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A. A. A. C. Barrias
Índices Horários dos Transformadores de Potência
Símbolos de Ligação dos Transformadores de Potência
Enrolamentos de Alta e Baixa Tensão dos Transformadores de Potência
Introdução
Penso ser útil divulgar alguns temas que utilizei ao longo da minha actividade profissional.
Ao tomar a iniciativa de divulgar as minhas “ferramentas de trabalho” tive necessidade de actualizar alguns conceitos, corrigir vários “erros de palmatória” e resumir os “Meus (infindáveis) Apontamentos”.
Faço notar que a noção de “Diferença de Fase”, entre duas grandezas alternadas sinusoidais, ainda hoje continua a ser designada, impropriamente, por “Desfasamento”, “Esfasamento”, à revelia da Publicação 375, da CEI, 1ª edição, 1972.
Também, faço notar que utilizei a noção de tensões induzidas (não f.e.m. induzidas) nos enrolamentos dos Transformadores de Potência (TPs).
O uso da unidade: º30h1 −⇔+ simplifica, a meu ver, o estudo dos “Índices Horários” dos TPs.
Há, ainda, pessoas que identificam “Terminais Homólogos” com “Terminais com a mesma Polaridade”.
Como poderão constatar:
“Os terminais homólogos têm a mesma polaridade” nos TPs: Dd0, Dz0, Yy0, Dy1, Yd1, Yz1, Dd2, Dz2, Dd10, Dz10, Dy11, Yd11 e Yz11.
“Os terminais homólogos têm polaridade oposta” nos TPs: Dd4, Dz4, Dy5, Yd5, Yz5, Dd6, Dz6, Yy6, Dy7,Yd7, Yz7, Dd8 e Dz8.
Na definição do “Factor de Potência”, )(cos ϕ , o “eixo de referência”, é o eixo das correntes (grandeza escalar).
Na definição da potência aparente, )jQPS( += , em “Números Complexos”, o “eixo de referência”, é o eixo da “Potência Activa, Real ou Efectiva, P (W)”.
No estudo dos Índices Horários dos TPs, o “eixo de referência” é o eixo das “tensões entre neutro, n, (real ou fictício) e fase a” da BT”.
O “Fasor” representativo da “tensão entre neutro, N, (real ou fictício) e a fase A” da AT está (sempre) fixo: a “origem” no centro do relógio e a “extremidade” nas 12h (0h).
Faço votos para que este documento seja útil e agradeço, antecipadamente, os vossos comentários.
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A. A. A. C. Barrias
1. Ângulo de dois “fasores”
Sejam:
ar
, Um “fasor” de origem O e extremidade A e, br
, um “fasor” de origem O e extremidade B:
O A
B
abθ
br
ar
Oar
A
B
baθ
br
abθ , É, por definição, o ângulo do “fasor” ar
(1º “fasor” enunciado) com o “fasor” br
(2º “fasor” enunciado),
isto é, abθ é o ângulo da rotação de centro O que leva a direcção do “fasor” br
(2º “fasor” enunciado) à
coincidência com a direcção do “fasor” ar
(1º “fasor” enunciado).
abθ , É um ângulo positivo uma vez que está orientado no sentido trigonométrico.
baθ , É, por definição, o ângulo do “fasor” br
(1º “fasor” enunciado) com o “fasor” ar
(2º “fasor” enunciado),
isto é, baθ é o ângulo da rotação de centro O que leva a direcção do “fasor” ar
(2º “fasor” enunciado) à
coincidência com a direcção do “fasor” br
(1º “fasor” enunciado).
baθ , É um ângulo negativo uma vez que está orientado no sentido horário.
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2. Diferença de fase
A diferença de fase, abθ , entre as duas grandezas alternadas sinusoidais: )t(cosA2a aδ+ω= e
)t(cosB2b bδ+ω= é dada por:
baab δδθ −=
Desde que A, B eωωωω sejam números positivos.
aδ , É o ângulo do “fasor” ar
(1º “fasor” enunciado) com o versor (positivo) do eixo das abcissas (2º “fasor”
enunciado), isto é, aδ é o ângulo da rotação de centro O que leva a direcção do versor do eixo das abcissas (2º
“fasor” enunciado) à coincidência com a direcção do “fasor” ar
(1º “fasor” enunciado).
bδ , É o ângulo do “fasor” br
(1º “fasor” enunciado) com o versor (positivo) do eixo das abcissas (2º “fasor”
enunciado), isto é, bδ é o ângulo da rotação de centro O que leva a direcção do versor do eixo das abcissas (2º
“fasor” enunciado) à coincidência com a direcção do “fasor” br
(1º “fasor” enunciado).
Logo, a diferença de fase, baab δδθ −= , entre as duas grandezas alternadas sinusoidais: )t(cosA2a aδ+ω=
e )t(cosB2b bδ+ω= é igual ao ângulo dos “fasores” ar
e br
, que as representam, e são enunciados por esta ordem.
ar
br
aδ bδ
abθ
baθ
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3.Nomenclatura das redes de AT e BT
A identificação dos condutores das linhas de Alta Tensão (AT) e de Baixa Tensão (BT) e dos "terminais homólogos" do Transformador de Potência (TP) está feita, respectivamente, segundo as sequências alfabéticas: { }C,B,A e { }c,b,a .
Na figura seguinte, apresentamos uma linha de AT e uma linha de BT interligadas por um TP.
Transformador
A
C
B
a
c
b
Sentido de Referência
unaunc unb
ubc
uab
uca
UNCUNBUNA
UCA
UBC
UAB
Barra de referência dos potênciais
É usual representar, “fasorialmente”, os sistemas trifásicos simétricos directos das tensões simples de AT: { }CNBNAN U,U,U e de BT: { }cnbnan u,u,u segundo a direcção das alturas de dois triângulos equiláteros e, os
sistemas trifásicos simétricos directos das tensões compostas de AT: { }CABCAB U,U,U e de BT: { }cabcab u,u,u segundo os lados dos mesmos triângulos equiláteros.
