View
2.387
Download
2
Category
Preview:
Citation preview
ENEGENHARIA DA PRODUÇÃO
PROF. MARCELO XAVIER GUTERRES
ENGENHARIA ECONÔMICA
http://marceloguterres.spaces.live.com/
1º SEMESTRE DE 2008
Índice
Página Capítulo 1 Juros Simples......................................................................................................3 Capítulo 2 Operações de Desconto........................................................................................9 Capítulo 3 Juros Compostos.................................................................................................14 Capítulo 4 Série de Pagamentos...........................................................................................21 Capítulo 5 Sistemas de Amortização...................................................................................32 Capítulo 6 Métodos Tradicionais de Análise de Investimentos.........................................42 Capítulo 7 Substituição de Equipamentos...........................................................................60 Capítulo 8 Análise sob Condições de Risco e Incerteza.....................................................65 Referências Bibliográficas....................................................................................................70
CAPÍTULO 1
JUROS SIMPLES
1.1 Introdução
O dinheiro, além de ter a função de facilitar o processo de transações entre os elementos de uma economia, também possibilita o próprio processo de produção de bens e serviços que são transacionados. Esta ação de participar do processo produtivo se dá através do investimento. (Ehrlich, 1983)
Em geral, há numerosas oportunidades de investimento disponíveis aos investidores, às
empresas e às agências governamentais. No caso da empresa privada, o investimento contínuo é uma necessidade para que a mesma possa sobreviver no atual mundo competitivo, como já salientava Fleischer (1973). Matérias primas devem ser adquiridas, novos equipamentos devem substituir os equipamentos antigos e obsoletos, novos produtos devem ser desenvolvidos, campanhas de marketing devem ser lançadas, funcionários devem estar sempre atualizados etc. Enfim, existe uma gama enorme de investimentos que podem ser considerados como alternativas da demanda de capital.
Se vivêssemos num mundo com recursos ilimitados de capital, não haveria a necessidade de uma teoria sobre investimentos, pois todas as propostas de aplicação de fundos seriam aceitáveis desde que se obedecesse a um simples critério: a renda total deve exceder o total dos gastos. No mundo real, no entanto, os recursos são limitados e a oferta de capital não é suficiente para a satisfação de toda a demanda de investimentos pelas unidades econômicas. Desta maneira, este livro pretende dar alguma luz ao seguinte problema: dentre as diversas alternativas de investimento disponíveis a uma empresa, quais devem ser selecionadas e quais devem ser rejeitadas, a fim de que ela possa sobreviver a longo prazo?
Nos capítulos que seguem, apresentaremos como se dá a formação e acumulação de
capital através de juros simples e compostos, bem como operações de desconto, relações de equivalência entre fluxos de caixa e sistemas de amortização de dívidas. Na seqüência, veremos alguns conceitos importantes como custo de capital e estrutura de capital das empresas. Finalmente, estudaremos os principais métodos de seleção de alternativas de investimento e suas diversas aplicações, tanto sob condições de certeza como sob condições de risco.
1.2 Conceito de juro
Compensação pelo adiamento do consumo
2
O estudo de equivalência entre valores em datas diferentes constitui o objeto da Matemática Financeira. E o elemento fundamental para transposição destes valores no tempo é o juro.
Veja-se, por exemplo, o caso de um indivíduo dotado de uma determinada riqueza.
Esta riqueza representa uma possibilidade de consumo imediato para a satisfação das necessidades atuais do indivíduo ou então a possibilidade dele investir num processo produtivo que gerará novas riquezas futuras. Assim, uma pessoa que dispõe de certa riqueza, geralmente concorda em cedê-la a outros, desde que receba uma remuneração que compense o adiantamento do consumo ou a oportunidade perdida de geração de novas riquezas com aquele capital. Esta remuneração pelo direito de uso de uma riqueza durante certo tempo é o que se denomina de juro.
O nível do juro é fixado pelo mercado em função do equilíbrio das forças de oferta e
procura, tal qual acontece com os preços dos demais bens econômicos.
Compensação pelo risco assumido
Até o momento vislumbramos a possibilidade do capital emprestado vir a ser devolvido, além do juros, integralmente a seu proprietário original. Supusemos o caso de um empréstimo absolutamente seguro, isento de riscos. Na prática, nunca deve ser abolida a hipótese de perda do capital emprestado. Desta maneira, é natural que a taxa de juros cresça de acordo com o risco do negócio, conforme mostra a figura abaixo.
Juro puro
Remuneração pelo risco
Risco
Juro
1.3 Taxa de Juro
Taxa de juro é definida como a razão entre o juro recebido ao final de um certo período de tempo e o capital inicialmente aplicado.
(1) PJi =
3
onde i é a taxa de juro auferida; J é o valor do juro e P é o valor do capital inicial.
Exemplo: Determine a taxa de juro cobrada num empréstimo de $1.000,00 a ser quitado por $1.200,00. (R: 20%)
1.4 Capitalização a juros simples
Regime de capitalização é o nome dado ao processo de formação de capital ao longo do tempo, a partir de uma dada riqueza ou capital inicial. O processo de formação de capital pode-se dar através de uma capitalização discreta ou contínua. A primeira ainda pode ser subdividida em capitalização simples e capitalização composta. A seguir veremos como o capital se forma através da capitalização simples.
Capitalização simples
Neste regime os juros são gerados exclusivamente pelo capital inicial. A taxa de juro não incide, pois, sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicarmos a taxa diária por 30, e assim por diante.
Num intervalo unitário de tempo temos que o juro é calculado isolando-se a variável J da fórmula (1) acima e dado por J = P.i.
Assim, temos que o juro gerado ao final do primeiro intervalo de tempo será calculado por: J1 = P.i. Ao final do segundo intervalo de tempo o juro será: J2 = P.i. Ao final do terceiro intervalo de tempo o juro será: J3 = P.i, e assim sucessivamente, até o juro gerado ao final do n ésimo intervalo de tempo, que será dado por: Jn = P.i.
Desta maneira, os juros totais ao final de n intervalos unitários de tempo serão:
J = J1 + J2 + J3 + ... + Jn, que substituídos por P.i, vem:
J = Pi + Pi + Pi + ... +Pi (“n” parcelas “P.i”),
o que origina a fórmula para o cálculo dos juros no regime de capitalização simples:
J = P.i.n (2)
4
Exemplos (Vieira Sobrinho, 1997):
1. Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de $10.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? (R: J = $1.500)
2. Um capital de $25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de $7.875,00.
Determinar a taxa correspondente. (R: i = 4,5% ao mês) 3. Sabendo-se que os juros de $6.000,00 foram obtidos com aplicação de $7.500,00, à
taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. (R: n = 10 trimestres ou 2,5 anos)
1.5 Montante e Valor Atual
O montante (ou valor futuro), que vamos indicar por F, é igual à soma do capital inicial mais os juros referentes ao período de aplicação:
F = P + J (3) Substituindo a equação (2) na (3), obtemos que se denomina de “fórmula
fundamental para juros simples”:
F = P(1 + i.n) (4) Se construirmos um gráfico do montante ou valor futuro, F, em função do número de períodos de capitalização, n, observaremos a relação linear existente entre os valores monetários num regime sob capitalização simples.
F = P(1 + i.n)
P
F
(tempo)
Exemplos (Vieira Sobrinho) 1. Calcular o montante da aplicação de um capital de $8.000,00, pelo prazo ed 12 meses à
taxa de 3% ao mês. (R: $10. 880)
5
2. Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de $60.000,00, sabendo-se
que a taxa de juros é de 5% ao mês e que faltam quatro meses para seu vencimento. (R: $50.000)
1.6 Juro Exato e Juro Comercial
Juro exato considera o ano civil com 365 dias e os meses com os números efetivos de dias. Já o juro comercial considera o ano comercial, com 360 dias e o mês com 30 dias. Exemplo: Um capital de $30.000 é aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 15% ao mês. Obter o juro exato e o juro comercial, sabendo-se que o mês da operação tem 31 dias. Solução: Usando-se a equação (2), temos que: juro exato: J = P.i.n = 30.000 x 0,15/31 x 5 = $725,81 juro comercial: J = P.i.n = 30.000 x 0,15/30 x 5 = $750,00
1.7 Operações com Hot money
São operações de curtíssimo prazo (geralmente de um único dia) feitas pelas empresas junto às instituições financeiras. As taxas são formadas em função do mercado interfinanceiro – a taxa CDI over mais um spread cobrado pelo banco que faz a intermediação. É usual que a taxa do hot money seja dada em termos mensais, sendo o critério de cálculo o de juro simples e a convenção de juro comercial.
Exemplo: Uma empresa recebe um empréstimo de $5milhões através de uma operação de hot money. Supondo que essa operação seja renovada por dois dias úteis, calcule o montante, supondo que no 1o dia a taxa da operação seja de 2,46% a.m. e no 2o dia a taxa de operação seja de 2,49% a.m. (não leve em conta o IOF). 1o dia: J = 5.000.000 x 2,46/3.000 x 1 = $4.100,00 F = $5.004.100,00 2o dia: J = 5.004.100,00 x 2,49/3.000 x 1 = $4.153,40 F = $5.004.153,40
6
1.8 Problemas sobre capitalização simples 1. Determinar os juros simples obtidos nas seguintes condições:
Capital Taxa Prazo a) $2.000,00 12% a.m. 5 meses b) $3.000,00 21% a.a. 2 anos c) $2.000,00 1,3% a.m. 3 anos d) $6.000,00 15% a.t. 2 anos e meio
2. Qual o montante de uma aplicação de $600.000 a juros simples, durante 5 meses à taxa
de 80% a.a.? 3. Um capital de $1.000 é aplicado por um dia, a juros simples e à taxa de 1,5% a.m.
Obtenha os juros dessa aplicação, considerando um mês de 30 dias. 4. Bruno aplicou $300.000 pelo prazo de 6 meses e recebeu $90.000 de juros. Calcule a
taxa de juros simples semestral da aplicação. 5. Numa aplicação de $3.000, à taxa de juros simples de 10% a.a., o montante recebido foi
de $4.800. Determine o prazo da aplicação. 6. Paula aplicou uma certa quantia à taxa de juros simples de 10% a.m., durante 4 meses,
resgatando um montante de $740. Obtenha o juro auferido nesta aplicação. 7. Mara aplicou $800 a juros simples e à taxa de 12% a.a. Se ela recebeu $384 de juros,
obtenha o prazo da aplicação. 8. Uma geladeira é vendida $5.000 ou então por $1.500 de entrada, mais uma parcela de
$4.250 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do utilizada? 9. Um vestido de noiva é vendido a vista por $4.000 ou então por $1.000 de entrada mais
uma parcela de $3.500 após 5 meses. Qual a taxa mensal de juross simples do financiamento?
10. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a.para que duplique?
11. (Concurso Controlador da Arrecadação Federal) Um capital aplicado à taxa de juros simples e 8% a.m. triplica em que prazo?
9
CAPÍTULO 2
OPERAÇÕES DE DESCONTO
2.1 Conceito de desconto Existem algumas operações no mercado financeiro denominadas de desconto. Estas operações são realizadas quando se conhece o valor futuro (também chamado de valor de resgate, valor nominal, ou ainda, de valor de face) de um título (duplicata, nota promissória, cheque pré-datado etc.) e se quer determinar seu valor atual. O desconto de duplicatas e notas promissórias são muito usados pelas empresas para atender às suas necessidades de capital de giro. O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor futuro e seu valor na data da operação, dado por:
D = N – P (1)
Onde, D representa o valor do desconto concedido na data atual, N representa o valor nominal do título na data de vencimento e P representa o valor atual ou presente que é recebido pelo possuidor do título, na data atual. Assim como no caso dos juros, o valor do desconto está associado a uma taxa e a um determinado período de tempo. Como salienta Vieira Sobrinho (1997, p.47), embora seja freqüente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois critérios distintos, claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período da operação incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto a taxa do período incide sobre o seu montante ou valor futuro. O desconto pode ser classificado em simples e composto, de maneira similar à classificação dos juros que se classificam em juros simples e compostos. Assim, o desconto simples, também chamado de comercial ou bancário, envolve cálculos lineares e o desconto composto envolve cálculos exponenciais. Observa Vieira Sobrinho (1997) que este último tipo de desconto não é utilizado em nenhum país do mundo, tendo um interesse meramente teórico. A seguir descrevemos a metodologia do cálculo do desconto simples junto com alguns exemplos.
10
2.2 Desconto Simples (ou Bancário ou Comercial)
Um determinado título (nota promissória, letra de câmbio, duplicata etc.) com valor nominal N pode ser resgatado antes da data de seu vencimento por um valor inferior a esse valor nominal.
O desconto simples, utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizada, é obtido
multiplicando-se o valor de resgate ou valor nominal de um título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja:
D = N x i x n (2)
Onde D representa o valor monetário do desconto, N é o valor nominal do título
recebido, i é a taxa de desconto e n é o prazo.
Para se determinar o valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor nominal do título, de acordo com a equação abaixo:
P = N – D (3)
Onde P é o valor presente do título descontado. Exemplo 1: Um título que tem um valor nominal de $2.000 é descontado em um banco 90 dias antes do vencimento, à taxa de 2,5% ao mês. Qual o valor do desconto simples? Dados: N = $2.000 n = 90 dias = 3 meses i = 2,5% a.m. D = ? Solução: O valor do desconto será: D = 2.000 x 0,025 x 3 = $150,00 Exemplo 2: Uma duplicata no valor de $6.800 é descontada por um banco, gerando crédito de $6.000 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo e vencimento da duplicata. Dados: N = $6.800
11
P = $6.000 i = 3,2% n = ? Solução: P = N – D ==> D = N – P = 6800 – 6000 = 800 Como D = N x i x n, vem: 800 = 6.800 x 0,032 x n
Portanto, dias 110ou meses 3,67650,032 x 6800
800n ==
2.3 Operações de Desconto Simples para um borderô de duplicatas Caso tenhamos um conjunto de títulos (borderô no caso de duplicatas), o valor do
desconto será a soma dos valores líquidos de cada título. Para duplicatas de mesmo valor nominal, mas com diferentes maturidades, podemos usar a seguinte fórmula:
2tt
i m N D n1T
+= (4)
Onde m é o número de títulos e ti é o prazo do título i. Exemplo: Calcular o desconto total correspondente ao valor de 5 títulos, no valor de $1.000 cada um, com vencimentos de 30 a 150 dias (1 a 5 meses) respectivamente. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto de 3% ao mês. Dados:
Duplicata Valor Prazo até o vencimento D 1 $1.000 1 mês 1.000x0,03x1 = 30 2 $1.000 2 1.000x0,03x2 = 60 3 $1.000 3 1.000x0,03x3 = 90 4 $1.000 4 1.000x0,03x4 = 120 5 $1.000 5 1.000x0,03x5 = 150 Σ = 450
Solução:
12
O mesmo valor de $450 poderia ser obtido diretamente pela fórmula:
$4502
51 x 0,03 x 5 x 1.000DT =+
=
2.4 Operações de desconto com IOF e taxa de administração Na prática bancária há a cobrança de taxas e impostos, como no exemplo a seguir. Exemplo: Uma duplicata de valor igual a $6.000 é descontada em um banco dois meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial ou simples de 2% ao mês. Sabendo que o banco cobra 1% de despesas administrativas e que o IOF é de 0,0041% ao dia sobre o valor financeiro da operação, calcular o valor obtido pelo portador do título. Dados: N = 6.000 i = 2% a.m n = 2 meses Solução: D = N.i.n = 6.000 x 0,02 x 2 = $240 Despesas administrativas: 1% sobre $6.000 ou 0,01 x 6.000 = $60 IOF: 0,000041 (ao dia) x (6.000-240) x 60 dias = $14,17 Valor líquido obtido: 6.000 – 240 – 60 –14,17 = $5.685,83 obs: Valor bruto = 6.000 – 240 = 5.760 O custo efetivo da operação seria o rendimento equivalente de um investimento de $5.685,83 que proporcionasse um retorno monetário de $6.000 após dois meses.
6.000
20
5.685,83
Usando-se o conceito de juros compostos, que será visto no próximo capítulo, chega-se ao valor de uma taxa de juros de i = 2,73% a.m., que corresponde ao juro efetivamente cobrado pelo banco. Veja que esta taxa é maior que a taxa nominal da operação de desconto.
13
2.5 Problemas sobre operações de desconto simples:
1. Uma duplicata de $70.000,00, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. ($64.330,00)
2. Calcular o valor do desconto de um título de $100.000,00, com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% ao mês. ($11.500,00)
3. Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor de $25.000,00, com 150 dias a vencer, gerou um crédito de $22.075,06 na conta do cliente, determinar a taxa mensal de desconto. (2,34%)
4. Um título de $140.000,00 foi descontado a 33% ao ano, 5 meses antes do seu vencimento. Determinar o valor líquido entregue ao seu portador. ($120.750,00)
5. Determinar o valor nominal ou de face de um título, com 144 dias para o seu vencimento, que descontado à taxa de 48% ao ano proporcionou um valor atual (valor líquido creditado) de $38.784,00. ($48.000,00)
6. Sendo de $3.419,44 o valor do desconto, uma duplicata, descontada à taxa de 3,55% ao mês, 120 dias antes do seu vencimento, calcular o valor creditado na conta do cliente. ($20.661,12)
7. Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de $9.800,00, que sofreu um desconto de $548,50, à taxa de 32% ao ano. (63 dias)
8. Uma empresa desconta uma duplicata no valor de $44.000,00 e com 60 dias de prazo até o vencimento. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto de 5,3% ao mês, calcular o valor creditado na conta dessa empresa e a taxa efetiva de juros, calculada de acordo com o regime de capitalização composta, cobrada nessa operação. ($39.336,00 e 5,76% a.m.)
9. Determine o desconto bancário sofrido por uma promissória de $1.000,00 à taxa de 8% a.m. 3 meses antes do seu vencimento. (Resp.: $240,00)
10. Qual o custo efetivo da operação acima, já que você recebeu $760,00 por um título que vale $1.000,00? Use juros compostos! (Resp.: 9,58% a.m.)
14
CAPÍTULO 3
JUROS COMPOSTOS 3.1 Capitalização composta
No regime sob capitalização composta os juros incidem sobre o capital corrigido, são os juros sobre juros. São também chamados de juros capitalizados. É a forma mais utilizada no Brasil e outros países.
A simbologia é a mesma já conhecida:
F é o montante ou valor futuro n é período de tempo ou prazo P é o principal ou capital inicial i é a taxa de juros
De maneira análoga aos juros simples, o valor do montante após n períodos de capitalização, usando a propriedade distributiva do produto em relação à soma, será:
-ao final do 1o intervalo unitário de tempo: P + J = P + iP = P(1+i) -ao final do 2o intervalo unitário de tempo: P + J = P(1+i) + iP(1+i) = P(1+i)2
-ao final do 3o intervalo unitário de tempo: P + J = P(1+i)2 + iP(1+i)2 = P(1+i)3 -ao final do n -ésimo ” intervalo unitário de tempo: P + J = P(1+i)n-1 + iP(1+i)n-1 = P(1+i)n
A última fórmula é denominada de “fórmula fundamental para juros compostos”.
F = P(1+i)n (1) Nesta equação temos quatro variáveis: F, P, i e n. Conhecendo-se três delas, a outra poderá ser determinada. Abaixo apresentamos, graficamente, uma comparação entre a capitalização a juro simples e a juro composto aplicadas a um capital inicial de $100. Observa-se que a linha que representa a capitalização a juro simples é linear, enquanto que a linha que representa a capitalização a juro composto é exponencial. Para intervalos de tempo menores que o intervalo unitário, a capitalização a juro simples proporciona um montante maior, enquanto que para intervalos maiores que a unidade, o montante determinado a juro composto sempre será maior.
15
1 2 3 4 5... n
$100
Juros compostos
Juros simples
F
Exemplos: 1. Determine o valor futuro de $1.000,00 aplicados a uma taxa de 10% a. m. por três
meses, a juro composto. Dados: P = 1.000,00 n = 3 meses i = 10% a. m. F = ? Solução: Usando-se a fórmula fundamental para juros compostos, o montante após três períodos de tempo será de:
( ) 00,331.11,01000.1 33 =+×=F
Exemplo usando a calculadora financeira HP 12C:
Nesta calculadora, temos a seguinte correspondência entre as variáveis até agora estudadas e a sua notação nas teclas da calculadora:
F → FV (future value) P → PV (present value) n → n (número de períodos)
16
i → i (taxa, sempre na forma percentual) 2. Miguel aplicou $200 a uma taxa de 15% a.m., por 3 meses. Quanto obteve de juros e
quanto resgatou? Dados: P ou PV= 200,00 n = 3 meses i = 15% a. m. Solução pela HP12c: Queremos FV = ?
Teclas Visor Significado F clear FIN limpa a memória financeira 200 CHS - 200,00 fluxo de caixa negativo (aplicação) 15 i 15,00 taxa de juros 3 n 3,00 prazo de aplicação FV 304,18 montante final RCL PV - 200,00 capital inicial + 104,18 juros auferidos
3.2 Equivalência entre taxas
Dizemos que uma taxa mensal (im) é equivalente a uma taxa anual (ia) quando aplicadas a um mesmo capital inicial produzem o mesmo montante final. Graficamente, temos a seguinte situação:
FP
ia, 1 vez
FPim, 12 vezes
1/jan 31/dez
31/dez 1/jan Algebricamente, temos o seguinte:
17
para determinar a taxa anual equivalente a uma taxa mensal qualquer, temos:
P(1 + im)12 = P(1 + ia)1, isolando-se ia, vem:
ia = (1 + im)12 – 1 (taxa anual equivalente)
para determinar a taxa mensal equivalente a uma taxa anual qualquer, temos:
P(1 + im)12 = P(1 + ia)1, isolando-se im, vem:
1i1i 12
am −+= ou im =(1 + ia)1/12 – 1 (taxa mensal equivalente)
As equações acima também podem ser adaptadas para estabelecer a equivalência
entre taxas para outras periodicidades. Assim, para se determinar a taxa trimestral equivalente a uma taxa anual, a fórmula seria:
1i1i 4at −+= ou it =(1 + ia)1/4 – 1 (taxa trimestral equivalente)
Exemplo: 1. Determinar a taxa anual equivalente a 0,5% a.m. (caderneta de poupança).
