[apostila]_resistencia_dos_materiais_-_ufmt

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSOCENTRO DE CINCIAS AGRARIASDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA FLORESTALELEMENTOS DE RESISTNCIA DOS MATERIAISE DE ESTTICA DAS ESTRUTURASNORMAN BARROS LOGSDONCUIAB, MT. - 1989iiSUMRIOCONTEDO PGINA1. RESUMO DE ALGUNS PRINCPIOS DA ESTTICA 11.1. SISTEMA DE UNIDADES 11.2. NOES SOBRE FORAS 21.3. DECOMPOSIO DE UMA FORA 31.4. EQUILBRIO DE UM CORPO RGIDO 51.5. EXERCCIOS PROPOSTOS 72. APOIOS 92.1. APOIO MVEL 92.2. APOIO FIXO 102.3. ENGASTAMENTO MVEL 122.4. ENGASTAMENTO FIXO 122.5. ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS 132.6.CLCULODASREAESDEAPOIO(ESTRUTURASISOSTTICAS) 152.7. EXERCCIOS PROPOSTOS 213. ESFOROS SOLICITANTES 233.1.CONCEITUAO 233.2. BARRAS, VIGAS E PILARES 253.3. CLCULO DE ESFOROS SOLICITANTES 263.4. DIAGRAMAS DE ESFOROS SOLICITANTES 313.5. PRINCPIO DA SUPERPOSIO DE EFEITOS 403.6. RELAES DIFERENCIAIS ENTRE ESFOROS SOLICITANTES 463.7. TEOREMAS AUXILIARES PARA O TRAADO DE DIAGRAMASDE ESFOROS SOLICITANTES 483.8. EXERCCIOS PROPOSTOS 644. ESTUDO ELEMENTAR DA RESISTNCIA 684.1. TRAO E COMPRESSO 684.2. CISALHAMENTO SIMPLES 724.3. FLEXO DE BARRAS COM SEO SIMTRICA 734.4. DEFORMAO POR FLEXO 794.5. FLAMBAGEM 884.6. EXERCCIOS PROPOSTOS 955. CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE SEES PLANAS 985.1. GENERALIDADES 985.2. DEFINIES 100iiiCONTEDO PGINA5.3.TABELASDECARACTERSTICASGEOMTRICASDESEESPLANAS 1015.4. EXEMPLOS DE APLICAO 1045.5. EXERCCIOS PROPOSTOS 1156. TEORIA DAS TRELIAS 1176.1. GENERALIDADES 1176.2. TIPOS DE TRELIAS 1176.3. NOMENCLATURA UTILIZADA 1216.4. CLCULO DE ESFOROS NAS BARRAS DE TRELIASISOSTTICAS 1226.5. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS LINEARES 1406.6. EXERCCIOS PROPOSTOS 1537. BIBLIOGRAFIA 165ivPREFCIOOobjetivodestetrabalhocondensar,emumtextonico,osconceitosbsicos,sobreResistnciadosMateriaiseEstticadasEstruturas,necessriosaocursodeEngenharia Florestal.Anecessidade,sobreoassunto,paraoEngenheiroFlorestal,relativamentepequena,limitando-seasestruturasisostticassimples,comovigas,pilaresetreliasplanas.Destaforma,estetrabalhonopretendeesgotaroassunto,restringindo-seaestasestruturas.Paramelhorassimilaodoassuntoalgumasdemonstraessosimplificadaspelaomissodealgunsfenmenos,integrantesdoproblemaemquesto,sem,entretanto,invalidar a teoria para o caso geral , outras no passam de mera mostra de clculo.1l. RESUMO DE ALGUNS PRINCPIOS DA ESTTICAUma estrutura uma obra esttica, isto , no deve sofrer deslocamentos, por este motivo,introduzir-se-nestecapituloalgunsdosprincpiosdaesttica,taiscomo:sistemadeunidades, noes sobre foras e equilbrio de um corpo rgido.1.1. SISTEMA DE UNIDADESNestecursoadotar-se-oSISTEMAINTERNACIONAL(MKS),porserosistemadeunidades oficial, vigente no pais, as unidades bsicas deste sistema so:Para as UNIDADES DE COMPRIMENTO o sistema utiliza o METRO (m) seus mltiplose submltiplos:Metro (m)Centmetro (cm)Milmetro (mm)Quilmetro (km) 1 cm = 10-2 m 1 mm = 10-3 m = 10-1 cm 1 km = 103 m = 105 cm = 106 mmPara as UNIDADES DE MASSA o sistema utiliza o QUILOGRAMA (kg) seus mltiplose submltiplos:Quilograma (kg)Grama (g)Tonelada (ton.) 1 g = 10-3 kg 1 ton. = 103 kg = 106 gPara as UNIDADES DE TEMPO o sistema utiliza o SEGUNDO (s) e seus mltiplos:Segundo (s)Minuto (min)Hora (h) l min = 60 s 1 h = 60 min = 3600 sAunidadedefora,nestesistema,obtidadasanteriores.Sabendo-sequeFORAACAUSA DE UMA ACELERAO SOBRE UMA DETERMINADA MASSA (F = m.a),aunidadedeforacomposta,produtodeumaunidadedemassaporumaunidadedeacelerao,resultandokg.m/s2aoqualdenomina-seNEWTON(N).AssimparaUNIDADES DE FORA o sistema utiliza o NEWTON (N) e seus mltiplos:Newton (N)Quilonewton (kN)Meganewton (MN) 1 N = 1 kg.m/s2 1 kN = 103 N 1 MN = 103 kN = 106 N21.2. NOES SOBRE FORASAforamaisconhecidaoPESO(P),definidocomosendoACAUSADAACELERAODAGRAVIDADE(g=9,81m/s2)SOBREUMADETERMINADAMASSA(P=m.g),TEMSEMPREADIREOVERTICALEOSENTIDOPARABAIXO.Em estruturas, em geral, as foras atuantes so originrias de pesos, entretanto sua direopode ser diferente da vertical, conforme exemplo representado na figura 01.FIG. 01 - Fora atuante, em direo diferente da vertical , originria de um pesoO peso de um corpo na realidade a soma dos pesos de todas as suas molculas, na prtica,entretanto,noexisteinteresseemseconheceropesodeumamolcula,poisquaseimpossvel se determinar quantas molculas existem no corpo. Um valor mais acessvel oPESO ESPECFICO (), definido como o PESO POR UNIDADE DE VOLUME ( = P/V).As unidades usuais do peso especifico so: N/m3 , N/cm3 , N/mm3 e etc..Quandoseestudaumaestrutura,asforasatuamdistribudasemumacertarea,assimcriou-se o conceito de PRESSO que A FORA POR UNIDADE DE REA (p = F/A),verfigura02.UmconceitosemelhanteodeTENSO,queaFORA(comoreaointerna do material) POR UNIDADE DE REA DA SEO TRANSVERSAL ( = F/A),ver figura 03. A unidade usual de presso ou de tenso o PASCAL (Pa) ou seu mltiplo oMEGAPASCAL (MPa), definidos como:Pascal (Pa)Megapascal (MPa) 1 Pa = 1 N/m2 1 MPa = 106 Pa 1 MPa = 106N/m2 = 1 N/mm2FIG. 02 - Fora por unidade de rea (presso)3FIG. 03 - Fora por unidade de rea da seo transversal (tenso)Muitasvezesdefronta-secomproblemasondeumadasdimensesdarea,ondesedistribuiafora,muitopequenaemrelaoaoutra.Nestescasosemvezdeseusaroconceitodepresso,melhor,naprtica,autilizaodoconceitodeCARGAUNIFORMEMENTEDISTRIBUDAqueaFORAPORUNIDADEDECOMPRIMENTO(p=F/L),afigura04umexemplodecargauniformementedistribuda.Asunidadesusuaisparacargauniformementedistribudaso:N/m,N/cm,N/mm e etc..FIG. 04 - Fora distribuda por unidade de comprimento (carga uniformemente distribuda)Outra ocorrncia comum, na prtica, aparece quando a rea, onde se distribui a fora, temasduasdimensesmuitopequenas,emrelaoasdemaisdimensesdoproblema,nestecaso costuma-se utilizar a fora como CARGA CONCENTRADA em apenas um ponto, afigura05umexemplodestetipodecarregamento.Asunidadesusuaisparacargaconcentrada so as mesmas utilizadas para foras, isto : N, kN e etc..FIG. 05 - Fora aplicada em um ponto (carga concentrada)1.3. DECOMPOSIO DE UMA FORAUm slido submetido a um sistema de foras, no em equilbrio, sofre uma acelerao emumadeterminadadireoesentido.Umaforaquecauseumaaceleraodemesma4magnitude direo e sentido que este sistema de foras conhecida como RESULTANTEDAS FORAS deste sistema, e, a soma vetorial das foras deste sistema.Algumasvezes,emestruturas,conhecidaaresultantedasforas,pormoproblemamaisfacilmenteresolvidoaoseconhecerumsistemadeforasdedireesortogonaisconhecidasedemesmaresultante.Nestecasopode-sedecomporaforanasdireesortogonais desejadas, bastando para isto multiplicarestaforapelocosenodonguloqueelaformacomcadaumadestasdirees,obtendoasCOMPONENTESdestaforanasdirees consideradas. cos . F Fx =( ) sen . 90 cos . cos . F F F F F Fyoy y= = =FIG. 06 - Decomposio da fora F em Fx e FyNote na figura 06, que: cos . cos F FFFxx= = cos . cos F FFFyy= =Note ainda, que a fora F a soma vetorial de Fx e Fy.FIG. 07 - Soma vetorial de Fx e Fy resultando FA titulo de exemplo, pode-se decompor o carregamento da estrutura representada na figura08, em duas foras, uma axial e outra normal ao eixo da estrutura, conforme segue:5FIG. 08 - Exemplo dado FIG. 09 - Decomposio do carregamentom L L 00 , 5 00 , 3 00 , 42 2 2= + =80 , 000 , 500 , 4cos = = 60 , 000 , 500 , 3cos = = N F Fa1200 60 , 0 . 2000 cos . = = = N F Fn1600 80 , 0 . 2000 cos . = = = Resultando o carregamento equivalente da figura 10.FIG. 10 - Carregamento equivalente ao do exemplo dado1.4. EQUILBRIO DE UM CORPO RGIDOTodoslidosubmetidoaodeforassedeforma,entretanto,naprtica,anaturezadoproblemaemestudo,muitasvezespermiteabstraodestadeformaoeconsideraro6slido como um corpo rgido.CORPORGIDOTODOSLIDOCAPAZDERECEBERFORASSEMSEDEFORMAR.Sejaumcorporgidocontidoemumplanoecujosdeslocamentospossveistambmestejamcontidosnesteplano.Nestecasoestecorporgidoestaremequilbrioseesomente se as trs equaes fundamentais da esttica forem satisfeitas:1 - A soma das componentes horizontais de todas as foras aplicadas a este corpo rgido nula.= 0hF2-Asomadascomponentesverticaisdetodasasforasaplicadasaestecorporgidonula.= 0vF3 - A soma dos momentos, em qualquer ponto do corpo rgido, oriundos de todas as forasaplicadas a este corpo rgido, nula.= 0OMSendo o MOMENTO (Mo) definido pelo PRODUTO DA FORA (F) PELA DISTNCIA(z)DOPONTOCONSIDERADO(O)LINHADEAODESTAFORA.Estadistncia conhecida por BRAO DE ALAVANCA. As unidades usuais de momento so:N.m, N.cm, N.mme etc..z F MO. =Ocorporgidodescritoacimanarealidadeumaabstrao,entretantograndepartedasestruturaspodemserestudadascomoumconjuntodeestruturasmenoresquesecomportamdaformadescritaacima,EstasestruturassoditasESTRUTURASPLANASpoisestoCONTIDASEMUMPLANOCOMDESLOCAMENTOSEXCLUSIVAMENTE NESTE PLANO.A titulo de exemplo, pode-se obter as foras Fl , F2 e F3 para que o corpo rgido da figura11 esteja em equilbrio.7FIG. 11 - Corpo rgido em equilbrioAplicando-se as equaes de equilbrio, obtm-se, as incgnitas Fl , F2 e F3.( ) N F F Fh1000 0 1000 01 1= = =+( ) 3000 03 2= + + =F F Fv= 0OM0 00 , 5 . 0 . 1000 50 , 2 . 3000 0 . 0 .3 2 1= + + + F F FN F 15003 = Substituindo-se o resultado de = 0OM , na equao = 0vF , obtm-se:1500 3000 1500 30002 2 3 2= = + = + F F F FAssim,ocorporgidorepresentadonafigura 11estaremequilbrioseFl = 1000 N,F2 = 1500 N e F3 = 1500 N, e ainda, nas direes e sentidos indicados na figura 11.1.5. EXERCCIOS PROPOSTOS1.5.1. Quais so as unidades bsicas do sistema internacional?1.5.2.Comoobtidaaunidadedeforanosistemainternacional?Comodenominadaesta unidade?1.5.3. O que peso? Quais suas caractersticas? Quais as unidades utilizadas?1.5.4. O que peso especifico? Quais as unidades utilizadas?1.5.5. O que presso? Quais as unidades utilizadas?1.5.6. O que tenso? O que a diferencia de presso?1.5.7. O que carga uniformemente distribuda? Quais as unidades utilizadas?1.5.8. O que carga concentrada? Quais as unidades utilizadas?81.5.9. O que resultante de um sistema de foras?1.5.10. Como se obtm a componente de uma fora em determinada direo?1.5.11. Decompor as foras representadas na figura 12, nas direes dos eixos x e y.FIG. 12 FIG. 131.5.12.Obterumcarregamentoequivalente,aorepresentadonafigura13,detalformaaobter cargas axiais e normais ao eixo da estrutura.92. APOIOSEntende-se por APOIO, O ELEMENTO DE VINCULAO (vnculo) DA ESTRUTURAPROPRIAMENTEDITACOMOSOLOOUQUALQUEROUTROELEMENTODAINFRAESTRUTURA (pilares, colunas etc.).Existemvriostiposdeapoio,sendoosmaisutilizados:oapoiomvel,oapoiofixo,oengastamento mvel e o engastamento fixo.2.1. APOIO MVELEm um laboratrio, um apoio mvel pode ser formado por dois beros (superior e inferior),umroloentreelesquepermitearotaoedoisoutrosrolosnosquaisseapoiaoberoinferior, permitindo a translao do conjunto sobre a superfcie de apoio. O sistema possuiDOISGRAUSDELIBERDADE,isto,ROTAOETRANSLAOPARALELASUPERFCIEDEAPOIO.OsistemapossuiapenasumaREAOcujadireoPERPENDICULARSUPERFCIEDEAPOIOepassapelocentrodoroloquedformao a rtula.A figura 14 representa este tipo de apoio, a figura 15 mostra sua representao esquemticae a figura 16 sua forma mais comum em estruturas de madeira.FIG.14-Apoiomvel(esquemadelaboratrio)FIG.15-Apoiomvel(representaoesquemtica)10a) Perspectiva do apoiob) Vista lateral c) Vista frontalFIG. 16 - Apoio mvel (exemplo em estruturas de madeira)2.2. APOIO FIXOO apoio fixo difere do apoio mvel apenas por no permitir a translao pode ser montadoemlaboratrio,conformerepresentaodafigura17.OsistemapossuisomenteUMGRAUDELIBERDADE,AROTAO.SuaREAOdedireodesconhecida,podendoserdecompostaemduas,umaPERPENDICULAReoutraPARALELASUPERFCIE DE APOIO. A figura 18 mostra a representao esquemtica deste apoio e afigura 19 sua forma mais comum em estruturas de madeira.11FIG.17-Apoiofixo(esquemadelaboratrio)FIG.18-Apoiofixo(representaoesquemtica)a) Perspectiva do apoiob) Vista lateral c) Vista frontalFIG. 