O "ponto de encontro” dos “fasores” representativos das três tensões simples é o "ponto neutro", real ou fictício, dos sistemas trifásicos simétricos directos das tensões simples de AT e BT, respectivamente, N e n.
Vamos, agora, apresentar os diagramas vectoriais das tensões de AT e BT, simples e compostas, sob a forma de “fasores” concorrentes nos "ponto P" e “ponto p”, respectivamente.
Notar que, estes pontos, P e p, não representam os pontos neutros, N e n, das redes de AT e BT.
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6h
BC
A
�
12h0h
1h
2h
3h
4h
5h7h
8h
9h
10h
11h
ABUCAU
BCU
ANU
BNUCNU
BC
A
�
12h0h1h
2h
3h
4h
5h6h
7h
8h
9h
10h
11h
ACU BAU
CBU
NAU
NBUNCU
UAN
A
C B
P
10h
11h
0h
1h
2h
3h
4 h
5h
6h
7h
8h
9h
ABU
BCU
ACU
CBU
CAUBAU
BNU
NAU
CNU
NBUNCU
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a
c b
0h
1h
2h
3h
4h
5h7h
8h
9h
10h
11h
p
6h
anu
bnu cnu
nau
nbuncu
bau cau
cbu
abuacu
bcu
bc
a
n
h12h01h
2h
3h
4h
5h
6h
7h
8h
9h
10h
11h
cauabu
bcu
bnu
anu
cnu
bc
a
n
h12h01h
2h
3h
4h
5h6h
7h
8h
9h
10h
11h
cbu
acu baunau
ncunbu
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3.1 Nomenclatura das tensões da rede de AT
h0UUNA ∠= : Tensão entre o ponto neutro N, real ou fictício, e o condutor da fase A da rede de AT.
h1U3UCA +∠= : Tensão entre o condutor da fase C e o condutor da fase A da rede de AT.
h2UUCN +∠= : Tensão entre o condutor da fase C e o ponto neutro N, real ou fictício, da rede de AT.
h3U3UCB +∠= : Tensão entre o condutor da fase C e o condutor da fase B da rede de AT.
h4UU NB +∠= : Tensão entre o ponto neutro N, real ou fictício, e o condutor da fase B da rede de AT.
h5U3UAB +∠= : Tensão entre o condutor da fase A e o condutor da fase B da rede de AT.
h6UU AN +∠= : Tensão entre o condutor da fase A e o ponto neutro N, real ou fictício, da rede de AT.
h7U3U AC +∠= : Tensão entre o condutor da fase A e o condutor da fase C da rede de AT.
h8UU NC +∠= : Tensão entre o ponto neutro N, real ou fictício, e o condutor da fase C da rede de AT.
h9U3U BC +∠= : Tensão entre o condutor da fase B e o condutor da fase C da rede de AT.
h10UU BN +∠= : Tensão entre o condutor da fase B e o ponto neutro N, real ou fictício, da rede de AT.
h11U3U BA +∠= : Tensão entre o condutor da fase B e o condutor da fase A da rede de AT.
3.2 Nomenclatura das tensões da rede de BT
h0uu na ∠= : Tensão entre o ponto neutro n, real ou fictício, e o condutor da fase a da rede de BT.
h1u3u ca +∠= : Tensão entre o condutor da fase c e o condutor da fase a da rede de BT.
h2uu cn +∠= : Tensão entre o condutor da fase c e o ponto neutro n, real ou fictício, da rede de BT.
h3u3u cb +∠= : Tensão entre o condutor da fase c e o condutor da fase b da rede de BT.
h4uu nb +∠= : Tensão entre o ponto neutro n, real ou fictício, e o condutor da fase b da rede de BT.
h5u3u ab +∠= : Tensão entre o condutor da fase a e o condutor da fase b da rede de BT.
h6uu an +∠= : Tensão entre o condutor da fase a e o ponto neutro n, real ou fictício, da rede de BT.
h7u3u ac +∠= : Tensão entre o condutor da fase a e o condutor da fase c da rede de BT.
h8uu nc +∠= : Tensão entre o ponto neutro n, real ou fictício, e o condutor da fase c da rede de BT.
h9u3u bc +∠= : Tensão entre o condutor da fase b e o condutor da fase c da rede de BT.
h10uu bn +∠= : Tensão entre o condutor da fase b e o ponto neutro n, real ou fictício, da rede de BT.
h11u3u ba +∠= : Tensão entre o condutor da fase b e o condutor da fase a da rede de BT.
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4. Relação entre UMΦ , ESU e esu
Sejam:
ω : Velocidade angular ou pulsação das tensões ( 1srad −⋅ ).
UMΦ : Valor máximo do fluxo magnético útil, por fase, comum aos enrolamentos de AT e BT dos TPs (Wb).
1j2 −= : Unidade complexa (-).
ESU : Tensão induzida, por fase, entre a “entrada” ( E ) e a “saída” (S ) do enrolamento 1 de AT do TP (V).
EN : Número de espiras, por fase, dos enrolamentos de AT do TP (-).
esu : Tensão induzida, por fase, entre a “entrada” ( e ) e a “saída” (s ) do enrolamento 1 de BT do TP (V).
en : Número de espiras, por fase, dos enrolamentos de BT do TP (-).
Como sabemos:
UMEES N2
1jU Φ⋅ω⋅⋅⋅= .
UMees n2
1ju Φ⋅ω⋅⋅⋅= .
Pelo que:
(1) e
E
es
ES
n
N
u
U= .
5. Factor de um Enrolamento
A tensão entre o “ponto neutro N” (real ou fictício) e a “fase A” da Rede de AT, h0UU NA ∠= , relaciona-se
com a tensão entre a entrada (E) e a saída (S) do enrolamento de AT, ESU , dos TPs através do chamado “Factor
do Enrolamento”, EF .
