ABC ACDA A

× ×= =

Logo, [ ] ( ) 2 22 10 cm 20 cmABCDA = × =

Resposta: (B)



13. Área, em centímetros quadrados, do quadrado: [ ]220 400ABCDA = =

Área, em centímetros quadrados, de quatro círculos de raio 10 cm: 24 10 4 100 00A = × π × = × π = 4 π

Área, em centímetros quadrados, do quadrado colorido que não pertence aos círculos:

400400 400 100

4A

π= − = − π

Assim, a área colorida é dada por:

1400 4 100 400 100 400 100 400 100 200 400 1028,3

4A = π − × × π + − π = π − π + − π = π + ≈

Resposta: (C)

14. 7

3,5 cm ; 1 cm ; cm2

ABAB CD

CD= = =

Resposta: (C)


Pág. 98

1.1. � � 30ºBAC DCA= = , pois são ângulos alternos internos de lados paralelos determinados

pela secante AC.

1.2. � ( )180º 110º 30º 180º 130º 40ºCAD = − + = − =

(a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º)

1.3. � �DCB BAD= , pois ângulos opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais.

Logo, � 30º 40º 70ºDCB = + = .

2.1. A , B , C , E , F , G , H e I

2.2. A , B , C , F e H

2.3. A , F e H

2.4. B , F e H

2.5. B , F , G e H

3.1. e 3.2. Tem duas soluções: D ou D'



3.3. [ ] ( ) ( )4 1 3 1 3 2 6ABCDA = − × − = × =

A área do paralelogramo [ABCD] é 6 cm2.

4. Por exemplo:


Pág. 99

5. � � 35ºDCB BAD= = , pois são ângulos opostos de um paralelogramo.

Por outro lado, � � 35ºECF DCB= = , pois são ângulos verticalmente opostos.

Logo:

� ( )180º 40º 35º 180º 75º 105ºCFE = − + = − =

6. Os triângulos [ADE] e [ABC] são semelhantes, pois os comprimentos dos lados

correspondentes são diretamente proporcionais:

AB AC BC

AD AE DE= =

Pelo recíproco do Teorema de Tales, conclui-se que os lados [BF] e [ED] são paralelos.

Analogamente, como os triângulos [EFC] e [ABC] são semelhantes, então os lados [DB] e

[EF] são paralelos, atendendo ao recíproco do Teorema de Tales. Logo, [BFED] é um

quadrilátero com os lados opostos paralelos, ou seja, é um paralelogramo.

7. B e C pelo critério AA; E e F pelo critério LLL

8.

[ADBC] é um retângulo.




Pág. 100

9. Os triângulos da figura são semelhantes, pois a grande pirâmide da entrada do Museu do

Louvre é uma reprodução à escala da Grande Pirâmide de Gizé.

Assim, tem-se:

17,75 21,65 116 21,65

141,5116 17,75

xx

×= ⇔ = ≈

A Pirâmide de Gizé tem, aproximadamente, 141,5 m de altura.


30 10 30010

20 10 20

15 10 5

BDBD

BD BD

+= ⇔ = +

⇔ = + ⇔ =

Logo, 5 cmBD = .


3,6 4 5 3,64,5

5 4BC BC

BC

×= ⇔ = ⇔ =

Por outro lado:

6,5 5 4 6,55,2

4 5ED ED

ED

×= ⇔ = ⇔ =

Portanto, 4,5 cm e 5,2 cmBC ED= = .

11.1. Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º,

então:

� ( )360º 120º 50º 120º

360º 290º 70º

ADC = − + +

= − =

11.2. a) Obtemos uma redução do quadrilátero [ABCD], sendo que cada comprimento dos lados

é multiplicado por 34

. Os ângulos correspondentes são geometricamente iguais.



b) Obtemos uma ampliação do quadrilátero [ABCD], onde os comprimentos dos lados são

multiplicados por 1,3. Os ângulos correspondentes são geometricamente iguais.

c) Vamos obter um quadrilátero geometricamente igual a [ABCD], pois a razão é 1.


Pág. 101

12.1. O triângulo [ABD] é semelhante ao triângulo [ABC] pois são triângulos retângulos e têm um

ângulo agudo em comum.

Da mesma forma, o triângulo [BCD] é semelhante ao triângulo [ABC]. Assim, o triângulo

[ABD] é semelhante ao triângulo [DBC].

