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Amilcar SoaresCERENA – Instituto Superior Técnico

asoares@ist.utl.pt

Aracaju - UFS – Cintec –28 de Maio de 2012

Geoestatística para Avaliação

de Recursos Petrolíferos

C E R E N A

Centro de Recursos Naturais e Ambiente

Geoestatística para a Caracterização de Recursos Naturais

Níveis de conhecimento de um reservatório

geologia geofísica poços

dados de produção

Necessidade de um modelo da realidade

• Planeamento da prospecção

• Avaliação de reservas

• Planeamento e Gestão da Produção

• Gestão do recurso

Necessidade de um modelo da realidade

GEOESTATÍSTICAModelos de Estimação

Análise do padrão espacial

Simulação de Imagens

...

“…um “bom modelo” é um modelo que começa por “não ser mau” e que depois dá bons resultados.”

António Brotas

modelos interpoladores deterministas computação gráfica, visualização científica, animação

Modelos de estruturas geológicas: Curvas de Bezier, Splines, interpoladores polinomiais,..

Representação da incerteza dos fenómenos físicos dos recursos naturais

Φ = .25 ?

.05.40

.25

Classificação de Reservas com base na Incerteza

PROJECT STATUS

PROVED

PROVED plusPROBABLE

LOW BEST HIGH

ESTIMATE ESTIMATE ESTIMATE

LOW BEST HIGH

ESTIMATE ESTIMATE ESTIMATE

DIS

D P

-AL

Y-I

N-P

DIS

DTO

L P

-AL

Y-I

N-P

LOW

RIS

JEC

T M

ITY

HIG

R R

ISK

CONTINGENT RESOURCES

Range of Certainity

CIA

-CO

CIA

-IN

ITIA

Y-I

N-P

UNRECOVERABLE

PROSPECTIVE RESOURCES

UNRECOVERABLE

Prospect

Lead

Play

Development Pending

Development on Hold

Development Not Viable

Planned for Development

PRODUCTION

RESERVES On Production

Under DevelopmentPROVED plus

PROBABLE plus

POSSIBLE

Classificação de Reservas – SPE/WPC

3 tipos de Reservas baseados na Incerteza

PROVADASProven = 1P

or P90= 90% Probability of Occurrence

PROVÁVEISProven + Probable = 2P

or P50 = 50% Probability of Occurrence

POSSÍVEISProven + Probable + Possible = 3P

or P10 = 10% Probability of Occurrence1P 2P 3P

P90

P50

P10P

IBL

Reservas

O formalismo probabilista: base dos modelos de caracterização de reservatórios petrolíferos

“I would rather be vaguely right than precisely wrong” (P. Keynes)

• Representação da incerteza/ignorância pelo conceito de probabilidade

• O conceito unitário de variável aleatórea

Caracterização de Reservatórios Petrolíferos

Integração da sísmica nos modelos de propriedades internas do reservatório.

Integração do modelos geológico ( canais fluviais, fracturas, litogrupos) nos modelos das propriedades internas

“Downscaling” do sinal sísmico (inversão estocástica)

Integração dos dados dinâmicos de produção – History Matching

Estimação geoestatística: interpolador linear

Estimação geoestatística: Krigagem

Os pesos de cada uma das amostras é determinado pela sua proximidade ao ponto a

estimar

(h)

Análise da Continuidade

Espacial de um fenómeno físico

Coeficientes de CorrelaçãoCorrelogramas CovariânciasVariogramas

I. Estimação Geoestatística krigagem normal

inferência de um valor de uma propriedade ou atributo de um fenómeno espacial, em pontos ou áreas compreendidos entre

amostras ou observações de valores dessa propriedade.

E{Z(xi)} = E{Z(xj)} = m

C(Z(xi), Z(xj))=C(h)?

),(2),()0()(var 00 xxCxxCCx

( )[ ] ( )å=

xZxZ1

*0 aal

II – Simulação estocástica de grandezas heterogéneas

Integração do conceito de incerteza nos modelos dos reservatórios petrolíferos

Estimação ou Simulação ?

O valor médio é suficiente para representar o conhecimento de uma grandeza – teor de um poluente, porosidade de um solo, temperatura,

precipitação ?

...depende da variabilidade/variância da grandeza e da nossa ignorância

A “imagem” média é suficiente para representar o conhecimento de uma grandeza?

Estimação

Simulação

Estimação

Grandezas muito homogéneas (pequena variabilidade)

Topo e base de um estrato geológico Temperatura, precipitação total, ..