Dados: im = 0,5% ia = ? Solução: ia = (1 + 0,005)12 – 1 ia = 0,0617 ou 6,17% a.a.
2. Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% a.a. Dados: ia = 60,103% im = ? Solução: im = (1 + 0,60103)1/12 – 1 im = 0,04 ou 4% a.m.
18
3. Dada a taxa over de 23% ao ano, determine a taxa equivalente diária. Use 252 dias
úteis. Dados: ia = 23% (com 252 dias úteis) id = ? Solução: id = (1 + 0,23)1/252 –1 = id = 0,000822 ou 0,0822% ao dia
3.3 Taxa nominal e taxa efetiva
Taxa nominal Chama-se taxa nominal de juros à taxa onde o período ao qual ela está referenciada
não coincide com o período de tempo em que os juros são capitalizados. Por exemplo, a caderneta de poupança paga uma taxa de 6% ao ano com capitalização mensal. Este tipo de taxa é muito mencionada no mercado financeiro nacional e internacional. Observa-se que nos cálculos financeiros é necessário calcular a taxa em que os juros são efetivamente capitalizados.
Taxa efetiva Define-se taxa efetiva de juros como a taxa onde o período ao qual ela está
referenciada coincide com o período de tempo em que os juros são capitalizados. Por exemplo, a taxa de 0,5% ao mês com capitalização mensal é uma taxa efetiva. É prática do mercado, para o caso de taxas efetivas, não especificar o período no qual os juros são capitalizados. Assim, no exemplo acima, diz-se apenas que a taxa efetiva é de 0,5% ao mês. Saber determinar o valor da taxa efetiva de um contrato é importante, pois é ela que representa o verdadeiro custo de uma operação financeira.
Exemplos
1. Calcule a taxa efetiva, sabendo-se que a taxa nominal é de 60% ao ano com capitalização mensal.
Solução:
%512
%60==ei
19
2. Dada uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral, determine a
taxa efetiva. Solução:
%34%12
==ei
20
3.4 Problemas sobre capitalização composta 1. Uma pessoa toma $100.000 emprestado, a juros de 2% a.m., pelo prazo de 10 meses
com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? (Resp.: $121.899,40) 2. Quanto deve ser aplicado hoje para que se configurem $10.000,00 de juros ao fim de 5
anos, se a taxa de juros for de 4% a.trimestre? (Resp.: $8.395,44) 3. Qual a taxa efetiva anual cobrada em relação a 18% a.a. capitalizados mensalmente?
(Resp.: 19,56%) 4. Qual a taxa efetiva mensal de 24% ao ano com capitalização semestral? (Resp.: 1,9%) 5. Rishi Singh tem $1500 para investir. Seus conselheiros de investimentos sugerem um
investimento que não pague juros determinados, mas que gere um retorno de $2000 ao final de três anos.
a. Qual a taxa de retorno que o senhor Rishi terá ganho com esse investimento? (Resp.: 10,06% a.a.)
b. O senhor Rishi está considerando outros investimentos, de igual risco, os quais geram um retorno de 8% ao ano. Qual o investimento deve ser realizado e por quê?
6. João esteve procurando um empréstimo para financiar a compra de seu carro novo.
Encontrou três possibilidades que parecem atraentes e deseja selecionar aquela que apresenta taxa de juros mais baixa. As informações disponíveis com relação a cada uma das três alternativas de empréstimos de $5.000 seguem baixo:
Empréstimo Principal
($) Pagamento anual ($)
Prazo (anos)
A B C
5.000 5.000 5.000
1.352,81 1.543,21 2.010,45
5 4 3
a. Determine a taxa de juros relativa a cada um dos empréstimos. (Resp. 11%; 9%;
10%) b. Qual empréstimo o senhor João deveria realizar?
7. René deseja determinar o valor futuro ao final de dois anos, de um depósito de $15.000
feito em uma conta que paga taxa de juros nominal anual de 12%. Encontre o valor futuro do depósito de René, supondo que os juros sejam capitalizados: (1) anualmente; (2) trimestralmente; (3) mensalmente; (4) continuamente. (Resp.: $18816,00; $19001,55; $19046,02; $19068,74)
14
CAPÍTULO 3
JUROS COMPOSTOS 3.1 Capitalização composta
No regime sob capitalização composta os juros incidem sobre o capital corrigido, são os juros sobre juros. São também chamados de juros capitalizados. É a forma mais utilizada no Brasil e outros países.
A simbologia é a mesma já conhecida:
F é o montante ou valor futuro n é período de tempo ou prazo P é o principal ou capital inicial i é a taxa de juros
De maneira análoga aos juros simples, o valor do montante após n períodos de capitalização, usando a propriedade distributiva do produto em relação à soma, será:
-ao final do 1o intervalo unitário de tempo: P + J = P + iP = P(1+i) -ao final do 2o intervalo unitário de tempo: P + J = P(1+i) + iP(1+i) = P(1+i)2
-ao final do 3o intervalo unitário de tempo: P + J = P(1+i)2 + iP(1+i)2 = P(1+i)3 -ao final do n -ésimo ” intervalo unitário de tempo: P + J = P(1+i)n-1 + iP(1+i)n-1 = P(1+i)n
A última fórmula é denominada de “fórmula fundamental para juros compostos”.
F = P(1+i)n (1) Nesta equação temos quatro variáveis: F, P, i e n. Conhecendo-se três delas, a outra poderá ser determinada. Abaixo apresentamos, graficamente, uma comparação entre a capitalização a juro simples e a juro composto aplicadas a um capital inicial de $100. Observa-se que a linha que representa a capitalização a juro simples é linear, enquanto que a linha que representa a capitalização a juro composto é exponencial. Para intervalos de tempo menores que o intervalo unitário, a capitalização a juro simples proporciona um montante maior, enquanto que para intervalos maiores que a unidade, o montante determinado a juro composto sempre será maior.
15
1 2 3 4 5... n
$100
Juros compostos
Juros simples
F
Exemplos: 1. Determine o valor futuro de $1.000,00 aplicados a uma taxa de 10% a. m. por três
meses, a juro composto. Dados: P = 1.000,00 n = 3 meses i = 10% a. m. F = ? Solução: Usando-se a fórmula fundamental para juros compostos, o montante após três períodos de tempo será de:
( ) 00,331.11,01000.1 33 =+×=F
Exemplo usando a calculadora financeira HP 12C:
Nesta calculadora, temos a seguinte correspondência entre as variáveis até agora estudadas e a sua notação nas teclas da calculadora:
F → FV (future value) P → PV (present value) n → n (número de períodos)
16
i → i (taxa, sempre na forma percentual) 2. Miguel aplicou $200 a uma taxa de 15% a.m., por 3 meses. Quanto obteve de juros e
quanto resgatou? Dados: P ou PV= 200,00 n = 3 meses i = 15% a. m. Solução pela HP12c: Queremos FV = ?
Teclas Visor Significado F clear FIN limpa a memória financeira 200 CHS - 200,00 fluxo de caixa negativo (aplicação) 15 i 15,00 taxa de juros 3 n 3,00 prazo de aplicação FV 304,18 montante final RCL PV - 200,00 capital inicial + 104,18 juros auferidos
3.2 Equivalência entre taxas
Dizemos que uma taxa mensal (im) é equivalente a uma taxa anual (ia) quando aplicadas a um mesmo capital inicial produzem o mesmo montante final. Graficamente, temos a seguinte situação:
FP
ia, 1 vez
FPim, 12 vezes
1/jan 31/dez
31/dez 1/jan Algebricamente, temos o seguinte:
17
para determinar a taxa anual equivalente a uma taxa mensal qualquer, temos:
P(1 + im)12 = P(1 + ia)1, isolando-se ia, vem:
ia = (1 + im)12 – 1 (taxa anual equivalente)
para determinar a taxa mensal equivalente a uma taxa anual qualquer, temos:
P(1 + im)12 = P(1 + ia)1, isolando-se im, vem:
1i1i 12
am −+= ou im =(1 + ia)1/12 – 1 (taxa mensal equivalente)
As equações acima também podem ser adaptadas para estabelecer a equivalência
entre taxas para outras periodicidades. Assim, para se determinar a taxa trimestral equivalente a uma taxa anual, a fórmula seria:
1i1i 4at −+= ou it =(1 + ia)1/4 – 1 (taxa trimestral equivalente)
Exemplo: 1. Determinar a taxa anual equivalente a 0,5% a.m. (caderneta de poupança).
Dados: im = 0,5% ia = ? Solução: ia = (1 + 0,005)12 – 1 ia = 0,0617 ou 6,17% a.a.
2. Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% a.a. Dados: ia = 60,103% im = ? Solução: im = (1 + 0,60103)1/12 – 1 im = 0,04 ou 4% a.m.
18
3. Dada a taxa over de 23% ao ano, determine a taxa equivalente diária. Use 252 dias
úteis. Dados: ia = 23% (com 252 dias úteis) id = ? Solução: id = (1 + 0,23)1/252 –1 = id = 0,000822 ou 0,0822% ao dia
3.3 Taxa nominal e taxa efetiva
Taxa nominal Chama-se taxa nominal de juros à taxa onde o período ao qual ela está referenciada
não coincide com o período de tempo em que os juros são capitalizados. Por exemplo, a caderneta de poupança paga uma taxa de 6% ao ano com capitalização mensal. Este tipo de taxa é muito mencionada no mercado financeiro nacional e internacional. Observa-se que nos cálculos financeiros é necessário calcular a taxa em que os juros são efetivamente capitalizados.
Taxa efetiva Define-se taxa efetiva de juros como a taxa onde o período ao qual ela está
referenciada coincide com o período de tempo em que os juros são capitalizados. Por exemplo, a taxa de 0,5% ao mês com capitalização mensal é uma taxa efetiva. É prática do mercado, para o caso de taxas efetivas, não especificar o período no qual os juros são capitalizados. Assim, no exemplo acima, diz-se apenas que a taxa efetiva é de 0,5% ao mês. Saber determinar o valor da taxa efetiva de um contrato é importante, pois é ela que representa o verdadeiro custo de uma operação financeira.
Exemplos
1. Calcule a taxa efetiva, sabendo-se que a taxa nominal é de 60% ao ano com capitalização mensal.
Solução:
%512
%60==ei
19
2. Dada uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral, determine a
taxa efetiva. Solução:
%34%12
==ei
20
3.4 Problemas sobre capitalização composta 1. Uma pessoa toma $100.000 emprestado, a juros de 2% a.m., pelo prazo de 10 meses
com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? (Resp.: $121.899,40) 2. Quanto deve ser aplicado hoje para que se configurem $10.000,00 de juros ao fim de 5
anos, se a taxa de juros for de 4% a.trimestre? (Resp.: $8.395,44) 3. Qual a taxa efetiva anual cobrada em relação a 18% a.a. capitalizados mensalmente?
(Resp.: 19,56%) 4. Qual a taxa efetiva mensal de 24% ao ano com capitalização semestral? (Resp.: 1,9%) 5. Rishi Singh tem $1500 para investir. Seus conselheiros de investimentos sugerem um
investimento que não pague juros determinados, mas que gere um retorno de $2000 ao final de três anos.
a. Qual a taxa de retorno que o senhor Rishi terá ganho com esse investimento? (Resp.: 10,06% a.a.)
b. O senhor Rishi está considerando outros investimentos, de igual risco, os quais geram um retorno de 8% ao ano. Qual o investimento deve ser realizado e por quê?
6. João esteve procurando um empréstimo para financiar a compra de seu carro novo.
Encontrou três possibilidades que parecem atraentes e deseja selecionar aquela que apresenta taxa de juros mais baixa. As informações disponíveis com relação a cada uma das três alternativas de empréstimos de $5.000 seguem baixo:
Empréstimo Principal
($) Pagamento anual ($)
Prazo (anos)
A B C
5.000 5.000 5.000
1.352,81 1.543,21 2.010,45
5 4 3
a. Determine a taxa de juros relativa a cada um dos empréstimos. (Resp. 11%; 9%;
10%) b. Qual empréstimo o senhor João deveria realizar?
7. René deseja determinar o valor futuro ao final de dois anos, de um depósito de $15.000
feito em uma conta que paga taxa de juros nominal anual de 12%. Encontre o valor futuro do depósito de René, supondo que os juros sejam capitalizados: (1) anualmente; (2) trimestralmente; (3) mensalmente; (4) continuamente. (Resp.: $18816,00; $19001,55; $19046,02; $19068,74)
PROGRESSOES, LOGARITMOS E MATEMATICA FINANCEIRA
Martha Salerno Monteiro
Departamento de MatematicaCAEM - IME-USP
A primeira parte desta apostila contem um resumo do conteudo da referencia [1] que conta ahistoria do logaritmo. Acrescentamos atividades que tem como objetivo ajudar a compreender asideias envolvidas na criacao dos logaritmos. Na segunda parte relacionamos essa teoria a matematicafinanceira e ao numero e.
Uma ideia importante sobre as progressoes
A tabela a seguir mostra uma Progressao Geometrica (PG) colocada ao lado de uma ProgressaoAritmetica (PA), de modo que o numero 1 na PG corresponda ao numero 0 na PA.
PG PA1/9 -41/3 -2
1 03 29 4
27 681 8
243 10729 12
2.187 146.561 16
19.683 18
Nessa tabela notamos, por exemplo, que o numero 27, na primeira coluna, corresponde ao numero6 na segunda; o numero 243 corresponde ao numero 10; e o produto 27× 243 = 6561 corresponde asoma 6 + 10 (confira!). Notamos tambem que 1
9× 9 = 1 corresponde a −4 + 4 = 0, que 243× 1
3= 81
corresponde a 10 + (−2) = 8, e ainda que 34 = 81 corresponde a 2× 4 = 8.
Voce nao fica curioso em saber se:(a) e coincidencia?(b) valeriam resultados analogos com outros numeros quaisquer da tabela?(c) valeriam as mesmas propriedades em outras tabelas com diferentes progressoes?
Para tentar responder, facamos a atividade abaixo.
1
Atividade 1.
1. Invente uma nova tabela com termos consecutivos de uma PG na primeira coluna e de umaPA na segunda, fazendo corresponder ao numero 1 da PG o numero 0 na PA.
2. Para essa nova tabela, experimente calcular varios produtos de termos da PG e a soma dostermos correspondentes na PA. Verifique se os resultados se correspondem.
3. Verifique se seus colegas chegaram a mesma conclusao e responda a pergunta (c) acima.
A conclusao a qual voce deve ter chegado na Atividade 2 foi percebida em meados do seculoXVI. De fato, em 1554, Michael Stifel, em seu livro Arithmetica Integra, colocou lado a lado umaprogressao geometrica e uma aritmetica, e estabeleceu as seguintes relacoes (embora usando outraterminologia):
produto na primeira corresponde a adicao na segunda;quociente na primeira corresponde a diferenca na segunda;potencia na primeira corresponde a produto na segunda;raiz na primeira corresponde a quociente na segunda.
Para os padroes atuais e exigido maior rigor para que seja aceito um fato como verdade. Vamosprovar o primeiro dos resultados acima enunciados na seguinte atividade. Os demais resultadospodem ser provados de forma analoga.
Atividade 2.
1. Escreva o termo geral an de uma P.G. com termo inicial igual a 1.
2. Escreva o termo geral bn de uma P.A. com termo inicial igual a 0.
3. Calcule an · am e escreva o resultado em forma de uma unica potencia.
4. Calcule bn + bm e escreva o resultado em forma de um unico produto.
5. Com base no resultado obtido nos itens anteriores, como voce responde a questao (a) acima?
Tudo leva a crer que esta maneira de relacionar as progressoes tenha inspirado a criacao doslogaritmos.
Conside agora a Tabela 2 a seguir. Trata-se de uma tabela de “logaritmos de base 2”. A cadanumero a esquerda corresponde um numero a direita, chamado seu logaritmo. Por exemplo, dizemosque o logaritmo de 512 na base 2 e 9. Para obtermos o produto de dois numeros que estao nacoluna da esquerda primeiramente somamos seus logaritmos. O resultado dessa soma e o logaritmo
2
do produto. Para achar o produto, basta ler na tabela, da direita para a esquerda, qual o numeroque tem aquele logaritmo. Por exemplo, calculemos o produto 8 · 128 :
128 → 7× → +
8 → 3−−−− −−−(1.024) ← 10
Note que deixamos de fazer diretamente a multiplicacao e, em vez disso, efetuamos uma adicao.Repare que a maneira como escolhemos para indicar o que foi feito nao e a convencional, masacreditamos que seja sugestiva. Na notacao usual (e rigorosa) de logaritmos, escreverıamos:
Comolog2(8 · 128) = log2 8 + log2 128 = 3 + 7 = 10 = log2 1.024
concluımos que8 · 128 = 1.024
Tabela 2P.G. P.A.
1 02 14 28 3
16 432 564 6
128 7256 8512 9
1.024 102.048 114.096 128.192 13
16.384 1432.768 1565.536 16
131.072 17262.144 18524.588 19
1.048.576 20
Atividade 3. Calcular as operacoes indicadas sem efetua-las diretamente, mas usando a tabuade logaritmos.
3
(i) 256 · 16 = (ii) 512 · 2.048 =(iii) 32 · 1.024 = (iv) 16.384 · 16 =(v) 2562 = (vi) 643 =(vii)8.192÷ 512 = (viii) 1.048.576÷ 2.048 =
(ix) 3√
32.768 = (x) 1.0241
5 =
Atividade 4. Use a tabua anterior para verificar que a media aritmetica dos numeros 5 e 9(na coluna da direita) corresponde a media geometrica dos numeros correspondentes na coluna daesquerda.
Sera que foi coincidencia ou e um fato geral?
Mais questoes intrigantes. Seja an um termo generico da PG da tabua acima.
1. Escreva an na forma de potencia da base.
2. Determine o valor de log2(an).
3. Quanto e 2log2(an)?
4. Qual o valor de log2(2k)?
Uma tabua de logaritmos de base b qualquer (b > 0, b 6= 1), e uma tabela em que se colocamuma PG ao lado de uma PA de modo que os numeros 1 e b na PG correspondem respectivamenteaos numeros 0 e 1 da PA. Qual o valor de logb(b
n)?
Sao conhecidas as seguintes propriedades (exclusivas) dos logaritmos:
logb(xy) = logb x + logb y (1)
logb(x
y) = logb x− logb y (2)
logb(xk) = k · logb x (3)
logb(k√
x) =1
klogb x (4)
que valem para qualquer numero natural k 6= 0, qualquer base b tal que b > 0, b 6= 1, e quaisquernumeros reais x > 0 e y > 0.
Os alunos, em geral, decoram-nas sem conseguir fornecer um argumento que explique porque elassao verdadeiras. Devemos ter consciencia de que as demonstracoes dessas propriedades em toda suageneralidade exige raciocınio bastante abstrato e, portanto, de difıcil compreensao. Entretanto, ademonstracao pode ser simples e acessıvel em alguns casos especiais, e vale a pena ser feita com osalunos para que eles aproveitem a oportunidade de desenvolver esse tipo de habilidade.
Vamos ver como fica a demonstracao da primeira propriedade dos logaritmos no caso em quex = bn e y = bm.
4
Notemos primeiramente que logb(bn) = n e, portanto teremos que logb x + logb y = logb bn +
logb bm = n + m. Assim,
logb(x · y) = logb(bn · bm) = logb(b
n+m) = n + m = logb x + logb y
Atividade 5. Demonstre a validade das propriedades 2 a 4 acima no caso especial em que x = bn
e y = bm, sendo m e n numeros naturais.
Questoes para reflexao:(a) Em qualquer tabela de logaritmo, a media aritmetica de dois termos quaisquer da PA
corresponde a media geometrica dos termos correspondentes na PG. Por que?(b) Qual a base do logaritmo que aparece na tabela 1?
Uma grande descoberta envolve a solucao de um grande problema, mas ha uma semente
de descoberta na solucao de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porem,
se ele desafiar sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade de criar, e caso voce
o resolva sozinho, entao voce podera experimentar a tensao e o prazer do triunfo da
descoberta.
George Polya
Em nossas aulas, e importante que proporcionemos ao aluno a oportunidade de fazer descobertaspor si so, tanto para solucoes de problemas, como na construcao de significados e compreensao dosconceitos. Quando o proprio aluno consegue perceber sozinho uma determinada propriedade, elapassa a fazer sentido para ele, a fazer parte de seu repertorio de conhecimento, a ser usada comnaturalidade, em vez de ser apenas algo a ser decorado e nunca lembrado. As atividades ate aquitiveram esse objetivo: dar significado as propriedades do logaritmo.
O que e logaritmo?
Os logaritmos foram inventados, de maneira independente, por John Napier (1550 - 1617), baraoescoces, teologo e matematico, e por Jost Burgi (1552 - 1632), suıco, matematico e fabricante deinstrumentos astronomicos. Sem que nenhum tivesse conhecimento do outro, tabelas de logaritmosforam publicadas por Napier em 1614 e por Burgi em 1620. Ambos procuravam resolver o problemade simplificar as longas operacoes de multiplicacao e divisao que os recentes desenvolvimentos daAstronomia e da Navegacao vinham exigindo, tanto envolvendo numeros muito grandes como fracoesmuito pequenas.
E importante saber que, no final do seculo XVI, nao havia a notacao de potencias para abreviarprodutos repetidos de mesmo valor.
Vamos tentar compreender a ideia que eles tiveram.Voces devem ter notado que a tabela 2 acima e bastante incompleta, ja que com ela so conseguimos
calcular operacoes envolvendo os numeros que la estao, que sao apenas os da forma 2n com n natural.
5
Para que a tabela seja util, temos que faze-la muito maior, de modo que possamos calcular qualquerproduto como, por exemplo, 47× 520.
A ideia de Napier e de Burgi foi justamente a de tornar a tabela mais completa, de modo que sepudesse calcular varios produtos e nao apenas os produtos de potencias naturais da base. Em outraspalavras, eles conseguiram escrever qualquer numero x como potencia (nao necessariamente inteira)da base b.
Iremos agora conhecer um pouquinho de como o problema foi resolvido, para que possamosentende-lo e aprecia-lo. Isto requer considerar potencias com outros expoentes alem dos naturais:expoentes fracionarios, negativos ou ate irracionais. Nao faremos aqui um estudo sobre potenciascom tais expoentes, mas iremos usa-los a partir daqui. O leitor interessado em aprofundar o essetopico podera encontrar no capıtulo 2 de [2] um texto bastante completo sobre potencias.
