· 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função...

Cálculo Aplicado I

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 17

5 de julho de 2013

Parte 17 Cálculo Aplicado I 1

Limites

Parte 17 Cálculo Aplicado I 2

Limites

limx→4

x + 1x − 2

=52.

Se limx→p

f (x) = 5 e limx→p

g(x) = 2, então limx→p

f (x)g(x)

=52

.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 3

Limites

limx→4

x + 1x − 2

=52.

Se limx→p

f (x) = 5 e limx→p

g(x) = 2, então limx→p

f (x)g(x)

=52

.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 4

Limites

limx→4

x + 1x − 2

=52.

Se limx→p

f (x) = 5 e limx→p

g(x) = 2, então limx→p

f (x)g(x)

=52

.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 5

Limites

limx→2+

x + 1x − 2

= +∞.

Se limx→p+

f (x) = L > 0 e limx→p+

g(x) = 0+, então limx→p+

f (x)g(x)

= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 6

Limites

limx→2+

x + 1x − 2

= +∞.

Se limx→p+

f (x) = L > 0 e limx→p+

g(x) = 0+, então limx→p+

f (x)g(x)

= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 7

Limites

limx→2+

x + 1x − 2

= +∞.

Se limx→p+

f (x) = L > 0 e limx→p+

g(x) = 0+, então limx→p+

f (x)g(x)

= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 8

Limites indeterminados (a priori)

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

(indeterminação a priori)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 9

Limites indeterminados (a priori)

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

(indeterminação a priori)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 10

Limites indeterminados (a priori)

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

(indeterminação a priori)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 11

Limites indeterminados (a priori)

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

(indeterminação a priori)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 12

Limites indeterminados (a priori)

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

(indeterminação a priori)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 13

Limites indeterminados (a priori)

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

(indeterminação a priori)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 14

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 15

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 16

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 17

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

7 x + 1x − 2

= limx→+∞

7 x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

7 +1x

1− 2x

= 7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 18

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

7 x + 1x − 2

= limx→+∞

7 x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

7 +1x

1− 2x

= 7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 19

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

x2 + 1x − 2

= limx→+∞

x2 + 1x

x − 2x

= limx→+∞

x +1x

1− 2x

= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 20

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

x2 + 1x − 2

= limx→+∞

x2 + 1x

x − 2x

= limx→+∞

x +1x

1− 2x

= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 21

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x

= 1. (limite fundamental)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 22

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x

= 1. (limite fundamental)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 23

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x

= 1. (limite fundamental)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 24

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x

= 1. (limite fundamental)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 25

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(2 x)x

= limx→0

[2

sen(2 x)2 x

]= 2.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 26

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(2 x)x

= limx→0

[2

sen(2 x)2 x

]= 2.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 27

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(2 x)x

= limx→0

[2

sen(2 x)2 x

]= 2.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 28

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x3 = lim

x→0

[sen(x)

x· 1

x2

]= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 29

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x3 = lim

x→0

[sen(x)

x· 1

x2

]= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 30

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x3 = lim

x→0

[sen(x)