O “Factor do Enrolamento”, EEE FF Θ+∠= (de um enrolamento de AT de um TP) é o “número complexo”
pelo qual devemos multiplicar o valor de ESU para obter NAU , isto é:
(2) EESENA UFU Θ+∠⋅= .
Do mesmo modo,
A tensão entre o “ponto neutro n” (real ou fictício) e a “fase a” da Rede de BT, h0uuna ∠= , relaciona-se com
a tensão entre a entrada (e) e a saída (s) do enrolamento de BT, esu , dos TPs através do chamado “Factor do
Enrolamento”, ef .
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O “Factor do Enrolamento”, eee ff θ+∠= (de um enrolamento de BT de um TP) é o “número complexo” pelo
qual devemos multiplicar o valor de esu para obter nau , isto é:
(3) enaees ufu θ+∠⋅= .
6. Relação entre NAU e nau
Dividindo, membro a membro, as equações (2) e (3), obtemos:
e
E
es
ES
e
E
na
NA
u
U
f
F
u
U
θ+∠
Θ+∠⋅= .
E, atendendo à relação (1), podemos escrever:
e
E
e
E
e
E
na
NA
n
N
f
F
u
U
θ+∠
Θ+∠⋅= .
Ou seja:
(4) eEnae
E
e
ENA u
n
N
f
FU θ−Θ+∠⋅⋅= .
Nos “enrolamentos em ziguezague”, cada “enrolamento parcial” tem 2
nn z
e = espiras e a expressão (4) passa a
ser: zEnaz
E
z
ENA u
2
nN
fF
U θ−Θ+∠⋅⋅= (para os TPs com enrolamentos em ziguezague na BT).
Ou seja:
(4’) zEnaz
E
z
ENA u
n
N
f
F2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= .
7. Identificação (por Índices Horários) dos Condutores de Fase das Redes Trifásicas
Tradução (Adaptada) da Publicação C.E.I. 152, Primeira edição, 1963
7.1 Objectivo
Os índices horários afectados aos condutores de fase das redes trifásicas têm por objectivo permitir identificá-los na sua continuidade física e com as suas respectivas ligações, tomando por base de numeração a sequência
no tempo, a partir de uma origem arbitrária, das tensões que lhes são aplicadas.
A identificação dos condutores tem em conta as diferenças de fase fixas que podem ser introduzidas pela interposição de TPs com um dado símbolo de ligação; mas, não considera as diferenças de fase devidas às
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impedâncias das linhas e dos TPs, diferenças de fase variáveis com a distância ou com a carga e que nada têm a ver com a identificação dos condutores.
Portanto, o mesmo índice horário acompanha um condutor em toda a sua extensão e, também, a mudança de índice introduzida pela interposição de um TP, é expressa por um número fixo que apenas traduz a rotação de
fase produzida pelo TP na sua marcha em vazio.
7.2 Utilização
Os índices horários são utilizados, designadamente para:
Numa dada instalação, predeterminar as possibilidades de ligação dos conjuntos de condutores trifásicos pertencentes a redes já algures interligadas.
Predeterminar nesses conjuntos, os condutores a ligar dois a dois para efectuar a interligação desejada.
Em exploração, e particularmente nos casos de perturbações, facilitar o reconhecimento e a utilização das indicações fornecidas pelos aparelhos de medida e de protecção instalados nas diversas fases.
7.3 Bases de numeração
Cada condutor de uma rede ou de um conjunto de redes interligadas é afectado de um índice numérico igual ao de todos os outros condutores pertencentes à mesma fase da rede.
Só os condutores com o mesmo índice numérico podem ser ligados entre si.
O ângulo eléctrico da diferença de fase tomado para unidade de medida é (como na designação do Símbolo de Ligação de um TP) o ângulo de 30º que, num relógio, o ponteiro das horas percorre quando se move de uma dada hora para a hora seguinte.
Os índices horários possíveis são em número de doze e numerados de 1 a 12, ou eventualmente de 0 a 11:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
Nota: Escrever 0 (isto é: diferença de fase 0º) é equivalente a escrever 12 (isto é: diferença de fase 360º).
Em geral é indiferente escrever um ou o outro destes dois números. Todavia, há casos em que uns destes dois
números têm preferência sobre o outro. Por exemplo, impõem-se escolher o número 12 sempre que o número 0
ou a letra O já foram utilizados com um outro significado tal como o condutor neutro; por outro lado, sempre
que não há risco de qualquer ambiguidade, o número 0 pode ser o preferido. Neste texto utilizaremos a
notação 12 (0).
Os três condutores de um sistema trifásico têm pois os índices horários espaçados entre si de 4 unidades
(equivalente a 120º eléctricos), por exemplo:
0(12) -4-8 1-5-9 2-6-10 4-8-12(0) 5-9-1 6-10-2 7-11-3 8-12(0) -4 10-2-6 11-3-7
Um aumento do índice horário traduz um atraso da tensão aplicada: por exemplo, a tensão do condutor 8 atinge o seu valor máximo 120º eléctricos depois da tensão do condutor 4.
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Os condutores ligados aos terminais homólogos dos dois enrolamentos de um TP (terminais designados pela mesma letra de fase) são afectados de índices numéricos diferentes entre si de uma quantidade igual ao índice horário de ligação destes dois enrolamentos.
Se a sequência alfabética das letras dos terminais de AT for a mesma que a sequência de fases no tempo (isto é se os terminais A, B e C estiverem ligados a condutores de índices horários crescentes de 4 em 4), os índices horários dos condutores ligados aos terminais de BT do TP obtêm-se adicionando o índice horário do TP aos índices horários dos condutores ligados aos terminais homólogos de AT.