19 - Apoio fixo (exemplo em estruturas de madeira)122.3. ENGASTAMENTO MVELUmengastamentomvelpodesermontado,emlaboratrio,conformearepresentaodafigura20.OsistemapossuisomenteUMGRAUDELIBERDADE,ouseja,ATRANSLAO PARALELA SUPERFCIE DE APOIO. Sua REAO definida porummomento,ditoMOMENTODEENGASTAMENTO,queimpedearotao,eumaREAO PERPENDICULAR SUPERFCIE DE APOIO passando pelo eixo mdio dosrolos, que impede a translao na direo deste eixo.O engastamento mvel pode ser representado de forma esquemtica conforme a figura 21.Emestruturasdemadeiraesseengastamentopoucoutilizado,podendo,entretanto,serassociado colocao da pea de madeira em um orifcio, preparado com antecedncia, emum bloco de concreto, sem que ocorra aderncia da madeira ao concreto.FIG.20-Engastamentomvel(esquemadelaboratrio)FIG.21-Engastamentomvel(re-presentao esquemtica)2.4. ENGASTAMENTO FIXOOengastamentofixoumtipodeapoio,queNOPOSSUIGRAUDELIBERDADE.SuaREAOdefinidaatravsdetrsparmetros:REAOPERPENDICULAR,REAOPARALELAAOEIXOLONGITUDINALDAPEAEMOMENTODEENGASTAMENTO. As reaes impedem as translaes e o momento impede a rotao.Estetipodeengastamento,emestruturasdemadeira,podeserconseguidopelosimplesembutimento da pea de madeira em um bloco de concreto, onde dever existir a adernciadapeaaoconcreto.Estaadernciamelhorada,naprtica,pelacolocaodepregosnaregio, da pea, embutida no bloco de concreto.13FIG.22-Engastamentofixo(esquemadelaboratrio)FIG.23-Engastamentofixo(repre-sentao esquemtica)2.5. ESTABILIDADE DAS ESTRUTURASUma das condies para que uma estrutura seja segura, que as condies de apoio sejamestveis.Entende-seporCONDIODEAPOIOESTVEL,comoregraeportantoexistindoexcees,ditoscasosespeciais,QUALQUERCOMBINAODEAPOIOSQUEFORNEATRSOUMAISREAESDEAPOIO,afigura24apresentaalgunsexemplos de condio de apoio estvel.FIG. 24 - Exemplos de condio de apoio estvelQuanto a combinao de apoios, externamente, as estruturas podem sem ser:ESTRUTURASHIPOSTTICASsoasestruturasnasquaisaCOMBINAODEAPOIOSINSTVEL,portantopossuememgeralMENOSDETRSREAES.Porterem combinao de apoio instvel NUNCA DEVEM SER UTILIZADAS.14FIG. 25 - Exemplos de estruturas hipostticasESTRUTURASISOSTTICASouESTRUTURASESTATICAMENTEDETERMINADASsoasestruturascujaCOMBINAODEAPOIOSESTVEL,entretantopossuemAPENASTRSREAES,asquaispodemserOBTIDASATRAVS DAS TRS EQUAES DE EQUILBRIO.FIG. 26 - Exemplos de estruturas isostticasESTRUTURASHIPERESTTICASouESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADAS,soestruturasquepossuemumaCOMBINAODEAPOIOSESTVEL,pormcomMAISDETRSREAESeportantoastrsequaesdeequilbrionososuficientesparaobt-las,assimNECESSITAMEQUAESSUPLEMENTARESORIUNDASDACOMPATIBILIDADEDEDESLOCAMENTOS,para obter suas reaes. Este tipo de estrutura no ser objeto de estudo deste cuirso.FIG. 27 - Exemplos de estruturas hiperestticas152.6. CLCULO DAS REAES DE APOIO (ESTRUTURAS ISOSTTICAS)O clculo das reaes de apoio de uma estrutura isosttica, como j foi visto, feito com oauxilio das trs equaes de equilbrio (= 0hF ,= 0vFe = 0OM ). A seguir apresentadoumroteiroparasecalcularasreaesdeapoiodeumaestruturaisosttica,com relativa facilidade.ROTEIRO PARA CLCULO DE REAES DE APOIO1.Substituir os apoios por suas reaes, utilizando-as como incgnitas. O sentidodas reaes adotado arbitrariamente.2.Concentrar,senecessrio,oscarregamentosuniformementedistribudosnocentro do trecho carregado e/ou decompor cargas inclinadas.3.Aplicarastrsequaesdeequilbrioeresolverosistemadeequaesresultanteobtendoasreaesdeapoio.Parafacilitarosclculoscostuma-seescolherumdosapoios,oquecontivermaiornmerodereaes,paraseaplicar a equao = 0OM .4.Fornecerasoluoemdesenho,invertendoosentidodasreaesqueresultarem negativas na resoluo do sistema.Para melhorentendimentodoroteiro descrito, apresenta-seaseguiroclculodasreaesde apoio para alguns exemplos.EXEMPLOS - Calcular as reaes de apoio, para as estruturas isostticas, esquematizadasna figura 28.FIG. 28 - Exemplos - para clculo das reaes de apoio16a) O primeiro passo substituir os apoios por suas reaes, conforme figura 29, O sentidodestas reaes so adotados arbitrariamente.FIG. 29 - Substituio dos apoios por suas reaesO segundo passo que seria concentrar os carregamentos uniformemente distribudos, nestecaso, no existe.Oterceiropassoaplicarastrsequaesdeequilbrio.Paraistodeve-seadotar,arbitrariamente,osentidopositivodasforasoudosmomentos,estessentidosestorepresentados ao lado de cada uma das equaes. O ponto adotado para explicar a equaode momentos foi o ponto A.( ) N H H FA A h0 0 0 = = =+( ) 50000 0 30000 20000 0 = + = + + = B A B A vV V V V F= 0AM( ) + + + + + 50 , 1 00 , 1 . 30000 00 , 1 . 20000 0 . 0 .A AV HN V VB B19000 0 00 , 5 . = = Ainda no terceiro passo resolve-se o sistema de equaes resultante, obtendo-se as reaesde apoio.N HA0 =N VB19000 =N V V V VA A B A31000 50000 19000 50000 = = + = +O quarto passo fornecer a soluo em desenho. Como os resultados obtidos foram todospositivos, e portanto, os sentidos inicialmente adotados esto corretos, no se deve inverternenhum dos sentidos iniciais na soluo representada na figura 30.17FIG. 30 - Soluo do item a do exemplob)Oprimeiropassosubstituirosapoiosporsuasreaes,conformeafigura31.Osegundopasso,necessrionesteexemplo,concentraracargauniformementedistribuda no centro do trecho carregado, conforme a figura 32.FIG.31-Substituiodosapoiosporsuas reaesFIG. 32 - Concentrao da carga uniforme-mente distribudaO terceiro passo aplicar as equaes de equilbrio, conforme segue:( ) N H H FA A h0 0 0 = = =+( ) 10000 0 10000 0 = + = + + = B A B A vV V V V F= 0AM0 00 , 5 . 00 , 2 . 10000 0 . 0 . = + + B A AV V HN VB4000 = Aindanoterceiropassoresolve-seosistemadeequaesresultantes,obtendo-seasreaes de apoio.N HA0 =N VB4000 =N V V V VA A B A6000 10000 4000 10000 = = + = +18Finalmente, no quarto passo, apresenta-se a soluo em desenho, conforme a figura 33.FIG. 33 - Soluo do item b do exemploc)Paraesteproblema,asoluotemamesmaseqnciadeoperaesdoitemanterior,com a qual obtm-se:FIG. 34 - Substituio dos apoios por suasreaesFIG.35-Concentraodacargaunifor-memente distribuda( ) N H H FA A h0 0 0 = = =+( ) 46000 0 20000 20000 6000 0 = + = + + = B A B A vV V V V F= 0AM( ) + + + + + 50 , 1 00 , 1 . 20000 00 , 1 . 6000 0 . 0 .A AV H( ) 0 00 , 5 . 50 , 1 50 , 1 00 , 1 . 20000 = + + +BVN VB27200 = Resultando, assim:N HA0 =N VB27200 =N V V V VA A B A18800 46000 27200 46000 = = + = +19FIG. 36 - Soluo do item c do exemplod) Este problema, alm de dispensar o segundo passo, tem como novidade o engastamentofixoquepossuiummomentodeengastamentocomoreaodeapoio.Paraesteproblema tem-se:FIG. 37 - Substituio do apoio por suas reaes( ) N H H FA A h3000 0 3000 0 = = =+( ) N V V FA A v0 0 0 = = + == 0AM0 00 , 3 . 3000 0 . 0 . = + A A AM V Hm N MA. 9000 = Resultando:N HA3000 =(sentido contrrio ao adotado)N VA0 =m N MA. 9000 =(sentido contrrio ao adotado)20FIG. 38 - Soluo do item d do exemploe) Este problema tem seqncia semelhante do item anterior, obtendo-se:FIG. 39 - Substituio do apoio por suas reaes( ) N H H FA A h0 0 0 = = =+( ) N V V FA A v20000 0 20000 0 = = + == 0AM0 00 , 0 . 20000 0 . 0 . = + + A A AM V Hm N MA. 0 = 21FIG. 40 - Soluo do item e do exemplo2.7. EXERCCIOS PROPOSTOS2.7.1. O que se entende por apoio? Quais os principais tipos de apoio?2.7.2. Descreva o apoio mvel.2.7.3. Descreva o apoio fixo.2.7.4. Descreva o engastamento mvel.2.7.5. Descreva o engastamento fixo.2.7.6.Represente,esquematicamente,comsuasreaesdeapoio:oapoiomvel,oapoiofixo, o engastamento mvel e o engastamento fixo.2.7.7.Oqueseentendeporcondiodeapoioestvel?Represente,esquematicamente,algumas estruturas com condio de apoio estvel.2.7.8.Oquesoestruturas(externamente)hipostticas?Represente,esquematicamente,alguns exemplos.2.7.9.Oquesoestruturas(externamente)isostticas?Represente,esquematicamente,alguns exemplos.2.7.10. O que so estruturas (externamente) hiperestticas? Represente, esquematicamente,alguns exemplos.2.7.11. Conforme a combinao de apoio, fornecer o tipo das estruturas representadas nasfiguras 41 a 49.22FIG. 41 FIG. 42FIG. 43 FIG. 44FIG. 45 FIG. 46FIG. 47 FIG. 48 FIG. 492.7.12.Calcularasreaesdeapoio,dasestruturasisostticasdoexerccioanterior(2.7.11).233. ESFOROS SOLICITANTES3.1. CONCEITUAOSeja um corpo rgido em equilbrio sob a ao de um sistema de foras (figura 50).FIG. 50 - Corpo rgido em equilbrioCortando-se este corpo rgido em uma seo qualquer, figura 51, obtm-se duas partes nomais em equilbrio.FIG. 51 - Corte em uma seo do corpo rgido em equilbrio24Conclui-sequeaseodocorporgido,ondesefezocorte,transmitiaesforosdeumaparteoutra,estessousualmenteditosESFOROSSOLICITANTESouESFOROSSECCIONAIS.Para impedir a translao na direo do eixo a-a, produzida por Fl,aparecenaseoumafora axial, dita FORA NORMAL (N), em sentido contrrio a Fl.Para impedir a translao na direo do eixo c-c, produzida pele resultante (F3+F2-F2-F4),apareceunaforatransversal,ditaFORACORTANTE(V),emsentidocontrrioaestaresultante.Paraimpedirarotaoemtornodoeixob-b,produzidapelomomentooriundodeF3,aparecenaseoummomento,ditoMOMENTOFLETOR(M),emsentidocontrrioaoprovocado por F3.Para impedir a rotao em torno do eixo a-a, produzida pelo momento oriundo do binriodeF2,aparecenaseoummomento,ditoMOMENTOTOROR(T),emsentidocontrrio ao binrio de F2.FIG. 52 - Esforos solicitantes na seo do corteAssim,ESFOROSSOLICITANTESSOASFORASEMOMENTOSQUEAPARECEM NAS SEES DE CORPOS RGIDOS EM EQUILBRIO. As figuras 53 a56 representam estes esforos, com a respectiva conveno de sinais.FIG. 53 - Fora normal - Conveno de sinais25FIG. 54 - Fora cortante - Conveno de sinaisFIG. 55 - Momento fletor - Conveno de sinaisFIG. 56 - Momento toror - Conveno de sinais3.2. BARRAS, VIGAS E PILARESDemaneirageral,barrassocomponentesdeestruturasnosquaisasdimensesdaseoso nitidamente menores que o comprimento do eixo da pea. Quanto a transmissibilidadede esforos solicitantes pode-se distinguir a barra simples, ou simplesmente BARRA, que oelemento estruturalqueTRANSMITE APENAS um esforo, a FORA NORMAL, e abarra geral, ou CHAPA, que o elemento estrutural CAPAZ DE TRANSMITIR, FORANORMAL, FORA CORTANTE E MOMENTO FLETOR. Os exemplos mais comuns de26chapas,soasVIGASeosPILARES,ambostemasmesmasfunesestruturais,entretanto, em geral, as vigas so usadas horizontalmente e os pilares verticalmente.3.3. CLCULO DE ESFOROS SOLICITANTESOsesforossolicitantesqueaparecememestruturasplanasso:ForaNormal(detraoou de compresso), Fora Cortante e Momento Fletor. O Momento Toror s aparece emestruturas espaciais.O clculo dos esforos solicitantes em determinada seo de uma estrutura plana, pode serrealizado conforme o roteiro que se segue:ROTEIROPARACLCULODEESFOROSSOLICITANTESEMDETERMINADA SEO DE UMA ESTRUTURA PLANA1.Clculo das reaes de apoio.2.Cortaraestrutura,naseo,ondesedesejaencontrarosesforossolicitantes,colocandoosesforossolicitantes,isto,asincgnitas,comseusentidopositivo.3.Escolherumadaspartesdaestrutura,paraosclculos,esenecessrio,concentrar os carregamentos uniformementedistribudosnocentrodostrechoscarregados e/ou decompor cargas inclinadas.4.Aplicar,naparteescolhida,astrsequaesdeequilbrio(= 0hF ,= 0vFe = 0OM )obtendo,dasoluodosistemadeequaesresultantes,osesforossolicitantesnestaseo,Parafacilitarosclculos,costuma-seescolheropontodecorteparaaplicaraequao= 0OM .Para melhor entendimento do mtodo descrito, apresenta-se a seguir alguns exemplos.EXEMPLOl:CalcularosesforossolicitantesnaseogenricaC,davigarepresentadana figura 57.p = carga uniformemente distribudal = vo livre da vigaA = apoio fixoB = apoio mvelx = distncia da seo genrica C ao apoiofixo AFIG. 5727a) Clculo das reaes de apoioFIG. 58 - Substituio dos apoios por suasreaesFIG.59-Concentraodocarregamentouniformemente distribudo( ) N H H FA A h0 0 0 = = =+( ) l l . 0 . 0 p V V p V V FB A B A v= + = + + == 0AM2.0 .2. . 0 . 0 .llllpV V p V HB B A A= = + + Resultando:N HA0 =2.l pVB =2..2.0 .llllpV ppV p V VA A B A= = + = = +FIG. 60 - Reaes de apoio para o exemplo 128b) Corte da estrutura em C com seus esforos solicitantes, considerados positivos.FIG. 61 - Corte da estrutura na seo Cc)Escolhendo-seaparteesquerda,daestrutura,econcentrando-seocarregamentouniformemente distribudo, obtm-se o esquema apresenta do na figura 62.FIG. 62 - Corte da estrutura na seo Cd) Aplicando-se as equaes de equilbrio, obtm-se:( ) 0 0 = =+N Fh( ) x ppV V x ppFv.2.0 .2.0 = = + =l l= 0CM 0 .2.2. . 0 . 0 . = + + + xp xx p N V Ml2..2.2x pxpM = lResultando, para a seo C:0 = N|.|