12.2. AB AD DB

BC DB DC= =

12.3. Pela igualdade anterior, tem-se:

( )2 22,52,5 6,8 17 17 , 0 4,1

6,8DB

DB DB DB DB DBDB

= ⇔ = × ⇔ = ⇔ = > ⇔ ≈

A casa do Daniel ficou, aproximadamente, a 4,1 km da casa do Bernardo.

13.1. Na figura podem observar-se seis triângulos: [ABF], [ABE], [ACD], [AFE], [FDE] e [ADE].

13.2. a) Os triângulos [ABF] e [ACD] são semelhantes pois têm um ângulo em comum (BAD) e

têm um ângulo reto.



b) Os triângulos [DEF] e [ABF] têm um ângulo reto e os ângulos [DFE] e [AFB] são

geometricamente iguais, pois são ângulos verticalmente opostos. Portanto, pelo critério

AA, os triângulos são semelhantes.

13.3. a) Como 1,8 cm e 3 cm,EF EB= = então ( )3 1,8 cm 1,2 cmFB = − = .

b) 1,2 1,2 3

23 1,8 1,8

AB FB ABAB

ED FE

×= ⇔ = ⇔ = = . Logo, 2 cmAB = .

b) 1,2 3,5 1,2 4,2 42 7

3,5 1,8 1,8 1,8 18 3AF FB AF

AFFD FE

×= ⇔ = ⇔ = = = = .

Logo, 7

cm3

AF = .

13.4. ( ) 2 2 2

[ ]

3 1,8 5,4cm cm 2,7 cm

2 2EFDA×

= = =

A área do triângulo [EFD] é 2,7 cm2.

13.5. ( )[ ] 3 1,8 3,5 cm 8,3 cmEFDP = + + =

O perímetro do triângulo [EFD] é 8,30 cm.

13.6. A razão de semelhança, r, é dada pelo quociente da metade dos comprimentos de dois

lados correspondentes:

1,81,5

1,2r = =

13.7. Como a razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à razão de

semelhança e a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança, então:

[ ]

[ ][ ] [ ]

22

2

2,71,5 1,2

1,5EFD

EFD EFDABF

AA A

A= ⇔ = ⇔ =

A área do triângulo [ABF] é 1,20 cm2.

[ ]

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]

8,301,5 5,53

1,5 1,5EFD EFD

ABF EFD EFDABF

P PP P P

P= ⇔ = ⇔ = ⇔ ≈

O perímetro do triângulo [ABF] é aproximadamente 5,53 cm.



Exercícios, problemas e desafios complementares

Pág. 102

1. Curvas abertas: (C) e (F)

Curvas fechadas: (A) , (B) , (D) e (E)

Curvas simples: (B) , (C) , (E) e (F)

2.1. (A) , (B) , (D) , (F) , (G) e (H)

2.2. (B) , (D) , (F) e (G)

2.3. (D) e (F)

2.4. (B) e (G)

3. O ângulo externo adjacente ao ângulo de amplitude 150º é suplementar. Assim, a sua

amplitude é 30º.

Como o polígono é regular e a soma das amplitudes dos ângulos externos é 360º, tem-se:

360º30º

n= , sendo n o número de ângulos do polígono (coincide com o número de lado).

360º 360º30º 12

30ºn

n= ⇔ = =

O polígono tem 12 lados.

4.1. A soma, em graus, das amplitudes dos ângulos internos de um polígono com n lados é

dada pela fórmula: ( )2 180n − × .

( )6 2 180 4 180 720− × = × =

A soma das amplitudes dos ângulos internos do hexágono é 720º.

4.2. ɵ 180º 135º 45ºa = − = , pois os ângulos são suplementares.


Pág. 103

5.1. ɵ 64ºa = , pois o triângulo é isósceles e a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos


ɵ 180º 264º 180º 128º 52ºb = − = − =

ɵ ɵ 52ºc b= = , pois são ângulos verticalmente opostos.



� ɵ 64º 128ºd a= + = , pois num triângulos a amplitude de qualquer ângulo externo é igual à

soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo não adjacentes.

ɵ � 128ºe d= = , pois são ângulos verticalmente opostos.