x· 1

x2

]= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 31

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→+∞

[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞

12 = 12.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 32

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→+∞

[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞

12 = 12.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 33

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→+∞

[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞

12 = 12.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 34

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→+∞

[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞

12 = 12.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 35

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→∞

[x2 − x

]= lim

x→∞x · (x − 1) = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 36

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→∞

[x2 − x

]= lim

x→∞x · (x − 1) = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 37

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→∞

[x2 − x

]= lim

x→∞x · (x − 1) = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 38

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→∞

[x − x2

]= lim

x→∞x · (1− x) = −∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 39

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→∞

[x − x2

]= lim

x→∞x · (1− x) = −∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 40

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→∞

[x − x2

]= lim

x→∞x · (1− x) = −∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 41

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x]= lim

x→∞1 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 42

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x]= lim

x→∞1 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 43

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x]= lim

x→∞1 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 44

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x]= lim

x→∞1 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 45

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[2x· x]= lim

x→∞2 = 2.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 46

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[2x· x]= lim

x→∞2 = 2.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 47

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[2x· x]= lim

x→∞2 = 2.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 48

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x2]= lim

x→∞x = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 49

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x2]= lim

x→∞x = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 50

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x2]= lim

x→∞x = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 51

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

1x

)x

= e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 52

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

1x

)x

= e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 53

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

1x

)x

= e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 54

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

7x

)x(x=7 u)= lim

u→∞

(1 +

77 u

)7 u

= limu→∞

[(1 +

1u

)u]7

= e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 55

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

7x

)x(x=7 u)= lim

u→∞

(1 +

77 u

)7 u

= limu→∞

[(1 +

1u

)u]7

= e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 56

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

7x

)x(x=7 u)= lim

u→∞

(1 +

77 u

)7 u

= limu→∞

[(1 +

1u

)u]7

= e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 57

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

7x

)x(x=7 u)= lim

u→∞

(1 +

77 u

)7 u

= limu→∞

[(1 +

1u

)u]7

= e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 58

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x2

)x2

= limx→0

1

e1

x2 ·x2= lim

x→0

1e=

1e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 59

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x2

)x2

= limx→0

1

e1

x2 ·x2= lim

x→0

1e=

1e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 60

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x2

)x2

= limx→0

1

e1

x2 ·x2= lim

x→0

1e=

1e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 61

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x2

)x2

= limx→0

1

e1

x2 ·x2= lim

x→0

1e=

1e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 62

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x2

)x2

= limx→0

1

e1

x2 ·x2= lim

x→0

1e=

1e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 63

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e7

x2

)x2

= limx→0

1

e7

x2 ·x2= lim

x→0

1e7 =

1e7 .

Parte 17 Cálculo Aplicado I 64

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e7

x2

)x2

= limx→0

1

e7

x2 ·x2= lim

x→0

1e7 =

1e7 .

Parte 17 Cálculo Aplicado I 65

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e7

x2

)x2

= limx→0

1

e7

x2 ·x2= lim

x→0

1e7 =

1e7 .

Parte 17 Cálculo Aplicado I 66

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e7

x2

)x2

= limx→0

1

e7

x2 ·x2= lim

x→0

1e7 =

1e7 .

Parte 17 Cálculo Aplicado I 67

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x4

)−x2

= limx→0

1

e1

x4 ·(−x2)= lim

x→0

1

e−1

x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 68

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x4

)−x2

= limx→0

1

e1

x4 ·(−x2)= lim

x→0

1

e−1

x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 69

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x4

)−x2

= limx→0

1

e1

x4 ·(−x2)= lim

x→0

1

e−1

x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 70

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x4

)−x2

= limx→0

1

e1

x4 ·(−x2)= lim

x→0

1

e−1

x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 71

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x4

)−x2

= limx→0

1

e1

x4 ·(−x2)= lim

x→0

1

e−1

x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 72

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x2)x2

= limx→0

e1

x2 ·x2= lim

x→0e1 = e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 73

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x2)x2

= limx→0

e1

x2 ·x2= lim

x→0e1 = e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 74

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x2)x2

= limx→0

e1

x2 ·x2= lim

x→0e1 = e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 75

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x2)x2

= limx→0

e1

x2 ·x2= lim

x→0e1 = e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 76

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x2)x2

= limx→0

e1

x2 ·x2= lim

x→0e1 = e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 77

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

7x2)x2

= limx→0

e7

x2 ·x2= lim

x→0e7 = e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 78

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

7x2)x2

= limx→0

e7

x2 ·x2= lim

x→0e7 = e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 79

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

7x2)x2

= limx→0

e7

x2 ·x2= lim

x→0e7 = e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 80

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

7x2)x2

= limx→0

e7

x2 ·x2= lim

x→0e7 = e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 81

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x4)x2

= limx→0

e1

x4 ·x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 82

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x4)x2

= limx→0

e1

x4 ·x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 83

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x4)x2

= limx→0

e1

x4 ·x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 84

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x4)x2

= limx→0

e1

x4 ·x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 85

A regra de L’Hôpital

Parte 17 Cálculo Aplicado I 86

A regra de L’Hôpital

Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis (deriváveis)e que g′(x) 6= 0 em uma vizinhança do ponto p. Suponhatambém que

limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0

ou que

limx→p

f (x) = +∞ (ou −∞) e limx→p

g(x) = +∞ (ou −∞).

