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APLICAÇÕES DE FT
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Aplicações de FT
Resposta em Freqüência Analisar o comportamento de um sistema
no domínio da freqüência Convolução no tempo Modulação em
freqüência
Propriedades usadas Comutação/cascata Distribuição/paralelismo
Aplicações de FT
Resposta em freqüência Filtros
Conseqüência natural da convolução temporal Modulação espectral
Conceitualmente Dispositivo que amplifica a potência de algumas
faixas de freqüência e atenua a potência de outras faixas de freqüência para um sinal de entrada
Aplicações de FT
Filtros Classificação padrão
Passa-baixas (low-pass) Passa-altas (high-pass) Passa-bandas (band-pass) Rejeita-bandas (band-stop)
Outros Passa-tudo (all-pass) Notch (notch) Equalizador (equalizer)
Aplicações de FT
Filtros ideais Elementos de um filtro
Banda passante Banda de rejeição
Filtro ideal Componentes da banda passante não sofrem
distorção |H(jΩ)| = 1 na banda passante <H(jΩ) = –Ω t0
Fase linear
Aplicações de FT
Filtros ideais Filtros passa-baixa (LP) e passa-alta (HP)
Com fase linear
ΩcΩc
Aplicações de FT
Filtros ideais Filtros passa-banda e rejeita banda
Com fase linear
ΩHΩH ΩLΩL
Aplicações de FT
Filtros ideais O mais desejado Fase zero
Não causal
Segundo mais desejado Fase linear Segundo mais desejado Não causal
Pode ser aproximado por truncamento
Filtro ideal = filtro irrealizável
Aplicações de FT
Filtros ideais Resposta ao impulso h(t)
Fase zero e fase linear
Aplicações de FT
Filtros ideais Resposta ao impulso h(t)
Fase zero e fase linear
Aplicações de FT
Filtros Passa-baixa (LP)
Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal até Ωc e elimina as demais componentes
Exemplo de primeira ordem
∫
Ωc Ωc y(t)
+–
x(t)
Aplicações de FT
Filtros Passa-alta (HP)
Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal acima de Ωc e elimina as demais componentes
Exemplo de primeira ordem
∫
Ωc
y(t)+–
x(t)
Aplicações de FT
Filtros Passa-banda
Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal entre Ωca e Ωcb , e elimina as demais componentes
Exemplo de combinando HPLP
Ωca > Ωcb
∫
Ωcb Ωcb y(t)
+–
∫
Ωca
+–
x(t)
Aplicações de FT
Filtros Rejeita-banda
Elimina as componentes espectrais (sem distorção) do sinal entre Ωca e Ωcb , e mantém as demais
Exemplo de combinando HP e LP em paralelo
∫Ωc Ωc
y(t)
+–
Ωc
+–
x(t)
∫
+
Aplicações de FT
Filtros Passa-baixa (LP)
j
)j(Hc
c
Aplicações de FT
Filtros Passa-alta (HP)
j
j)j(H
c
Aplicações de FT
Filtros Passa-banda
cacb
cbcacbca2
c
jj
j)j(H
Aplicações de FT
Filtros Rejeita-banda
cbca
cbcacbca2
cbcacb2
jj
j2j)j(H
Aplicações de FT
Filtros Equalizador via Biquadrática
A equalização compreende a manipulação diversos blocos de freqüência em um intervalo total específico.
Manipulação atenuação ou amplificação Seleção dos blocos seletividade dos filtro
Aplicações de FT
Filtros Equalizador via Biquadrática
A função biquadrática possui dois parâmetros Ω0 e β
Amplifica/atenua um conjunto de componentes espectrais ao redor de Ω0
β controla a largura de banda e a amplificação/atenuação
2
002
200
2
j10
2j
j102j)j(H
Aplicações de FT
Filtros Equalizador via Biquadrática
Aplicações de FT
Filtros Equalizador via Biquadrática
Aplicações de FT
Filtros Equalizador via Biquadrática
Ω em escala log e linear
Aplicações de FT
Filtros Equalizador via Biquadrática
Q-constante Q = F0 / ΔF = Ω0 / ΔΩ No caso, aumentando-se Ω0, aumenta-se ΔΩ
Notações F0 freqüência central ΔΩ largura de banda
Aplicações de FT
Filtros Largura de banda
Bandwidth (BW) Modo para representar um intervalo de
freqüências Restringe-se a freqüências positivas
Razões históricas
Aplicações de FT
Filtros Largura de banda
Tipos: Largura de banda absoluta
Intervalo de freqüências com magnitude não-nula
Largura de banda nula Intervalo de freqüências com magnitude não-
nula máximo Largura de banda em meia potência
Intervalo de freqüências com magnitude superior a metade da potência máxima
Aplicações de FT
Filtros reais teóricos Filtro passa-baixa realizável
Aplicações de FT
Filtros reais teóricos Filtro passa-alta realizável
Aplicações de FT
Filtros reais teóricos Filtro passa-banda realizável
Aplicações de FT
Filtros reais teóricos Filtro rejeita-banda realizável
Aplicações de FT
Exemplos Usando componentes RLC Usando componentes mecânicos
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Considere os seguintes filtros
Qual a sua resposta em freqüência?