5.2. ɵ 44ºa = , pois num triângulo a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos


ɵ 180º 2 44º 180º 88º 92ºb = − × = − =

ɵ � 180º 58º 122º61º

2 2c d

−= = = = , pois a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos


5.3. ɵ ( )180º 127º 42º 180º 169º 11ºa = − + = − = , pois a soma das amplitudes dos ângulos internos

de um triângulo e igual a 180º.

ɵ 180º 127º 53ºb = − = , pois são ângulos suplementares.

ɵ ɵ 53ºc b= = , pois num triângulo a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos


� 180º 2 53º 74ºd = − × =

6. � � 32ºDCB BDC= = , pois num triângulo a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos


Logo, ɵ 180º 2 32º 116ºa = − × = , pois a soma das amplitudes dos ângulos internos de um

triângulo e igual a 180º.

ɵ ( )360º 100º 116º 360º 216º 144ºb = − + = − =

7.1. A soma das amplitudes dos ângulos internos é igual a ( )6 2 180º 720º− × = .

Logo, ɵ ɵ ɵ ɵ540º4 2 90º 720º 4 540º 135º

4a a a a× + × = ⇔ × = ⇔ = ⇔ =

7.2. ɵ ɵ180º 180º 135º 45ºb a= − = − = ; ɵ 180º 90º 90ºc = − =

8. A Ana não tem razão no caso da figura A, pois 1808 – 1738 = 78 e 360 não é divisível por

7. No caso da figura B, a Ana tem razão, pois 156° é a amplitude dos ângulos internos de

um polígono regular com 15 lados.




Pág. 104

9.1. A (–1,5 ; 1) ; B (1,5 ; 2,5) ; C (4 ; 1,5)

9.2. Por exemplo: D (1 , 0)

10.1. [AOFG] é um losango, pois é um paralelogramo com dois lados consecutivos


3 cmCB FG GA= = =

10.2. Pelos dados da figura, sabe-se que: ( )2 3 cm 6 cmAB OC ED= = × = =

Por outro lado, 6 cmCD OE= = .

3 cmCB FG GA= = =

Assim, [ ] 3 4 3 6 4 3 18 12 30ABCDEFGP AB FG GA= × + × = = × + × = + =

O perímetro do polígono [ABCDEFG] é 30 cm.

11. Vejamos o comprimento dos lados do paralelogramo.

Sabe-se que os lados opostos são geometricamente iguais. Dado que o perímetro é 24 cm

e o comprimento de um lado é 13

do comprimento do lado do outro, então tem-se a

equação:

12 2 24

3x x+ × × = , onde x representa o comprimento do lado do paralelogramo maior.

Resolvendo a equação, obtém-se:

2 722 24 6 2 72 8 72 9

3 8x x x x x x x+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Portanto, o comprimento de dois lados é 9 cm e o comprimento dos outros dois é

19 cm 3 cm

3 × =

.



Construindo o paralelogramo, obtém-se:

12.1. � 180º 130º 50ºEDC = − = , pois os ângulos adjacentes a um mesmo lado do paralelogramos

são suplementares.

12.2. � � � � 130ºBAG GCB EDF FED= = = =


Pág. 105

13.1. Se AO OB= , então [ABCD] é um retângulo, porque as diagonais do paralelogramo têm o

mesmo comprimento dado que O é o ponto médio dos mesmos.

Ora, se as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo comprimento, o paralelogramo é

um retângulo.

13.2. a) Os quatro triângulos são geometricamente iguais, porque têm, respetivamente, os três

lados geometricamente iguais.

b) Se os triângulos são isósceles, então o losango é um quadrado, porque se as diagonais

de um losango têm o mesmo comprimento o losango é quadrado.

14.1. Marquemos um ponto B na reta r e tracemos o segmento [AB]. Tracemos duas

perpendiculares a [AB] que contenham os pontos A e B. Finalmente, tracemos um

segmento [CD] paralelo a [AB]. Podemos obter, por exemplo:

14.2. Comecemos por traçar o segmento de reta [AB]. Em seguida, tracemos a mediatriz do

segmento [AB]; as semirretas AC e BDɺ ɺ e que contenham o ponto de interseção da

mediatriz com a reta r ; os lados [AD] e [BC] pediculares ao segmento de reta [AB] e,

finalmente, o segmento [DC].