\| = x p V2.l( ) xx pM = l .2.EXEMPLO 2: Calcular os esforos solicitantes na seo genrica C, do pilar representadona figura 63.29p = carga uniformemente distribudaP = carga concentradal = altura do pilarA = extremo livre do pilarB = engastamento fixox = distncia do extremo livre seo genrica CFIG. 63a) Clculo das reaes de apoioFIG.64-SubstituiodoapoioporsuasreaesFIG.65-Concentraodocarregamentouniformemente distribudoResultando:FIG. 66 - Reaes de apoio para o exemplo 230b) Corte da estrutura em C com seus esforos solicitantes, considerados positivos.OBS.:Nocasodesteexemplo,paraaconvenodomomentofletorM,necessrioseconvencionar ou "escolher" um "embaixo" para o pilar,FIG. 67 - Corte da estrutura na seo Cc)Escolhendo-seapartesuperior,dopilar,econcentrando-seocarregamentouniformemente distribudo, obtm-se o esquema apresentado na figura 68.FIG. 68d) Aplicando-se as equaes de equilbrio, obtm-se:( ) x . p V x . p V Fh = = =+0 031( ) P N P N Fv = = + =0 0= 0CM20 020 02x . pM . Px. x . p . V . N M = = + + + + Resultando, para a seo C:P N = x . p V =22x . pM =3.4. DIAGRAMAS DE ESFOROS SOLICITANTESPode-se observar, a partir dos exemplos apresentados no item anterior, que pare cada seoescolhida(diferentesvaloresdex)existirodeterminadosvaloresparaosesforossolicitantes. Para se calcular uma estrutura necessrio se ter uma viso destes esforos emtodas as sees da estrutura, pois o dimensionamento da estrutura deve ser tal que todas assees suportem os esforos que nela atuam.A fim de permitir uma viso global, da variao dos diversos esforos solicitantes, usualtraar-seosDIAGRAMASDEESFOROSSOLICITANTES,quesodiagramasqueREPRESENTAMAVARIAODOSESFOROSSOLICITANTESAOLONGODAESTRUTURA.Estesdiagramassoconstrudossobreoeixodaestrutura,representandosuasabscissas,tendoemcadaseo,representadonasordenadas,ovalordoesforosolicitanteconsiderado.OdiagramadeMomentoFletorsempredesenhadodoladotracionadodaestruturadispensando-se autilizao de sinais.Omesmonoacontececomosdiagramasde fora normal e fora cortante, cujos sinais so indispensveis. Quando, em determinadotrecho,odiagramaconstantecomumseusarumsinaldeigual,sobreestetrecho,assinalando o valor do esforo solicitante sobre ele.A titulo de exemplo, os diagramas de esforos solicitantes das estruturas apresentadas nosexemplos do item anterior seriam:EXEMPLO l:FIG. 6932a) Diagrama de MOMENTO FLETOR (figura 70)Aequao 2 22x . px .. pM =lcaracterizauma parbola do segundo grau e, portanto, definida por trs pontos:Para0 = x(apoio A)0 = MPara 2l= x(centro) 22l . pM = Paral = x(apoio B)0 = MFIG. 70b) Diagrama de FORA NORMAL (figura 71)Aequao0 = N caracterizaumaconstante, que independe de x:Em todas as sees a Fora Normal nula.FIG. 71c) Diagrama de FORA CORTANTE (figura 72)Aequao x . p. pV =2lcaracterizaumareta e, portanto, definida por dois pontos:Para0 = x(apoio A) 2l . pV = Paral = x(apoio B) 2l . pV = FIG. 72EXEMPLO 2:FIG. 73 FIG. 74 FIG. 75 FIG. 7633a) Diagrama de MOMENTO FLETOR (figura 74)A equao, 22x . pM =, do momento fletor, caracteriza uma parbola do segundo grau, eportanto necessita trs pontos para sua definio:Para0 = x(extremo livre)0 = MPara 2l= x(centro) 82l . pM = (trao em cima)Paral = x(engastamento fixo) 22l . pM = (trao em cima)b) Diagrama de FORA NORMAL (figura 75)A equao,P N = , independe de x e portanto a fora Normal assume o valorP ,decompresso, em todas as sees da estrutura.c) Diagrama de FORA CORTANTE (figura 76)A equao,x . p V = , da fora a cortante, equao de uma reta, e portanto definida pordois pontos.Para0 = x(extremo livre)0 = VParal = x(engastamento fixo)P V = Para cada valor de l, ou para cada conjunto de valores de P e p, os exemplos apresentadosrepresentamestruturasdiferentesoucomcarregamentosdiferentes,respectivamente.Assimosresultadosdestesexemplospodemserutilizadosemdiferentesestruturas,acentuandoaviabilidadedesemontartabelasparaoscasosdeocorrnciamaiscomum.Para montagem destas tabelas deve-se ter em mente que sempre que houver alteraes nocarregamentoocorreroalteraesnosdiagramas,eportanto,asequaesdosesforosdevem ser obtidas por trechos.Aseguirapresentam-sealgunsdiagramas,paraoscasosdeocorrnciamaiscomum,incluindo as equaes de flechas (v), ou deslocamentos verticais, cuja determinao feitautilizando condies de contorno e a seguinte equao diferencial (ver item 4.4):Mdxv d. I . E =2234DIAGRAMAS E FRMULAS PARA O CLCULO DE VIGASa) Viga simplesmente apoiada - Carga uniformemente distribuda.2l . pV R = =|.|