22
1
30)j(31
1)j(H
1j
1)j(H
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Resposta em freqüência obtida
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Resposta em freqüência obtida
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Resposta em freqüência obtida
Sistemas distintos podem apresentar similaridade gráfica em suas respostas em freqüência
Alterando escala (Linear logarítmica) Melhorar distinção entre sistemas Análise rápida de sistemas Diagrama de Bode
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Decibel (dB)
Razão entre potências de sinais Um dos sinais serve de referência
Psinal potência de um sinal qualquer Preferência potência de referência
Se não conhecida, assumimo Preferência = 1
referência
sinal10dB P
Plog10P
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Decibel (dB)
Psinal = 2 Preferência PdB = +3 dB Psinal = 0,5 Preferência PdB = -3 dB
Psinal = 10 Preferência PdB = +10 dB Psinal = 0,1 Preferência PdB = –10 dB
Psinal = 100 Preferência PdB = +20 dB Psinal = 0,01 Preferência PdB = –20 dB
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Oitava
Freqüência atual = 2 Freqüência de referência
Década Freqüência atual = 10 Freqüência de
referência
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Do teorema de Parseval
Então, a magnitude de X(jΩ) em dB é
2
sinal )j(XP
)j(Xlog20)j(X
)j(Xlog10
Plog10P
10dB
2
10
sinal10dB
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Como utilizar em sistemas contínuos?
Equações diferenciais lineares comcoeficientes constantes
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Equações diferenciais lineares com
coeficientes constantes Após a aplicação da FT
zl zeros de H(jΩ) pk pólos de H(jΩ)
N
1k k
M
1l lN
0k
kk
M
0l
ll
pj
1
zj
1
Aja
jb)j(H
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/pk)-1
Pólo real negativo único (sem repetição)
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/pk)-1
Pólo real positivo único (sem repetição) – se existisse
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/zl)
Zero real negativo único (sem repetição)
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/zl)
Zero real positivo único (sem repetição)
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Características:
Pólo e Zero definem freqüência de quebra Curva de magnitude
Encontro de duas assíntotas na freqüência de quebra
Uma das assíntotas possui inclinações (“roll-off”) ±6 dB/oitava ±20 dB/década
Curva de fase Assíntota passa por ±π/4 em freqüência de quebra
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Diferenciador e Integrador
Zero e Pólo em jΩ = zero
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Ganho constante (em freqüência)
H(jΩ) = +A Magnitude A Fase zero
H(jΩ) = –A Magnitude A Fase +π (ou –π)
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Pares complexos de pólos
p1 e p1*, naturalmente conjugados complexos
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Pares complexos de zeros
z1 e z1*, naturalmente conjugados complexos
Aplicações de FT
Diagrama de Bode Pares complexos de pólos e zeros
Transformação em ζ e ωn
“Overshoot” Amortecimento e tempo de decaimento
Aplicações de FT
Exemplos
Aplicações de FT
Exemplos Usando amplificadores operacionais
Aplicações de FT
Exemplos Sistemas de comunicação
Processo para transmissão de múltiplos sinais de banda base em vários canais de comunicação
Sinal de banda base Ineficiência para transmissão direta
Comunicação Caminhos distintos para sinais distintos
Aplicações de FT
Exemplos Sistemas de comunicação
Modulação DSB-SC y(t) = x(t) cos(Ωp t)
y(t) sinal modulado Mensagem ou sinal banda-base cos(Ωp t) sinal cuja envoltória carrega a
mensagem
x(t) sinal a ser transmitido Ωp freqüência da portadora
Ωp > 2 maior freqüência com amplitude não nula
Aplicações de FT
Exemplos Sistemas de comunicação
Modulação DSB-SC Aplicando a TF, temos
Modulação no tempo convolução na freqüência
)(jX)(jX2
1
)tcos(FT)j(X)j(Y
pp
p1
Aplicações de FT
Exemplos Sistemas de comunicação
Modulação DSB-SC
Aplicações de FT
Exemplos Sistemas de comunicação – Modulação
Demodulação DSB-SC x’(t) = [y(t) cos(Ωp t)] * [filtro passa-baixa]
x’(t) sinal reconstruído x’(t) = m(t)
Largura de banda de m(t) deve ser restrita Permitir que o filtro passa-baixa isole a
mensagem desejada. Sinal da portadora não é transmitido
Aplicações de FT
Exemplos Sistemas de comunicação
Demodulação DSB-SC
Aplicações de FT
Exemplos Sistemas de comunicação
Modulação DSB-TC Transmissão de informação relativa à portadora
Permite o uso de circuitos detectores de envoltória
m/K < 1
)(jX)(jX2
m
K)j(Y
)tcos()t(xmK)t(y
pp
pp
p
Aplicações de FT
Exemplos Amostragem por Impulso
Corresponde a um trem de impulsos isolando amostras de x(t) a cada kTs segundos.
kss
ksT
)kTt()kT(x
)kTt()t(x)t()t(x)t(ys
Aplicações de FT
Exemplos Amostragem por Impulso
Sua FT é a repetição de réplicas de X(Ω) a intervalos de Ωs radianos/seg.
ks
s
ks
ss
)(X2
)()j(X2
)()j(X2
)j(Ys
Aplicações de FT
Exemplo Amostragem por Impulso
Teorema da amostragem (Teorema de Nyquist) Para que haja reconstrução correta do sinal
original com freqüência máxima com amplitude não-nula Ωm (= 2π fm), a amostragem deve ser de no mínimo Ωs (= 2π fs) igual a 2 Ωm (ou 2 fm)
ms 2
Aplicações de FT
Exemplo Amostragem por Impulso
Aliasing Espalhamento de informações de alta-freqüência
sobre informações de baixa-freqüência devido a problemas de amostragem
Aplicações de FT
Exemplos Amostragem por Impulso
A reconstrução se dá a partir de um filtro passa-baixas com ganho Ts e freqüência de corte Ωs/2
Reconstrução ideal Impraticável
Na prática, filtros passa-baixas aproximados
)nTt(2
2sinc)nT(x2)t(x sc
ks
s
c
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