Assim, se os terminais A, B e C de um TP Yd11 estiverem ligados, respectivamente, aos condutores 0 (12) -4-8 da rede de AT, os condutores de BT ligados aos terminais a, b e c terão, respectivamente, os índices horários 11, 3 e 7 (adicionar 11 é equivalente a subtrair 1).
Inversamente, se a sequência alfabética das letras dos terminais de AT for oposta à Sequência de fases no
tempo (isto é se os terminais A, B e C estiverem ligados a condutores de índices horários decrescentes de 4 em 4), os índices horários dos condutores ligados aos terminais de BT do TP obtêm-se subtraindo o índice horário do TP aos índices horários dos condutores ligados aos terminais homólogos de AT.
Assim, se os terminais A, B e C de um TP Yd11 estiverem ligados, respectivamente, aos condutores 0 (12) -8-4 da rede de AT, os condutores de BT ligados aos terminais a, b e c terão, respectivamente, os índices horários 1, 9 e 5 (subtrair 11 é equivalente a adicionar 1).
Estes exemplos mostram que com um TP de índice horário 11 (e seria o mesmo com um TP de índice horário 1) podemos ligar uma rede 4-8-12 (0) a uma rede 1-5-9 ou a uma rede 3-7-11, desde que realizemos num dos dois casos uma inversão da sequência alfabética das letras das fases dos terminais em relação à sequência de
fases no tempo.
8. Índice Horário de um TP
É a hora indicada no mostrador de um relógio cujo ponteiro dos minutos está imóvel sobre as 0h (12h) e coincide com o “fasor” da tensão aplicada entre o ponto neutro (real ou fictício) e um terminal de linha do enrolamento de AT e, o ponteiro das horas, coincide com o “fasor” da tensão aplicada entre o ponto neutro (real ou fictício) e o terminal de linha homólogo do enrolamento de BT (ou de tensão intermédia, caso exista).
A Publicação CEI-76, segunda edição, 1993, contempla, para os TPs, os 10 (dez) “índices horários" seguintes:
0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 e 11.
Nota: A “diferença de fase” de um TP é expressa por um índice horário.
Então, o “Índice Horário”, i, de um TP” (com EΘ e eθ expressos em graus) é dado pela expressão seguinte:
º30º30i eE θ
−Θ
+= .
Como º30h1 −⇔+ , podemos escrever (com EΘ e eθ expressos em horas):
h1h1i Ee Θ
−θ
+= .
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9. Enrolamentos de AT dos TPs
Os enrolamentos de AT dos TPs, considerados como receptores de energia, normalizados pela CEI-76-1, 2ª edição, 1993, são: 5D , 6Y e 7D .
9.1 “Enrolamento D5 ”
É o enrolamento da AT dos TPs: Dd0 , Dz0 , Dd4 , Dz4 , Dy5 , Dd6 , Dz6 , Dd10 , Dz10 e Dy11.
É um “enrolamento trifásico”, em triângulo, com DE NN = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está
submetido à tensão composta 5hU3UU150º-U3UU ABD5ABD5 +∠⋅==⇔∠⋅== .
O factor deste enrolamento é: 5h3
1F150º
3
1F D5D5 −∠=⇔+∠= .
9.2 “Enrolamento Y6 ”
É o enrolamento da AT dos TPs: Yy0 , Yd1, Yz1 , Yd5 , Yz5 , Yy6 , Yd7 , Yz7 , Yd11 e Yz11 .
É um “enrolamento trifásico”, em estrela, com YE NN = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está
submetido à tensão simples 6hUUU180º-UUU ANYANY +∠==⇔∠== .
O factor deste enrolamento é: 6h1F180º1F Y6Y6 −∠=⇔+∠= .
9.3 “Enrolamento D7 ”
É o enrolamento da AT dos TPs: Dy1, Dd2 , Dz2 , Dy7 , Dd8 e Dz8 .
É um “enrolamento trifásico”, em triângulo, com DE NN = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está
submetido à tensão composta 7hU3UU210º-U3UU ACD7ACD7 +∠⋅==⇔∠⋅== .
O factor deste enrolamento é: 7h3
1F210º
3
1F D7D7 −∠=⇔+∠= .
10 Enrolamentos de BT dos TPs
Os enrolamentos de BT dos TPs, considerados como geradores de energia, normalizados pela CEI-76-1, 2ª edição, 1993, são: 0y , 1d , 1z , 5d , 5z , 6y , 7d , 7z , 11d e 11z .
10.1 “Enrolamento y0 ”
É o enrolamento da BT dos TPs: Dy5 , Yy6 e Dy7 .
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É um “enrolamento trifásico”, em estrela, com ye nn = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está
submetido à tensão simples 0huuu0ºuuu nay0nay0 ∠==⇔∠== .
O factor deste enrolamento é: 0h1f0º1f y0y0 ∠=⇔∠= .
10.2 “Enrolamento d1”
É o enrolamento da BT dos TPs: Dd4 e Yd5 .
É um “enrolamento trifásico”, em triângulo, com de nn = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está
submetido à tensão composta 1hu3uu30ºu3uu cad1cad1 +∠⋅==⇔−∠⋅== .
O factor deste enrolamento é: 1h3
1f30º
3
1f d1d1 −∠=⇔+∠= .
10.3 “Enrolamento z1”
É o enrolamento da BT dos TPs: Dz4 e Yz5 .
É um “enrolamento trifásico”, em ziguezague, com zn espiras, do tipo “ ca ”, isto é, na “coluna 1”, estão os
enrolamentos parciais da “fase c” ( zn ) e da “fase a” ( xa ) cujos “fasores” apontam para a 1h.
O factor do “enrolamento parcial” é: 1h3f30º3f z1z1 −∠=⇔+∠= .
Com efeito, xanxna uuuu +== , z2
nx uu α−= e zxa uu = .