Tambem sera necessario usar um processo de aproximacoes sucessivas. Trata-se de um pro-cedimento que envolve ideias muito ricas, bastante usadas em resolucoes de problemas numericosimportantes.
Napier publicou tres tabelas que, juntas, calculavam com precisao ate a setima casa decimal,os logaritmos dos numeros 4.998.609, 4034 a 10.000.000. Ele trabalhou 20 anos para produzir essetrabalho. Briggs (1556 - 1630), um professor de matematica em Oxford, empolgado com a ideia deNapier quis conhece-lo pessoalmente, sugeriu algumas modificacoes e continuou o trabalho de Napier,produzindo tabelas de logaritmo na base 10 com precisao de 15 casas decimais.
Reproduzimos abaixo um pequenıssimo trecho da tabela de Briggs, copiando os valores apenasate a sexta casa decimal.
a log10 a
1 01, 074608 0, 0312501, 154782 0, 0625001, 333521 0, 1250001, 778279 0, 2500003, 162277 0, 500000
10 1
Atividade 6. O objetivo desta atividade e calcular log10 1, 5 (o logaritmo decimal de 1, 5). E dese esperar que o resultado seja um numero nao inteiro (por que?). Por isso, iremos achar algumasaproximacoes desse valor. Acompanhe o raciocınio responda as perguntas formuladas no caminho.
Olhando a primeira coluna da tabela acima, percebemos que 1, 5 “ se encaixa “ entre os numeros1, 333521 e 1, 778279, cujos logaritmos sao dados. Precisamente, temos que
1, 333521 < 1, 5 < 1, 778279 (5)
Concluımos que o logaritmo de 1, 5 deve estar entre 0, 125000 e 0, 250000 e escrevemos
. . . . . . < log(1, 5) < . . . . . . (6)
6
ou tambem (em fracoes):
. . . . . . < log(1, 5) <1
4. (7)
Seja q1 o numero racional obtido fazendo a media aritmetica dos dois logaritmos conhecidos dalinha (3). Entao q1 = . . . . . . .
Verifique, usando uma calculadora, que 10q1 e aproximadamente 1, 539927.Como q1 e a media aritmetica de dois elementos do lado direito da tabela, entao 10q1 e a media
geometrica dos numeros correspondentes a direita. Voce sabe por que?A tabela agora cresceu um pouquinho. Veja:
a log a...
...
1, 3335211
8
1, 5399273
16
1, 7782791
4
......
Como 1, 5 esta entre 1, 333521 e 1, 539927, concluımos que log(1, 5) esta entre1
8= 0, 125000 e
3
16= 0, 187500. Com isso ja sabemos que a primeira casa decimal do numero procurado e 1!
Em outras palavras, uma aproximacao, com uma casa decimal de precisao, para log(1, 5)e 0, 1.
Ainda nao conhecemos a segunda casa decimal. So podemos perceber que deve estar entre 2 e 8.Para aumentar a precisao, basta repetir o processo. Vamos la: vemos, na tabela, que
1, 333521 < 1, 5 < 1, 539927 (8)
entao
1
8< log(1, 5) <
3
16(9)
Escolho o racional q2 tomando a media aritmetica dos racionais conhecidos na linha acima e verificoque 10q2 e aproximadamente igual a 1, 433013. Como
1, 433013 < 1, 5 < 1, 539927, (10)
7
concluımos que
. . . . . . < log(1, 5) < . . . . . . . (11)
Note que a segunda casa decimal ainda nao estabilizou. Por isso, temos que continuar o processo.Fica como informacao e incentivo a continuar os calculos, saber que temos que usar o processo maisduas vezes, encontrando
q3 =11
64= 0, 171875 ; 10q3 ≈ 1, 485508 ;
q4 =23
128= 0, 179688 ; 10q4 ≈ 1, 512473.
Vamos conferir? Maos a obra!
Com isso, descobrimos que, como 1, 5 esta entre 1, 485508 e 1, 512473, o valor de log(1, 5) estaentre 0, 171875 e 0, 179688. Mais precisamente, escrevemos
0, 171875 < log(1, 5) < 0, 179688 (12)
Assim, temos certeza de que a segunda casa decimal de log(1, 5) e 7, ou seja, log(1, 5) ≈ 0, 17.
Sobre a terceira casa temos uma imprecisao enorme: esta entre 1 e 9, conforme mostra a ultimadesigualdade acima. Voce ja tem uma ideia do trabalho que da acha-la a mao.
Devemos admirar e respeitar os matematicos, navegadores, astronomos do seculo XVII nao sopela engenhosidade, mas tambem pela paciencia com que dedicaram anos de suas vidas fazendocalculos como os que mostramos acima para que a humanidade pudesse depois fazer outros calculosmais rapida e facilmente.
Durante quase 4 seculos que sucederam a descoberta dos logaritmos, sua utilidade revelou-sedecisiva na Ciencia e Tecnologia. Recentemente, com o uso cada vez mais comum de computadorese calculadoras, as tabuas de logaritmos nao sao mais uteis como instrumento de calculo. Entretantoo estudo dos logaritmos e fundamental, pois o desenvolvimento da Matematica e das ciencias emgeral veio mostrar que diversos fenomenos fısicos, quımicos, biologicos e economicos sao modeladospor funcoes logarıtmicas e por funcoes exponenciais.
Finalmente, devemos mencionar que a definicao de logaritmo do modo como e ensinado hojena escola (logb a = c ⇔ bc = a) levou cerca de 200 anos para ser formulada. Todo esse tempo ecertamente um sinal do grau de dificuldade que o conceito abarca.
E muito importante que os alunos aprendam a usar as propriedades, que sao exclusivas, doslogaritmos. Tambem e bastante util o conhecimento das funcoes logaritmo e sua inversa, a funcaoexponencial, e seus graficos. Esse conhecimento permitira que os estudantes compreendam melhorvarios outros assuntos. Eles entenderao melhor biologia, quımica, fısica, alem da propria matematica.
A Relacao com a Matematica Financeira e o numero e.
Existem duas modalidades bastante conhecidas de ganhos de juros sobre um capital. Sao chama-dos juros simples os valores obtidos na situacao em que, ao longo do tempo, apenas o capital inicial
8
rende juros. Ja nos juros compostos, apos cada perıodo de tempo a que se refere a taxa contratada,os juros ganhos sao capitalizados (somados ao capital), passando a render juros tambem.
A tabela abaixo mostra os montantes (total do capital inicial mais os juros ganhos) no final decada perıodo de duas aplicacoes, ambas com um capital inicial de R$ 1000,00 aplicados a uma taxade 10% ao mes. Na terceira coluna estao os montantes do capital aplicado a juros simples e nasegunda, os montantes do capital aplicado a juros compostos.
Numero de meses Montante (Juros Compostos) Montante (Juros Simples)0 R$ 1000,00 R$ 1000,001 R$ 1100,00 R$ 1100,002 R$ 1212,00 R$ 1200,003 R$ 1331,00 R$ 1300,004 R$ 1464,10 R$ 1400,005 R$ 1610,51 R$ 1500,00
Observe que, na terceira coluna, o valor do montante apresentado em cada linha e a soma dovalor anterior com 10% do valor da linha correspondente ao mes 0.
Na segunda coluna, o valor do montante em cada linha e a soma do valor anterior com 10% dessevalor anterior. Tambem podemos pensar que o valor do montante em cada linha da segunda colunae o valor do montante da linha anterior multiplicado por 1,1. Logo, a sequencia de numeros naterceira coluna e uma Progressao Aritmetica de razao 100, e na segunda coluna, e uma ProgressaoGeometrica de razao 1,1.
Perguntas.
1. Se, em vez de 10% de juros, fossem 5%, ainda terıamos uma PG na segunda coluna? Em casoafirmativo, qual seria a razao?
2. Os valores dos montantes em juros simples formam sempre progressoes aritmeticas? Por que?
3. Os valores dos montantes em juros compostos formam sempre progressoes geometricas?
Problema 7. Suponhamos que R$ 1000,00 sejam aplicados a juros compostos:
(a) a uma taxa de 12% ao mes. Qual sera o montante apos um mes?
(b) a uma taxa de 6 % a cada 15 dias. Qual sera o montante apos um mes?
(c) a uma taxa de 4 % a cada 10 dias. Qual sera o montante apos um mes?
(d) a uma taxa diaria de 1230
%. Qual sera o montante apos um mes?
Voce deve ter reparado que o montante, ao final de 1 mes, aumenta, conforme aumenta afrequencia com que os juros sao capitalizados. Sera que, se subdividirmos mais e mais o perıodo
9
de tempo, o montante crescera indefinidamente? Ou seja, sera que, se tivermos os juros capitaliza-dos, a cada hora, ou a cada minuto, etc..., o montante ira crescer, tendendo a infinito, ou ira pararem algum valor maximo?
Essa questao e historica, tendo sido formulada pela primeira vez em 1683 por Jacob Bernoulli
(1654-1705) e respondida por Leonhard Euler (1707-1783).
Imagine que haverao n capitalizacoes ao mes com taxas (a juros compostos) de1
n% em cada
perıodo. Temos que calcular, em funcao de n, qual o montante no final de um mes, e observar o queacontece quando n cresce indefinidamente. Para isso e necessario calcular o valor de (1 + 1
n)n, para
valores crescentes de n.Usando a formula do binomio de Newton, e possıvel provar que, qualquer que seja o numero n,
esse valor esta entre 2 e 3. Tente fazer isso!
Exercıcio 8. Calcule (1+1
n)n para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Esses valores encontrados sao aproximacoes
para o numero e.O numero e e definido como sendo
e = limn→∞
(1 +1
n)n
Euler provou que o numero e e um numero irracional e chegou a calcular uma aproximacao com18 casas decimais:
e ≈ 2, 718281828459045235
O numero e acima e a base do chamado logaritmo natural, usualmente indicado por ln, istoe, loge x = ln x. Por suas aplicacoes, e principalmente por causa do Calculo Diferencial e Integral, afuncao y = ln x se tornou a funcao logaritmo mais importante no mundo cientıfico.
Referencias
1. Druck, Iole de Freitas. Um pouco da Historia de Potencias, Exponenciais e Logarıtmos, Re-latorio Tecnico do Departamento de Matematica RT-MAT 95-24, IMEUSP, 1995.
2. Lima, Elon Lages. Logaritmos, SBM, Colecao Professor de Matematica, 1.
3. Maor, Eli. e: a historia de um numero, Editora Record, 2003.
4. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html#s19
10
21
CAPÍTULO 4
SÉRIES DE PAGAMENTOS
4.1 Introdução Este tema é de fundamental importância nas aplicações práticas. O conceito de
equivalência permite transformar formas de pagamentos (ou recebimentos) em outras formas equivalentes, e conseqüentemente, efetuar comparações alternativas.
Noções de Fluxo de Caixa A visualização de um problema que envolve séries de pagamentos e recebimentos é
bastante facilitada usando-se uma representação gráfica simples, chamada “diagrama de fluxo de caixa”.
Exemplo 1: João recebe seu salário no primeiro dia do mês, recebe também o aluguel de uma sala comercial no dia 20 do mês, a qual ainda está pagando o financiamento ao final de cada mês (dia 30) e faz seus outros pagamentos nos dias 5, 10 e 20. Apresente o fluxo de caixa correspondente.
Representação Gráfica:
2010 30 dias510
Exemplo 2: Um banco concede um empréstimo de $40.000 a um cliente, para pagamento em 6 prestações iguais de $9.000. Represente o FC do ponto de vista do banco e do ponto de vista do cliente.
9.000Banco:
40.000
40.000 Cliente:
9.000
22
4.2 Séries de Pagamentos ou (recebimentos) Séries de pagamentos são definidas como uma sucessão de pagamentos/
recebimentos com vencimentos sucessivos ao longo do tempo.
Aqui, sempre estaremos supondo que as séries de pagamentos terão as seguintes características:
a) a diferença de prazo entre cada termo (ou fluxo de caixa) e o seguinte é
constante:
10 30 20 40 50 dias
b) os valores dos termos (ou fluxos de caixa) que compõe a série podem ser:
- constante (série uniforme):
- variáveis: c) os vencimentos dos termos da série podem ser no final de cada sub-período ou
no início. PMT1 PMT2 mês 1 mês 2 0 final do período (o mais comum) 1 2 meses P pmt1 pmt2 mês 1 mês 2
0 início do período ( leasing) 1 2 meses P
23
Principais relações de equivalência a) Equivalência entre P e F:
ni)P(1F += ou ni)(1F P+
=
0
F
n
P Com esta relação pode-se responder às seguintes perguntas: Qual o valor a ser investido hoje, a determinada taxa de juros, para se obter
uma quantia F após certo tempo? Investindo-se uma quantia P, hoje, qual a quantia F a ser obtida após n
períodos a uma taxa i?
b) Equivalência entre PMT e F:
i1i)(1PMT F
n −+= ou
1i)(1iF PMT n −+
=
F
PMT
Com esta relação pode-se responder às seguintes perguntas:
24
Qual será o valor futuro produzido por uma série de pagamentos periódicos, dada uma determinada taxa de juros?
Quanto se deve depositar periodicamente com o objetivo de se formar uma
poupança futura, dada uma determinada taxa de juros?
Exemplo: Quanto terá, no final de quatro anos, uma pessoa que aplicar $500 por mês, durante esse prazo, em um “Fundo de Renda Fixa”, à taxa de 3% ao mês?
Representação do FC:
F
500
0 1 2 3 4
Solução usando a fórmula:
52.204,20104,4084 x 5000,03
10,03)(1 x 500F48
==−+
=
Visor 1) f clear FIN 2)200 CHS PMT - 500,00 3) 3 I 3,00 4) 48 n 48,00 5) FV 52.204,20
Usando a HP 12C:
Exemplo:
Quanto uma pessoa terá que aplicar mensalmente num fundo de renda fixa, durante 5 anos, para que possa resgatar $200.000 no final de 60 meses, sendo que o fundo proporciona um rendimento de 2% ao mês?
F = 200.000
Representação do FC: 0 1 60 meses PMT =?
25
Solução usando a fórmula:
$1.753,590,0088 x 200.000(1,02)
0,02 x 200.0001i)(1
iFPMT 60n ===−+
=
Usando a HP 12C: Visor 1) f clear FIN 2) 200.000 FV 200.000,00 3) 2 i 2,00 4) 60 n 60,00 5) PMT -1.753,59
c) Equivalência entre PMT e P
1i) (1i i)(1P PMT n
xn
−++
= (Tabela Price) ou ii) (11 i)(1 PMT P
x n
n
+−+
=
P
PMT
Com esta relação pode-se responder às seguintes perguntas: Qual será o valor da prestação, caso se queira comprar um bem na forma
parcelada? Qual o valor da retirada periódica que se pode fazer a partir de um
determinado capital investido?
Exemplo:
Um empréstimo de $30.000 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros é 3,5% ao mês, calcular o valor da prestação.
26
30.000 i = 3,5% a.m.
Representação do FC: 0 12 meses PMT
Solução usando a fórmula:
$3.104,520,10348 x 30.00010,035)(1
0,035x 0,035) 1 ( x 30.000PMT 12
12
==−+
+=
Usando a HP 12C: Visor 1) f clear FIN 2) 30.000 PV 30.000,00 3) 3,5 i 3,50 4) 12 n 12,00 5) PMT -3.104,52
Exemplo:
Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, mensais e consecutivas de $3.500 cada uma, considerando uma taxa de 5% ao mês.
P = ? i = 5% a.m.
Representação do FC: 0 24meses pmt = 3.500
Solução usando a fórmula:
$48.295,2513,79864 x 3.5000,05x 0,05)(1
1 -0,05) 1 ( x 3.500P 24
24
==++
=
27
Visor 1) f clear FIN 2) 3.500 PMT 3.500,00 3) 5 i 5,00 4) 24 n 24,00 5) PV -48.295,25
Usando a HP 12C:
Exemplo: problemas em que a taxa de juros é a incógnita. Determinar a que taxa anual foi firmada uma operação de empréstimos de $100.000, para ser liquidada em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas de $7.270,87 cada uma.
PMT = 7.270,87
Fluxo de Caixa: 0 18meses P = 100.000 i = ?
ix i)(11i)(17.270,87100.000
ix i)(11 -i) 1 ( x PMTP 18
18
n
n
+−+
=⇒++
=
Solução:
3%i
a.m. 3%12C HP a como financeira acalculador uma usando 3)
7535,137.270,87100.000
PMTPfinanceira tabelauma usando 2)
erro e ivapor tentat 1)
=→
→
==→ a.m.
Solução por tentativas:
7535,1387,270.7
000.100ix i)(11i)(1
ix i)(11 -i) 1 ( x 87,270.7000.001 18
18
18
18
==+
−+⇒
++
=
Agora, o objetivo é encontrar um valor de i para que o lado esquerdo da equação
torne-se igual a 13,7535. Faremos uma tentativa com i = 1% e outra com i = 5%.
13,7535 11,68965%i13,7535 16,39821%i
13,7535ix i)(11i)(1
18
18
<⇒=>⇒=
=+
−+ ∴ i está entre 1% e 5%
28
Regra de três:
B 11,6896
C E
13,7535 D
16,3982 A
i = 1% i = x % i = 5 % Igualando as proporções entre a altura e a base do triângulo maior (ABC) e do
triângulo menor (DEC), temos que:
⇒=⇒−
=−−
2,0639x-5
4,70864
6896,1113,7535x-5
11,686916,398215
x = 3,2467% a.m.
d) Perpetuidades
Uma perpetuidade é uma série uniforme com uma vida infinita. Este conceito é muito usado para o cálculo de aposentadorias e mensalidades de clubes. Alguns governos já emitiram títulos que pagam juros periódicos para sempre. É o caso das consols emitidas pelo governo britânico, onde o titular desses bônus nunca receberão o principal, somente recebem os juros periódicos.
Pode-se determinar a equação que relaciona uma série uniforme perpétua e seu valor presente através da fórmula inversa da tabela Price, fazendo-se o número de períodos, n, tender a infinito, como mostrado abaixo.
iPMT
ii)(11i)(1PMTLimP n
n
n=
+−+
=∞→
PMT
∞ . . .321 0
P
29
Exemplo: João pretende se aposentar e receber anualmente, ao final de cada ano, um valor fixo de $10.000,00. Quanto ele deverá acumular ao final de sua vida de trabalho para que possa usufruir de tal benefício durante sua aposentadoria? Suponha uma taxa real de juros de 6% ao ano. Dados: PMT = 10.000,00 i = 6 % a.a. Solução: Usando-se a fórmula da perpetuidade, facilmente se obtém o valor pedido:
4.3 Relações de equivalência para pagamentos antecipados
Nas séries com pagamentos ou recebimentos antecipados, eles ocorrem no início de cada p
emas com séries de pagamentos ou recebimentos antecipados poderã
a ser as seguintes:
De
7$166.666,6 0,06
10.000 i
PMT P ===
eríodo de tempo. Assim, a primeira prestação é paga ou recebida na data “zero”, e assim sucessivamente.
Todos os problo ser resolvidos utilizando os mesmos fatores anteriores só que divididos ou
multiplicados por (1 + i).
As fórmulas passam
i1i)(1PMTF
n −+= para
i1i)(1i)(1 PMTF
n −++=
1-i)(1i .i)(1PPMT n
n
++
= para 1 -i)(1i.i)(1
i)(1PPMT n
n
++
+= De
30
Exemplo 1:
de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de 36 meses
luxo de Caixa: i = 34,489% a.a. F = 300.000
36 meses
char a taxa i mensal:
+ im)12 = (1 + ia) ⇒ im = (1,34489)1/12 – 1 = 2,5%
Quanto terá um montante de $300.000, sabendo-se que o rendimento firmado é de 34,489% ao ano (taxa efetiva!) e que as prestações são iguais e consecutivas e em número de 36?
F
0 35
PMT = ?
A (1(1 + im)12 = 1,34489
1i)(1ix
i)(1FPMT n −++
=
77,107.5$1,025)1(
0,025x1,025
300.000PMT 36 =−
=
Exemplo 2:
ual o valor de um terreno financiado em 24 prestações iguais de $5.054,03
PMT = 5.054,03
0 eses
Determinar qsabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 3,5% ao mês e que o primeira prestação é paga no ato da assinatura do contrato.
Fluxo de Caixa :
23 24m P = ? i = 3,5%
i .i)(1i)(1 x PMTP n+
+= 1 -i) 1 ( n+
05,000.84$0,035 .,035)1(
1 -,035)1 ( x ,0351 x 03,054.5P 24
24
==
31
4.4 Problemas sobre relações de equivalência 1 – Quanto uma pessoa terá que aplicar mensalmente num banco, para que possa resgatar $200.000,00 ao final de 60 meses, sabendo-se que o banco oferece uma taxa de 2% ao mês? (Resp.: $1.753,59)
CASO: Encontrando a anuidade de aposentadoria de Jill Moran A Sunrise Industries deseja acumular fundos para prover uma anuidade de aposentadoria para sua vice-presidente de pesquisa, Jill Moran. Por contrato, ela se aposentará exatamente no final de doze anos. Pela aposentadoria ela tem direito a receber um pagamento anual, no final do ano, de $42.000, durante exatamente vinte anos. Se ela morrer antes do final do período de vinte anos, o pagamento anual passará a seus herdeiros. Durante doze anos, o “período de acumulação”, a Sunrise Industries deseja aplicar a anuidade a ser realizada em depósitos iguais, anuais, no final do ano, em uma conta que contenha 9% de juros. Uma vez que seja iniciado o “período de distribuição” de vinte anos, a Sunrise planeja movimentar os fundos acumulados para uma conta que garanta juros de 12% ao ano. No final do período de distribuição, o saldo da conta será igual a zero. Perceba que o primeiro depósito será realizado no final do ano 1 e a primeira distribuição ocorrerá no final do ano 13. Pede-se: a. Trace a linha do tempo, ilustrando os fluxos de caixa relativos às anuidades de
aposentadoria, sob o ponto de vista da Sunrise; b. Qual seria o montante que a Sunrise Industries deve acumular no final do ano 12 para
fornecer, durante vinte anos, anuidades de $42.000? c. Qual é o montante relativo aos depósitos iguais anuais, no fim do ano, que a Sunirse
deve realizar na conta durante um período de acumulação de doze anos, para satisfazer os fundos de aposentadoria anual da senhora Jill?
d. Qual deve ser o montante de depósito anual que a Sunrise tem de realizar, durante o período de acumulação, caso se obtenham juros de 10% em vez de 9%, nesse mesmo período?
e. Qual é o montante de depósito anual, durante o período de acumulação, que a Sunrise deveria realizar, se a anuidade de aposentadoria da senhora Jill fosse uma perpetuidade, sendo que todos os outros termos permaneceriam iguais aos inicialmente descritos?.