\| = x . p Vx2l82l . p) centro no ( Mmx=( ) x .x . pM x = l2I . E .. p .) centro no ( vmx38454l=( )3 2 3224x x . . .I . E . x . pvx+ = l lFIG. 77b) Viga simplesmente apoiada - Carga concentrada no centro.2PV R = =4l . P) centro no ( M mx=2 2x . P) x para ( M x= l( ) x .P) x para ( M x = ll2 2I . E .. P) centro no ( vmx483l=( )2 24 348 2x . . .I . E . x . P) x para ( vx = ll( )( ) | |2 24 348 2x . . .I . E .x . P) x para ( vx = l ll lFIG. 7835c) Viga simplesmente apoiada - Carga concentrada em qualquer ponto.FIG. 79lb . P) b a se mximo ( V R = =1 1la . P) b a se mximo ( V R = =2 2lb . a . P) a arg c a sob ( Mmx=lx . b . P) a x para ( Mx= ( )= += ) b a seb . a . ax em ( vmx32( ) ( )l . I . E .b . a . a . . b . a . b . a . P272 3 2 + +=l . I . E .b . a . P) a arg c a sob ( va32 2=( )2 2 26x b .. I . E .x . b . P) a x para ( vx = ll( ) ( )2 226a x x . . .. I . E .x . a . P) a x para ( vx = llld) Viga simplesmente apoiada - Carga uniforme parcialmente distribuda.( ) b c . 2 .. 2b . p) c a se mximo ( V R1 1+ = =l( ) b a . 2 .. 2b . p) c a se mximo ( V R2 2+ = =l( ) ( ) a x . p R ) b a x a para ( Vx = + 1||.|