Obtém-se:


Pág. 106

15. Marquemos o ponto B na reta r e tracemos o segmento de reta [AB]. Recorrendo a régua e

compasso tracemos o lado [AD] paralelo a [AB] e com o mesmo comprimento, Tracemos,

finalmente, [BC] e [AD] paralelos e de igual comprimento.

Obtém-se:

16.1. Determinemos o comprimento do lado do quadrado: 100 cm 10 cmEB = =

Logo, a área do paralelogramo é dada por: ( )5 10 10 15 10 150A AB EB= × = + × = × =

A área do paralelogramo [ABCD] é 150 cm2.

16.2. [ ]10 15 25

10 10 1252 2ABFDA+= × = × =

A área do trapézio [ABFD] é 125 cm2.

17. Área do trapézio: 2 210 6cm 8 cm

2a a

+ × =

Área do triângulo: ( ) 2 210 6

cm 8 cm2

aa

+ ×=

Logo, os polígonos [ABCD] e [AED] são equivalentes.



18.1. [ ]6 4

122ADBCA+= =

A área do papagaio é 12 cm2.

18.2. Determinemos AE utilizando o facto de a área do triângulo [ABD] ser 6 cm2:

[ ]

42

2 2ABD

BD AE AEA AE

× ×= = =

Logo, 2 6 3AE AE= ⇔ = . Portanto, ( )7 3 cm 10 cmAC = + = .

Assim, [ ]

4 1020

2ABCDA×= = .

A área do papagaio [ABCD] é 20 cm2.


Pág. 107

19.1. O perímetro da figura é dado por:

2 6 2 3 2 36 3 3 6 3 3 12 37,7

2 2 2P

× π × × π × × π ×= + + = π × + π × + π × = π + π + π = π ≈

O perímetro da figura é aproximadamente igual a 37,7 cm2.

19.2. A área da figura é dada por:

2 26 3618 56,5

2 2 2R

Aπ × π × π= = = = π ≈

A área da figura é aproximadamente igual a 56,5 cm2.

20. Determinemos o comprimento da linha onde percorre o caracola A:

2 3 63

2 2APπ × π= = = π

Determinemos o comprimento da linha onde percorre o caracola B:

23 3

2BP× π= × = π

Logo, uma vez que os caracóis se deslocam à mesma velocidade, então chegam ao

mesmo tempo ao ponto Q.

21.1. Os triângulos são geometricamente iguais, atendendo ao critério LLL de igualdade de

triângulos.

21.2. Os triângulos não são geometricamente iguais.



21.3. Os triângulos são geometricamente iguais, atendendo ao critério ALA de igualdade de

triângulos.

21.4. Os triângulos são geometricamente iguais, atendendo ao critério ALA de igualdade de

triângulos.

21.5. Os triângulos são geometricamente iguais, atendendo ao critério LAL de igualdade de

triângulos.


Pág. 108

22. As figuras A e B são semelhantes.

23.1. As figuras são semelhantes, logo o comprimento dos lados correspondentes são

proporcionais.

▪ Altura total da casa menor:

12

2 4h

h= ⇔ =

▪ Comprimento da casa maior:

1 52,5

2 5 2a

a= ⇔ = =

▪ Largura da casa maior:

1 1,5

2 1,5 32

bb

= ⇔ = × =

Completando a tabela, obtém-se:

23.2. a) 1

10,5

2r = = b) 2

22

1r = =

Casa maior

Casa menor

Altura total 4 cm 2 cm

Altura da parede total 2 cm 1 cm

Comprimento 5 cm 2,5 cm

Largura 3 cm 1,5 cm



24.1. Não, pois 4 1,53 1

≠ , isto é, os comprimentos dos lados correspondentes não são

diretamente proporcionais.

24.2. Construamos um retângulo semelhante ao retângulo [ABCD] multiplicando cada

comprimento do lado deste por 1,5. Obtém-se:


Pág. 109

25.1. Sejam os círculos A e B de raios r e r' , respetivamente.

Desenhando os círculos B' e A' geometricamente iguais, respetivamente, aos círculos B e

A e concêntricos, existe uma homotetia de razão 'r

r que transforma A' em B' . Logo, A e B

são semelhantes, ou seja, dois círculos são sempre semelhantes.

25.2. A razão entre o raio do círculo A e o raio do círculo B é 13

.