32
CAPÍTULO 5
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
5.1 Introdução
A disponibilidade de recursos financeiros é um fator imperativo para a concretização de um investimento. Ao se comprar um imóvel, ao se adquirir um equipamento industrial, é necessário que se tenha disponibilidade de recursos.
Se a pessoa física, no caso de um imóvel, ou a empresa, no caso do equipamento,
dispuserem de capital próprio, poderão lançar mão destes fundos para efetivarem seus investimentos.Porém, na falta destes recursos, ou se estes forem insuficientes, terão que recorrer a empréstimos.
O valor destes empréstimos, ou seja, o principal, evidentemente terá que ser
restituído à instituição financiadora, acrescido da sua remuneração, que são os juros. Às formas de devolução do principal mais juros, chamam-se sistemas de amortização. Os mais usuais, normalmente praticados pelas instituições bancárias, serão apresentados a seguir.
5.2 Sistema Francês de Amortização ou Tabela Price
O Sistema Francês de Amortização é mais conhecido no Brasil como Sistema Price ou Tabela Price. Como relata o professor Mário G. Pereira apud Vieira Sobrinho (1997, p. 221), a denominação “Tabela Price” se deve ao nome do matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Price, que viveu no século XVIII e que incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos ou financiamentos. A denominação “Sistema Francês”, ainda de acordo com Pereira, deve-se ao fato deste sistema ter-se efetivamente desenvolvido na França, no século XIX. É muito usado nas compras a prazo de bens de consumo – crédito direto ao consumidor. Neste sistema as prestações são constantes e correspondem pois, a uma série uniforme PMT. O valor das prestações é determinado com base na mesma fórmula utilizada para relacionar uma série uniforme de pagamentos e o valor atual:
1i)(1i .i)(1PPMT n
n
−++
=
Uma das razões para se estudar amortizações de dívidas é a de se obter respostas às perguntas: Qual o estado da dívida? Quanto já foi amortizado?
33
Quando uma dívida é saldada em prestações, o devedor deverá, normalmente, restituir o principal em juros e amortizações. As prestações pagas são desmembradas em juros e amortizações. A amortização corresponde à parcela da prestação que é descontada do principal. Exemplo: Calcular os valores das parcelas de juros e amortização referentes à primeira prestação, de um empréstimo de $8.530,20, à taxa de 3% ao mês, para ser liquidado em 10 prestações iguais. Use o Sistema Francês de Amortização ou a Tabela Price. Solução: Valor da prestação:
$1.0001(1,03)
0,03 x (1,03) x8.530,20PMT 10
10
=−
=
Valor da parcela de juros: J = i x P = 0,03 x 8.530,20 = 255,91 Valor da parcela de amortização: como PMT = A + J, temos que: A = PMT – J = 1.000 – 255,91 = 744,09 A partir da primeira prestação, podemos construir uma planilha que denominaremos de “Plano de Pagamento do Empréstimo” pela Sistema Francês/ Tabela Price.
34
t Saldo devedor (Pt) Amortização (At) Juros (Jt) Prestação0 8.530,20 - - -1 7.786,11 744,09 255,91 1.0002 7.019,69 766,42 233,58 1.0003 6.230,28 789,41 210,59 1.0004 5.417,19 813,09 186,91 1.0005 4.579,70 837,48 162,52 1.0006 3.717,10 862,61 137,39 1.0007 2.828,61 888,49 111,51 1.0008 1.913,47 915,14 84,86 1.0009 970,87 942,60 57,40 1.000
10 0,00 970,87 29,13 1.000Total 8.530,20 1.469,80 10.000
As fórmulas usadas para a construção da planilha acima são muito simples e dadas por: Cálculo dos juros, num período qualquer t:
Jt = i x Pt-1, onde saldo devedor em t: i .i)(11i)(1PMTP tn
tn
t −
−
+−+
=
Cálculo da amortização num período qualquer t: A1 = PMT – i P0, onde A1 e´ a primeira amortização e P0 é o saldo devedor inicial.
At = A1(1+i)t-1
Generalizando, temos que:
1o Período
=−===
oamortizaçã primeira davalor JPMTA0 período nodevedor saldoP
périodo) primeiro no (juros P x iJ
11
0
01
2o Período
−=−=
=
22
101
12
JPMTAAPP P x iJ
35
n-ésimo Período
+−+
=
+=
=
− ii)(11i)(1PMT P
i)(1A A
P x iJ
tn
t-n
t
1-t1t
1-tt
Exemplo (baseado nos dados do exercício anterior):
a) Calcular o valor do saldo devedor existente no final do 6o mês (após o pagamento desta prestação):
Solução:
3.717,100,03 . 1,03
11,031.0000,03 .i)(1
1i)(1PMT 4
4
610
610
6 =−
=+
−+=
−
−
P
b) Calcular o valor da parcela de juros correspondente à 4a prestação:
J4 = i x P3 , onde P3 é o saldo devedor no terceiro período
28,230.60,03 . 1,03
11,031.0000,03 .i)(1
1i)(1PMT 7
7
310
310
3 =−
=+
−+=
−
−
P
Portanto, J4 = 0,03 x 6.230,28 = 186,91
c) Calcular o valor da parcela de amortização correspondente à 5a prestação:
A5 = A1(1+i)5-1 A1 = pmt – i x P0 = 1000 – 0,03 x 8530,20 = 744,09 A5 = 744,09 x 1,034 = 837,48
36
Representação gráfica do Sistema Francês
Neste sistema, a parcela de juros decresce com o tempo, ao passo que a parcela de amortização aumenta com o tempo. Graficamente pode-se apresentar este comportamento da seguinte maneira:
Representação da Prestação:
$ Juros Prestação Amortização n
Representação do Saldo devedor:
$ Saldo devedor n
Exercício 1: Uma pessoa conseguiu empréstimo de $100.000, a ser pago em 20 prestações iguais e semestrais a uma taxa efetiva de 50% ao ano. Determine:
a) qual a taxa semestral (R: 22,5%) b) qual o valor das prestações (R: pmt = 22.895,39) c) qual a parcela da primeira prestação que é juros e qual é relativa à amortização
(R: A = 395,39; J = 395,39)
Exercício 2:
Montar a planilha financeira para um financiamento de $1.000, a 3% ao mês, com prazo de meses, amortizável em 4 prestações mensais. Calcular também o saldo devedor imediatamente após a 2a prestação, mas sem o uso da planilha.
37
t Saldo devedor (Pt) Amortização (At) Juros (Jt) Prestação0 1.000,00 0 0 01 761,00 239,00 30,00 2692 514,83 246,17 22,83 2693 261,27 253,56 15,44 2694 ~ 0,00 261,16 7,84 269
Cálculo de prestação: 00,2961-)03,0(1
0,03 .)03,0(1000.1PMT 4
4
≅+
+=
Cálculo do Saldo devedor aos a 2a prestação: 72,5140,03 .)03,0(1
1-)03,0(1269 24
24
2 ≅++
= −
−
P
Exercício 3: Mesmo exercício, mas com 1 mês de carência.
5.3 Sistema de Amortização constante (SAC)
Este sistema, extremamente simples, se popularizou com o Sistema Financeiro de Habiitação (SFH), que o adotou nos financiamentos de compra da casa própria. Seu nome deriva de sua principal característica que é a constância do valor da amortização, diferente do Sistema Francês, onde a amortização cresce exponencialmente com o tempo.
A parcela de capital (amortização) é obtida dividindo-se o valor do empréstimo pelo número de prestações, enquanto o valor da parcela de juros é determinada multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior.
Representação da Prestação:
$ Juros Prestação Amortização n
38
Representação do Saldo devedor:
$ Saldo devedor n
Exemplo:
Um empréstimo de $800.000 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais pelo SAC à taxa de 4%a.s. Obtenha a planilha.
Solução: A amortização é calculado como: A = 800/5 = 160
Planilha (x 1.000)
t Saldo devedor (Pt) Amortização (At) Juros (Jt) Prestação0 800,00 0 0 01 640,00 160,00 32,00 192,002 480,00 160,00 25,60 185,603 320,00 160,00 19,20 179,204 160,00 160,00 12,80 172,805 0,00 160,00 6,40 166,40
800,00 96,00 896,00
Algumas relações importantes:
1) Valor da amortização: nPA 0=
2) Valor do saldo devedor de ordem t: Pt = A(n – t)
3) Valor da prestação de ordem t: PMTt = A + Jt = A + i Pt-1 = A + i A(n – (t–1))
ou seja, PMTt = A + i A(n – t + 1)
39
Exercícios (SAC)
1)Elaborar um plano de pagamentos, com base no SAC, correspondente a um empréstimo de $100.000, à taxa de 3% ao mês, a ser liquidado em 10 prestações mensais.
t Saldo devedor (Pt) Amortização (At) Juros (Jt) Prestação0 100.000 0 0 01 90.000 10.000 3.000 13.0002 80.000 10.000 2.700 12.7003 70.000 10.000 2.400 12.4004 60.000 10.000 2.100 12.1005 50.000 10.000 1.800 11.8006 40.000 10.000 1.500 11.5007 30.000 10.000 1.200 11.2008 20.000 10.000 900 10.9009 10.000 10.000 600 10.600
10 0 10.000 300 10.300Total 100.000 16.500 116.500
2) Um apartamento é vendido por $1.500.000, sendo $300.000 de entrada e o restante em 60 prestações mensais, à taxa de 2,5% ao mês, pelo SAC. Calcular:
a) o valor da 1a e da última prestação. (R: 50.000 e 20.500) b) o valor do decréscimo mensal das prestações. (R: 500) c) o total de juros a serem pagos até a liquidação do débito. (R: 915.000)
5.4 O Sistema de Amortização Misto (SAM)
Este sistema de amortização foi criado pelo antigo Banco Nacional de Habitação (BNH), em 1979, e se constitui num misto entre a Tabela Price e o SAC. O SAM é um plano de pagamentos composto por prestações cujos valores são resultantes da média aritmética dos valores das prestações calculadas pela Tabela Price e o SAC, correspondentes aos respectivos prazos. Os valores das parcelas de amortização e juros resultam da mesma regra. Assim temos que: A prestação por este sistema será dada por:
2PMTPMT
PMT SACTPSAM
+=
40
A amortização pelo SAM será:
2AA
A SACTPSAM
+=
Os juros pelo SAM serão:
2JJ
J SACTPSAM
+=
Graficamente, o saldo devedor em função do tempo ficaria:
n
SaldoDevedor SAC
Price
SAM
$ Exemplo: Elabore m plano de pagamento com base no SAM, correspondente a um empréstimo de $12.000, a uma taxa de 2% ao mês, a ser liquidado em 12 prestações mensais.
5.5 Sistema Americano
Neste sistema paga-se apenas os juros; o principal é devolvido ao final do empréstimo. A planilha correspondente a um plano deste tipo ficaria como mostrado abaixo:
mês Saldo devedor Amortização Juros Prestação 0 P 0 0 0 1 P 0 i.P i.P 2 P 0 i.P i.P 3 P 0 i.P i.P 4 0 P i.P P + i.P
41
Exemplo:
Por empréstimo de 800mil dólares, um cliente se propõe a devolver o principal daqui a dois anos, pagando semestralmente somente os juros à taxa de 4% ao semestre. Obtenha a planilha pelo Sistema Americano:
Solução:
mês
Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 800 0 - - 1 800 0 32 32 2 800 0 32 32 3 800 0 32 32 4 0 800 32 832
Total 800 128 928
5.6 Comparação entre os sistemas
Para uma determinada taxa de juros todos os sistemas são equivalentes. Ou seja, para uma dada taxa de juros o valor presente dos fluxos de desembolso de cada sistema será igual ao valor financiado, P.
Por exemplo, o SAC e a Tabela Price são equivalentes, mesmo observando-se que as prestações calculadas pelo SAC são maiores no início do plano e menores ao final.
5.7 Exercício (Concurso Controlador de Arrecadação Fiscal) Um Banco financia a importância de $400.000,00 entregue no ato do financiamento, com um prazo de carência de 2 anos. Sabendo-se que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa de juros é de 10% a.a., que a devolução deve ser feita em 4 prestações anuais e que durante o prazo de carência os juros são capitalizados e incorporados ao capital, construir a planilha ou plano de amortização. A partir da planilha resolva a questão abaixo.
Se o devedor resolver liquidar a dívida imediatamente após o pagamento de duas prestações, deveria pagar o valor de (desprezar os centavos na resposta): a) 240.904,00 b) 250.908,00 c) 264.995,00 * d) 270.843,00
42
CAPÍTULO 6
MÉTODOS TRADICIONAIS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
6.1 Introdução
Empresas públicas e privadas, agências do governo e investidores sempre estão se defrontando com numerosas oportunidades de investimento. A correta escolha de um projeto ou investimento, dentre uma gama de oportunidades possíveis, pode determinar o sucesso ou o fracasso da entidade, seja ela pública ou privada. O estudo da viabilidade econômica de investimentos é denominado de engenharia econômica. A engenharia econômica pode ser definida como o conjunto de princípios e técnicas necessários à tomada de decisões sobre alternativas de investimentos. Em geral, aplicam-se estas técnicas para a tomada de decisões de longo prazo. Dentro de uma empresa seriam aquelas decisões sobre os ativos permanentes e que se costuma denominar de orçamento de capital. Abaixo apresentamos o esquema de um balaço de uma empresa industrial.
Balanço da Empresa XYZ em 2002
Ativo Passivo Circulante Circulante Realizável a Longo Prazo Exigível a Longo Prazo Permanente
-investimentos -imobilizado -diferido
Patrimônio Líquido -capital -lucros acumulados
As decisões de longo prazo, sobre os ativos permanentes, são a “razão de ser” de uma empresa. É claro que para os outros níveis de decisões de uma empresa, como as decisões sobre ativos de curto prazo e sobre a formas de financiamento dos ativos também são de suma importância e as técnicas aqui apresentadas também poderão ser aplicadas.
Abaixo listamos alguns dos problemas em que poderemos aplicar os métodos tradicionais de análise de investimentos ou engenharia econômica para escolher a alternativa mais adequada. Estes métodos serão descritos neste capítulo.
efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma correia transportadora;
construir uma rede de abastecimento de água com tubos de maior ou menor diâmetro;
comprar um veículo à vista ou a prazo; alugar ou comprar um equipamento;
43
usar lâmpadas incandescentes ou fluorescentes para a iluminação; etc.
Antes de se tomar a decisão sobre qual a melhor alternativa, é preciso estar ciente de
alguns princípios qualitativos básicos que fundamentam a engenharia econômica, tais como:
deve haver alternativas de investimento disponíveis; as alternativas devem ser expressas num denominador comum: em dinheiro; só as diferenças entre as alternativas são relevantes; sempre são considerados os juros sobre o capital empregado, ou seja, o valor
do dinheiro no tempo; nos estudos econômicos, o passado geralmente não é considerado (sunk
costs); decisões separáveis devem ser tomadas separadamente; dar um certo peso para os graus relativos de incerteza associada com as
várias previsões; levar em conta a alternativa de não fazer nada.
É claro que ao se levar em conta na análise apenas o que pode ser transformado em
valores monetários, deixa-se de lado aspectos imponderáveis, tais como a política econômica geral, a estratégia da empresa, a satisfação dos empregados etc., que muitas vezes podem alterar bastante a escolha entre as várias alternativas de investimento.
6.2 Taxa de mínima atratividade (TMA) A taxa de mínima atratividade (TMA) é a taxa a partir da qual o investidor
considera que está obtendo ganhos financeiros. Para uma empresa, a TMA seria equivalente ao seu custo de capital, que é a taxa de retorno mínima sobre seus investimentos de maneira que ela pudesse continuar com o mesmo nível de atividades indefinidamente. Para uma pessoa comum, a TMA seria provavelmente a rentabilidade proporcionada pela caderneta de poupança. Pois, caso esta pessoa guardasse suas economias embaixo do colchão ela estaria perdendo a oportunidade de auferir o retorno da poupança. Portanto, a TMA também pode ser considerada um custo de oportunidade.
Já para o dono de uma empresa, a TMA seria o custo de oportunidade de deixar de
investir em sua empresa, ou seja, se guardar o dinheiro embaixo do colchão deixará de auferir os lucros que a empresa proporcionaria. Quando se fala a nível de empresas a TMA é denominada de custo de capital e que está associado ao risco inerente ao ramo de atividade de cada empresa. Empresas que atuam em setores tradicionais e consolidados da economia, em geral, são menos arriscadas, pois seus lucros futuros são mais previsíveis. Empresas que atuam em setores de ponta, como empresas “ponto com” e de telecomunicações, por exemplo, têm seus lucros futuros de difícil previsão e portanto têm um risco maior que as empresas tradicionais. Conseqüentemente, a TMA de empresas tradicionais deve ser menor do que a de empresas de ponta, pois o investimento nestas últimas é mais arriscado, com um retorno mais incerto.
44
Se a empresa conseguir investimentos que proporcionem retornos acima de seu
custo de capital ela estará adicionando valor a ela. Se a empresa conseguir investimentos que proporcionem retornos iguais ao seu custo de capital ela estará no mesmo nível de valor anterior. Se a empresa conseguir investimentos com retorno abaixo de seu custo de capital ela estará subtraindo valor dela.
6.3 Outros conceitos importantes Projetos independentes e mutuamente exclusivos Fundos ilimitados versus racionamento de capital Fluxos de caixa convencionais e não convencionais
6.4 Principais métodos de avaliação de investimentos
Métodos não exatos
médio contábil RetornodescontadoPayback
Payback
Métodos exatos
eequivalent uniforme anualValor retorno de interna TaxaLíquido PreseneteValor
O quadro abaixo sumariza os fluxos de caixa de quatro projetos de investimentos
mutuamente exclusivos, durante cinco anos. Você deverá fazer sua escolha de acordo com os métodos a serem discutidos. Suponha que a TMA da empresa seja de 10%.
ano A B C D 0 -1.500 -1.500 -1.500 -1.500 1 150 0 150 300 2 1.350 0 300 450 3 150 450 450 750 4 -80 1.050 600 750 5 -50 1.950 1.875 900
45
6.4.1 Período de payback
O período de payback é o método mais simples de se analisar a viabilidade de um
projeto ou investimento. Ele é definido como o número de períodos (anos, meses, semanas etc.) para se recuperar o investimento inicial. Para se calcular o período de payback de um projeto basta somar os valores dos fluxos de caixa auferidos, período a período, até que essa soma se iguale ao valor do investimento inicial. O período correspondente à ultima parcela da soma será o período de payback procurado. Vantagens:
simplicidade e rapidez; é uma medida de risco do investimento, pois quanto menor o período de
payback, mais líquido é o investimento e, portanto menos arriscado.
Desvantagens:
não considera o valor do dinheiro no tempo; não considera os fluxos de caixa após o período de payback; não leva em conta o custo de capital da empresa.
Use o método do período de payback para avaliar os projetos acima: Projeto A → 2 anos de período de payback melhor Projeto B → 4 anos de período de payback Projeto C → 4 anos de período de payback Projeto D → 3 anos de período de payback
6.4.2 Período de payback descontado
Este método é semelhante ao anterior com o adicional de se usar uma taxa de desconto antes de se proceder à soma dos fluxos de caixa.
Use o payback descontado para analisar os projetos. Use como taxa de desconto a TMA da empresa de 10%.
46
Projeto A:
Ano FC VP (a 10%) VP acumulado 0 -1.500 -1.500,00 -1.500,00 1 150 136,36 -1.363,64 2 1.350 1.115,70 -247,94 3 150 112,70 -135,24 4 -80 -54,64 -189,88 5 -50 -31,05 -220,93 ⇒Você nunca vai receber o
dinheiro de volta! Projeto B:
Ano FC VP (a 10%) VP acumulado 0 -1.500 -1.500,00 -1.500,00 1 0 0,00 -1.500,00 2 0 0,00 -1,500,00 3 450 338,09 -1.161,91 4 1.050 717,16 -444,75 5 1.950 1.210,80 +766,05
Payback descontado = entre 4 e 5 anos (ou 4,37 anos) Por semelhança de triângulos, podemos fazer uma interpolação e encontrar o período de payback com maior precisão.
ba
54
766
444
a
ba444
444766 ab
444766 +
=+
⇒=
Como a + b é igual ao período de 1 ano, vem:
anos 0,372,73
1aaano 1
==⇒=2,73
Portanto, o valor procurado será igual a 4 anos mais 0,37 anos, ou 4,37 anos.
47
6.4.3Taxa Média de Retorno de Contábil
É um método utilizado com certa freqüência pelas empresas. Como há muitas definições diferentes da taxa média de retorno contábil (TMRC), aqui definiremos a TMRC como o quociente entre o lucro líquido médio de um projeto e o valor contábil médio do investimento inicial:
toInvestimen do Médio ContábilValor Médio Líquido LucroTMRC =
Supondo que os fluxos de caixa dos projetos A, B, C e D estejam na forma de lucro líquido e que o valor inicial seja o valor contábil do investimento a ser realizado, temos o seguinte:
40,53%ou 4053,0750304
2/15005/)50801501350(150 TMRC A ==
−−++=
Observa-se, na fórmula, que o investimento médio será sempre a metade do
investimento inicial, desde que ele seja depreciado linearmente e que seu valor ao final do projeto seja nulo. O valor encontrado para o projeto A significa que 40,53% do investimento inicial retorna à empresa por ano. Este valor deve ser comparado com um padrão estabelecido previamente. Assim, se o padrão for de 50%, o projeto A deveria ser rejeitado.