Simulação

Grandezas muito heterogeneas (grande variabilidade)

Porosidade de um soloBiodiversidade

Poluição

O Conceito de Incerteza

Tipo de solo, Porosidade, Precipitação,

Resposta do modelo dinâmico de fluidos:

Modelo estimado dos valores mais prováveis

• Fornece unicamente a resposta dinâmica do modelo mais provável que não é necessariamente a resposta mais provável

Não fornece nenhuma medida de incerteza, valores extremos, risco, etc..

Uma só resposta: reserva de água, poluição média, etc..

O Conceito de Incerteza

...

Respostas do modelo dinâmico

Quantificação da incerteza das reservas de água, análise de risco, ...

Modelo simulado

O Conceito de Incerteza

Porosidade, Permeabilidade, Água/Óleo,...

O Conceito de Incerteza

Incerteza resulta da complexidade do fenómeno natural e da nossa ignorância em relação ao

mesmo

Não pode ser evitada

Pode ser minimizada

Deve ser gerida

Integração da Incerteza num Processo de Decisão

i – Quantificação da incerteza nas variáveis de entrada do modelo.

ii – Transformação da incerteza dos inputs na incerteza da resposta

Simulação grandezas heterogéneas

Um processo de simulação espacial tem normalmente duas etapas:

1- caracterização de uma lei de distribuição de probabilidades : Estimação geoestatística de parâmetros da lei, Adopção de situações idênticas, opiniões periciais , etc..

2- Simulação de valores dessas leis de distribuição

1- Caracterização de uma lei de distribuição de probabilidades

caracterização de uma lei de distribuição de probabilidades : Estimação geoestatística de parâmetros da lei, Adopção de situações idênticas, opiniões periciais , geofísica, modelos geológicos, etc..

O modo como uma lei de distribuição de probabilidades é caracterizada- as porosidades locais, as reservas de óleo

globais, etc..- depende da quantidade e qualidade de informação disponível

246400701507600

GRVP.D.F.

Most Likely=70150A lei de distribuição do GRV (Gross Rock Volume) pode ser inferida a partir dos primeiros estudos geológicos e geofísicos

f(z)

z(x8)

Estimação geoestatística de médias e variâncias locais da permabilidade, porosidade, etc.. O Conceito de Espaço

2- Simulação de valores de uma lei de distribuição de probabilidades

Método de Monte Carlo

Utilização de números aleatórios para geração de valores a partir de uma lei de distribuição de

probabilidades

Método de Monte Carlo

“the use of random numbers to solve deterministic systems or stochastic models”

1- Método da transformada inversa

2- Método de Aceitação-Rejeição

Geração de variáveis aleatórias

Amostragem de variáveis aleatórias a partir de distribuições de probabilidade

Método de Monte Carlo1- Método de Transformada Inversa

Lei de distribuição de probabilidades: FZ(z) é uma função contínua e crescente:

1 > FZ( z ) > 0 z1 < z2 e FZ( z1 ) < Fz( z2 )

1 – Gerar U a partir de U( 0,1 )

2- z1 = F-1z(U )

FZ1(z1)

z1=F-1Z1(u)

FZ1(z1)

z1=F-1Z1(u)

a b

Simulação de Monte Carlo2- Método de Aceitação-Rejeição

Especificar uma função t(x) que majora a densidade f: t(x) >= f(x) for all x.

xdxfxdxtc

x1 é aceite

x2 é aceite

x1 é rejeitado

x2 é rejeitado

f(x)

t(x)

r(x) = t(x) / c é uma função denisdade

1- Gerar x

2- Gerar u a partir de U( 0,1 )

3- u <= f(x) / t(x) x é aceite

Caso contrário x é rejeitado

Simulação de variáveis categóricas aleatórias

Litoclasse #1 – 25 %

Litoclasse #2 – 40 %Litoclasse #3 – 35 %

Criar uma pseudo “probabilidade cumulativa” :

.25

.65

L1 L2 L3

1 – Gerar U U ( 0,1 )

2- Se .25 U > 0 retorna X = L1

Se .65 U > .25 retorna X = L2Se 1 U > .65 retorna X= L3

F(x)

Simulação de um conjunto de variáveis independentes

Exemplo 1: optimização de uma operação de transporte e carregamento

Carregamento do camião

Descarregamento do camião

Transporte da carga

Retorno ao ponto incial

Simulação de Monte Carlo

Histogramas experimentais dos tempos

de operação

simulações

Total 1 Total2

Descarregamento do camião

f(t)

t3 t3 t3

Total 3

f(t)

Histograma simulado do

tempo total do ciclo

...