Pelo que: ⇔+α−= zz2 uuu z
2 u)1(u ⋅α−=
Ora: ⇔+∠=α− º3031 2 h131 2 −∠=α−
Logo: h1u3uº30u3u zz −∠⋅=⇔+∠⋅= .
10.4 “Enrolamento d5”
É o enrolamento da BT dos TPs: Dd0 , Yd1 e Dd2 .
É um “enrolamento trifásico”, em triângulo, com de nn = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está
submetido à tensão composta 5hu3uu150º-u3uu abd5abd5 +∠⋅==⇔∠⋅== .
O factor deste enrolamento é: 5h3
1fº150
3
1f d5d5 −∠=⇔+∠= .
10.5 “Enrolamento z5 ”
É o enrolamento da BT dos TPs: Dz0 , Yz1 e Dz2 .
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É um “enrolamento trifásico”, em ziguezague, com zn espiras, do tipo “ ab ”, isto é, na “coluna 1”, estão os
enrolamentos parciais da “fase a” ( ax ) e da “fase b” ( ny ) cujos “fasores” apontam para as 5h.
O factor do “enrolamento parcial” é: 5h3f150º3f z5z5 −∠=⇔+∠= .
Com efeito, xanxna uuuu +== , znx uu α= e zxa uu −= .
Pelo que: ⇔−α= zz uuu zu)1(u ⋅−α=
Ora: ⇔+∠=−α º15031 h531 −∠=−α
Logo: h5u3uº150u3u zz −∠⋅=⇔+∠⋅= .
10.6 “Enrolamento y6 ”
É o enrolamento da BT dos TPs: Yy0 , Dy1 e Dy11.
É um “enrolamento trifásico”, em estrela, com ye nn = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está
submetido à tensão simples h6uuuº180uuu anyany +∠==⇔−∠== .
O factor deste enrolamento é: 6h1fº1801f y6y6 −∠=⇔+∠= .
10.7 “Enrolamento d7”
É o enrolamento da BT dos TPs: Dd10 e Yd11.
É um “enrolamento trifásico”, em triângulo, com de nn = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está
submetido à tensão composta 7hu3uu210º-u3uu acd7acd7 +∠⋅==⇔∠⋅== .
O factor deste enrolamento é: 7h3
1fº210
3
1f d7d7 −∠=⇔+∠= .
10.8 “Enrolamento z7 ”
É o enrolamento da BT dos TPs: Dz10 e Yz11.
É um “enrolamento trifásico”, em ziguezague, com zn espiras, do tipo “ ac ”, isto é, na “coluna 1”, estão os
enrolamentos parciais da “fase a” ( ax ) e da “fase c” ( nz ) cujos “fasores” apontam para as 7h.
O factor do “enrolamento parcial” é: 7h3f210º3f z7z7 −∠=⇔+∠= .
Com efeito, xanxna uuuu +== , z2
nx uu α= e zxa uu −= .
Pelo que: ⇔−α= zz2 uuu z
2 u)1(u ⋅−α=
15 / 66
A. A. A. C. Barrias
Ora: ⇔+∠=−α º210312 h7312 −∠=−α
Logo: h7u3uº210u3u zz −∠⋅=⇔+∠⋅= .
10.9 “Enrolamento d11 ”
É o enrolamento da BT dos TPs: Dd6 , Yd7 e Dd8 .
É um “enrolamento trifásico”, em triângulo, com de nn = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está
submetido à tensão composta 11hu3uu330º-u3uu bad11bad11 +∠⋅==⇔∠⋅== .
O factor deste enrolamento é: 11h3
1fº330
3
1f d11d11 −∠=⇔+∠= .
10.11 “Enrolamento z11”
É o enrolamento da BT dos TPs: Dz6 , Yz7 e Dz8 .
É um “enrolamento trifásico”, em ziguezague, com zn espiras, do tipo “ ba ”, isto é, na “coluna 1”, estão os
enrolamentos parciais da “fase b” ( yn ) e da “fase a” ( xa ) cujos “fasores” apontam para as 11h.
O factor do “enrolamento parcial” é: 11h3f30º33f z11z11 −∠=⇔+∠= .
Com efeito, xanxna uuuu +== , znx uu α−= e zxa uu = .
Pelo que: ⇔+α−= zz uuu zu)1(u ⋅α−=
Ora: ⇔+∠=α− º33031 h1131 −∠=α−
Logo: h11u3uº330u3u zz −∠⋅=⇔+∠⋅= .