Então

limx→p

f (x)g(x)

= limx→p

f ′(x)g′(x)

se o limite do lado direito existir (ou se ele é −∞ ou +∞).

Teorema

Parte 17 Cálculo Aplicado I 87

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 88

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 89

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 90

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 91

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 92

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 93

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 94

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 95

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 96

A regra de L’Hôpital

A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igualao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,desde que as condições dadas estejam satisfeitas. É importanteverificar que as condições com respeito aos limites de f e g antes deusar a regra de L’Hôpital.

A regra de L’Hôpital também é válida para limites laterais ou para limitesno infinito, isto é, “x → p” pode ser trocado por qualquer dos símbolos aseguir: x → p+, x → p−, x → +∞, x → −∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 97

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 98

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 99

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 100

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 101

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 102

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 103

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 104

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 105

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 106

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 107

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 108

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 109

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 110

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 111

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 112

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 113

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 114

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 115

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 116

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 117

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 118

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 119

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 120

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 121

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 122

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 123

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 124

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 125

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 126

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 127

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 128

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 129

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 130

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 131

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 132

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 133

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 134

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 135

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 136

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 137

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 138

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 139

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 140

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 141

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 142

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 143

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 144

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 145

Produtos indeterminados

Parte 17 Cálculo Aplicado I 146

Produtos indeterminados

Para usar a regra de L’Hôpital para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x) · g(x)]

com limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = +∞ (ou −∞), basta reescrevê-lo em

limx→p

[f (x) · g(x)] = limx→p

f (x)1/g(x)

ou limx→p

[f (x) · g(x)] = limx→p

g(x)1/f (x)

.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 147

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 148

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 149

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 150

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 151

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 152

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 153

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 154

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 155

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 156

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 157

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 158

Observação

No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

.

Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

= limx→0+

1

− 1x (ln(x))2

= limx→0+

(−x (ln(x))2).

Parte 17 Cálculo Aplicado I 159

Observação

No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

.

Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

= limx→0+

1

− 1x (ln(x))2

= limx→0+

(−x (ln(x))2).

Parte 17 Cálculo Aplicado I 160

Observação

No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

.

Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

= limx→0+

1

− 1x (ln(x))2

= limx→0+

(−x (ln(x))2).

Parte 17 Cálculo Aplicado I 161

Observação

No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

.

Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

= limx→0+

1

− 1x (ln(x))2

= limx→0+

(−x (ln(x))2).

Parte 17 Cálculo Aplicado I 162

Observação

No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

.

Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

= limx→0+

1

− 1x (ln(x))2

= limx→0+

(−x (ln(x))2).

Parte 17 Cálculo Aplicado I 163

Diferenças indeterminadas

Parte 17 Cálculo Aplicado I 164

Diferenças indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)− g(x)]

com

limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞,

é necessário converter a diferença em um quociente(usando um denominador comum ou racionalização)

oucolocar algum fator comum em evidência.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 165

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 166

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 167

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 168

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 169

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 170

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 171

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 172

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 173

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 174

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 175

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 176

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 177

Potências indeterminadas

Parte 17 Cálculo Aplicado I 178

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 179

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 180

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 181

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 182

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 183

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 184

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 185

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 186

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 187

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 188

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 189

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 190

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 191

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 192

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 193

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 194

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 195

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 196

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 197

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 198

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 199

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 200

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 201

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 202

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 203

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 204

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 205

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 206

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 207

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 208

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 209

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 210

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 211

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 212

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 213

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 214

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 215

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 216