Retorno ao ponto incial

f(t)t4 t4 t4 ...

...

Transporte da carga

f(t)t2 t2 t2 ...

Carregamento do camião

f(t)t1 t1 t1 ...

Análise de Sensibilidad

Simulação de Monte Carlo

Histograma da orientação das fracturas

Histograma do número de segmentos das fracturas

Exemplo 2 : Simulação de um campo de fracturas

Densidade das Fracturas

Dimensão do Campo

Histograma do comprimento das fracturas

Simulação de Monte Carlo1ª simulação

Sobreposição com uma 2ª simulação de outra família de fracturas

Simulação de 355 fracturas Simulação de 513 fracturas

Exemplo 3 : Cálculo de Reservas

reservas A ThNet

GrossSwi

FVFRF

Produção cumulativa= -

ëê

ûú -* * * *( )* *f 1

STOIIP = Stock Tank Oil Initial In Place GIIP for Gas

A = área do reservatório (km2 / acres)

Th = espessura total do reservatório (metros)

Net & Gross = espessura total do reservatório líquida & bruta (metros)

f = porosidade = fracção de vazios

Swi = saturação de água inicial (fracção)

FVF = Fcator de formação de volume de óleo e gás (adimensional)

RF = factor de recuperação (fracção)

A*Th = GRV = Vol. Bruto de Rocha

Leis de Distribuições das variáveis de entrada:

Simulação de Variáveis Dependentes

Considere-se que 2 variáveis X e Y são altamente correlacionadas. Se um valor alto de x for gerado por uma simulação de MC de X, então um valor alto de y é esperado na simulação de Y.

Problema: Isto não pode ser garantido a partir de simulações independentes de f(X) e f(Y)

Simulação de variáveis dependentes implica o conhecimento da distribuição bi-variada de f(X,Y)

Simulação de Monte CarloSimulação de 2 variáveis aleatórias dependentes

Aplicação da lei de Bayes em passos sucessivos: F( Z1, Z2 ) = F( Z2 | Z1 ) . F(Z1)

Simulação de 2 valores z1 e z2 a partir da função de distribuição conjunta

F( Z1,Z2 ):

1st Gerar o valor z1 a partir da pdf F(Z1).

2nd Gerar o valor z2 a partir da função de distribuição condicional F( Z2 | Z1=z1)

Simulação de Monte Carlo

Simulação de de duas variáveis a partir da distribuição bi-variada: permeabilidade e

porosidadeK

Fz1

Kz1

F(|K=z1)

Maria João Pereira

Não tenho a certeza se a tradução está correcta.Por favor verifica

Simulação de Monte CarloSimulação de campos de fracturas com variáveis

dependentes

Orientation

lenght

Bi-histograma obtido a partir de um outcrop

Simulação Sequencial

F(Z1,Z2,….,ZN)=F(Z1).F(Z2|Z1).F(Z3|Z1,Z2,Z3)… F(ZN|Z1,…ZN-1)

Gerar (simular) um conjunto de valores z1,…,zN da lei de distribuição F(Z1,Z2,…,ZN), pode ser feito em passos sucessivos: 1º- gera-se um valor z1 da lei marginal F(Z1) 2º -simula-se um valor z2 da lei de distribuição condicional F(Z2|Z1=z1)

Simula-se o valor zN de F (ZN |Z1=z1,Z2=z2,…,ZN-1=zN-1)

Simulação Sequencial

z(x1)z(x2)

z(x3)

z(x4)

z(x5)

z(x7)z(x8)

z(x6)

FZ(zk,x8|(n))*

[iz5(x8)]*

[iz4(x8)]*

z(x8) Z(x8)

z(x1)z(x2)

z(x3)

z(x4)

z(x5)

z(x7)z(x8)

z(x6)

z(x8)8

FZ(zk,x9|(n+1)) [iz5(x9)]*

[iz4(x9)]*

z(x9) Z(x9)

y ( x 1 ) y ( x 2 )

y ( x 3 )

y ( x 4 )

y ( x 5 )

y ( x 7 ) y ( x 8 )

y ( x 6 )

x 8

y ( x 1 ) y ( x 2 )

y ( x 3 )

y ( x 4 )

y ( x 5 )

y ( x 7 ) y ( x 8 )

y ( x 6 )

y(x 8 ) 8

x 9

G(y , x 8 )

y ( x 8 ) Y ( x 8 )

[ y ( x 8 )]¨* 2 sk ( x 8 )