De forma análoga obtemos a TMRC dos outros quatro projetos: TMRCB = 92,00% melhor TMRCC = 90,00% TMRCD = 84,00% Vantagens: Simples e rápido de calcular; Dados facilmente acessíveis com o sistema de contabilidade da empresa.
Desvantagens: utilização de dados contábeis em vez de fluxos de caixa; não considera o valor do dinheiro no tempo; escolha arbitrária de uma data limite para a projeção dos lucros.
48
6.4.3 Valor Presente Líquido
Este método consiste em trazer para a data zero, usando como taxa de desconto a TMA da empresa ou projeto, todos os fluxos de caixa do investimento e soma-los ao valor do investimento inicial. Matematicamente, pode ser dado pela equação abaixo:
nn
22
11
0 i)(1FC
i)(1FC
i)(1FCFCVPL
+++
++
++−= L
Vantagens: leva em conta o valor do dinheiro no tempo; leva em conta o custo de capital da empresa/TMA; obedece ao princípio da aditividade do valor; pode ser aplicado a qualquer fluxo de caixa; pressupõe a reinversão dos fluxos de caixa ao custo e capital/TMA da empresa ou
projeto; sob o ponto de vista econômico, é considerado o método mais correto.
Desvantagens: necessita o conhecimento de vários parâmetros.
A partir a tabela com os dados dos quatro projetos, calculamos o VPL de cada projeto:
Projeto VPL
A -220,92 B 766,05 C 796,42 melhor D 778,80
Critério de decisão do VPL:
aceita-se projetos com VPL ≥ 0;
para uma carteira de projetos mutuamente exclusivos escolhe-se aquele com o maior VPL.
49
6.4.4 Taxa Interna de Retorno (TIR) É a taxa de desconto que zera o valor presente líquido dos fluxos de caixa de um
projeto, ou seja, faz com que todas as entradas igualem todas as saídas de caixa do empreendimento. Matematicamente, esta taxa (TIR) pode ser encontrada resolvendo-se a seguinte equação:
nn
221
0 TIR)(1FC
TIR)(1FC
TIR)(1FCFC0
+++
++
++−= L
Vantagens: leva em conta o valor do dinheiro no tempo; é fácil comparar seu valor com a rentabilidade de outros investimentos.
Desvantagens: pressupõe a reinversão dos fluxos (benefício) à própria TIR, o que acaba distorcendo os
resultados; não obedece ao princípio de aditividade do valor; pode haver múltiplas taxas de retorno ou mesmo não ter solução quando o fluxo de
caixa não é convencional; necessita a análise do investimento “incremental” quando se compara várias alternativas
mutuamente exclusivas; Não se recomenda em situações com múltiplas alternativas.
Critério de decisão da TIR para projetos independentes e sem restrição orçamentária: escolhe-se os projetos que tenham a TIR ≥ TMA
se os projetos forem mutuamente exclusivos, deve-se escolher aquele com maior TIR,
desde que ela seja maior que a TMA da empresa.
A partir dos dados do exemplo anterior, calculamos a TIR de cada projeto: Projeto TIR
A 0,74% B 22,92% C 22,75% D 25,38% melhor
50
Exercício:
Uma empresa dispõe de $18.000 e conta com duas alternativas de investimento em um tipo de equipamento industrial: equipamento de marca A, que exige um investimento inicial de $14.000 e proporciona
um saldo líquido anual de $5.000 por sete anos; equipamento de marca B, que exige um investimento inicial de $18.000 e proporciona
um saldo líquido de $6.500 por sete anos. Calcule qual a alternativa mais econômica, sabendo-se que a TMA da empresa é de 30% ao ano.
(R: VPLA = $10,56 e TIRA = 30,03%; VPLB = $213,73 e TIRB = 30,51%)
6.4.5 Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE) Este método consiste em achar a série uniforme (PMT) anual equivalente ao fluxo
de caixa do projeto, descontado à TMA. -mesmas vantagens do VPL -critério de decisão: igual ao VPL Graficamente temos: 1) 0 5 0 5 P0
=
PMT ou VAUE P4 P5 PMT ou VAUE 2) P1 P2 0 5 0 5 P0 P3
=
51
Exemplo: No exercício anterior, usar o método do VAUE para achar a alternativa mais econômica.
5.000 VAUE = $3,77 A) 0 = 1 7 0 1 7 TMA = 30% 14.000 6.500 VAUE = $76,27 B) 0 = 1 7 0 1 7 18.000
Portanto, melhor é o equipamento B (mesma decisão do VPL!)
Utilização prática do VAUE:
usado para investimentos que normalmente possam se repetir; determinação da vida econômica de veículos e equipamentos; principal técnica usada na análise de substituição de equipamentos.
6.5 Alternativas com vidas diferentes Na maioria das vezes, a análise de investimento supõe que as alternativas sob
análise tenham o mesmo horizonte de planejamento ou duração, a fim de que sejam comparadas. Assim, se um gerente de produção quiser substituir a iluminação de um galpão por uma alternativa mais econômica, deverá supor o mesmo horizonte para todas as alternativas consideradas. Se uma lâmpada incandescente dura seis meses e a fluorescente dura um ano, o horizonte deve ser o mesmo para as duas, ou seja, um ano.
quando os projetos podem ser repetidos, o VAUE é melhor. quando os projetos não podem ser repetidos (mais raro acontecer), o VPL é melhor
método.
Exemplo: Pelo método do VPL diga qual é a melhor alternativa entre os projetos representados pelos dois fluxos de caixa abaixo:
52
A) 90 90 ou B) 64 64 64 0 1 2 0 1 2 3 TMA = 10% TMA = 10% 118 120 Supondo que os projetos podem ser repetidos:
VPLA = $38,20 VPLB = $39,16 ← melhor? Na verdade tem-se que supor o mesmo horizonte de planejamento para os dois
projetos! 90 90 90 90 90 90 A) 0 VPLA = $95,86 ← melhor! 1 2 3 4 5 6 118 118 118 64 B) 0 VPLB = $68,58 1 2 3 4 5 6 120 120 Mesmo exercício usando agora o método do VAUE.
No VAUE, a repetição dos projetos já está implícita, não é necessário transformar
os fluxos de caixa para o mesmo horizonte de planejamento! A) 90 90 0 1 2 VAUEA = 90 – 67,99 = $22,01 ← melhor! TMA = 10% 118 B) 64 0 1 2 3 VAUEB = 64 – 48,25 = $15,75 TMA = 10% 120
53
Exercício (Casarotto e Kopittke, p.113)
Em vez de continuar com a produção manual, uma empresa estuda a possibilidade
de comprar uma máquina por $200.00 para reduzir os gastos com mão-de-obra. Atualmente ela gasta $113.000 por ano com mão-de-obra. Se a máquina for instalada os custos de mão-de-obra baixarão para $30.000 anuais. Em compensação terá custos de energia e manutenção estimados em $20.000/ano.
Se a TMA da empresa for de 12% a.a. e a máquina tiver uma vida útil de 5 anos, após a qual terá valor residual nulo, calcule se é econômica a compra da máquina. Obs: deve-se escolher a alternativa com menor custo anual!
Solução: Alternativa A: continuar com a produção manual. VAUEA = $113.000 (custo anual!)
Alternativa B: comprar a máquina. VAUEB = 30.000 + 20.000 + VAUE ($200.000) VAUEB = 30.000 + 20.000 + 55.482 = $105.482
Portanto, a alternativa B é a melhor! (menor custo anual)
6.6 Comparação entre VPL e TIR
Na escolha entre dois ou mais investimentos, o critério de decisão pelo VPL sempre será escolher o investimento com maior VPL. Com a TIR, isso não acontece, pois este método trabalha com valores relativos (taxas). Assim, uma das maneiras para compatibilizar os resultados obtidos pela TIR com os obtidos pelo VPL é o uso da técnica do “investimento incremental”. Exemplo: (Casarotto e Kopittke, p.131)
Uma empresa cuja TMA é de 6% ao ano, dispõe de duas alternativas para introduzir
uma linha de fabricação para um dos componentes de seu principal produto. A alternativa X é para um processo automatizado que exigirá um investimento de $20.000 e proporcionará saldos anuais de $3.116 durante dez anos. A alternativa Y é para um processo semi-automatizado, com investimento mais baixo ($10.000), mas, devido ao uso mais intenso de mão-de-obra, propiciará um saldo anual de $1.628, também durante dez anos. Qual é a melhor alternativa? Utilize o método do VPL e da TIR.
Os fluxos de caixa dos projetos e do investimento incremental são apresentados no
quadro abaixo:
54
ano Projeto X Projeto Y X –Y 0 -20.000 -10.000 -10.000
1 a 10 3.116 1.628 1.488 Fazendo-se o cálculo do VPL e da TIR para cada projeto encontramos o resultado
abaixo:
Técnica X Y X –Y VPL $2.934,03 $1.982,22 - TIR0 9% 10% ~ 8%
Pelo VPL, o projeto X é o melhor! Pela TIR, tem-se que analisar o investimento incremental!
Tem-se que comparar:
→−→→
8%Y)(X em e 9%Y eminvestir ou 9%,X eminvestir
Observe que Y + (X-Y) = Y!
Se a empresa investir os $10.000 em Y, ela teria que aplicar a diferença ($20.000 -
$10.000) num investimento que rendesse pelo menos 8% para equivaler a X, que necessita de $20.000 de investimento inicial. Como a TMA da empresa é 6%, ela não conseguirá isso. Portanto X é melhor.
“Regra”
Para que os dois investimentos acima sejam iguais é necessário que o investimento incremental (X–Y) renda 8%. Como a TMA da empresa é de 6%, menor que a rentabilidade exigida pelo investimento incremental, conclui-se que o projeto X é o melhor!
Investir em “X”→ 9% equivale a investir em “Y” → 10% + “(X – Y)” →8%
Como 8% > TMA = 6%, melhor é X, o que fica coerente com o VPL! O gráfico do VPL x TIR para cada projeto poderá elucidar melhor a técnica do
investimento incremental. Observamos, no gráfico, que para uma taxa de desconto de 8%, os dois projetos proporcionam o mesmo VPL. Para uma taxa de desconto abaixo (acima) de 8% o projeto X (Y) sempre será melhor. O ponto onde os dois projetos apresentam o mesmo VPL é denominado de ponto de intersecção de Fisher.
55
VP
X
Y
11.16
TMA
4.060
8% 9% 10%
Ponto de Fisher
Exemplo: (Casarotto e Kopittke, p.137)
Compare os seguintes investimentos usando a TIR e comente os resultados encontrados. Suponha uma TMA de 5%.
A B
investimento inicial 5.000 4.000 receita anual 500 708 vida útil 10 anos 10 anos valor residual 5.000 0
(R: TIRA = 10%; VPLA = 1.930,43; TIRB = 12%; VPLB = 1.466,99 e TIRA-B = 7,5%)
6.7 Análise de Múltiplas Alternativas
Em geral, uma empresa se defronta com um grande número de opções de projetos para investimento e deverá escolher, não apenas um projeto, mas o portfólio de projetos que faça com que a empresa atinja da melhor forma os seus objetivos estratégicos. Assim, estenderemos nossa discussão para poder incluir múltiplas alternativas, ou seja, escolher duas ou mais alternativas dentre um grande número de alternativas competidoras por um capital limitado.1
Neste item suporemos que estamos tratando de projetos independentes e que a empresa necessita escolher um sub-conjunto desses projetos que maximize a riqueza dos proprietários da mesma. Este tipo de problema é facilmente solucionado usando-se o método do VPL para projetos com o mesmo horizonte de planejamento. Para um conjunto de projetos com diferentes horizontes de planejamento usa-se o método do VAUE. O método da TIR não é recomendado para a análise de múltiplas alternativas. 1 Teoricamente, o racionamento de capital não deveria existir. As empresas deveriam aceitar todos os projetos que apresentassem VPL positivos. Para uma discussão mais profunda sobre o tema veja Copeland e Weston (1988).
56
Exemplo: (Casarotto p. 316-318).
Dado o quadro abaixo e sabendo que os projetos são independentes, escolha o portfólio de projetos que maximiza o valor presente da empresa. Sabe-se que a TMA da empresa é 12% a.a. e que a disponibilidade orçamentária é de $390.000.
I II III IV V VI
Investimento inicial 100.000 130.000 152.000 184.000 220.000 260.000
Resultado anual 8.200 16.300 21.900 25.900 29.200 31.200
Valor residual 100.000 130.000 152.000 184.000 220.000 260.000
Vida útil (anos) 10 10 10 10 10 10
Solução: VPL -21.470 3.955 20.674 21.582 15.820 0
Se os projetos fossem mutuamente excludentes, o projeto escolhido seria o de maior VPL, ou seja, o projeto IV,
Como se supõe que os projetos são independentes, é possível a escolha dos seguintes portfólios, que são as combinações possíveis entre os quatro projetos viáveis, dado o limite orçamentário de $390.000:
a) nenhum projeto
b) projeto II
c) projeto III
d) projeto IV
e) projeto V
f) projetos II e III
g) projetos II e IV
h) projetos II e V
i) projetos III e IV
j) projetos III e V
57
Todas as alternativas contendo o projeto II são dominadas, portanto, na tabela abaixo apresentamos as combinações mais relevantes.
Portfólios possíveis VPL
∅ ∅
III 20.674
IV 21.582
V 15.820
III e IV 42.256 ← melhor
III e V 36.494
Pela tabela acima, percebe-se que o portfólio vencedor é o que contém os projetos III e IV, com um investimento inicial de $336.000 e um VPL de $42.256.
Resolva o mesmo problema, mas agora com uma restrição orçamentária de $410.000.
6.7.1 Programação matemática
Para problemas mais complexos de restrição orçamentária, como por exemplo, restrições não somente na data inicial mas em outros períodos de tempo, o mais conveniente é o uso de programação linear ou inteira. O objetivo da empresa deverá ser o de maximizar o valor presente líquido dos projetos disponíveis sujeito à restrição de não ultrapassar o orçamento proposto para diversos períodos de tempo. Assim, se chamarmos de Vj o VPL de cada projeto, wj a fração de cada projeto aceito (wj poderá ser 1 ou 0 no caso de programação linear inteira) e ctj o investimento necessário no período t para o projeto j (c0j seria o investimento inicial!) e Ct o orçamento da empresa para o período t, então o problema de programação linear poderá ser formulado da seguinte maneira:
∑j
jjVw MAX
1,0w
Cwc a sujeito
j
jjjt
≤
≤∑ t
58
6.8 Exercícios
Caso: o detetive de investimentos2 A essência do orçamento do capital (também chamada de engenharia econômica) e da alocação de recursos está na busca de bons investimentos aos quais se pode canalizar o capital da firma. O processo pode ser simples, visto em termos puramente mecânicos, porém uma serie de questões sutis pode encobrir as melhores escolhas de investimentos. O analista de orçamento de capital é, portanto, necessariamente, um detetive que tem que separar as provas boas daquelas ruins. Boa parte do desafio encontra-se em saber qual a análise quantitativa a ser gerada de início. Suponha que você seja um novo analista de orçamento de capital em uma empresa que está considerando a realização de investimentos nos oito projetos listados na Tabela 1. O principal executivo financeiro de sua empresa lhe pediu para ordenar os projetos e recomendar quais a empresa deveria aceitar. Nesta atribuição, somente serão relevantes as considerações quantitativas. Nenhuma outra característica dos projetos será um fator decisivo na seleção, exceto o fato de ter a gerência determinado que o projeto 7 e 8 são mutuamente exclusivos. Todos os projetos exigem o mesmo investimento inicial, 2 milhões de dólares. Além do mais, acredita-se que todos estejam na mesma classe de risco. O custo de capital da firma por média ponderada nunca foi estimado. No passado, os analistas trabalharam, simplesmente, com a suposição de que 10% era uma taxa de desconto apropriada (embora recentemente determinados dirigentes da empresa tenham garantido que a taxa de desconto deveria ser muito mais elevada). Considere as seguintes questões: 1. Você poderia classificar os projetos apenas pela simples inspeção dos fluxos de caixa?
2. Qual critério usaria para classificar os projetos? Qual é a melhor técnica de classificação neste caso? Por que?
3. Qual foi a classificação que você encontrou usando esses métodos quantitativos? Essa classificação diferiu daquela obtida por simples inspeção dos fluxos de caixa?
4. Que tipos de projetos teriam fluxos de caixa similares aos encontrados na Tabela 1?
2 Este caso foi redigido por Robert F. Bruner, a partir de um caso anterior preparado sob a orientação de Gordon Donaldson. Copyright © 1988, by Darden graduate School Foundation, Charlottesville, VA, EUA. Este caso destina-se à discussão em sala de aula para exemplificar práticas empresariais, eficazes ou não.
59
Tabela 1 – Fluxos de Caixa dos Projetos (em milhões de dólares)
Número do Projeto
1 2 3 4 5 6 7 8
Investimento inicial
($2.000) ($2.000) ($2.000) ($2.000) ($2.000) ($2.000) ($2.000) ($2.000)
Ano 1 $330 $1.666 $160 280 $2.200* $1.200 ($350) 2 330 334* 200 280 900* (60) 3 330 165 350 280 300 60 4 330 395 280 90 350 5 330 432 280 70 700 6 330 440* 280 1.200 7 330* 442 280 2.400* 8 1.000 444 280* 9 446 280 10 448 280 11 450 280 12 451 280 13 451 280 14 452 280 15 $10.000* (2.000) 280 Somatório dos benefícios do fluxo de caixa
$3.310 $2.165 $10.000 $3.561 $4.200 $2.200 $2.560 $4.300
Excesso de fluxo de caixa sobre o investimento inicial
$1.310 $165 $8.000 $1.561 $2.200 $200 $560 $2.300
* indica o ano em que se completa o retorno (payback)
60
CAPÍTULO 7
SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS1
7.1 Introdução
Substituição de equipamentos é um conceito amplo que abrange desde a seleção de ativos similares, porém novos, para substituir os existentes, até a avaliação de ativos que atuam de modos completamente distintos no desempenho da mesma função. Exemplos: Caminhões velhos X caminhões novos Caminhões velhos X guindaste
Em síntese, o problema consiste em determinar se a redução dos custos decorrente da substituição compensa o investimento que se faz necessário. As seguintes situações poderão ocorrer:
baixa sem reposição, substituição idêntica, substituição não idêntica, substituição com progresso tecnológico.
7.2 Baixa sem reposição
Um equipamento poderá tornar-se anti-econômico antes de atingir o final de sua vida física e não ser desejável a sua substituição. O critério de decisão, então, será:
O ativo deverá ser mantido por mais um período se o VPL de sua manutenção neste período for maior que zero.
Se Vpi < 0, deve-se manter o ativo até o período i - 1.
1 Este capítulo foi baseado em Casarotto e Kopittke (1996, cap.11) e Souza e Clemente (2001, cap.10 e 11)
61
Exemplo: Foram estimados os seguintes valores de custos e receitas relativos à manutenção de um ativo nos próximos três anos: Ano Valor de Venda Custos de Operação Receita 0 400.000 ----- ----- 1 300.000 80.000 240.000 2 200.000 100.000 220.000 3 100.000 120.000 200.000 Supondo que a taxa de mínima atratividade antes do imposto de renda é de 10% a.a. determinar quando o ativo deverá ser vendido. Solução: A manutenção do ativo no próximo ano implica em investir $400.000,00 agora (deixar de receber é no caso, o mesmo que investir) para receber $300.000,00 mais $160.000,00 (240.000 - 80.000)
460.000
400.000
10 ano 0
1
( ) 0 18.181,820,11
460.000400.000VP1 >=+
+−=
Como VP1 > 0, o ativo deverá ser mantido no primeiro ano. Manter o ativo no segundo ano implica em um investimento de $300.000,00 para receber $200.000,00 mais $120.000,00 um período após:
62
320.000
300.000
20 ano 0
2
( )VP 300.000
320.000
1,1-9.090,911 = − + =
Como VP2 < 0, o ativo deverá ser vendido no final do primeiro ano. O pressuposto do critério de decisão enunciado anteriormente é que os ativos tendem a se tornar mais onerosos com o passar do tempo. Caso esta não seja a situação em estudo, antes de decidir vender um ativo deverá ser considerado um horizonte de planejamento mais amplo. Não é conveniente utilizar o método do Custo Anual para estudos de baixa de equipamentos.
7.3 Substituição idêntica
É necessário, primeiramente, introduzirmos o conceito de vida econômica de um ativo:
Vida econômica é o intervalo ótimo entre duas substituições consecutivas.
A determinação de vida econômica consiste em achar os CAUE ou VAUE do ativo
para todas as vidas úteis possíveis. Assim, o ano para o qual o CAUE é mínimo ou o VAUE é máximo é o da vida econômica do ativo. Exemplo de substituição idêntica: Considere os dados sobre valor de revenda e custos de operação de um carro marca X: Ano 1 2 3 4 5 Revenda 500 440 380 300 230 Custos 10 16 24 34 46 O preço do carro novo é 580, a TMA é de 10% a.a.. Qual a vida econômica do carro?
63
Solução: 1a. Alternativa: ficar com o carro um ano.
500
580
0
10
CAUE1 = (580 × 1,1) - 490 CAUE1 = 148 CAUE1 = custo anual de possuir sempre o carro do ano da marca X. 2a. Alternativa: ficar com o carro dois anos.
440
580
1610
101)10,01(
10,04341)10,01(
)10,01(10,0580 22
2
2 +−+
−−+
+=CAUE
CAUE2 = 137,52
64
A política de manter o carro por dois anos é mais econômica que mantê-lo por apenas um ano. 3a. Alternativa: ficar com o carro três anos.
380
580
1610 24
1 2 30
1)10,01(10,0366
1)10,01(10,0)10,1(610
1)10,01()10,01(10,0580 333
3
3 −+−
−+++
−++
=CAUE
CAUE3 = 134,65
Como se vê, a política de manter o carro por três anos é ainda mais econômica do que a de mantê-lo por dois anos. 4a. Alternativa: ficar com o carro quatro anos.