\|+ = + =p .Ra . R )pRa x em ( Mmx2111x . R ) a x para ( Mx 1= ( ) ( )212a x .px . R ) b a x a para ( Mx = + ( ) ( ) x . R ) b a x para ( Mx = + l2FIG. 8036e) Viga simplesmente apoiada - Carga uniforme parcialmente distribuda em um extremo.FIG. 81( ) a . ..a . p) mximo ( V R = = ll221 1l .a . pV R222 2= =x . p R ) a x para ( Vx = 1p .R)pRx em ( Mmx221 1= =221x. p x . R ) a x para ( Mx = ) x .( R ) a x para ( M x = l2= ) a x para ( vx( ) ( ) | |3 2 2 22 2 224a . a . . x . a . a . . a .. I . E . x . pl l ll+ =( ) | |2 222 424a x . . x . .. I . E .x . a . p) a x para ( vx = lllf)Vigasimplesmenteapoiada-Cargauniformeparcialmentedistribudanosdoisextremos.FIG. 82( )ll.c . p a . . a . pV R2222 11 1+ = =( )ll.a . p c . . c . pV R2221 22 2+ = =( ) a . p R ) b a x a para ( V Vx 1 1 3 = + =x . p R ) a x para ( Vx 1 1 = ( ) ( ) x . p R ) b a x para ( Vx + = + l2 21211 1112 p .R) a . p R sepRx em ( Mmx= =2222 2222 p .R) c . p R sepRx em ( Mmx= = l2211x . px . R ) a x para ( Mx = ( ) ( ) a x . .a . px . R ) b a x a para ( Mx = + 2211( ) ( )( )2222x . px . R ) b a x para ( Mx = + ll37g)Vigasimplesmenteapoiada-Duascargasconcentradasiguaisesimetricamentelocalizadas.FIG. 83P V R = =a . P ) as arg c as entre ( Mmx=x . P ) a x para ( Mx= ( ) x . P ) a x para ( Mx = l la . P te tan cons ) as arg c as entre ( Mx= =( )2 24 324a . . .I . E .a . P) centro no ( vmx = l( )2 23 36x a . a . . .I . E . x . P) a x para ( vx = l( ) ( )2 23 36a x . x . . .I . E . x . P) a x a para ( vx = l lh) Viga simplesmente apoiada - Duas cargas concentradas iguais em qualquer posio.FIG. 84( ) b a .P) b a se mximo ( V R + = = ll1 1( ) a b .P) b a se mximo ( V R + = = ll3 2( ) a b .PP R V = =l1 2a . R ) b a se mximo ( M1 1= b . R ) b a se mximo ( M2 2= x . R ) a x para ( M x 1= ( ) ( ) a x . P x . R ) b x a para ( M x = 1l38i) Viga engastada - Carga uniformemente distribuda.FIG. 85l . p V R = =) zero ( H 0 =x . p Vx =22l . p) fixo extremo no ( M Mmx= =22x . pM x =I . E .. p) livre extremo no ( vmx84l=( )4 3 43 424l l . x . . x .I . E .pvx+ =j) Viga engastada - Carga concentrada no extremo livre.FIG. 86P V R = =) zero ( H 0 =P te tan cons Vx = =l . P ) fixo extremo no ( M Mmx= =x . P M x =I . E .. P) livre extremo no ( vmx33l=( )3 2 33 26x x . . . .I . E .Pvx+ = l l39k) Viga engastada - Carga concentrada em qualquer ponto.FIG. 87P V R = =) zero ( ) a x para ( Vx0 = P ) a x para ( Vx = b . P ) fixo extremo no ( M Mmx= =) zero ( ) a x para ( Mx0 = ( ) a x . P ) a x para ( Mx = ( ) b . .I . E .b . P) livre extremo no ( vmx = l 332I . E .b . P) a arg c a sob ( va33=( ) b x . . .I . E .b . P) a x para ( vx = 3 362l( )( ) x b . .I . E .x . P) a x para ( vx+ = ll362l)Vigasimplesmenteapoiadacomumbalano-Cargaconcentradanoextremodobalano.FIG. 88la . PV R = =1 1( ) a .PV V R + = + = ll2 1 2P V=2a . P ) x , x em ( Mmx= = = 01llx . a . P) apoios os entre ( Mx =( )11x a . P ) balano no ( Mx == = =I . E . .. a . P) x em apoios os entre ( vmx3 9 32l lI . E. a . P. ,206415 0l=( ) a .I . E .a . P) a x em balano no ( vmx+ = = l321( )2 26x .. I . E .x . a . P) apoios os entre ( vx = ll( )21 113 261x x . a . . a . .I . E . x . P) balano no ( vx + = l40NOTAES UTILIZADAS NOS DIAGRAMASH = reao de apoio (horizontal)R = reao de apoio (vertical)V = esforo cortantep= cargas uniformemente distribudasM= momento fletorP= carga concentradav= deslocamento vertical (flecha)Zx (Zx1) = esforo solicitante (M, N, V ou v) a uma distncia genrica x (x1)Zmx = esforo solicitante (M, N, V ou v) mximoa, b, c e d = distncias cotadas no desenhoE= mdulo de elasticidade do materialI = momento de inrcia, em relao a linha neutra da seo da viga.OBS.:OsdiagramasdeFORANORMAL,noforamrepresentadosnastabelasporserem todos nulos.3.5. PRINCPIO DA SUPERPOSIO DE EFEITOSOsdiagramasapresentadosnoitemanterior,resolvemmuitosproblemascomosquaisdefronta-se na prtica, entretanto existem alguns casos onde somente estes diagramas noresolvem o problema, nestes casos o Princpio da Superposio de efeitos uma poderosaarma.OPrincipiodaSuperposiodeEfeitosspodeseraplicadoaestruturaspoucodeformveis, onde a configurao de equilbrio com o carregamento pode ser consideradaigualaconfiguraoantesdocarregamento,nasquaisastensessoproporcionaissdeformaes,eportantoteorialineardeprimeiraordem.Estascondiessoatendidaspela maioria das estruturas, tendo por excees principais as estruturas pnseis.O PrincipiodaSuperposiodeEfeitos regeque: seocarregamentodeumaestruturaforumacombinaolineardeoutroscarregamentos,maissimples,osefeitosproduzidosporestecarregamento,podemserobtidospelacombinaolinearequivalentedosefeitosdosdiversos carregamentos, mais simples, atuando isoladamente na estrutura.A titulo de exemplo de aplicao deste princpio, a seguir, so resolvidos alguns exemplos:EXEMPLO1:TraarosdiagramasdeMomentoFletor(M),ForaNormal(N)eForaCortante (V) para a estrutura representada na figura 89.FIG. 89 - Exemplo 141Ocarregamentodafigura89umacombinaodedoiscarregamentos,cujosdiagramasencontram-se tabelados:FIG. 90 - Decomposio do problema dado em problemas mais simplesRESOLUO DO PROBLEMA l: A soluo do problema 1 tabelada na aliena e (figura81) dos diagramas fornecidos no item anterior.FIG. 91 - Problema 1m , e m , a , m / N P 00 6 00 2 2000 = = = l( ) N , a . ..a . pV R 33 3333 221 1= = = llN ,.a . pV R 67 666222 2= = =lm . N ,p .R) m ,pRx em ( Mmx77 2777267 121 1= = = =200 221x. p x . R ) m , a x em ( Mx = = =oum . N , ) x .( R ) m , x ( Mx68 2666 00 22= = = lPara a superposio necessita-se ainda:= = = ) m , a m , x para ( Mx00 2 00 3m . N , ) x .( R ) m , x ( Mx00 2000 00 32= = = lRESOLUODOPROBLEMA2:Asoluodoproblema2esttabelada,alneab(figura 78) dos diagramas apresentados no item anterior:42FIG. 92 - Problema 2m , e N P 00 6 20000 = = lNPV R 100002 = = =m . N. P) centro no ( Mmx300004 = =lPara a superposio necessita-se ainda:m . Nx . P) m , m , x em ( Mx16700200 3267 1 = = = < =lm . Nx . P) m , m , x em ( Mx20000200 3200 2 = = = < =lSUPERPOSIODEEFEITOS(ResoluodoProblema0):Superpondo-seosefeitosobtm-se:FIG. 93 - Superposio de efeitos - Exemplo 143FIG. 94 - Diagramas de esforos solicitantes - Exemplo 1EXEMPLO 2: Traar os diagramas de M, N e V para a estrutura representada na figura 95.FIG. 95 - Exemplo 2Ocarregamentodafigura95umacombinaodedoiscarregamentos,cujosdiagramasencontram-se tabelados.44FIG. 96 - Decomposio do problema dado em problemas mais simplesRESOLUODOPROBLEMA1:Asoluodesteproblemaesttabelada,alneaa(figura 77) dos diagramas fornecidos no item anterior, resultando:FIG. 97m , e m / N P 00 5 5000 = = lN. pV R 125002 = = =lm . N. p) centro no ( Mmx1562582= =lPara a superposio necessita-se ainda:N x . p ) m , x em ( Vx5000250 1 = |.|

\| = =lN x . p ) m , x em ( Vx5000250 3 = |.|

\| = =l( ) m . N , x .x . p) m , x em ( Mx75 7968275 0 = = = l( ) m . N x .x . p) m , x em ( Mx13125250 1 = = = l( ) m . N x .x . p) m , x em ( Mx13125250 3 = = = l( ) m . N , x .x . p) m , x em ( Mx75 7968225 4 = = = lRESOLUODOPROBLEMA2:Asoluodesteproblemaesttabelada,alnead(figura 80) dos dia8ramas fornecidos no item anterior, resultando:45FIG. 98, m / N P 2000 =, m , a 50 1 =, m , b 00 2 =m , c 50 1 = em ,00 5 = l( ) N b c . ..b . PV R 2000 221 1= + = =l( ) N b a . ..b . PV R 2000 222 2= + = =lm . N x . R ) m , a x em ( M x3000 50 11= = = =m . Np .Ra . R ) m ,pRa x em ( Mmx4000250 2111=||.|