25.3. Área do círculo A: ( )2 21 mπ × = π ; área do círculo B: ( )2 23 9 mπ × = π

Razão entre as áreas do círculo A e do círculo B: 1

9 9π =π



25.4. A razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão entre os raios, pois 2

1 13 9 =

.

26.1. 32

r = . Por exemplo:

26.1. 53

r = . Por exemplo:

27.1. Dois quadrados quaisquer são sempre semelhantes, pois os ângulos internos são retos

(logo geometricamente iguais) e é sempre igual o quociente entre os comprimentos dos

lados de um e do outro.

27.2. a) 3 3

' ' cm 8 cm 12 cm2 2

A B AB = × = × =

; 3 3 7 21

' ' cm cm cm2 2 2 4

E F EF = × = × =

b) 3 3

' ' cm 8 cm 6 cm4 2

A B AB = × = × =

; 3 3 7 21

' ' cm cm cm4 4 2 8

E F EF = × = × =

c) 7 7

' ' cm 8 cm 28 cm2 2

A B AB = × = × =

; 7 7 7 49

' ' cm cm cm2 2 2 4

E F EF = × = × =




Pág. 110

28.1. 2 3 3 4

64 2

AB BDDF

CE DF DF

×= ⇔ = ⇔ = =

Logo, 6 cmDF = .

28.2.

18 21 18 2124 18 6

21 67

18

OA OB

OH OG OG OG

OG OG

= ⇔ = ⇔ =−

×⇔ = ⇔ =

Logo, 7 cmOG = .

29. Tracemos a semirreta ACɺ . Com o compasso constrói-se cinco segmentos de reta de igual

comprimento. De seguida, traça-se o segmento [BC] e quatro segmentos paralelos a este.

30.1. Pelo Teorema de Tales, tem-se: 4 4 0,8

1,60,8 2 2x

x×= ⇔ = =

Portanto, 1,6 mx = .

30.2. 5 2 0,8 5 2

40,8 2 2h

h h× × ×= ⇔ = ⇔ =

Logo, 4 mh = .

31.1. Ângulos verticalmente opostos.

Os ângulos são geometricamente iguais.

31.2. Como � � eBC BA

CBA DBEBE BD

= = , então os triângulos são semelhantes atendendo ao

critério de semelhança LAL.

32.1. � � 35ºDOC AOB= = , pois são ângulos verticalmente opostos.

32.2. Os triângulos da figura são geometricamente iguais atendendo ao critério ALA de

igualdade de triângulos. Logo, 3,4 cmAB CD= = .




Pág. 111

33.1. Dados dois triângulos semelhantes, os ângulos correspondentes são geometricamente

iguais. Logo, � � 36ºEFD BCA= = .

33.2. a) 6 3,4 6

10,22 3,4 2

DFDF DF

×= ⇔ = ⇔ = . Portanto, 10,2DF = cm.

b) 2 2 7,8

2,67,8 6 6BC

BC×= ⇔ = = . Logo, 2,6BC = cm.

34.1. O triângulo [ABD] é semelhante ao triângulo [EFD], pois são ambos retângulos e partilham

o mesmo ângulo (critério AA de semelhança).

34.2. 15 15 4

34 15 5 20h

h×= ⇔ = =

+

Logo, 2,6h = cm.

34.3. [ ]

20 330

2BDEA×= =

A área do triângulo [BDE] é igual a 30 cm2.

35.1. Os triângulos da figura são semelhantes (critério AA). Assim, tem-se:

4,5 11 4,5 62,45

6 11x

x×= ⇔ = ≈

Logo, 2,45x ≈ .

35.2. Os triângulos são semelhantes pelo critério AA. Assim, tem-se:

7 4 79,33

3 4 3x

x×= ⇔ = ≈

Logo, 9,33x ≈ km.


Pág. 112

36.1. Os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes, pois são ambos retângulos e têm um ângulo

em comum (critério AA).



36.2. Determinemos o valor de h: 8 8

41 2 2h

h= ⇔ = =

Determinemos o valor de x: 8 8 5

4 52 25

xx

×= ⇔ = =

Portanto, 4 cm e 4 5 cmh x= =

37.1. Os triângulos são semelhantes atendendo ao critério AA de semelhança de triângulos.

37.2. Determinemos o valor de y: 2 3,6 3,6 1,5

2,71,5 2

yy

×= ⇔ = =

Portanto, 2,7 cmy = .