11. Esquemas dos enrolamentos de AT e BT
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A. A. A. C. Barrias
Relógio
1h
2h
3h
11h
10h
9h
6h5h
4h
7h
8h
A
C B
2
13
�
0h12h ⇔
1
2
3
I
I2α
Iα
DI
D2 Iα
DIα
A
B
C
B
B
A
A
C
C
DU
D2 Uα
DUα
�
UUNA =
UαU 2NB =
UαUNC =
Sentido de referência
D17D5 ⇔
17 / 66
A. A. A. C. Barrias
�
UUNA =
UαU 2NB =
UαUNC =
Relógio
�
1h
2h
3h
11h
10h
9h
6h5h
4h
7h
8h
A
C B
1
3 2
0h12h ⇔
1
2
3
A
B
CC
B
AN
N
N
I
I2α
Iα
YI
YIα
YU
Y2 Uα
YUα
Y2 Iα
Sentido de referência
Y18Y6 ⇔
18 / 66
A. A. A. C. Barrias
�
UUNA =
UαU 2NB =
UαUNC =
Sentido de referência
D19D7 ⇔
1
2
3
A
A
A
B
BB
C
CC
I
I2α
Iα
DI
D2 Iα
DIα
DU
D2 Uα
DUα
Relógio
1h
2h
3h
11h
10h
9h
6h
5h
4h
7h
8h
A
C B
3
21
�
0h12h ⇔
19 / 66
A. A. A. C. Barrias
Sentido de referência
y0
n
uuna =
uαu 2nb =
uαunc =
1
2
3
n
n
n
a
c
b
a
b
c
i
i2α
iα
yi
y2 iα
yiα
yu
y2 uα
yuα
Relógio
n
1h
2h
3h
11h
10h
9h
6h5h
4h
7h
8h
a
c b
0h12h ⇔
3 2
1
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A. A. A. C. Barrias
n
uuna =
uαu 2nb =
uαunc =
Sentido de referência
d1
1
2
3
c
cc
b
bb
a
aa
i
i2α
iα
du
d2 uα
duα
di
d2 iα
diα
Relógio
1h
2h
3h
11h
10h
9h
6h
5h
4h
7h
8h
a
c b
3
21
n
0h12h ⇔
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A. A. A. C. Barrias
1
3
1
2
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2
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y
z
b
cn
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n
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b
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z2 uα
zuα
zu
z2 uα
zuα ziα
z2iα
zi i
i2α
iα
ziα
z2iα
zi
n
uuna =
uαu 2nb =
uαunc =
9h
Relógio
b
a
c
2
0h12h ⇔1h
2h
3h
4h
5h6h
7h
8h
10h
11h
nau
nbuncu
x
y
z
n
2
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1
3
3
Sentido de referência
z1
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A. A. A. C. Barrias
n
uuna =
uαu 2nb =
uαunc =
Sentido de referência
d5
I
I2α
Iα
dI
d2 Iα
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ab
c
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d2 uα
duα
1
2
3
a
a
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Relógio
1h
2h
3h
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10h
9h
6h5h
4h
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a
c b
2
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n
0h12h ⇔
23 / 66
A. A. A. C. Barrias
n
uuna =
uαu 2nb =
uαunc =
2
1
3
1
2
3
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z2 uα
zuα
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y
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b
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n
n
x
y
z
a
b
c
zu
z2 uα
zuα
i
i2α
iα
zi
z2iα
ziαzi
z2iα
Relógio
b
a
c
0h12h ⇔1h
2h
3h
4h
5h6h
7h
8h
9h
10h
11h
nau
nbuncu
x
y
z n
3
1
2
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2
1
Sentido de referência
z5
ziα
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A. A. A. C. Barrias
n
uuna =
uαu 2nb =
uαunc =
Sentido de referência
y6
1
2
3
n
n
n
a
c
b
a
b
c
i
i2α
iα
yu yi
y2 iαy
2 uα
yuα yiα
Relógio
n
1h
2h
3h
11h
10h
9h
6h5h
4h
7h
8h
a
c b
1
3 2
0h12h ⇔
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A. A. A. C. Barrias
n
uuna =
uαu 2nb =
uαunc =
Sentido de referência
d7
1
2
3
c
cc
b
bb
a
aa
i
i2α
iα
d2 iα
du di
d2 uα
duα diα
Relógio
1h
2h
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11h
10h
9h
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5h
4h
7h
8h
a
c b
3
21
n
0h12h ⇔
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A. A. A. C. Barrias
n
uuna =
uαu 2nb =
uαunc =
Sentido de referência
z7
1
3
1
2
3
2
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z2 uαz
2 uα
zuα zuα
ax
y
z
b
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n
n
x
y
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b
c
i
i2α
iα
zi
z2iα
ziα
zi
z2iα
ziα
Relógio
b
a
c
2
0h12h ⇔1h
2h
3h
4h
5h6h
7h
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9h
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nau
nbuncu
x
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2
1
1
3
3
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A. A. A. C. Barrias
n
uuna =
uαu 2nb =
uαunc =
Sentido de referência
d11
I
I2α
Iα
dI
d2 Iα
dIα
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c
du
d2 uα
duα
1
2
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a
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n
0h12h ⇔
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n
uuna =
uαu 2nb =
uαunc =
Sentido de referência
z11
1
3
1
2
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2
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z2 uαz
2 uα
zuα zuα
ax
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i2α
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Relógio
b
a
c
0h12h ⇔1h
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5h6h
7h
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nau
nbuncu
x
y
z n
3
1
2
3
2
1
zi
z2iα
ziα
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12. Símbolo de Ligação
Símbolo convencional que indica, para os “transformadores de potência”, os modos de ligações dos enrolamentos de alta tensão (em letras maiúsculas), da tensão intermédia (caso exista) e de baixa tensão (em letras minúsculas) e as “diferenças de fase” respectivas, expressas em “índices horários”.