G(y , x 9 )

y ( x 9 ) Y ( x 9 )

[ y ( x 9 )]¨* 2 sk ( x 9 )

Simulação Sequencial Gaussiana (SGS)

Ex: Sequential Gaussian Simulation (SGS)

1- honram os dados experimentais

2- reproduzem os estatísticos

3- reproduzem os variogramas

Simulação de litofácies: krigagem da indicatriz de variáveis categóricas

Modelo Geoestatístico de um Reservatório do Médio Oriente

Simulação de canais de areia: (krigagem da indicatriz com anisotropias locais )

Reservatório fluvial de canais de areia (Oman)

Algoritmo pixel-based para caracterizar corpos de areia

Simulação de permeabilidade com deriva local

Reservatório Angolano.

Integração de redes neuronais probabilistas no modelo estocástico para caracterizar o campo de permeabilidades

Integração de campos fracturados na simulação de permeabilidade

Incorporação do campo de fracturas para caracterização da permeabilidade secundária

Reservatório Angolano

Obrigado

Integration of Seismic Data in Stochastic Modelling of Internal Properties

•Forward Modeling

Correlation between seismic data and well

data (porosity, rocktypes, ..)

Spatial continuity of both variables

Simulation or co-simulation

DataModel of Porosity,

Rocktypes,..

Forward Modeling: Different approaches to generate images of porosity

conditioned to well and seismic data

i) Co-Simulation of “main” variable (porosity) conditioned to the secondary variable (seismic).

R = 0.617

3500

4500

5500

6500

7500

8500

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Porosity

Aco

ustic

Impe

danc

Upper layers (42-49)

Co-simulation based on a sequential approach

(colocated co-kriging to estimate means and variances of local

distributions)

ii) Block Direct Simulation of well porosity and seismic (Liu and Journel, 2008 ).

z(x) are the values Z (porosity) in point support

zv(x) are the values Z in block support

Block Direct Sequential Simulation

Block Direct Simulationi. In the node x0 of a random path of a regular grid, the

following means and variances are calculated by block co-kriging:

ii. Simulation of a “point” value zs(x0) by re-sampling the global cdf global of Z(x) (Direct Sequential Simulation Approach).

xzxxzxxz v.. 00*

xzv

xzxxzxxz v.. 00*

Note that the kriging system requires the knowledge of

spatial convariaces point-point , point-block and block-block :

C(.,.) , C(.,v) e C(v,v)

•Inverse Modeling is based on the physical relation:

-1000.0000

-500.0000

0.0000

500.0000

1000.0000

1500.0000

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

amp

litu

* =

Convolving the reflectivity coefficients c(x) with a given wavelet w, one obtain the synthetic seismic

amplitudes a*(x)= c(x)*w

Typical Inverse Problem: one whish to know the acoustic impedances which give rise to the known real seismic.

Geostatistical Seismic Inversion

The aim of geostatistical inversion of seismic is to produce numerical models that share two properties:

• The numerical model honors a physical relationship (convolution model) with the actual data .

• The numerical model reflects the assumed geological spatial continuity

Geostatistical Seismic (Trace-by-Trace) Inversion (Bertolli et al, 1993): it is an iterative process based on the sequential simulation of trace values of acoustic impedances.

-1000.0000

-500.0000

0.0000

500.0000

1000.0000

1500.0000

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

amp

litu

* =1- Choose randomly

a trace to be generated.

Simulation of N realizations of AI of

that trace

N Sinthetic trace

realizations 3-Compare with the real seismic, choose and

retain the best realization

4- return until all traces are simulated

Optimization algorithm

2- Convolution with a known

wavelet

GSI – Global Stochastic Inversion

Geostatistical Inversion With Global Perturbation Method

Part I - Theory

The approach of Global Stochastic Inversion is based on two key ideas: • the use of the sequential direct co-

simulation as the method of “transforming” 3D images, in a iterative process and

• to follow the sequential procedure of the genetic algorithms optimization to converge the transformed images towards an objective function

GSI – Global Stochastic Inversion

2- Convolution of transformed Simulated Acoustic Impedance

-1000.0000

-500.0000

0.0000

500.0000

1000.0000

1500.0000

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

amp

litu

1 – Simulation of Acoustic Impedance

3 – Comparing the synthetic amplitudes a*(x) with the real seismic a(x) obtaining local correlation coefficients cc(x)

5 – Return to step one to obtain a new generation of AI images until a given objective function is reached.