300
580
1610 24
1 2 30
34
4
1)10,01(10,0266
1)10,01()10,01(10,0
)1,1(24
)1,1(16
)1,1(10580 44
4
324 −+−
−++
+++=CAUE
65
CAUE4 = 138,39 A partir do terceiro ano não vale a pena manter o carro pois seus custos estão aumentando. Para confirmar, será considerada ainda, a 5a. alternativa. 5a. Alternativa: ficar com o carro cinco anos:
230
580
1610 24
1 2 30
46
4 5
1)10,01(10,0184
1)10,01()10,01(10,0
)1,1(34
)1,1(24
)1,1(16
)1,1(10580 55
5
4325 −+−
−++
++++=CAUE
CAUE5 = 139,63
De fato, a vida econômica do carro é de 3 anos. O resultado deste exercício pode ser melhor visualizado através de um modelo gráfico que represente a vida no eixo da abscissas e o CAUE no eixo das ordenadas.
1 2 3 4 5
150
140
130
VPCAUE
Vida útil
Vida econôm ica
É de se observar que neste exercício, considerou-se um ativo que não influi diretamente na produção e conseqüente geração de receita. No caso de equipamento de produção, pode ocorrer com o tempo uma diminuição da capacidade produtiva com efeito nas receitas. Nestes casos, pode ser mais conveniente considerar o VAUE (Valor Anual Uniforme Equivalente) ao invés do CAUE.
66
CAPÍTULO 8
ANÁLISE SOB CONDIÇÕES DE RISCO OU INCERTEZA
8.1 Introdução
Até agora supusemos que os fluxos de caixa e outras variáveis associadas a um projeto são conhecidas com certeza, ou seja, não havia possibilidade de variabilidade nos resultados. Na prática, não se tem certeza dos valores futuros das variáveis, como por exemplo, taxa de juros, vendas futuras, custos de manutenção de equipamentos (probabilidade de quebra) etc. Neste capítulo introduziremos algumas técnicas para lidar com a incerteza inerente aos fluxos de caixa de um projeto de maneira a tornar mais realista nossa análise.
8.2 Risco versus incerteza
Além da certeza, nosso conhecimento acerca do futuro pode ser especificado de mais dois modos: risco e incerteza. Segundo Pindyck e Rubinfeld (1994, p.179) alguns autores fazem distinção entre incerteza e risco. A incerteza, em geral, se refere a situações para as quais muitos resultados futuros são possíveis de acontecer, porém nada se sabe sobre a probabilidade de ocorrência de cada um destes resultados. Risco, por outro lado, seria a situação onde se conhece todos os resultados futuros possíveis e suas respectivas probabilidades de ocorrência. O que se pode observar na prática é que uma situação de absoluta incerteza é difícil de acontecer. Quase sempre será possível estabelecer alguns limites de variação dos possíveis valores que uma determinada variável possa assumir no futuro.
Certeza → quando se conhece exatamente qual é o valor futuro de cada variável associada a um projeto
Risco → quando se conhece todos os resultados futuros possíveis de cada variável associada a um projeto e também a distribuição de probabilidades de cada uma delas
Incerteza → quando nada ou muito pouco se conhece sobre os resultados possíveis das variáveis associadas ao projeto.
Assim, segundo Woiler e Franco Mathias (1983), com a introdução do risco na análise de investimentos, já não se pode dizer que duas alternativas com mesmo valor presente quando descontadas à mesma taxa de juros, sejam economicamente equivalentes. Será melhor a alternativa que apresentar uma menor possibilidade de variação, fato que está indicado na figura abaixo.
67
Probabilidade
Retorno
15
A
B
VPL
Apesar de as duas alternativas apresentarem o mesmo valor presente líquido ($15) quando descontadas à mesma taxa de juros, tem-se que a alternativa A é claramente preferível porque exibe uma probabilidade de variação menor que a alternativa B.
As principais abordagens para se tratar projetos/investimentos em situações de risco e incerteza são análise de sensibilidade, análise de cenários, técnicas de simulação e árvore de decisão. Existem também diversas outras técnicas para lidar com o risco, tais como a técnica do equivalente à certeza, as matrizes de decisões, entre outras.
8.3 Análise de sensibilidade
A análise de sensibilidade é a abordagem que utiliza inúmeros valores possíveis para uma determinada variável (fluxo de caixa, taxa de juros etc.), a fim de avaliar o seu impacto na rentabilidade do projeto. Quando uma pequena mudança no valor uma variável resulta em mudança na escolha da alternativa, diz-se que a decisão é sensível àquela variável, daí o nome de análise de sensibilidade. Ao contrário, a decisão é insensível à estimativa quando variações relativamente amplas na variável em apreço não modificam a escolha da alternativa. Portanto, é de grande interesse ao analista de investimentos determinar os fatores que são sensíveis num dado estudo de viabilidade.
Exemplo: (Casarotto e Kopttke, p. 341). Em novembro, uma empresa investirá $100 mil em equipamentos e treinamento de pessoal para lançar um calçado de verão, nos meses de dezembro, janeiro e fevereiro. A previsão de vendas é de 10 mil pares por mês a um preço de $10/par. Os custos fixos serão de $20 mil/mês e os custos variáveis de $4/par. Ao final dos três meses a empresa venderá o equipamento por $30 mil. Analise a TIR sob a previsão de vendas e sob a possibilidade de erros nesta previsão. A TMA da empresa é de 10% ao mês. Solução
Dados de entrada:
a) Investimento: $100 mil
68
receita mensal: 10 mil x $10 = $100 mil/mês
custos variáveis: 10 mil x $4 = $40 mil/mês
custos fixos: $20 mil/mês
valor residual: $30 mil 40 40 70
O FC será: 100 A taxa interna de retorno e o valor presente líquido, para uma TMA de 10% serão: TIR = 20, 94% a.m > TMA → viável
VPL = $22,01 > 0 → viável
b) admitindo-se variações negativas nas vendas:
b-1) Variação para menos 10% da receita: 9 mil pares/mês
receita mensal: 9 mil x $10 = $90 mil/mês
custos variáveis: 9 mil x $4 = $36 mil/mês
custos fixos: $20 mil/mês (não se altera)
34 34 64
O FC será: 100 TIR = 13, 56% a.m > TMA → viável
VPL = $7,09 > 0 → viável
b-2) Variação para menos 20% da receita: 8 mil pares/mês 28 28 58
O FC será: 100 TIR = 6,02% a.m < TMA -não viável
VPL = - $7,83 < 0 → não viável
69
Portanto, com sucessivas hipóteses de erros de previsão, pode-se elaborar o gráfico
abaixo: TIR
8 8,5 9 10
2113,5
106
TMA
No. de pares/mês (x 1000)
Pto deequilíbrio
Pelo gráfico vê-se que se a empresa não conseguir vender mais que 8.500
pares/mês, sua TIR será inferior à sua TMA, ou seja, estará no prejuízo!
8.4 Análise de cenários
Segundo Gitman (1997, p.342), a análise de cenário é uma abordagem similar a análise de sensibilidade, mas de escopo mais amplo. Ela é usada para avaliar o impacto de várias circunstâncias no retorno do projeto. Ao invés de isolar o efeito da mudança em uma única variável, a análise de cenários é usada para avaliar o impacto, no retorno do projeto, de mudanças simultâneas em inúmeras variáveis, tais como entradas e saídas de caixa, taxa de desconto etc,. resultantes de diferentes suposições acerca das condições econômicas e competitivas. Exemplificando, Gitman mostra que uma empresa poderia avaliar tanto o impacto de um cenário de alta inflação (cenário 1) e outro de baixa inflação (cenário 2) no VPL de um projeto. Cada cenário afetará as entradas de caixa da empresa, as saídas de caixa e o custo de capital, resultando, desse modo, em diferentes níveis de VPL. O responsável pela tomada de decisões pode usar essa estimativa de VPL para avaliar grosseiramente o risco relacionado com o nível de inflação. A grande disponibilidade de computadores e de planilhas eletrônicas tem aumentado bastante a facilidade e ampliado o uso da técnica de cenário, bem como da análise de sensibilidade.
2008
Marcelo Xavier Guterres
Guterres & Guterres
25/3/2008
Engenharia Econômica
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
PLANO DE ENSINO
Unidade: Campus Bagé Código Unidade: Departamento: Código Deptº:
Disciplina: Engenharia Econômica Código:
015711
Oferecido para o curso: Engenharia da Produção
Natureza da disciplina Experimental ( )/Teórica ( X ) Número máximo de alunos: 50
Professor: Marcelo Xavier Guterres, Ano Letivo/Semestre: 2007/02
Pré-requisitos: nenhum Créditos: 02 Período: noturno Carga horária: 34 h
EMENTA:
Juros Simples, Juros Compostos, Descontos Simples e Composto. Taxas. Rendas. Amortização de dívidas.
Análise e seleção de alternativas de Investimento.
OBJETIVOS
O aluno deverá, ao final do período letivo:
1. Demonstrar capacidade de entendimento da função financeira em uma empresa e de como a
mesma opera junto aos mercados financeiros para criar valor;
2. Demonstrar capacidade de conceituar Engenharia Econômica e de perceber sua importância para a
Administração Financeira na tomada de decisão sobre alternativas econômicas;
3. Ser capaz de aplicar os fundamentos básicos de Matemática Financeira na solução de problemas que
envolvam o valor do dinheiro no tempo;
4. Ser capaz de racionalizar e simplificar a visão das alternativas econômicas através da ferramenta
fluxo de caixa;
5. Ser capaz de desenvolver a utilização adequada dos métodos de Engenharia Econômica nos limites
da estratégia empresarial;
6. Demonstrar capacidade de compreender a inserção da Engenharia Econômica nos limites da
estratégica Empresarial
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
UNIDADE I - Juros e Descontos Simples
1.1. Juros Simples
1.1.1. Conceito de: juros simples, capital e taxa de juros
1.1.2. Cálculo de juros simples e do montante.
1.2. Descontos Simples
1.2.1. Conceito de desconto simples
1.2.2. Desconto simples comercial
1.2.3. Desconto simples racional
1.2.4. Desconto simples bancário
1.2.5. Cálculo da taxa efetiva de juros simples numa operação de desconto simples
1.2.6. Tributação sobre operações de descontos
UNIDADE II - Juros e Descontos Compostos
2.1. Juros compostos
2.1.1. Conceito de juros compostos
2.1.2. Cálculo de montante
2.1.3. Taxas: Taxas equivalentes; taxa nominal e taxa efetiva
2.2. Descontos Compostos
2.2.1. Conceito de desconto composto: Racional
2.2.2. Fórmulas do valor: Nominal e atual
2.2.3. Taxa efetiva de juros composto
2.2.4. Taxa de inflação de juros nominal e real
2.2.5. Equivalência de Capitais.
UNIDADE III - Rendas ou Anuidades
3.1. Conceito de Rendas certas ou determinísticas
3.2. Classificação das rendas quanto a prazos, valor dos termos, formas de pagamentos ou
recebimentos e periodicidade.
3.3. Modelo básico de rendas: periódicas, constantes, temporárias e postecipadas; Cálculo do
valor atual, do montante, da taxa e do número de anuidades.
3.4. Modelos genéricos de rendas: antecipadas, diferidas, perpétuas e variáveis em progressão
aritmética.
UNIDADE IV - Sistemas de Amortização de Dívidas
4.1. Sistema de Amortização Constante (SAC)
4.2. Sistema Francês de Amortização - Sistema PRICE
4.3. Sistema de Amortização Mista (SAM)
4.4. Sistema Americano
4.5. Correção monetária das planilhas de empréstimos
4.6. Custo efetivo de Empréstimos ou Financiamentos.
UNIDADE V – Métodos de Análise e Seleção de Investimento
5.1. Taxa de mínima atratividade (TMA)
5.2. Método do valor uniforme equivalente (VAUE) – valor uniforme líquido (VUL)
5.3. Método do valor presente líquido (VPL)
5.4. Métodos da taxa interna de retorno (TIR) e da taxa de retorno modificada (TIRM)
5.5. Método do tempo de recuperação do capital (pay-back)
5.6 Vantagens e desvantagens de cada um deles
CRONOGRAMA
Encontro Nº da Aula Assunto
1
2
3
4
5
6
1-2
3-4
5-6
7-8
9-10
11-12
Conceito de juros simples, capital e taxa de juros. Cálculo de juros simples e do montante.
Conceito de desconto simples, Desconto simples comercial, Desconto simples
racional e Desconto simples bancário. Cálculo da taxa efetiva de juros simples numa operação de desconto simples. Tributação sobre operações de
descontos.
Conceito de juros compostos, Cálculo de montante, taxas equivalentes, taxa nominal e taxa efetiva.
Conceito de desconto composto: Racional. Fórmulas do valor: Nominal e atual. Taxa efetiva de juros composto. Taxa de inflação de juros nominal e
real. Equivalência de Capitais.
Conceito de Rendas certas ou determinísticas. Classificação das rendas quanto a prazos, valor dos termos, formas de pagamentos ou recebimentos e
periodicidade.
Modelo básico de rendas: periódicas, constantes, temporárias e postecipadas; Cálculo do valor atual, do montante, da taxa e do número de
anuidades. Modelos genéricos de rendas: antecipadas, diferidas, perpétuas e
variáveis em progressão aritmética.
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
13-14
15-16
17-18
19-20
21-22
23-24
25-26
27-28
29-30
31-32
33-34
Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema Francês de Amortização -
Sistema PRICE.
Sistema de Amortização Mista (SAM).
Sistema Americano. Correção monetária das planilhas de empréstimos. Custo efetivo de Empréstimos ou Financiamentos.
1º Prova Individual Taxa de mínima atratividade (TMA)
Método do valor uniforme equivalente (VAUE) – valor uniforme líquido (VUL) Método do valor presente líquido (VPL)
Métodos da taxa interna de retorno (TIR) e da taxa de retorno modificada
(TIRM)
Método do tempo de recuperação do capital (pay-back)
Vantagens e desvantagens de cada um dos métodos
2º Prova individual Prova Substitutiva
METODOLOGIA
• Aulas teóricas expositivo-participativas.
• Aplicação de dinâmica de grupo.
• Utilização de recursos visuais (Projetor multimídia e retroprojetor).
• Aplicação de exercícios individuais e em grupo.
AVALIAÇÃO
• A verificação do aproveitamento do aluno abrange aspectos de assiduidade e avaliação de
conhecimentos.
• A aprovação na disciplina fica condicionada à freqüência do aluno de pelo menos 75% (setenta
e cinco por cento) nas aulas e à nota da avaliação de conhecimentos.
• A avaliação de conhecimentos se dará por intermédio de duas provas individuais, aplicada em
sala de aula– a nota final será resultado da média aritmética das notas obtidas nas duas provas.
Se a média final (MF) for igual ou superior a sete o aluno é considerado aprovado. Se a média
for inferior a 3,0 (três), o aluno é considerado reprovado, e se a média estiver entre 3,0 e 6,9 o
aluno fará um exame final cujo conteúdo abrangerá todo o conteúdo programático. Neste caso,
a nota final (NF) será dada, então, por NF=(MF+EF)/2. Se NF for igual ou superior a 5,0 (cinco),
o aluno é considerado aprovado; caso contrário, o aluno é considerado reprovado na disciplina.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA RECOMENDADA
HIRSCHFELD, Henrique. Engenharia Econômica e Análise de Custos. São Paulo. Ed Atlas, 2000.
BRUNI, Adriano Leal; FAMA, Rubens. Matemática Financeira com HP 12 e Excel. São Paulo. Ed. Atlas,
2004.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
PILÃO, Nivaldo Elias; HUMMEL, Paulo Roberto Vampré. Matemática Financeira e Engenharia Econômica.
São Paulo. Ed. Thomson, 2004.
BRUNSTEIN, Israel. Economia de empresas. São Paulo. Ed. Atlas, 2005.
CARVALHO, J. V. (2002) Análise Econômica de Investimentos. Rio de Janeiro: Qualitymark.
SOUZA, A. B. (2003) Projetos de Investimentos de Capital: Elaboração, Análise e Tomada de Decisão. São
Paulo: Atlas.
GITMAN, Lawrence J. Princípios de Administração Financeira – 3ª. Ed. Harbra.
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 7
JUROS SIMPLES
1-Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36% ao ano,
rende $ 72.000,00 de juros, determinar o futuro valor, no regime de capitalização
simples.
Resp. $ 112.000,00
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 8
2-Um empréstimo de $ 40.000,00 deverá ser quitado por $ 80.000,00 no final de 12
meses. Determinar a taxa mensal e anual cobradas nesta operação de capitalização
simples.
Resp.: 8,33% a.m. e 100% a.a
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 9
3-Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de $ 2.000,00, feita a uma
taxa de 4,94% ao mês, no regime de capitalização simples, pelo prazo de 76 dias.
Resp.: $ 250,29 e $ 2.250,29
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 10
4-Uma aplicação de $ 5.000,00, pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $
825,00. Indaga-se: qual a taxa anual correspondente a essa aplicação, no regime de
juros simples?
Resp.: 33% a.a
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 11
5-Determinar o valor de um título cujo valor de resgate é de $ 6.000,00, sabendo-se
que a taxa de juros simples cobrada para gerar este título é de 5% ao mês e que o seu
vencimento é de 4 meses.
Resp.: $ 5.000,00
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 12
6-Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 bimestres, à taxa de 36% ao ano
rende $ 7.200,00 de juros, determinar o montante no regime de capitalização simples.
Resp.: $ 19.200,00.
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 13
Exercícios Extras
a) Um capital, aplicado por 2 meses, elevou-se a 3/2 de si próprio. Qual foi a taxa
linear considerada?25% ao m.
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 14
b) Depositei a quantia de $72.000,00 em um banco que remunera seus clientes a
taxa simples de 36% ao ano. Depois de certo tempo, verifiquei que o meu saldo era de
$73.800,00. Por quantos dias deu-se essa aplicação? 25 dias
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 15
c) Pretendo poupar uma parte do salário, para daqui 2 bimestres ter um montante
de $500,00, sabendo que a taxa é de 48% ao ano, quanto devo aplicar sendo o regime
de capitalização simples? 431,03
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 16
JUROS COMPOSTOS
1. Quanto terá Dona Gertrudes após quatro trimestres se aplicar um capital de
$500.000,00 à taxa composta de 6% ao bimestre? ($709.259,55)
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 17
2. Qual o valor do rendimento resultante de uma aplicação que gerou um montante
de $293.866,00 a uma taxa efetiva de 8% ao mês, durante 5 meses? ($93.865,75)
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 18
3. Durante quanto tempo se deve aplicar certo capital para que a 10% ao mês ele
triplique, na capitalização composta? (11 meses e 15 dias)
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 19
4. Um capital de $180.000,00 foi aplicado durante 12 meses e proporcionou juros de
$384.917,00. Qual foi a taxa exponencial de aplicação? (10% ao mês)
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 20
EXERCÍCIOS DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
1. Determinar a taxa anual equivalente a 5% ao mês, no regime de capitalização
composta. Resp: 79, 58563% ao ano
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 21
2. Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano, no regime de juros
compostos. Resp.: 4% ao mês.
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 22
3. Determinar a taxa efetiva anual, no regime de capitalização composta,
sabendo-se que a taxa diária é de 0,19442%. Resp.: 101,22% ao ano
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 23
4. Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos, no regime de
capitalização composta. Resp.: 5% ao trimestre.
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 24
5. Determinar a taxa efetiva para um período de dois anos da aplicação de uma
taxa trimestral de 5% capitalizada trimestralmente. Resp.: 47,746% para o
período de dois anos
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 25
6. Calcular o montante de uma aplicação de $ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, à
taxa de 3,25% ao mês capitalizada mensalmente. Resp.: $ 18.173,25
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 26
7. No final de dois anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de $20.000,00
referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos,
correspondente a uma taxa de 4% ao mês capitalizada mensalmente. Pergunta-
se: Qual o valor emprestado? Resp.: $ 7.802,44
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 27
8. A loja “Topa Tudo” financia a venda de uma mercadoria no regime de
capitalização composta, no valor de $16.000,00, sem entrada, para pagamento
em uma única prestação de $22.753,61 no final de 8 meses. Determinar:
a. Os juros cobrados pela loja na operação de financiamento
b. A taxa mensal cobrada pela loja
c. A taxa efetiva anual do financiamento
a) $ 6.753,61 b) 4,5% ao mês c) 69,588% ao ano
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 28
9. Em que prazo um empréstimo de $30.000,00 pode ser quitado em um único
pagamento de $51.310,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% ao mês
pelo regime de capitalização composta? Resp.: 11 meses
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 29
CLASSIFICAÇÃO DAS TAXAS DE JUROS
1) Encontrar a taxa de juro efetiva, relativa à taxa nominal de 36% ao ano:
a) com capitalização mensal
b) com capitalização bimestral
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 30
2) Encontrar a taxa mensal de juro composto, equivalente a 9,2727% at.
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 31
3) Qual a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 36% aa, com capitalização mensal?
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 32
4) No Brasil, as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juro
composto à taxa de 6% aa, com capitalização mensal. Pergunta-se:
a) qual a taxa efetiva mensal?
b) qual a taxa efetiva anual?
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 33
5) Um instituição financeira empresta dinheiro a 96% aa, adotando a capitalização
mensal de juro composto. Qual seria o montante a ser pago por um empréstimo de
$45.000,00 feito por um ano?
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 34
6) Aplicando o valor de $2.000,00, hoje, a uma taxa de juros efetiva de 69,58814%
a.a., quanto será o resgate daqui a 75 dia, no regime de juros compostos?
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 35
DESCONTOS
1. Uma duplicata no valor de $ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um
crédito de $ 5.776,40 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é
de 3,5% ao mês para o desconto simples bancário, determinar o prazo de vencimento
da duplicata. Resp.: 4 meses e 9 dias
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 36
2. Qual a taxa mensal de desconto simples por fora, utilizada numa operação a 120
dias, cujo valor de resgate é de $ 1.000,00 e cujo valor atual é de $ 880,00 ? Resp.: 3%
ao mês
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 37
3. Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao
desconto simples de uma duplicata no valor de $ 3.400,00, com prazo de 45 dias,
sabendo-se que o banco está cobrando nesta operação uma taxa de desconto bancário
de 4% ao mês. Resp.: $ 3.196,00
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 38
4. O desconto de uma duplicata gerou crédito de $ 8.700,00 na conta de uma
empresa. Sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 75 dias até o seu
vencimento e que o banco cobra uma taxa de desconto bancário de 5,2% ao mês nessa
operação, calcular o valor da duplicata no regime de capitalização simples. Resp.: $
10.000,00
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 39
5. Cinco títulos no valor de $ 1.000,00 cada um, com vencimentos de 30 a 150 dias
respectivamente, foram descontados por uma instituição financeira. Sabendo-se que a
taxa de desconto por fora cobrada é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto global
e o valor liquido correspondente a ser creditado na conta do cliente no regime de
capitalização simples. Resp.: $ 450,00 $ 4.550,00
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 40
6. Oito títulos no valor de $ 1.000,00 cada um, são descontados por um banco, cujo
liquido correspondente no valor de $ 6.830,00 é creditado na conta do cliente.