38.2. A área do triângulo [ABC] é dada por: [ ]

4 612

2ABCA×= =

A área do triângulo [ABC] é igual a 12 m2.

38.3. Temos dois processos para determinar a área do triângulo [DEF].

Processo 1:

6 4 4 2 42 6 3

DEDE

×= ⇔ = =

Logo, [ ]

42 43

2 3DEFA×

= = .

Processo 2:

Determinemos a razão de semelhança que transforma [ABC] no triângulo [DEF]: 2 16 3

r = = .

Logo, 2

[ ][ ]

[ ]

1 1 412

3 9 3DEF

DEFABC

AA

A = ⇔ = × =

.

Portanto, a área do triângulo [DEF] é 43

m2.

38.4. Se utilizarmos o processo 2 na resolução da questão 38.3., a resposta a esta questão é

óbvia. Admitamos que utilizamos o processo 1.

[ ]

[ ]

44 1 1 2 13

12 3 12 9 6 3DEF

ABC

A EFe

A AB= = × = = =

Logo, a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos dos

lados correspondentes.




Pág. 113

39.1. Os triângulos [ABD] e [FEB] são semelhantes, atendendo ao critério AA de semelhança de

triângulos.

39.2. a) 7 2,5 7

3,52,5 5 2AD

AD×= ⇔ = = . Logo, 3,5AD = m.

b) 7 2,2 11

7 11 5 7 5 11 2 11 5,55 2

BFBF BF BF BF BF BF

BF

+= ⇔ = + ⇔ − = ⇔ = ⇔ = =

Logo, ( )5,5 2,2 m 7,7 mBD = + = .


40.2. 9 9 2

122 1,5 1,5x

x×= ⇔ = = . A altura do poste maior é igual a 12 m.

41. Os triângulos da figura são semelhantes atendendo ao critério AA.

2 6 8 1,56

3,5 2 2h

h h+ ×= ⇔ = ⇔ =

A altura do castelo é igual a 6 m.


Pág. 114

42.1. Trata-se de uma homotetia inversa de centro no ponto O e razão 23

− .

O transformado de [AB] segundo esta homotetia é [GF], onde G é o transformado de B tal

que 23

OG OB= − × e F é o transformado de A tal que 23

OF OA= − × .

42.2. O quadrado [EFGH] é uma redução do quadrado [ABCD] segundo a razão de semelhança

23

. Como [ ]2 2 29 cm 81 cmABCDA = = , então:

[ ]

[ ]

[ ][ ] [ ]

22 4 81 4

363 81 9 9

EFGH EFGH

EFGH EFGHABCD

A AA A

A× = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

A área do quadrado [EFGH] é igual a 36 cm2.



43.1. AB AE= , porque são lados de um triângulo equilátero. � � 60ºCBA AED= = , porque são

ângulos internos de um triângulo equilátero. BC DE= (hipótese). Logo, os triângulos são

geometricamente iguais pelo critério LAL de igualdade de triângulos.

43.2. Os triângulos [ACD] e [AFG] são homotetias. O centro da homotetia é o ponto A e razão 2.

43.3. 10

2 2 2 104

FG CD= × = × × = . Logo, 10 cmFG = .

43.4. Possibilidades de resposta para completar a 1.ª afirmação:

A altura do triângulo [BCA] é AM .

A altura do triângulo [MDA] é AM .

A altura do triângulo [CMA] é AM .

A altura do triângulo [DEA] é AM .

A altura do triângulo [BMA] é AM .

A altura do triângulo [CDA] é AM .

A altura do triângulo [MEA] é AM .

A altura do triângulo [BEA] é AM .

Para completar a 1.ª afirmação:

A altura do triângulo [AFG] é 2 AM× .


Pág. 115

44. Os triângulos 1 e 4 são semelhantes. A razão de semelhança de 1 para 4 é 0,5.

Os triângulos 3 e 5 são semelhantes. A razão de semelhança de 3 para 5 é 2.

Os triângulos 2 e 6 são semelhantes. A razão de semelhança de 2 para 6 é 2.

45.1. Os triângulos são semelhantes atendendo ao critério LAL:

▪ � �' ' ' 81ºA B C ABC= = ▪ 0,5' ' ' '

AB BC

A B B C= =

45.2. 0,5' '

AC

A C= , de acordo com a resposta da questão anterior.