A Publicação CEI-76-1, segunda edição, 1993, contempla 26 “Símbolos de Ligação”:
Dd0 Yy0 Dz0
Dy1 Yd1 Yz1
Dd2 Dz2
Dd4 Dz4
Dy5 Yd5 Yz5
Dd6 Yy6 Dz6
Dy7 Yd7 Yz7
Dd8 Dz8
Dd10 Dz10
Dy11 Yd11 Yz11
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13. Esquemas dos Símbolos de Ligação
Os 26 "Esquemas dos Símbolos de Ligação" são obtidos combinando os enrolamentos de AT e BT dos transformadores de potência normalizados pela CEI, como se indica no quadro seguinte:
Símbolo de Ligação Enrolamento de AT Enrolamento de BT
Dd0 D5 d5
Yy0 Y6 y6
Dz0 D5 z5
Dy1 D7 y6
Yd1 Y6 d5
Yz1 Y6 z5
Dd2 D7 d5
Dz2 D7 z5
Dd4 D5 d1
Dz4 D5 z1
Dy5 D5 y0
Yd5 Y6 d1
Yz5 Y6 z1
Dd6 D5 (17) d11
Yy6 Y6 y0
Dz6 D5 (17) z11
Dy7 D7 y0
Yd7 Y6 (18) d11
Yz7 Y6 (18) z11
Dd8 D7 (19) d11
Dz8 D7 (19) z11
Dd10 D5 (17) d7
Dz10 D5 (17) z7
Dy11 D5 (17) y6
Yd11 Y6 (18) d7
Yz11 Y6 (18) z7
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A. A. A. C. Barrias
UD
2
2UD
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A
B
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4
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D5 d5
Sentido de referência
12h<>0h
1h
2h
3h
11h
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9h
6h
5h
4h
7h
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a
b
2
13
n
c
12h<>0h
1h
2h
3h
11h
10h
9h
6h
5h
4h
7h
8h
A
C B
2
13
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Dd0 D5-d5
N
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Rede de AT
32 / 66
A. A. A. C. Barrias
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1
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2h
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4h
7h
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A
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1
3 2
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10h
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5h
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7h
8h
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1
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Rede de AT
Yy0 Y6-y6
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3 c
1
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10h
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4h
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1
2
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Rede de AT
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Sentido de referência
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10h
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5h
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7h
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1
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Dy1 D7-y6
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Sentido de referência
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A. A. A. C. Barrias
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A
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Sentido de referência
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A. A. A. C. Barrias
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A
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2
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12h<>0h
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11h
10h
9h
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7h
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14. Cálculos Justificativos dos Símbolos de Ligação dos Transformadores de Potência
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58 / 66
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+∠⋅=
z5-Y6Yz1 ⇔
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Y
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6Y unN
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Y −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º30unN
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Y +∠⋅⋅=
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59 / 66
A. A. A. C. Barrias
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+∠⋅=
z5-D7Dz2 ⇔
5z7Dz
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7D unN
fF
2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º150º210un
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D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º60un
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D +∠⋅⋅=
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7D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠
+∠⋅=
d1-D5Dd4 ⇔
1d5Dd
D
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5D unN
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U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º30º150unN
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D −+∠⋅⋅= ⇔ º120unN
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D +∠⋅=
Ou:
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5D −∠⋅=⇔−∠=⇔+∠=⇔+∠
+∠⋅=
60 / 66
A. A. A. C. Barrias
z1-D5Dz4 ⇔
1z5Dz
D
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fF
2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º30º150unN
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D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º120unN
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D +∠⋅⋅=
Ou:
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5D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠
+∠⋅=
y0-D5Dy5 ⇔
0y5Dy
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5D un
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FU θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º0º150u
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D −+∠⋅⋅= ⇔ º150un
N
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D +∠⋅⋅=
Ou:
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5D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔∠
+∠⋅=
d1-Y6Yd5 ⇔
1d6Yd
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U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º30º180un
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N3
u
Uh5
u
U
3
1
n
N
h1
h6
u
U
3
1
u
U
d
Y
d
Y
d
Y
1d
6Y −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠
+∠⋅=
61 / 66
A. A. A. C. Barrias
z1-Y6Yz5 ⇔
1z6Yz
Y
1z
6Y unN
fF
2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º30º180unN
3
12U
z
Y −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º150unN
3
2U
z
Y +∠⋅⋅=
Ou:
h5un
N
3
2Uh5
n
N
3
2
u
Uh5
u
U3
2
nN
h1
h6
u
U
3
11
u
U
z
Y
z
Y
z
Y
1z
6Y −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠
+∠⋅=
d11-D5(D17)Dd6 ⇔
11d17Dd
D
11d
17D unN
fF
U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º330º510unN
3
13
1
Ud
D −+∠⋅⋅= ⇔ º180unN
Ud
D +∠⋅=
Ou:
h6un
NUh6
n
N
u
Uh6
u
U
n
N
h11
h17
u
U
3
3
u
U
d
D
d
D
d
D
11d
17D −∠⋅=⇔−∠=⇔+∠=⇔+∠
+∠⋅=
y0-Y6Yy6 ⇔
0y6Yy
Y
0y
6Y un
N
f
FU θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º0º180u
n
N
1
1U
y
Y −+∠⋅⋅= ⇔ º180un
NU
y
Y +∠⋅=
Ou:
h6un
NUh6
n
N
u
Uh6
u
U
n
N
h0
h6
u
U
1
1
u
U
y
Y
y
Y
y
Y
0y
6Y −∠⋅=⇔−∠=⇔+∠=⇔∠
+∠⋅=
62 / 66
A. A. A. C. Barrias
z11-D5(D17)Dz6 ⇔
11z17Dz
D
11z
17D un
N
f
F2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º330º510u
nN
33
1
2Uz
D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º180un
N
3
2U
z
D +∠⋅⋅=
Ou:
h6un
N
3
2Uh6
n
N
3
2
u
Uh6
u
U3
2
nN
h11
h17
u
U
3
13
u
U
z
D
z
D
z
D
11z
17D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠
+∠⋅=
y0-D7Dy7 ⇔
0y7Dy
D
0y
7D un
N
f
FU θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º0º210u
n
N
13
1
Uy
D −+∠⋅⋅= ⇔ º210un
N
3
1U
y
D +∠⋅⋅=
Ou:
h7un
N
3
1Uh7
n
N
3
1
u
Uh7
u
U3
n
N
h0
h7
u
U
1
3
u
U
y
D
y
D
y
D
0y
7D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔∠
+∠⋅=
d11-Y6(Y18)Yd7 ⇔
11d18Yd
Y
11d
18Y unN
fF
U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º330º540un
N
3
11
Ud
Y −+∠⋅⋅= ⇔ º210unN
3Ud
Y +∠⋅⋅=
Ou:
h7un
N3Uh7
n
N3
u
Uh7
u
U
3
1
n
N
h11
h18
u
U
3
1
u
U
d
Y
d
Y
d
Y
11d
18Y −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠
+∠⋅=
63 / 66
A. A. A. C. Barrias
z11-Y6(Y18)Yz7 ⇔
11z18Yz
Y
11z
18Y unN
fF
2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º330º540unN
3
12U
z
Y −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º210unN
3
2U
z
Y +∠⋅⋅=
Ou:
h7un
N
3
2Uh7
n
N
3
2
u
Uh7
u
U3
2
nN
h11
h18
u
U
3
11
u
U
z
Y
z
Y
z
Y
11z
18Y −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠
+∠⋅=
d11-D7(D19)Dd8 ⇔
11d19Dd
D
11d
19D unN
fF
U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º330º570unN
3
13
1
Ud
D −+∠⋅⋅= ⇔ º240unN
Ud
D +∠⋅=
Ou:
h8un
NUh8
n
N
u
Uh8
u
U
n
N
h11
h19
u
U
3
3
u
U
d
D
d
D
d
D
11d
19D −∠⋅=⇔−∠=⇔+∠=⇔+∠
+∠⋅=
z11-D7(D19)Dz8 ⇔
11z19Dz
D
11z
19D unN
fF
2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º330º570unN
33
1
2Uz
D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º240unN
32
Uz
D +∠⋅⋅=
Ou:
h8un
N
3
2Uh8
n
N
3
2
u
Uh8
u
U3
2nN
h11
h19
u
U
3
13
u
U
z
D
z
D
z
D
11z
19D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠
+∠⋅=
64 / 66
A. A. A. C. Barrias
d7-D5(D17)Dd10 ⇔
7d17Dd
D
7d
17D un
N
f
FU θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º210º510u
nN
3
13
1
Ud
D −+∠⋅⋅= ⇔ º300un
NU
d
D +∠⋅=
Ou:
h10un
NUh01
n
N
u
Uh10
u
U
n
N
h7
h17
u
U
3
3
u
U
d
D
d
D
d
D
7d
17D −∠⋅=⇔−∠=⇔+∠=⇔+∠
+∠⋅=
z7-D5(D17)Dz10 ⇔
7z17Dz
D
7z
17D unN
fF
2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º210º510unN
33
1
2Uz
D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º300unN
32
Uz
D +∠⋅⋅=
Ou:
h10un
N
3
2Uh10
n
N
3
2
u
Uh10
u
U3
2
nN
h7
h17
u
U
3
13
u
U
z
D
z
D
z
D
7z
17D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠
+∠⋅=
y6-D5(D17)Dy11 ⇔
6y17Dy
D
6y
17D un
N
f
FU θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º180º510u
n
N
13
1
Uy
D −+∠⋅⋅= ⇔ º330un
N
3
1U
y
D +∠⋅⋅=
Ou:
h11un
N
3
1Uh11
n
N
3
1
u
Uh11
u
U3
n
N
h6
h17
u
U
1
3
u
U
y
D
y
D
y
D
6y
17D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠
+∠⋅=
65 / 66
A. A. A. C. Barrias
d7-Y6(Y18)Yd11 ⇔
7d18Yd
Y
7d
18Y unN
fF
U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º210º540unN
3
11
Ud
Y −+∠⋅⋅= ⇔ º330unN
3Ud
Y +∠⋅⋅=
Ou:
h11un
N3Uh11
n
N3
u
Uh11
u
U
3
1
n
N
h7
h18
u
U
3
1
u
U
d
Y
d
Y
d
Y
7d
18Y −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠
+∠⋅=
z7-Y6(Y18)Yz11 ⇔
7z18Yz
Y
7z
18Y unN
fF
2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º210º540unN
3
12U
z
Y −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º330unN
3
2U
z
Y +∠⋅⋅=
Ou:
h11un
N
3
2h11
n
N
3
2
u
Uh11
u
U3
2nN
h7
h18
u
U
3
11
u
U
z
Y
z
Y
z
Y
7z
18Y U −∠⋅⋅=−∠⋅=+∠⋅=+∠
+∠⋅= ⇔⇔⇔
Não estão, portanto, normalizados:
d7D7Dd0 −⇔
7d7Dd
D
7d
7D unN
fF
U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º210º210unN
3
13
1
Ud
D −+∠⋅⋅= ⇔ º0unN
Ud
D ∠⋅=
Ou:
h0un
Nh0
n
N
u
Uh0
u
U
n
N
h7
h7
u
U
3
3
u
U
d
D
d
D
d
D
7d
7D U ∠⋅=∠=∠=+∠
+∠⋅= ⇔⇔⇔
66 / 66
A. A. A. C. Barrias
z7D7Dz0 −⇔
7z7Dz
D
7z
7D unN
fF
2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º210º210unN
33
1
2Uz
D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º0un
N
3
2U
z
D ∠⋅⋅=
Ou:
h0un
N
3
2h0
n
N
3
2
u
Uh0
u
U3
2
nN
h7
h7
u
U
3
13
u
U
z
D
z
D
z
D
7z
7D U ∠⋅⋅=∠⋅=∠⋅=+∠
+∠⋅= ⇔⇔⇔
d1D7Dd6 −⇔
1d7Dd
D
1d
7D unN
fF
U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º30º210unN
3
13
1
Ud
D −+∠⋅⋅= ⇔ º180unN
Ud
D +∠⋅=
Ou:
h6un
NUh6
n
N
u
Uh6
u
U
n
N
h1
h7
u
U
3
3
u
U
d
D
d
D
d
D
1d
7D −∠⋅=−∠=+∠=+∠
+∠⋅= ⇔⇔⇔
z1D7Dz6 −⇔
1z7Dz
D
1z
7D unN
fF
2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º30º210unN
33
1
2Uz
D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º180unN
32
Uz
D +∠⋅⋅=
Ou:
h6un
N
3
2Uh6
n
N
3
2
u
Uh6
u
U3
2
nN
h1
h7
u
U
3
13
u
U
z
D
z
D
z
D
1z
7D −∠⋅⋅=−∠⋅=+∠⋅=+∠
+∠⋅= ⇔⇔⇔
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