\|+ = = + =( ) m . N x . R ) m , b a x em ( Mx3000 50 32= = = + = lPara a superposio, necessita-se ainda:m . N x . R ) m , a m , x em ( M x1500 50 1 75 01= = = < =( ) m . N x . R ) m , b a m , x em ( Mx1500 50 3 25 42= = = + > = lSUPERPOSIO DE EFEITOS ( RESOLUO DO PROBLEMA 0): Superpondo-se osefeitos obtm-se:FIG. 99 - Superposio de efeitos - Exemplo 246Resultando, para o exemplo dado, a seguinte soluo:FIG. 100 - Diagramas de esforos solicitantes - Exemplo 23.6. RELAES DIFERENCIAIS ENTRE ESFOROS SOLICITANTESConsiderando-seacargapeosesforossolicitantesM,NeVcomofunesdeumamesma abscissa x, pode-se obter relaes entre estes esforos.Seja o elemento de viga representado na figura 101, sujeito a uma carga distribuda p, nosingular dentro do elemento de comprimento dx.47FIG. 101 - Elemento de viga FIG. 102 - Concentrando-se pDo equilbrio horizontal do elemento, figura 102, resulta:( ) ( ) 0 0 = + + =+dN N N Fh0 = dNEq. 01Do equilbrio vertical do elemento, figura 102, resulta:( ) ( ) 0 0 0 = = + + =dV dx . p dV V dx . p V FvdxdVp = Eq. 02Do equilbrio de momentos, no ponto A, do elemento, figura 102, resulta:= 0AM ( ) ( ) 02= + + + + dM M dx . dV Vdx. dx . p M022= + + dM dx . dV dx . V dx .pDesprezando-se os diferenciais de segunda ordem, obtm-se:0 = dM dx . VdxdMV = Eq. 03Derivando-se uma vez em x e substituindo-se o resultado da equao 02, obtm-se:22dxM ddxdV=22dxM dp =Eq. 04483.7.TEOREMASAUXILIARESPARAOTRAADODEDIAGRAMASDEESFOROS SOLICITANTESExistemproblemasparaosquaisoPrincipiodaSuperposiodeEfeitosnosuficienteparasuasoluo,nestescasososteoremas,queseroapresentadosaseguir,poderoserutilizadosemconjuntocomoclculodosesforossolicitantesemalgumasseespreviamente determinadas, para o traado de diagramas de esforos solicitantes.TEOREMA1-Mudanasnocarregamento,aolongodaestrutura,podemalterarasequaesdosesforossolicitanteseportantopodemprovocarmudanasdecurvasnodiagrama.FIG. 103 - Mudanas no carregamento provocando mudanas de curvasDEMONSTRAO-Noitemanteriornotou-sequeocarregamentoestintimamenteligadoaosesforossolicitantes(dxdVp = e 22dxM dp =).Assim,ocorrendomudanasnocarregamentop,poderoocorreralteraesnosesforossolicitantesVeMeconsequentemente mudanas de curvas nos respectivos diagramas.TEOREMA 2 - Em trechos, de estruturas, sem carregamento vertical, o diagrama de foracortante, sob este trecho, apresentar-se- constante, e o diagrama de momento fletor, linear.49FIG. 104 - Forma dos diagramas sob trechos de estrutura sem carregamentoDEMONSTRAO - Neste caso, basta fazer p=0 nas equaes 02 e 04, do item anterior, eintegr-las em x.Integrando-se, uma vez em x, a equao 02, com0 = p obtm-se:0 =dxdVte tan cons C V = =1E portanto o diagrama de fora cortante, sob o trecho sem carregamento, constante.Integrando-se, duas vezes em x, a equao 04, com0 = p , obtm-se:022=dxM d1CdxdM=reta uma de equao C x . C M = + =2 1E portanto o diagrama de momento fletor sob o trecho sem carregamento, linear.TEOREMA 3 - Em trechos, de estruturas, sob carga vertical uniformemente distribuda odiagramadeforacortante,sobestetrecho,apresentar-se-linear,eodiagramademomento fletor, parablico, possuindo ainda, no ponto central do trecho, uma distncia (d)entre a parbola e a linha de fecho dada por:82a . pd =Onde:d = distncia entre a parbola e a linha de fecho, no ponto central;p = carga uniformemente distribuda;a = comprimento do trecho, sob o carregamento uniformemente distribudo.50FIG.105-FormadosdiagramassobtrechosdeestruturascomcargauniformementedistribudaDEMONSTRAO-Nestecaso,integrando-seemxasequaes02e04doitemanterior, mantendo-sete tan cons p = , obtm-se as formas dos diagramas de V e M.Integrando-se uma vez em x, a equao 02, obtm-se:pdxdV =reta uma de equao C x . p V = + =1Eportantoodiagramadeforacortante,sobotrechocomcarregamentouniformementedistribudo, linear.Integrando-se duas vezes em x, a equao 04, obtm-se:pdxM d =221C x . pdxdM+ =parbola uma de equao C x . C x .pM = + + =2 122E portanto o diagrama de momento fletor, sob o trecho com carregamento uniformementedistribudo, parablico.Associando-se os resultados ao trecho do diagrama de momentos fletores correspondente,figura 105, obtm-se:512 1212C x . C x .pM + + =, na abcissa x( ) ( )2 1232C a x . C a x .pM + + + + =, na abcissa( ) a x +( )||.|