Sabendo-se que os vencimentos desses títulos são mensais e sucessivos a partir de 30
dias, calcular a taxa de desconto simples bancário, utilizada na operação.
Resp.: 3,25% ao mês
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 41
7. Quero substituir um título de $ 5.800,00 vencível em 3 meses, por outro com
vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de
1,3 % ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título no regime de capitalização
simples ? Resp.: $ 5.961,28
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 42
SÉRIES DE PAGAMENTOS
1) Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de
36 meses, um montante de $ 300.000,00, sabendo que o rendimento firmado é de
34,489% ao ano, e que as prestações são iguais e consecutivas, e em número de 36?
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 43
2) Quantas aplicações mensais de $ 1.000,00 são necessárias para se obter um
montante de $ 33.426,47, sabendo-se que a taxa é de 3% ao mês, e que a primeira
aplicação é feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias antes do resgate
daquele valor?
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 44
3) Um "Fundo de Renda Fixa" assegura, a quem aplicar 60 parcelas iguais e mensais de
$ 500,00, o resgate de um montante de $ 58.166,29 no final do 60º mês. Sabendo-se
que a primeira aplicação é feita na data do contrato, calcular a taxa de rendimento
proporcionada pelo Fundo.
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 45
4) Calcular o montante, no final do 8º mês, resultante da aplicação de 8 parcelas
mensais e consecutivas, à taxa de 2,25% ao mês, sendo as 4 primeiras de $ 12.000,00
cada uma e as 4 restantes de $ 18.000,00 cada uma, sabendo-se que se trata de uma
série de pagamentos com termos antecipados (renda antecipada).
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 46
5) Quanto um aplicador poderá resgatar, no final de 2 anos, se adquirir
trimestralmente, no início dos 5 primeiros trimestres, $ 10.000,00 sabendo-se que o
rendimento é de 9% ao trimestre e que a primeira aplicação é feita "hoje" ?
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 47
6) Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de 36
meses, um montante de $ 300.000,00, sabendo que o rendimento firmado é de
34,489% ao ano, e que as prestações são iguais e consecutivas, e em número de 36?
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 48
7) Quantas aplicações mensais de $ 1.000,00 são necessárias para se obter um
montante de $ 33.426,47, sabendo-se que a taxa é de 3% ao mês, e que a primeira
aplicação é feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias antes do resgate
daquele valor?
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 49
8) Um "Fundo de Renda Fixa" assegura, a quem aplicar 60 parcelas iguais e mensais de
$ 500,00, o resgate de um montante de $ 58.166,29 no final do 60º mês. Sabendo-se
que a primeira aplicação é feita na data do contrato, calcular a taxa de rendimento
proporcionada pelo Fundo.
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 50
9) Calcular o montante, no final do 8º mês, resultante da aplicação de 8 parcelas
mensais e consecutivas, à taxa de 2,25% ao mês, sendo as 4 primeiras de $ 12.000,00
cada uma e as 4 restantes de $ 18.000,00 cada uma, sabendo-se que se trata de uma
série de pagamentos com termos antecipados (renda antecipada).
Prof. GUTERRES Engenharia Econômica I Página 51
10) Quanto um aplicador poderá resgatar, no final de 2 anos, se adquirir
trimestralmente, no início dos 5 primeiros trimestres, $ 10.000,00 sabendo-se que o
rendimento é de 9% ao trimestre e que a primeira aplicação é feita "hoje" ?
ESCOLA FEDERAL DE ENGENHARIA DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
DEPARTAMENTO DE PRODUÇÃO
ANÁLISE DA VIABILIDADE ECONÔMICA E FINANCEIRA PARA AIMPLANTAÇÃO DE SISTEMAS DE COGERAÇÃO
Petterson dos Santos Zaroni PintoLeonardo Martinet Cardoso Martone
Orientador: Edson Oliveira PamplonaEscola Federal de Engenharia de Itajubá, Departamento de Produção.Caixa Postal. 50 – 37500-000 – Itajubá, MG, Brasil – pamplona@iem.efei.brCo-Orientador: André Ramon Silva MartinsEscola Federal de Engenharia de Itajubá, Departamento de Eletrotécnica.Caixa Postal. 50 – 37500-000 – Itajubá, MG, Brasil – amartins@iee.efei.br
Resumo. As diretrizes do setor energético nacional apontam para novos investimentos nageração de energia através de sistemas de cogeração buscando a eficiência energética. Essasusinas termelétricas de cogeração envolvem empreendimentos descentralizados compotências menores, as licenças ambientais são mais simples de serem obtidas e existe umamaior disponibilidade de equipamentos no mercado em comparação com equipamentos parageração hídrica. Tais fatores contribuem para que estas usinas termelétricas atendam deforma mais ágil as necessidades de geração de energia, além de promover o ingresso denovos agentes e de capital privado no setor energético.No Comércio, o consumo de energia elétrica continuou refletindo a expansão e modernizaçãodos serviços com o uso mais intenso de aparelhos de ar condicionado, além da abertura degrandes centros comerciais. Justifica-se então, um estudo preliminar aplicando-se osconceitos da engenharia econômica na análise de viabilidade destes empreendimentos emcentros comerciais e hospitais, considerando os aspectos operacionais da plantatermoelétrica na geração de eletricidade e frio para a determinação do sistema de cogeraçãoadequado.
Palavras-chave: Cogeração, Análise econômica e financeira, Eficiência energética, Gásnatural
1. INTRODUÇÃO
O crescimento do consumo de energia elétrica no Brasil vem apresentando sustentadaevolução nos últimos anos, particularmente como resultado da alteração do perfil industrial nadireção de processos mais intensivos nesta forma de energia e do incremento da demanda nosetor residencial, implicando em taxas anuais de expansão significativamente superiores aocrescimento da economia e da própria demanda energética como um todo. Entretanto, pordiversos fatores, a capacidade de atendimento desta expansão, mediante tecnologiasconvencionais, por parte do Setor Elétrico tradicional vem se mostrando cada vez maislimitada, inclusive apontando-se crescentes riscos de déficit à curto prazo.
O sistema elétrico brasileiro desenvolveu-se extensivamente após a segunda guerramundial. Em 1993, a capacidade nominal instalada de geração de eletricidade era de 52,1 GW(incluindo apenas a parte brasileira de Itaipu), tendo sido a geração bruta total, naquele ano,de 236,6 TWh, com 97% de origem hidráulica (Plano Decenal 1989/1998). A opçãohidrelétrica foi à trajetória tecnológica escolhida no pós-guerra para desenvolver a oferta deeletricidade no Brasil. A ampla disponibilidade de diversos aproveitamentos hidrelétricos acustos relativamente baixos, próximos dos principais mercados consumidores do país, tevepapel determinante nesta escolha.
Hoje, a tendência do setor energético é outra. O Brasil encontra-se em um processo detransição quanto à sua matriz energética com o aumento da participação das termelétricas. Achegada do gás natural boliviano ao sul do país e o grande aumento de produção de gás daPetrobrás na Bacia de Campos, no Rio de Janeiro, consolidará a disponibilidade dessecombustível e será de capital importância para alterar o perfil de geração existente.
O Ministério de Minas e Energia está implementando um programa de incentivo àgeração térmica que atenderá ao crescimento da demanda de energia elétrica em torno de 4%ao ano, o que propicia a instalação de usinas termelétricas movidas a gás natural próximo aosgrandes centros consumidores. Paralelamente, algumas termelétricas produzirão vapor atravésde turbinas com cogeração, aumentando o seu rendimento energético.
2. OBJETIVO
Este trabalho tem como objetivo descrever de forma simplificada as características dossistemas disponíveis de cogeração, demonstrar como a cogeração pode trazer benefícios paraindústrias, prédios de escritórios e hospitais; fazendo as estimativas preliminares e verificandoa rentabilidade do investimento através da análise de viabilidade econômica em plantas decogeração.
3. A COGERAÇÃO
Cogeração é um vocábulo de origem americana empregada desde os anos setenta paradesignar os processos de produção combinada de calor e potência, com uso seqüencial daenergia liberada por uma mesma fonte combustível, qualquer que seja o ciclo termodinâmicoempregado.
A cogeração também é denominada de produção combinada de calor e trabalho. Talcombinação representa atualmente uma das mais racionais formas de utilização decombustível. Ela valoriza da melhor maneira a energia de cada combustível, gerando formasmais nobres de energia e minimizando os terríveis efeitos da segunda lei da termodinâmica,que anuncia uma perda obrigatória quando da transformação de uma forma de energia emoutra.
Atualmente temos algumas diferenças de cogeração, a qual podemos chamar decogeração tradicional e cogeração moderna, a cogeração tradicional tem como motivaçãobásica auto-suficiência de energia elétrica e a cogeração moderna tem como motivação àvenda de excedentes e reduções de emissões.
As centrais de cogeração distinguem-se pelo tipo de acionamento empregado: motoralternativo, turbina a vapor, turbina a gás e suas possíveis combinações, dependendo do nívelda demanda de eletricidade e da relação, para a oferta e a demanda, entre fluxos de energiaselétrica e térmica. Já a cogeração classifica-se em Ciclo Topping ou Bottoming, a depender desua inserção no processo energético.
Em um ciclo Topping ocorre primeiro o aproveitamento da geração de energia mecânicae depois a recuperação do calor residual para geração de vapor. Nos ciclos Bottoming vem
primeiro a geração de vapor, geralmente de alta pressão e alta temperatura, e depois as outrasformas de energia, utilizando ou não o próprio vapor.
Tradicionalmente, os setores promissores para implantação de sistemas de cogeração secaracterizam por apresentar razoáveis potências instaladas por unidade de consumo, fatores decarga elevados e uma demanda térmica importante, sob temperaturas inferiores a 200 ºC.Assim, a indústria sucroalcooleira (Walter, Nogueira, 1993) e de papel e celulose, exatamentepor mostrarem tais características, oferecem contextos favoráveis a cogeração e tem sido alvode diversos estudos para a realidade brasileira (Silveira, Nogueira, 1994). A indústriapetroquímica também apresenta os mesmos fatores favoráveis à implantação de sistemas decogeração. Outro setor promissor é a utilização de sistemas de cogeração em lugares commenor potência instalada como é o caso de shoppings e hospitais (Marimon, 2000). Esta foi aprincipal motivação para o presente trabalho: avaliar a cogeração no âmbito da viabilidadetécnica, econômica e financeira para a implantação e divulgação das vantagens deste sistemade cogeração em hospitais.
Dado este contexto favorável e estimulante a cogeração e implementação do combustívelgasoso à geração de eletricidade, existem duas grandes responsabilidades a serem cumpridas:a primeira é do Estado, na remoção de barreiras e obstáculos legais, permitindo a viabilizaçãodos projetos de novas termelétricas; e a segunda é nossa, como engenheiros interessados nodesenvolvimento e bem estar da sociedade, estudando e criando novos projetos e trabalhos,visando o melhor aproveitamento possível desta nova tendência energética nacional.
4. DESENVOLVIMENTO
Para o estudo de viabilidade e sensibilidade, foram colhidos dados de uma empresa,sendo estes dados a potência elétrica distribuída por períodos de consumo e a quantidade defrio necessária. Esse dados forneceram também, a base para a escolha da tecnologia decogeração a ser empregada.
É importante salientar que o gás natural vem aumentando cada vez mais a suaparticipação na matriz energética brasileira devido a disponibilidade de reservas naturaisdesse combustível e a construção de infra-estrutura para a sua distribuição em gasodutos nosprincipais pólos industriais e comerciais do país.
Atualmente, o Brasil está sofrendo um período de racionamento energético devido asfalhas, a fragilidade e a excessiva dependência de recursos hídricos, fator este de forteestímulo para a busca de soluções por parte do setor industrial e comercial. Neste sentido, opropósito de uma planta de cogeração é satisfazer as necessidades de energia elétrica etérmica requeridos para um determinado processo industrial. Para o setor terciário (comercial)a componente de energia térmica é utilizada para geração de frio durante a climatização deambientes através de sistemas de absorção para ar condicionado.
A atual capacidade energética do Brasil, e a sua taxa de crescimento pode ser mostradanas tabelas 1 e 2.
Tabela 1: Capacidade Instalada no Brasil – Situação em 2000
Capacidade PorcentagemHidrelétrica 59.432 MW 87,7 %Termelétrica 8.351 MW 12,3 % Angra 1 e 2 966 MW 2,9 %
TOTAL 67.783 MW 100 %Fonte: Plano Decenal 1999/2008
Mas atualmente a geração hídrica está sendo responsável por mais de 90% da geração deenergia elétrica consumida no Brasil, devido ao atraso e nas construções de novas usinastermelétricas.
Tabela 2: Taxa de Crescimento do Consumo de Eletricidade no Brasil - Mercado Atendidopelas Distribuidoras
Período Taxa de Crescimento Anual (%) Real1970/1980 12,51980/1990 5,81990/1998 4,5Período Taxa de Crescimento Anual (%) Prevista
Baixa Referência Alta1997/2002 3,2 4,7 4,72002/2008 5,2 4,7 6,1
Fonte: Plano Decenal – 1999 / 2008
Como era de se prever uma análise da atual situação da oferta de eletricidade indica altosriscos de falta de energia à curto prazo na região mais desenvolvida do país, e isto é o queacontece na atual crise energética brasileira.
Por isto, é urgente que no Brasil imediatamente se tenha um programa de obrasemergenciais, acelerando novas usinas termelétricas e ampliando linhas e subestações detransmissão e incentivo a construção de centrais de cogeração em empresas e no setorterciário. Onde o governo criou um programa de termelétricas que previa a construção de 49usinas, mas apenas 9 ficarão prontas no prazo, devido ao problema político, a falta delicitações e de documentos normativos para compra e venda do gás natural, e compra e vendade energia cogerada.
Atualmente com a entrada de gás natural da Bolívia o governo acredita poder alavancaros processos de construções de usinas termelétricas e incentivar indústrias e empresas do setorterciário a utilizar este gás na autoprodução de energia elétrica através de sistemas decogeração.
4.1 - Tecnologias para Sistemas de Cogeração
Uma primeira classificação das tecnologias de cogeração pode ser feita segundo osdistintos princípios de utilização de energia em cascata, ou seja, designação genérica paraprocessos em que o fluxo de energia efluente de um processo, ou de um equipamento, éempregado como insumo na alimentação do processo ou do equipamento subseqüente(Nogueira,1996).
São designados como ciclos “bottoming” aqueles em que, ao ponto de vista do fluxo deenergia, a produção de potência ocorre à jusante dos equipamentos consumidores de calor.
Os ciclos “topping”, por sua vez, são aqueles em que a posição relativa do processo deprodução de potência antecede o uso de energia na forma de calor.
Ciclos BottomingNas instalações industriais de uma forma geral, os fluxos de energia rejeitada estão
associados a descargas de gases quentes, fluxos de água aquecida e em alguns casos de vapor.Muitas vezes, no entanto, existem restrições que impedem o seu reaproveitamento, restriçõesestas que podem ser de ordem econômica, técnica, ou até mesmo decorrentes da simplesausência de alternativas para seu uso.
As tecnologias de cogeração “bottoming” concorrem com técnicas de conservação deenergia, que envolvem recuperação de calor residual. As técnicas de recuperação de calorresidual são consideradas mais vantajosas em relação a cogeração, exclusivamente do pontode vista econômico, para fluxos residuais que possuem temperatura inferior a 370 ºC – 700 F(Kehlhofer,1991).
A utilização de turbinas a gás pode ocorrer com o aproveitamento direto do fluxo dosgases de exaustão, ou a partir da utilização de um trocador de calor gás-vapor. Essa últimasolução, de maior custo de capital, pode ser importante quando houver o risco da presença demateriais abrasivos ou corrosivos junto aos gases.
Ciclo toppingNos ciclos “topping” o calor rejeitado pelo sistema de geração de potência é utilizado no
atendimento dos requisitos de energia térmica. São possíveis ciclos “topping” de cogeraçãoutilizando como equipamentos motores, as turbinas a vapor, turbinas a gás, uma combinaçãodestas, o chamado ciclo combinado ou motores de combustão interna.
Figura 1 – Ciclo Topping
Turbinas a vaporO emprego de turbinas a vapor é a opção tecnológica mais difundida em indústrias e
sistemas de rede de calor. Vapor na faixa de 20 a 100 bar, produzido em geradores de vaporconvencionais, é utilizado no acionamento de turbinas a vapor para geração de potência. Ovapor de escape ou de extração, na faixa de 2 a 20 bar, é empregado como calor de processo.
A grande difusão dos sistemas de cogeração com turbinas a vapor pode ser parcialmenteatribuída às vantagens da longa vida útil e à adequação desses equipamentos ao uso de umagrande variedade de combustíveis (Walter, Llagostera, Gallo, 1994).
Turbinas a gásAs turbinas a gás de ciclo aberto são sistemas de potência relativamente simples, de bom
nível de desenvolvimento tecnológico e que permitem uma fácil recuperação de calor residualde média e alta temperatura, portanto, de maior disponibilidade termodinâmica. Em umainstalação de cogeração, os gases de exaustão de uma turbina a gás, que estão numa faixatípica de 480 a 600 ºC, são utilizados:
- numa caldeira de recuperação, com ou sem queima suplementar de combustível,pois com uma concentração de oxigênio da ordem de 15%, os gases de exaustãopodem viabilizar a combustão sem necessidade de fornecimento de ar adicional;
- aquecimento de fluidos de processo;- processos de secagem;- no pré-aquecimento de cargas de fornos;- produção de frio pelo ciclo de Absorção.
A produção de frio no ciclo de absorção é um sistema de absorção que transforma o calorem frio por meio de transformações de solução. Em função da temperatura de entrada nosistema é possivel a operação de um ciclo (ou estágio) em cascata. A temperatura do calor deentrada é maior quanto maior o número de estágios.
Este rendimento é medido em COP, sistema em inglês para “coeficiente de desempenho”,que é a carga de refrigeração em kW dividida pela eletricidade demandada, vide Tabela I(Poole & Poole 2000).
Tabela 3 - Resumo dos sistemas de absorção.
Condições do vaporEquipamentos
Temp. ( C°) Pressão (psig)COP
Vapor utilizado*(kWt/100 TR)
1 estágio 110-120 5-15 0,6-0,7 (0,65) 5382 estágios 160-185 65-145 0,9-1,2 (1,05) 3333 estágios 215 305 1,55 226Fonte: Eletricidade Moderna n°314 Maio de 2000 Cogeração.
* Supõe o valor de COP dado entre parênteses. Em termos de fluxo de calor 1 TR=3,5 kW
No sistema de absorção têm-se um investimento maior do que o de compressão, porém,os custos de manutenção são menores. Estes também são silenciosos e têm o méritoambiental, pois não utilizam CFCs, HCFCs ou outros que refrigerantes que atacam o ozônio(Koblitz,1998). Abaixo temos um esquema de um sistema de absorção, Figura 2.
Figura 02 – Sistema de Absorção para obtenção de Frio
Ciclo combinadoOs sistemas em ciclo combinado são constituídos por turbinas a gás de ciclo aberto -
colocadas em série com caldeiras de recuperação – com ou sem queima auxiliar -, nas quais égerado vapor a alta e/ou média pressão. Esse vapor é, então, expandido numa turbina decontrapressão ou de extração/condensação, permitindo que o vapor de escape seja utilizadocomo vapor de processo.
Os sistemas em ciclo combinado apresentam uma grande flexibilidade na relação deprodução de eletricidade e calor, face às várias possibilidades de arranjo destes sistemas. Emcomparação com grande parte das tecnologias apresentadas anteriormente, a de cicloscombinados permite, de uma maneira geral, uma maior extração de potência por unidade decalor.
Ciclos com motores a gás ou dieselOs sistemas que empregam motores de combustão interna são utilizados de maneira mais
disseminada no setor terciário e nas pequenas indústrias. Nesses sistemas, o aproveitamentode calor ocorre com a utilização da energia contida nos gases de exaustão e/ou nos fluidos derefrigeração e lubrificação. Um esquema de uma instalação é apresentado na Figura 3.
Figura 4– Ciclo com Motor a Gás
Essa tecnologia apresenta de uma forma geral, rendimento térmico superior às demaistecnologias como turbinas a gás e vapor, embora também tenham graves restrições associadasà recuperação de calor, face aos baixos níveis de temperatura. A viabilidade de aplicação dosmotores em cogeração é limitada aos casos em que o processo requer uma quantidaderelativamente grande de calor a baixas temperaturas (Nogueira, 1996). A quantidade de calorque pode ser efetivamente recuperada depende do tipo de motor em consideração – porte e seo motor é turbo alimentado ou de aspiração natural -, assim como do regime operacional. Arecuperação de calor dos óleos lubrificantes e do fluido de refrigeração dos turbo-compressores , usualmente disponível a cerca de 70 ºC, é limitada para finalidades deprodução de água quente, que pode ser empregada em uso doméstico, em processos delavagem e na alimentação de caldeiras.
Já os gases de escape, com temperaturas de até 700 ºC, representam a segunda fonte maisimportante para a recuperação de calor de um motor. O problema está no fato de que não érecomendável reduzir sua temperatura abaixo de 150 a 180 ºC – para evitar:
- refluxo de condensados para o motor;- a corrosão prematura de componentes do sistema de escape;- a elevação da área da superfície de troca de calor, limitando a recuperação a
aproximadamente 50% do disponível.
4.2 - Escolha do Sistema de Tecnologia para Cogeração
A escolha da tecnologia mais adequada a cada aplicação, dentre o conjunto de opçõesapresentadas, é um procedimento que deve ser feito de forma cuidadosa e criteriosa, quanto adiversos aspectos.