45.3. Os triângulos [ADB] e [A’D’B’] são semelhantes pelo critério LAL. Logo, 0,5' ' ' '

BD AD

B D A D= = .

45.4. Pelas questões anteriores, conclui-se que os quadriláteros são decompostos em dois

triângulos semelhantes com a mesma razão de semelhança, pelo que os lados e as

diagonais correspondentes são diretamente proporcionais.


Pág. 116

46.1. Os triângulos [ADE] e [ABC] são semelhantes pelo critério LAL.

46.2. AC e BC são paralelas atendendo ao recíproco do Teorema de Tales.

46.3. Pelo Teorema de Tales, tem-se: 6 3 6

4,54 3 4

BCBC

×= ⇔ = = .

Logo, 4,5BC = cm.

47.1. Os triângulos [DEF] e [BAC] são semelhantes pelo critério LAL, pois:

▪ AB DC DA BC

DF DF DE DE= = = pelo Teorema de Tales;

▪ � �CBA EDF= , pois [ABCD] é um paralelogramo.

47.2. Traçando segmentos de reta paralelos a [AC]

obtém-se triângulos semelhantes aos dados,

pois os lados correspondentes são

proporcionais.

Por exemplo, os triângulos [BHG] e [IDJ] são

semelhantes aos triângulos [DEF] e [BAC].


Pág. 117

48.1. Os ângulos EDF e GFD são geometricamente iguais, pois são ângulos internos alternos de

lados paralelos ([DE] e [GF] são as bases do trapézio).

48.2. Os triângulos [DFG] e [DEF] são isósceles, pelo que � � � �FDE GFD GDF FED= = = .

Portanto, os triângulos são semelhantes atendendo ao critério AA.



49. Consideremos um ponto O que representa o centro da homotetia. Desta forma, obtém-se

de acordo com a homotetia inversa, o quadrilátero homotético:

50. Determinemos a razão de semelhança que transforma o triângulo A no triângulo B: 15

1,510

r = =

Assim, dado que a razão entre a área do triângulo B e a área do triângulo A é igual ao

quadrado da razão de semelhança que transforma A em B, tem-se:

( )21,5 2,25 18

8B B

BA

A AA

A= ⇔ = ⇔ =

A área do triângulo B é 18 cm2.

51. Uma vez que a razão de semelhança é dois, então a área do quadrado obtido é 22 vezes

superior.

Resposta: (D)


Pág. 118

52.1. 'CD m

mAB=

52.2. 2 e 2 'AB m CD m= = ; 2 ' '2

CD m mm mAB

= =

53.1. 3

5 e2

AB AE CD AE= = ; 5 2 10

53 3 32

AB AE

CD AE= = × =

Logo, 103

AB = unidades.



53.2. 1 1 3

5 e2 2 2

AB AE EF CD AE= = = × ; 5 4 20

53 3 34

AB AE

EF AE= = × =

Logo, 203

AB = unidades.

54.1. Por exemplo: [AB] e [AM], sendo M o ponto médio de [AB].

54.2. Por exemplo: a aresta e a diagonal facial de um cubo.

Autoavaliação

Pág. 119

1.1. Número de retângulos: 250; número de quadrados: 200

Como qualquer quadrado é um retângulo, então o número de retângulos não quadrados é

250 – 200, ou seja, igual a 50.

1.2. Número de losangos: 275

Como qualquer quadrado é um losango, então o número de losangos não quadrados é

275 – 200, ou seja, igual a 75.

1.3. O número de paralelogramos que não são retângulos é igual a 300 – 250 = 50.

1.4. O número de paralelogramos é 300 e o número de quadriláteros é 350. Logo, o número de

quadriláteros que não são paralelogramos é igual a 350 – 300, ou seja, 50.

2.1. Os triângulos são semelhantes atendendo ao critério LAL de semelhança de triângulos.

2.2. Atendendo aos lados correspondentes do triângulo, tem-se: 4 8 4

3,210 8 10

BCBC

×= ⇔ = =

Logo, 3,2BC = cm.

3. Obtemos um quadrilátero [A’B’C’D’] obtido por uma homotetia inversa de razão em O. Os

quadriláteros são isométricos.

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Propostas de resolução Capítulo 5 – Figuras geométricas