\|+ ++ + + |.|

\| =2 121232 2C a . Ca . pC a . p . xp. x M2 1222 2 2Cax . Cax .pM + |.|

\|+ + |.|

\|+ =, na abcissa|.|

\|+2ax||.|

\|+ ++ |.|

\|+ + |.|

\| =2 121222 8 2 2Ca. Ca . pCa . p. xp. x M( ) ( ) ( )22 2 222 12122 123 1

||.|

\|+ ++ + + |.|

\| +

+ + |.|

\| =+=C a . Ca . pC a . p . xp. x C C . xp. xM My||.|

\|+ ++ |.|

\|+ + |.|

\| =2 12122 4 2 2Ca. Ca . pCa . p. xp. x y8 4 82 2 22a . p a . p a . py M d = += =Assim, a distncia (d) entre a parbola do diagrama de momento fletor, e a linha de fecho,no ponto central, do trecho sob carga uniformemente distribuda, dada por: 82a . pd =.TEOREMA4-Emsees,deestruturas,sobcargaverticalconcentrada,odiagramadeforacortante,nestaseo,sofreum"salto"devaloridnticocargaconcentrada,apresentando valores diferentes para a fora cortante esquerda e direita da carga.FIG. 106 - Forma do diagrama de fora cortante em seo sob carregamento concentradoDEMONSTRAO - Fazendo-se o equilbrio vertical de um elemento de viga com cargaconcentrada no centro, figura 107, obtm-se:52FIG. 107 - Elemento de viga( ) ( ) 0 0 = + + =dV V P V FvP dV =E portanto o diagrama de fora cortante, sob carga concentrada, sofre um "salto" no valorda carga concentrada, pois:V Ve =P V dV V Vd = + =( ) P V P V V Ve d = = TEOREMA 5 - Em sees, de estruturas, onde ocorre um momento aplicado, o diagramademomentofletorsofreum"salto"novalordomomentoaplicado,apresentandovaloresdiferentes para o momento fletor esquerda e direita do momento aplicado.FIG.108-FormadodiagramademomentofletoremseodeocorrnciademomentoaplicadoDEMONSTRAO - Fazendo-se o equilbrio de momentos de um elemento de viga commomento aplicado, figura 109, obtm-se:53FIG. 109 - Elemento de viga= 0AM ( ) 0 = + + + dM M M dx . V MaaM dx . V dM + = Desprezando-se o infinitsimodx . V , em relao a aM , obtm-se:aM dM =Eportantoodiagramademomentofletor,sobmomentoaplicado,sofreum"salto"novalor do momento aplicado, pois:M Me =a dM M dM M M + = + =( )a a e dM M M M M M = + = TEOREMA6-Emtrechos,deestruturas,sobcarregamentoaxialuniformementedistribudo, o diagrama de fora normal apresentar-se- linear.FIG. 110 - Forma do diagrama de fora normal sob carga axial uniformemente distribudaDEMONSTRAO-Fazendo-seoequilbriohorizontaldeumelementodevigacomcarga axial uniformemente distribuda, obtm-se:54FIG. 111 - Elemento de viga FIG. 112 - Concentrando-se p( ) ( ) 0 0 = + + =+dN N dx . p N Fhdx . p dN =pdxdN=Eq. 05Integrando-se una vez em x, resulta:reta uma de equao C x . p N = + =1Eportantoodiagramadeforanormal,sobtrechoscomcargaaxialuniformementedistribuda, linear.TEOREMA7-Emtrechos,deestruturas,semcarregamentoaxial,odiagramadeforanormalapresentar-se-constante.Emparticularestruturassemcarregamentoaxialapresentam diagramas de fora normal nulo, bem como reaes horizontais nulas.FIG. 113 - Forma do diagrama de fora normal sob trecho sem carga axialFIG.114-Estruturasemcarregamentoaxialapresentadiagramadeforanormalnuloereao no sentido axial tambm nula55DEMONSTRAO-Fazendo-se0 = p ,naequao05,eintegrando-seumavezemx,resulta:0 =dxdNte tan cons C N = =1E portanto em trechos sem carga axial o diagrama de fora normal apresenta-se constante.Aproveitando-seoexemplodafigura114,estruturasemcarregamentoaxial,pelademonstraoacimaconclui-sequeseudiagramadeforanormalseriaconstante,entretantocalculando-seovalordestaconstante,naseoesquerdadoapoiomvelB,nota-se que:FIG. 115( ) 0 0 = =+N FhSendo0 = = te tan cons N ,odiagramadeforanormal,emestruturasisostticassemcarregamento axial, nulo.Fazendo-se o equilbrio horizontal, da estrutura representada na figura 114, obtm-se:( ) 0 0 = =+H FhEportantoareaonosentidoaxial,deestruturasisostticassemcarregamentoaxial,nula.TEOREMA8-Emsees,deestruturas,sobcargaaxialconcentrada,odiagramadeforanormalsofreum"salto",nestaseo,novalordacarga,apresentandovaloresdiferentes para a fora normal esquerda e direita da seo considerada.FIG. 116 - Forma do diagrama de fora normal sob carga axial concentrada56DEMONSTRAO-Fazendo-seoequilbriohorizontal,deumelementodevigacomcarga axial concentrada no centro, figura 117, obtm-se:FIG. 117 - Elemento de viga( ) ( ) 0 0 = + + =+dN N P N FhEportantoodiagramadeforanormal,sobaseodeaplicaodacargaaxialconcentrada, sofre um "salto" no valor da carga, pois:N Ne =P N dN N Nd+ = + =( ) P N P N N Ne d= + = TEOREMA 9 - Estruturas simtricas com carregamentos simtricos, apresentaro:FIG. 118 - Estrutura simtrica com carregamento simtrico57Reaes de apoio simtricasDiagrama de fora normal simtricoDiagrama de momento fletor simtricoDiagrama de fora cortante assimtricoDEMONSTRAO - evidente que a magnitude do esforo solicitante ou da reao empontos simtricos a mesma, pois se a estrutura for simtrica e o carregamento simtricoolhando-apelafrenteouportrsver-se-amesmaestrutura,isto,nafigura118,porexemplo,oponto"A"distadoapoioesquerdode"a"eolhando-aportrs,estamesmafigura, ver-se- a mesma estrutura da figura 118, onde agora o ponto "B" que dista de "a"do apoio esquerdo, desta forma os valores dos esforos solicitantes no ponto "B" sero osmesmos do ponto "A".Entretanto,ossinaisdestesvalorespodemsealterar,poisosmesmosforamconvencionados conforme o sentido do esforo.Fazendo-seumcortenaestruturanoponto"A"ecolocando-seseusesforossolicitantes,figura 119.FIG. 119 - Corte no ponto "A" (M, N e V > 0)Efazendo-seomesmonoponto"B",nota-sequeparaqueosesforossolicitantesmantenham o mesmo sentido fsico, o sinal da fora cortante deve ser alterado.FIG. 120 - Corte no ponto "B" (M e N > 0, mas v < 0)Assim,nota-seque,emestruturassimtricascomcarregamentossimtricos,osesforossolicitantes em pontos simtricos ficaro:Fora normal: de mesma magnitude e sinalMomento fletor: de mesma magnitude e sinalFora cortante: de mesma magnitude porm de sinal trocadoEportanto,conclui-seque,estruturassimtricascomcarregamentosimtricos,apresentaro diagramas de:Fora Normal simtricoFora Cortante assimtrico (troca sinal)Momento Fletor simtrico58Parasetraardiagramas,usandoestesteoremasecalculandoosesforossolicitantesemsees predeterminadas, pode-se utilizar o seguinte roteiro:ROTEIROPARATRAADODEDIAGRAMASDEESFOROSSOLICITANTES, SEM AUXLIO DAS TABELAS1.Calcular as reaes de apoio.2.Determinarasseesondedevemserobtidososesforossolicitantes(PontosChaves), que so: esquerda e direita de cargas concentradas ,3.sees onde ocorrem mudanas de carregamento e as extremidades da estrutura.4.Determinarosesforossolicitantesnestassees,ospontoschaves,conformeroteirodadoanteriormente(Roteiroparaclculodeesforossolicitantesemdeterminada seo de um a estrutura plana, visto na pgina 26).5.Iniciarotraadodosdiagramas,pilotandoosresultadosobtidosnopassoanterior.6.Completar os diagramas utilizando os teoremas apresentados neste item.A titulo de exemplo, pode-se resolver os seguintes exemplos:EXEMPLO 1 - Traar os diagramas de M, N e V da estrutura representada na figura 121.FIG. 121 - Exemplo 1a) Clculo das reaes de apoio.O clculo das reaes fica simplificado, pois observa-se que:Aestruturaeocarregamentososimtricos,portantoasreaessosimtricas.Aestruturanopossuicarregamentonosentidoaxial,portantoreaoneste sentido (horizontal) nula.FIG. 122 FIG. 12359Neste caso, as reaes podem ser obtidas apenas com o auxilio da equao = 0vF .( ) = = + + =18000 2 0 4000 10000 4000 01 1 1V . V V Fv) adotado tido (sen N V 90001 =b) Determinar os "pontos chaves"FIG. 124 - Escolha dos "Pontos Chaves"Existem um total de seis sees, nas quais se deve obter os esforos solicitantes. Entretantoda simetria da estrutura e carregamento sabe-se que:Ponto 6 simtrico do Ponto l, assim:1 6M M= , 1 6V V =e 1 6N N=Ponto 5 simtrico do Ponto 2, assim:2 5M M= , 2 5V V =e 2 5N N=Ponto 4 simtrico do ponto 3, assim: 3 4M M= , 3 4V V =e 3 4N N=c) Determinar M, N e V nos pontos chaves.Pelo exposto acima, basta determinar os esforos solicitantes nos pontos l, 2 e 3.Ponto 1 (parte esquerda)( ) N N Fh0 01 = =+( ) N V Fv9000 01 = + =FIG. 125 = 01M m . N M 01 = 60Ponto 2FIG. 126 FIG. 127( ) N N Fh0 02 = =+( ) N V V Fv5000 0 4000 9000 02 2= = + == 02Mm . N M , . , . M 14000 0 00 2 9000 00 1 40002 2= = + Ponto 3 (parte esquerda)FIG. 128 FIG. 129( ) N N Fh0 03 = =+( ) N V V Fv5000 0 4000 9000 03 3= = + == 03Mm . N M , . , . M 19000 0 00 3 9000 00 2 40003 3= = + Obtm-se, assim, para os seis "pontos chaves" os seguintes esforos solicitantes:N N 01 =N V 90001 =m . N M 01 =N N 02 =N V 50002 =m . N M 140002 =N N 03 =N V 50003 =m . N M 190003 =N N 04 =N V 50004 =m . N M 190004 =N N 05 =N V 50005 =m . N M 140005 =N N 06 =N V 90006 =m . N M 06 =61d) Traar os diagramas de M, N e VADyABBC=AB . AD21=m . Na . pd 100082= = =00 1 00 214000,y,m . N y 7000 =m . N d y M 8000 = + =FIG. 130 - Diagramas de esforos solicitantes - Exemplo 1EXEMPLO2-TraarosdiagramasdeM,NeVparaaestruturarepresentadanafigura131.FIG. 131 - Exemplo 2a) Clculo das reaes de apoioOBS.:ParasedeterminarodiagramadeM,necessita-seobtermaisumpontodaparbola,normalmenteseusa o ponto central.62FIG. 132FIG. 132( ) N H H Fh0 0 0 = = =+( ) N V V Fv10000 0 10000 0 = = + == 0AM m . N M , . M 30000 0 00 3 10000 = = + b) Determinar os "Pontos Chaves"FIG. 133c) Determinar M, N e V, nos "pontos chaves"Ponto 1 ( parte esquerda)( ) N N Fh0 01 = =+( ) N V V Fv10000 0 10000 01 1= = + =FIG. 134= 01M = + 0 300001M m . N M 300001 =63Ponto 2 (parte esquerda)( ) N N Fh0 02 = =+( ) N V V Fv10000 0 10000 02 2= = + =FIG. 135= 02M = + 0 00 3 10000 300002, . Mm . N M 02 =Ponto 3 (parte direita)( ) N N N Fh0 0 03 3= = =+( ) N V Fv0 03 = + =FIG. 136= 03Mm . N M 03 = Ponto 4 (parte direita)( ) N N N Fh0 0 04 4= = =+( ) N V Fv0 04 = + =FIG. 137= 04Mm . N M 04 = Obtm-se, assim, para os quatro "pontos chaves" os seguintes esforos solicitantes:N N 01 =N V 100001 =m . N M 300001 =N N 02 =N V 100002 =m . N M 02 =N N 03 =N V 03 =m . N M 03 =N N 04 =N V 04 =m . N M 04 =d) Traar os diagramas de M, N e V64FIG. 138 - Diagramas de esforos solicitantes - Exemplo 23.8. EXERCCIOS PROPOSTOS3.8.1. O que se entende por esforos solicitantes?3.8.2. Quais so os esforos solicitantes? Conceitue-os sucintamente.3.8.3. Esquematize a conveno de sinais dos esforos solicitantes.3.8.4. O que se entende por barra? E por chapa?3.8.5. O que se entende por viga? E por pilar?3.8.6. Quais so os esforos solicitantes das estruturas planas?3.8.7.Calculeosesforossolicitantesnaseo"C",dasestruturas,representadasnasfiguras 139 a 143.FIG. 139 FIG. 14065FIG. 141 FIG. 142 FIG. 1433.8.8. O que so diagramas de esforos solicitantes?3.8.9. Como so construdos os diagramas de esforos solicitantes?3.8.10. Utilizando os diagramas e frmulas para o clculo de vigas, trace os diagramas demomentofletor(M),foranormal(N)eforacortante(V),paraasestruturasrepresentadas nas figuras 144 a 148.FIG. 144 FIG. 145FIG. 146 FIG. 147 FIG. 1483.8.11. O que afirma o Principio da Superposio de Efeitos?3.8.12. Em que condies pode ser aplicado o Principio da Superposio de efeitos?663.8.13. Utilizando o Principio da Superposio de Efeitos, e os resultados do exerccio3.8.14. Trace os diagramas de M, N e V para as estruturas representadas nas figuras 149 a152.FIG. 149 FIG. 150FIG. 151 FIG. 1523.8.15.Faaumresumodosteoremasauxiliaresparaotraadodediagramasdeesforossolicitantes, apresentados no item 3.7.3.8.16.DequeformapossvelsetraardiagramasdeM,NeV,semoauxiliodetabelas?3.8.17. Trace os diagramas de M, N e V, das estruturas representadas nas figuras 139 a 143e 153 a 156.67FIG. 153 FIG. 154FIG. 155 FIG. 156684. ESTUDO ELEMENTAR DA RESISTNCIAOestudodaresistncia,temporfinalidadeadeterminaodaseodapeacomponentede uma estrutura, de modo que esta satisfaa certas condies relativas segurana contraruptura e deformao.Iniciar-se-aquioestudodaresistnciapelainterpretaomaissimplespossveldosfenmenos a ela relacionados.4.1. TRAO E COMPRESSONo ensaio de trao, figura 157, o corpo de provas solicitado por uma fora axial (F). Amquinadeensaiopermiteaumentarestafora,gradativamente,atovalordacargaderuptura (Fr) que produz o rompimento do corpo de provas.a) Esquema do ensaio b) Ruptura do corpo-de-provaFIG. 157 - Esquema de um ensaio de trao em um corpo-de-prova de madeira69Dispondo-se de um grande nmero de ensaios de trao observa-se que:1.A carga de ruptura (Fr) no depende do comprimento da barra (L) nemda forma da seo.2.Acargaderuptura(Fr)proporcionalreadaseo(A),sendoarelao (Fr/A) um parmetro caracterstico do material.Arelao(Fr/A)conhecidacomoTENSODERUPTURAecorrespondeaforatransmitida por unidade de rea no instante da ruptura.Osensaiosdecompressoempeascurtas,figura158,permitemasmesmasobservaesdoensaiodetrao.Jnaspeasmaiscompridasoproblemaderupturadependedocomprimento(L)edaformadaseo,taispeassofremperdadeestabilidadelateral,ouflambagem (ver item 4.5.).a) Esquema do ensaio b) Ruptura do corpo-de-provaFIG. 158 - Esquema de um ensaio de trao em um corpo-de-prova de madeiraExcluindo as peas compridas com fora de compresso, o efeito da fora normal (N) embarras interpretado pela seguinte hiptese de trabalho: aforanormal,N,provocaumaTENSO NORMAL, uniformemente distribuda na seo, dada por:AN= Eq. 06Sendo: = tenso normal, na seo;N = fora normal, atuante na seo;A = rea da seo transversal.70As tenses sero positivas, quando de trao, e negativas se de compresso, conseqnciaimediata da conveno de sinais adotada para fora normal.Nas barras de uma estrutura no se pode aproveitar integralmente sua resistncia, deve-sedeixar uma margem para evitar com segurana a ruptura. Desta considerao nasce a noode TENSO ADMISSVEL(fAdm) que a tenso de ruptura minorada por um coeficientedesegurana.Porexemploaseo(A)deumabarrasolicitadapelaforanormal(N)suficiente quando:AdmfAN = Eq. 07Alm daresistnciadeveser estudada a deformaodasestruturas.Asbarrastracionadassofremalongamentoseascomprimidasencurtamentos.Nosensaiosdetraoecompressopode-se,atravsdeextensmetros,leradeformao(l)entredoispontosdistantes de um comprimento (l). A relao(l/l) dita DEFORMAO ESPECFICA (),representa o alongamento, ou encurtamento, por unidade de comprimento.Traando-se um grfico de tenses contra deformaes especificas, de um ensaio de trao,ou compresso, obtm-se um diagrama como o da figura 159.FIG. 159 - Diagrama " x " para ensaio de trao, ou compresso, em madeiraA observao dos ensaios de trao e compresso permite observar que:3.O diagrama " x " apresenta um trecho linearOA , onde as tenses soproporcionais as deformaes, este trecho limitado superiormente pelaTENSONOLIMITEDEPROPORCIONALIDADE(e).Umcorpo71deprovasubmetidoaumesforonormalN,cujatenso AN= inferiorae,quandoretiradooesforo,assumeumcomportamentoelstico voltando a sua forma inicial, por este motivo diz-se que o trechoOA correspondeaumREGIMEELSTICO.Nocasodamadeiraolimitedeproporcionalidade,praticamente,coincidecomolimiteelstico.4.Odiagrama"x"apresentaumtrechocurvilneoAC limitadoinferiormente pelo limite de proporcionalidade (e) e superiormente pelaruptura (fr). Um corpo de prova submetido a um esforo normal N, cujatenso AN= seposicionaentreeefr,quandoretiradooesforo,assume um comportamento inelstico no mais voltando a forma inicialmas permanecendo deformado, por este motivo diz-se que o trechoACcorresponde a um REGIME INELSTICO.Aseguranacontrarupturaexigetensesadmissveiscontidassemprenazonadeproporcionalidade.Istopermiteestabelecerumclculofcildosalongamentos,ouencurtamentos,encontradosembarrasdeestruturas.Expressando-seaproporcionalidadeentre e por um parmetro E , dito MDULO DE ELASTICIDADE, ou, MDULO DEYOUNG, obtm-se: . E = Eq. 08E =Substituindo-se por l/l e por N/A, obtm-se:A . EN=ll Eq. 09A . E . N ll = Sendo: = tenso atuante na barra; = deformao especifica;E = mdulo de elasticidade do material;l = deformao da barra;N= fora normal atuante na barra;l = comprimento da barra, eA= rea da seo transversal da barra.72As equaes08 e09soformasde uma lei,vlidaparaoregimeelstico,conhecidaporLEI DE HOOKE. Note, da equao 08, que sendo ll =isento de unidade, as unidadesde mdulo de elasticidade so as mesmas de tenses.4.2. CISALHAMENTO SIMPLESOcisalhamentosimplessteminteressenasligaesdeestruturasdemadeira,vistoquena maioria das vezes o esforo cortante est agindo em conjunto com momentos fletores eo tratamento que, aqui, ser empregado no suficiente para explicar o fenmeno, o qualser estudado adiante, no item 4.3.Do ensaio de cisalhamento, em peas de madeira, representado figura 160, observa-se que:a) Corpo-de-prova b) Esquema doensaioc) Ruptura dapead) Corpo-de-provarompidoFIG. 160 - Esquema de ensaio de cisalhamento em um corpo-de-prova de madeira1.Fazendoabstraodopequenomomentoproduzido,acargaderuptura(Fr)proporcionalareacisalhante(Ac),sendoarelao(Fr/Ac),conhecida como TENSO DE RUPTURA AO CISALHAMENTO, umparmetrocaractersticodomaterial,quecorrespondeaforatransmitidaporunidadedereadaseocisalhante,noinstantederuptura.Esta observao interpretada pela seguinte hiptese de trabalho: a fora F, provoca umaTENSO DE CISALHAMENTO, uniformemente distribuda na rea da seo cisalhante,dada por:cAF= Eq. 10Sendo : = tenso de cisalhamento;F = carga aplicada, eAc = rea da seo cisalhante.734.3. FLEXO DE BARRAS COM SEO SIMTRICAEstudar-se-, agora, a flexo de vigas com seo simtrica, e, cujo "plano das foras" oplano de simetria da viga, figura 161. Apesar, do problema lanado, ser limitado, o casomais freqente em estruturas de madeira.FIG. 161 - Flexo de viga com seo simtricaA observao de vigas fletidas, com momento fletor positivo, permite observar que:1.Asfibrasinferioressoesticadaseassuperioressocomprimidas,indicandoquearegioinferiordavigapossuitensesdetrao(produzemalongamentos)easuperiortensesdecompresso(produzem encurtamentos).2.Noocorrendoforanormal,alinhaqueuneoscentrosdegravidadedas sees, em vigas de material homogneo, no tem seu comprimentoalterado,indicandoquenestalinhaastensesseronulas.Alinhadetenses nulas chamada de LINHA NEUTRA.Estasinformaespermitemsuporaseguintehiptesedetrabalho:omomentofletorproduz tenses linearmente distribudas sobre a seo, ou seja:y . k = Comestahiptese,fazendo-seoequilbriodeumaseosubmetidaamomentofletorM,figura 162, obtm-se:a) Seo b) Diagrama linear de tensesFIG. 162 - Seo submetida a momento fletor74Calculando-se o diferencial de momento fletor (dM), produzido pelas tenses () atuantesno diferencial de rea (dA), a uma distncia (y) do centro de gravidade (C.G.), obtm-se:dA . y . k dA . y . y . k y . dA . dM2= = = Integrando-se ao longo da seo, resulta: = =s sdA . y . k dA . y . k M2 2Definindo-se:=sdA . y I2 Eq. 11O parmetro =sdA . y I2, por analogia ao momento de inrcia, dm . r2, estudado na fsica, conhecido por MOMENTO DE INRCIA, o qual, por depender apenas da seo, umacaracterstica geomtrica da seo.E portanto o momento fletor dado por:I . k M = , e portanto IMk =Eatenso,provocadapelomomentofletor,aumadistncia(y)docentrodegravidadedada por:y .IM= Eq. 12Sendo: = tenso normal na seo, devido a M, em um ponto distante do eixo x-x, que passa pelocentro de gravidade, de "y";I= momento de inrcia da seo;y = distncia do ponto considerado ao eixo x-x que passa pelo centro de gravidade.Paraseestudaroefeitodaforacortante(V),queemgeralatuaemconjuntocomomomento fletor (M), em vigas fletidas, separa-se um elemento de viga, entre as sees x ex+dx e limitado por um plano y constante, figura 163.75a) Seo b) Elemento de viga c) Perspectiva do elementoFIG. 163 - Elemento de viga entre as sees x e x+dxAstensesnormaisxex+dx,provocadaspelosmomentosMxeMx+dx,nasseesxex+dx, produziro es resultantes Tx e Tx+dx, no elemento considerado, assim:y .IM xx = y .IMdx xdx x++= = = =1 1 1yyxyyxyyx xdA . y .IMdA . y .IMdA . T + ++ += = =1 1 1yydx xyydx xyydx x dx xdA . y .IMdA . y .IMdA . T Definindo-se:=1yydA . y SEq. 13O parmetro =1yydA . y S, por analogia ao momentoz . F M = conhecido por MOMENTOESTTICO,oqual,pordependerapenasdaseo,outracaractersticageomtricadaseo.Assim as resultantes Tx e Tx+dx, ficaro:S .IMTxx =S .IMTdx xdx x++=76Isolando-se o elemento considerado, figura 164, com as resultantes Tx e Tx+dx, nota-se queo elemento s estar em equilbrio, na direo axial, se existir uma fora aplicada no planoy. Admitindo-se que esta fora seja fornecida por tenses uniformes h, ento:FIG. 164 - Elemento considerado em equilbrio horizontal( ) ( ) 0 0 = =++dx . b . T T Fh x dx x hdx . bT Tx dx xh=+Substituindo-se Tx+dx e Tx, obtidos anteriormente, resulta:( )dx . b . I S. M Mdx . bS .IMS .IMx dx xx dx xh =|.|