4 – From the N realizations, retain the traces with best matches and “compose” a best image of AI

In a last step, porosity images are derived from the seismic impedances and

the uncertainty derived from the seismic quality is assessed based on the quality of match between synthetic seismogram obtained by seismic inversion and real seismic.

Obrigado

C E R E N A

Centro de Recursos Naturais e Ambiente

Incerteza das variáveis de entrada: BOOTSTRAP

“pulling yourself up by your bootstraps”

….

var1 var2 var3 ….

var

Var=1/N(var1+var2+var3+….)

Histograma de var1, var2,…. Dá origem à incerteza de Var

Dados originais

Re-amostra 1 Re-amostra 2 Re-amostra 3

N=9

N=8 N=8 N=8

Incerteza das variáveis de entrada: BOOTSTRAP

Freq. (%)

Net-to-Gross (%)10 7042

Freq. (%)

Mean Net-to-Gross (%)

10 7042

N=30

1- Gerar por MC, 30 valores da distribuição do Net-to Gross

2- Calcular a média dos valores de Net-to-Gross

3 – Voltar ao paaso 1 muitas vezes para aceder à distribuição e inceretza da média

Distribuições da média do Bootstrap :

Incerteza das variáveis de entrada: BOOTSTRAP

Freq. (%)

Net-to-Gross (%)10 7042

Freq.

(%)

Net-to-Gross (%)10 7042

Freq.

(%)

Net-to-Gross (%)10 7042

Freq.

(%)

Net-to-Gross (%)10 7042

Acesso à inceretza da distribuição do Bootstrap

Incerteza das variáveis de entrada: BOOTSTRAP

Var 1

Var 2

=.62

Freq. (%)

Coeficiente de Correlação .37 .78.62

Acesso à incerteza do coeficiente de correlação do Bootstrap

A simulação por bootstrap é mais conservativa do que a simulação de MC das distribuições orignais

dos dados

Nota: o Bootstrap assume independência entre variáveis. Só é aplicável nas etapas iniciais da avaliação

do reservatório

f(%) f(%) f(%)

f(%)

f(%) f(%) f(%)

f(%)

Distribuições da simulações de MC

Simulação de MC da incerteza do Bootstrap

Var1 Var2 Var3

Unc 1 Unc 2 Unc 3

Integration of seismic information in static models of internal properties

Forward Modelling and Inverse Modelling

Integration of Seismic Data in Stochastic Modelling of Internal Properties

•Forward Modeling

Correlation between seismic data and well

data (porosity, rocktypes, ..)

Spatial continuity of both variables

Simulation or co-simulation

DataModel of Porosity,

Rocktypes,..

Forward Modeling: Different approaches to generate images of porosity

conditioned to well and seismic data

i) Co-Simulation of “main” variable (porosity) conditioned to the secondary variable (seismic).

R = 0.617

3500

4500

5500

6500

7500

8500

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Porosity

Aco

ustic

Impe

danc

Upper layers (42-49)

Co-simulation based on a sequential approach

(colocated co-kriging to estimate means and variances of local

distributions)

ii) Block Direct Simulation of well porosity and seismic (Liu e Journel, 2008 ).

z(x) are the values Z (porosity) in point support

zv(x) are the values Z in block support

Block Direct Sequential Simulation

Block Direct Simulationi. In the node x0 of a random path of a regular grid, the

following means and variances are calculated by block co-kriging:

ii. Simulation of a “point” value zs(x0) by re-sampling the global cdf global of Z(x) (Direct Sequential Simulation Approach).

xzxxzxxz v.. 00*

xzv

xzxxzxxz v.. 00*

Note that the kriging system requires the knowledge of

spatial convariaces point-point , point-block and block-block :

C(.,.) , C(.,v) e C(v,v)

•Inverse Modeling is based on the physical relation:

-1000.0000

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1000.0000

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-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

amp

litu

* =

Convolving the reflectivity coefficients c(x) with a given wavelet w, one obtain the synthetic seismic

amplitudes a*(x)= c(x)*w

Typical Inverse Problem: one whish to know the acoustic impedances which give rise to the known real seismic.

Geostatistical Seismic Inversion

The aim of geostatistical inversion of seismic is to produce numerical models that share two properties:

• The numerical model honors a physical relationship (convolution model) with the actual data .

• The numerical model reflects the assumed geological spatial continuity

Geostatistical Seismic (Trace-by-Trace) Inversion (Bertolli et al, 1993): it is an iterative process based on the sequential simulation of trace values of acoustic impedances.

-1000.0000

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-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

amp

litu

* =1- Choose randomly

a trace to be generated.

Simulation of N realizations of AI of