Um primeiro ponto a ser analisado, é a relação entre potência e calor, que caracterizacada tecnologia de cogeração. Uma vez que, de uma forma geral, essas relações não sãocoincidentes com as relações de demanda de potência elétrica e calor da unidade industrial, aescolha de uma tecnologia em detrimento da outra implica quase que sempre, na escolha peloatendimento pleno de uma das duas formas de demanda energética. (Cogeração, WALTER,LLAGOSTERA, GALLO,1994).
Outros aspectos a serem considerados na escolha da tecnologia são:- disponibilidade de combustível adequado a cada tecnologia;- aspectos referentes ao impacto ambiental;- custos do investimento;- eficiência de conversão.
Para a análise deste trabalho, será levado em conta como critério de decisão, a relaçãoentre potência elétrica e calor da instalação. Para tanto, segue abaixo a tabela 4 onde temos ovalor da razão entre potência e calor, correspondente a cada tecnologia de cogeração.
Tabela 4 – Razão entre Potência Elétrica e Calor
Turbina Vapor Ciclo Combinado Motor Diesel Turbina GásEletricidade / Calor 0.10 a 0.30 0.60 a 1.50 0.80 a 2.40 0.30 a 1.2
Fonte: Cogeração, WALTER, LLAGOSTERA, GALLO,1994
Demanda Potência Elétrica: 2800 kW - Requerida pelo SistemaCalor Necessário: 2567 kW – Energia requerida para obtenção de frio, utilizando um COP de absorção de1,5.Demanda Potência Elétrica / Calor: 1,09
Portanto, temos que a tecnologia a ser analisada pode ser a turbina a gás.
Análise de viabilidade econômicaEm termos gerais, na análise de viabilidade econômica, são comparados os custos
operacionais sem cogeração com as alternativas de cogeração. O custo operacioal menordessas alternativas é que amortiza os maiores investimentos nos sistemas de cogeração. Oscustos de operação e manutenção são característicos de cada tecnologia, como também sãoseus parâmentros físicos de desempenho energético
Fatores econômicosOs sistemas de cogeração devem ser submetidos a uma detalhada análise técnico-
econômica para verificação de sua viabilidade. O levantamento das cargas elétricas e térmicasdeve ser o mais fiel possível. Em sistemas existentes, o melhor procedimento é a verificaçãodas contas de energia por um período mínimo de 12 meses, seu pique de demanda e sua curvahorária, semanal e mensal de consumo (Mata, 2001).
Em sistemas novos, em fase de projeto, o mesmo tipo de informação é necessária, porémdeve ser avaliada sempre que possível com auxilio de programas de computador parasimulação energética.
A simulação deverá analisar de forma dinâmica fatores como a meteorologia da região,diferentes formas de tarifação de energia elétrica, sazonalidade das cargas elétricas e térmicas,e o desempenho dos equipamentos que compõe cada alternativa (inclusive em carga parcial).
Os fatores de custo inicial a serem considerados incluem:- Custo do capital;- Custo inicial do sistema de cogeração, incluindo os elementos auxiliares, tais comocaldeiras, trocadores de calor, unidades de absorção, bombas, controladores, etc;- Dedução do valor do custo inicial dos elementos substituídos pelo sistema de cogeração(caldeiras convencionas, chillers elétricos, geradores de emergência, no-breaks, etc.);- Redução de custos de componentes correlatos tais como os derivados da redução detamanho da subestação elétrica, cabos, chaves, etc.
Os elementos básicos de custo operacional são:- Análise dos custos de energia (elétrica e térmica) no sistema convencional e no decogeração;- Valor de manutenção e operação (pessoal, materiais etc.) para as duas alternativas.
Não deve ser esquecido que a análise de energia deve incluir todos os produtos geradospelo sistema de cogeração (vapor, água quente, água gelada, frio, etc.), não se limitando aenergia elétrica.
Os elementos de análise financeira incluem o capital próprio investido, a taxa de jurospara financiamento, correção monetária, os prazos de carência, incentivos (depreciaçãoacelerada, impostos, etc).
A composição econômica de todos os elementos acima, tais como custo inicial,operacional, manutenção e custos financeiros por um determinado prazo (em geral de quinzeanos), deve ser então comparada nas duas alternativas, e os números em geral procuradoscomo indicadores são a TIR (Taxa Interna de retorno) e o prazo de amortização.Umimportante elemento a ser considerado na análise econômica é o financiamento do BNDES,em torno de 85% do total, dependendo da linha de crédito. Taxas de juros atrativas comprazos de amortização e carência adequados estão disponíveis hoje em dia para os projetos decogeração.
Fatores operacionaisApós o levantamento dos perfis de consumo sazonal acima torna-se possível a escolha do
sistema mais apropriado que, em grande parte dos casos, não é dimensionado para acapacidade máxima de energia elétrica requerida. A razão disto é sempre tentar que o sistemade cogeração opere em "base-load", ou seja, tenha sempre o máximo de carregamento elétricoe térmico, operando como sistema básico, em geral, com uma carga estável durante todo odia.
Tarifas específicas para demanda e consumo nestas situações, com valores de acordo coma classificação do fornecimento (classe A4, A3, etc.) são publicadas pela ANEEL.
O requisito de manter o fator de potência no mínimo em 92% pode ser alcançado pelaprodução de reativos nos turbo-geradores, podendo substituir bancos de capacitores paracorreção do fator de potência.
Metodologia da análise de viabilidade econômicaOs dados apresentados a seguir são referentes à seleção da turbina a gás e dos
equipamentos auxiliares os quais foram obtidos através de um planilha de cálculo (Teixeira,1997), apresentado-se como uma ferramenta eficiente para a seleção de ciclos de cogeraçãoatravés de uma rotina de otimização de fatores com uma função objetiva e sujeita à restriçõeslineares e inteiras.
Os dados de entrada são referentes a um estudo de caso de um Hospital, financiado peloBNDES, que financia até 85% do investimento total com juros de 12% ao ano e com carênciade um ano (ANEEL, 2001). A formulação do problema base inicia dividindo as demandas deutilidade em oito períodos tarifários constantes e distintos de acordo com as curvas de duraçãode carga. Essas demandas estão apresentadas na tabela 5 e figura 5. As característicasoperacionais do sistema bem como os parâmetros técnicos dos equipamentos são apresentadosna tabela 6.
A partir de então faz-se uma pré seleção das turbinas a gás contidas no banco de dados dapanilha e os equipamentos auxiliares que irão compor o sistema de cogeração sãoselecionados através da rotina de otimização, de maneira a designar o conjunto que melhor
atende as necessidades requeridas a um custo mais baixo, estes dados podem ser visualizadosnas tabelas 7, 7.1 e tabela 8, (Teixeira, 1997.)
Temos por fim, após a apresentação dos dados, os valores que irão compor o fluxo decaixa desse investimento onde o custo de operação anual sem cogeração é demonstrado natabela 9. Este investimento tem um tempo total de operação de 15 anos e equivale,aproximadamente, a vida útil dos equipamentos. Para este tipo de sistema a depreciação dosequipamentos é de 10% ao ano conferindo uma vida econômica de 10 anos para oequipamento, dessa forma teremos ao final do período um valor residual nulo, (ANEEL,2001).
Tabela 5 – Distribuição Sazonal de Energia
Período de Consumo PotênciaElétrica (MW)
Frio(MW)
Duração doPeríodo (h)
Duração doPeríodo (%)
Período Seco - Dia Útil - Fora de Ponta 2,4 3,85 2172 0,248Período Seco - Dia Útil - De Ponta 2 3,85 437 0,050Período Seco - Dia Útil - Noturno 1,5 3,85 846 0,097Período Seco - Final de Semana 2 3,85 1609 0,184Período Úmido - Dia Útil - Fora de Ponta 2,8 3,85 1585 0,181Período Úmido - Dia Útil - De Ponta 2,3 3,85 319 0,036Período Úmido - Dia Útil - Noturno 1,8 3,85 618 0,071Período Úmido - Final de Semana 2,1 3,85 1174 0,134
Curvas de Carga das Demandas Energéticas
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000
% Tempo ( Horas Anuais)
MW
Frio (MW) Potência Elétrica (MW)
Figura 5 - Curvas de carga das demandas energéticas
Tabela 6 – Parâmetros Operacionais e Econômicos
COP do Sistema Frigorífico por Compressão: 4,0 COP do Sistema Frigorífico por Absorção: 1,5 Sistema de frio empregado SEM co-geração: (1) compressão - (2) absorção 1 Taxa anual de desconto (%): 15 Alíquota do ICMS (%): 25 Fator de custos de operação e manutenção (%): 5 Disponibilidade do sistema de co-geração (%): 100 Percentual de custos diversos (%): 25 Tarifa de venda de Energia Elétrica – Fora de Ponta (R$/MWh): 0 Tarifa de venda de Energia Elétrica - Ponta (R$/MWh): 0 Altitude local da instalação (m): 0 Temperatura ambiente - média local (oC) - VERÃO: 35 Temperatura ambiente - média local (oC) - INVERNO: 25 Temperatura de utilização do frio (Tr) (oC): 8
Tabela 7 – Turbina a Gás e Equipamentos Auxiliares
EquipamentosGrupo Gerador
Fabricante Modelo Tipo Combustível Rotação Wo(MW)
Qo(MW)
Rendimento(%)
ALLISON 501-KB3 E G 12850 2,83 4,91 35 Fonte Teixeira, 1997.
Considerando o Preço de: 850,00 US$/kW instalado Fonte: Gás Turbine HandBookPotência Instalada: 2834 kWPreço Total da Turbina em Dolar: US$ 2.408.900,00Cotação do Dólar p/ Análise: R$ 2,50 / US$Preço Total da Turbina em Reais: R$ 6.022.250,00
Tabela 7.1 – Turbina a Gás e Equipamentos Auxiliares
Equipamentos AuxiliaresCaldeira de Recuperação
Custo R$ Capacidade MW Capacidade Mínima MW Capacidade Máxima MW Fator de escala336260,00 2,69 0,87 11,61 0,75
Chiller de AbsorçãoCOP Custo Capacidade Capacidade1,5 2183000,00 3,86 1100
Fonte Teixeira, 1997.
Abaixo será demonstrado o consumo de combustível por ano para a geração de energia ecalor proporcionada pela Turbina escolhida, sendo então calculado o custo deste consumo.
Dados Iniciais:Energia Elétrica Requerida: 2.800 kWRendimento da Turbina a Gás: 0,35Energia Requerida na Entrada da Turbina: 8.000 kWPoder Calorífico Inferior do Gás: 9583 kcal/m3 Fonte Gás Petro 2001Poder Calorífico Inferior do Gás: 40.122.104,40 J/m3
Consumo de Gás Natural: 0,199391 m3/s
Tabela 8 – Custo do Combustível
Custo com Combustível (Gás Natural)Consumo de Combustível 0,19939 m3/s
Horas de Utilização 8760 horas/anoConsumo de Combustível por Ano 6288005,173 m3/ano
Densidade do Gás 0,602 kg/m3Preço do Gás Natural (segundo PPT) 0,1070184 U$$/m3Preço do Gás Natural (segundo PPT) 0,267546 R$/m3
Custo De Combustível por Ano 1.682.331 R$/anoCusto Com Operação e Manutenção
Fator de Custos de Operação e Manutenção 0,05 -Investimento Total 8541510,00 R$
Custo Com Operação e Manutenção 427.076 R$/ano
CUSTO TOTAL 2.109.406 R$/ano
Tabela 9 – Custo Total sem Cogeração
Nas tabela 10 e 11 temos finalmente o fluxo de caixa deste investimento e resultadoresumido de todos os dados deste investimento relacionado a um sistema de cogeração.
Demanda ConsumoPonta 22,18 R$/kW (s/ ICMS) Ponta Seca 145,37 R$/MWhc(s/ ICMS)
Fora de Ponta 7,39 R$/kW (s/ ICMS) Ponta Úmida 134,52 R$/MWhc(s/ ICMS)Fora de Ponta Seco 69,12 R$/MWhc(s/ ICMS)
Fora de Ponta Úmido 61,08 R$/MWhc(s/ ICMS)
Contrato ConsumosDemanda Contratada de Ponta 3300 kW Ponta Seca 1326,73 MWh/ano
Demanda Contratada Fora de Ponta 3800 kW Ponta Úmida 968,484 MWh/anoFator de Carga 0,92 - Fora de Ponta Seca 8087,996 MWh/ano
Horas de Operação de Ponta Seca 437 Horas Fora de Ponta Ümida 11805,992 MWh/anoHoras de Operação de Ponta Úmida 319 Horas
Horas de Operação Fora de Ponta Seco 4627 HorasHoras de Operação Fora de Ponta Úmido 3377 Horas
Custo s/ ICMS 2818611,77 R$/anoCusto com ICMS (25%) 3.758.149 R$/ano
Tarifa Azul Horosazonal A4Empresa: Bandeirante
Tabela 10 – Fluxo de Caixa
investimento: -8.541.510,00 Depreciação financ. 7260283,50 -1281226,50 Renda Trib. IR Amortização -1281226,50econ. ano 1 1648742,90 -854151,00 juros 1 871234,02 777508,88 -76642,12 -26824,74 0,00 804333,62econ. ano 2 1648742,90 -854151,00 juros 2 871234,02 777508,88 -76642,12 -26824,74 1452056,70 -647723,08econ. ano 3 1648742,90 -854151,00 juros 3 696987,22 951755,68 97604,68 34161,64 1452056,70 -534462,66econ. ano 4 1648742,90 -854151,00 juros 4 522740,41 1126002,49 271851,49 95148,02 1452056,70 -421202,23econ. ano 5 1648742,90 -854151,00 juros 5 348493,61 1300249,29 446098,29 156134,40 1452056,70 -307941,81econ. ano 6 1648742,90 -854151,00 juros 6 174246,80 1474496,10 620345,10 217120,78 1452056,70 -194681,39econ. ano 7 1648742,90 -854151,00 1648742,90 794591,90 278107,16 1370635,73econ. ano 8 1648742,90 -854151,00 1648742,90 794591,90 278107,16 1370635,73econ. ano 9 1648742,90 -854151,00 1648742,90 794591,90 278107,16 1370635,73
econ. ano 10 1648742,90 -854151,00 1648742,90 794591,90 278107,16 1370635,73econ. ano 11 1648742,90 1648742,90 1648742,90 577060,01 1071682,88econ. ano 12 1648742,90 1648742,90 1648742,90 577060,01 1071682,88econ. ano 13 1648742,90 1648742,90 1648742,90 577060,01 1071682,88econ. ano 14 1648742,90 1648742,90 1648742,90 577060,01 1071682,88econ. ano 15 1648742,90 1648742,90 1648742,90 577060,01 1071682,88
VPL R$ 6.976.826,82
TIR 20%
Fluxo de caixa:
Tabela 11 – Resultado
Custo de Operação sem Cogeração 3.758.149 R$/anoCusto de Operação com Cogeração 2.109.406 R$/ano
Economia Anual devido a Cogeração 1.648.743 R$/anoInvestimento com Equipamentos 8.541.510 R$
Tempo de Retorno 5,18 anosCusto do kW em dólar 2125,00 U$$/kW
TIR 20% -VPL 678667,5017 R$
5. SENSIBILIDADE
Através de um gráfico de sensibilidade, Figura 6, podemos observar o comportamento daTIR do investimento no sistema de cogeração em função da variação do dólar e da variaçãodo valor do investimento na turbina a gás.
Figura 6 – Sensibilidade
6. CONCLUSÃO
Observa-se que o investimento de um Sistema de Cogeração aplicada a um Hospital quedetém as características já explicitadas, tal como demanda de energia elétrica e frio, é víavel.Isso em virtude dos cálculos e dados retirados, os quais elaborados fornecem uma TIR de20%, ou seja maior que a TMA considerada que é de 15%.
Existe entretanto, hoje alguns fatores que prejudicam o interesse por pare da maioria dasempresas em investirem neste tipo de tecnologia. Sendo que alguns desses complicadores sãolistados abaixo:- um investimento intensivo em capital ( em torno de R$2125 o kW);- o custo do capital é alto comparado aos praticados em outros países industrializados;- o acesso a esse tipo de financiamento ainda é difícil;- a maior parte dos equipamentos é importada sofrendo diretamente os efeitos do câmbio
aumentando ainda mais o custo total;- no Brasil os equipamentos são mais caros em razão da pequena escala de nosso mercado
atual e efeitos diretos e indiretos dos impostos.- outra questão de ordem cultural é a de que a cogeração, por ser uma atividade
especializada, foge da atividade final da empresa trazendo algumas barreiras nesse sentidopor parte do grupo de possíveis investidores.
- a dificuldade de regularização da aquisição de energia das concessionárias em caso de panedo sistema ou necessidade de manutenção dos equipamentos. O que atualmente causa, em
Sensibilidade
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
Variação Cotação Dólar (R$)
TIR
Investimento U$$ 900 Investimento U$$850 Investimento U$$ 800 Investimento U$$750
Investimento U$$ 700 Investimento U$$ 650 Investimento U$$ 600
muitos casos a inviabilidade do investimento, devido ao elevado custo de compra destaenergia.
Cabe aqui uma ressalva, de que este trabalho não tem como função analisar taiscomplicadores.
Nota-se através do gráfico na Figura 6, que a variação do dólar a medida que se deslocapara direita não encontra-se em mesma proporção a variação da TIR. O Gráfico em siproporciona ao leitor, uma visão rápida e simples da sensibilidade relacionada à TIR emfunção do Investimento inicial x Cotação do Dólar.
Uma outra possibilidade para tornar esse tipo de investimento mais atrativo seria a vendado excedente de energia para a concessionária local, ou diretamente para um grupo deconsumidores de acordo com os termos de venda, no entanto, os preços e outros termos para avenda da energia produzida desestimulam o dimensionamento para capacidade excedente.
Atualmente está sendo implementada uma nova política de preços elaborada pela ANEELque estabelece os valores normativos (VN) para a compra da energia que as concessionáriaspoderão repassar aos consumidores. Dentro em breve teremos projetos dessa naturezaassociando as necessidades de utilidades por parte da industria e do setor terciário à uma fonteextra de receita através da comercialização de energia junto ao Mercado Atacadista deEnergia – MAE.
O que se espera e o que podemos observar é que, em meio a atual conjuntura de uma criseenergética, novas políticas favoráveis à geração de energia serão implementadas o mais brevepossível despertando o interesse da iniciativa privada para investimentos em geração ecomercialização da energia em todos os setores de nossa economia. A continuidade dofornecimento elétrico é uma preocupação séria e a segurança dos sistemas de cogeração é umacaracterística atraente.
Dentro do cenário atual de crise energética a que o país está inserido, é de grandeimportância o desenvolvimento e estudo, além do incentivo, de produção de fontesalternativas de energia. Pois para a possibilidade de crescimento e desenvolvimento sócioeconômico do país a energia elétrica deve ser ofertada, sem restrições e a um custo viável.Portanto o projeto aqui desenvolvido desperta um interesse de importância Nacional.
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANEEL, 2001, [on line , http//www.aneel.gov.br, capturado em 03 de novembro de2001].
Gás Petro, 2001, [on line, http//www.gaspetro.com.br, capturado em 12 de novembro de2001]
Kehlhofer, R.. 1991“Combined-Cycle Gas & Steam Turbine Power Plants”, Faimontpress.
Koblitz, L. O., 1998 “Cogeração de Energia: Fórum de Cogeração e Distribuição deEnergia”, INEE; Rio de Janeiro.
Marimon, I. L., 2000 “Experiência em Plantas de Cogeração de Pequeno Porte”,Guascor Empreendimentos Energéticos, São Paulo.
Mata, C. R., 2001 “Análise de Viabilidade Econômica de Co-geração no SetorTerciário” Trabalho de Diploma, Instituto de Engenharia Mecânica _Departamentode Produção,EFEI, Itajubá.
Nogueirra, L.A.H., 1996, “Cogeração: Uma Introdução”, EFEI, Itajubá.Poole, A.D., Poole, J. 2000 “Potencial e Viabilidade da Cogeração em Shopping Centers
no Brasil”, Revista Eletricidade Moderna, maio, pp 132-153.
Silveira, J. L., Nogueira, L.A.H., 1994 “Aspectos da Cogeração no Contexto daFabricação de Papel e Celulose”, O PAPEL, nº 164, São Paulo.
Teixeira, F. Neves, 1997 “Seleção de Ciclos de Sistemas de Cogeração”, Tese deMestrado, Instituto de Engenharia Mecânica, EFEI, Itajubá.
Walter, A.C. S., Llagostera, J. I., Gallo, W.L.R., 1994 “Cogeração”, Faculdade deEngenharia Mecânica, UNICAMP.
Walter, A. C. S., Bajay, S. V., Nogueira, L. A.H., 1993, “Cogeração e ProduçãoIndependente de Eletricidade nas Usinas de Açucar e Álcool: sua Viabilidadesegundo a ética dos diferentes atores envolvidos”, Anais do Congresso Brasileiro deEnergia, COPPE/UFRJ/ Clube de Engenharia, Rio de Janeiro.
70
Referências bibliográficas: Casarotto Filho, Nelson; Kopittke, Bruno H. Análise de investimentos. 7a. Ed. São Paulo:
Atlas, 1996. Copeland, Thomas E.; Weston, J. Fred Financial theory and corporate policy. 3a. ed., New
York, Addson-Wesley, 1988 Dias, Mario Conhecimentos Financeiros Indispensáveis a um executivo financeiro. São
Paulo: Edicta, sd. Ehrlich, Pierre J. Engenharia Econômica. São Paulo: Atlas, 1983. Fleischer, Gerald A. Teoria da aplicação do capital: um estudo das decisões de
investimento. São Paulo: Edgard Blücher, 1977. Gitman, Lawrence J. Princípios de administração financeira. São Paulo, Harbra, 1997 Securato, José R. Cálculo financeiro das tesourarias – bancos e empresas. 2a. Ed. São
Paulo: Saint Paul Institute of Finance, 2000. Souza, Alceu; Clemente, Ademir Decisões Financeiras e Análise de investimentos. 4a. Ed.
São Paulo: Atlas, 2001. Vieira Sobrinho, José Dutra Matemática Financeira. 6a.Ed. São Paulo:Atlas, 1997. Woiler, Sansão; Franco Mathias, Washington Projetos: planejamento, elaboração e análise
São Paulo Atlas, 1983
Recommended