\| |.|

\|=++Sendo:dM M Mx dx x= +Obtm-se:I . bS.dxdMh = Aplicando a equao 03, do item 3.6, resulta:I . b S . Vh = Isolando-se um cubo de dimenses infinitesimais dx, limitado pelo plano y e pela seo x,e sendo x x dx xd + =+, figura 165, obtm-se:77FIG. 165 - Cubo de dimenses infinitesimaisDa figura 165, nota-se que para ocorrer equilbrio de momentos, devem existir foras Fl, F2e F3, como as representadas nessa figura.Equilibrando-se momentos no ponto A, obtm-se:= 0AM( ) 02 222 32= + + dx. dx . d dx . F dx . Fdx. dx .x x x

0222 3= + dx. dx . d dx . F dx . FxDesprezando-se os infinitsimos de ordem superior, resulta:3 2F F =Equilibrando-se momentos no ponto B, obtm-se:= 0BM( ) 02 2212 2= + + dx. dx . dx . F dx . dx .dx. dx . dx h x x

0212 2= + dx . F dx . dx .dx. dx . dh x Desprezando-se os infinitsimos de quarta ordem, resulta:21dx . Fh =Do equilbrio vertical do elemento, obtm-se:( ) 0 02 1= + =F F Fv2 1F F =Assim: 23 2 1dx . F F Fh = = =Admitindo-sequeasforasF1,F2eF3sejamuniformementedistribudasnoelemento,ento:7821 1dx . F =22 2dx . F =23 3dx . F =Eportanto,ficouestabelecido,aqui,oTEOREMADECAUCHY,queafirmaqueastenses cisalhantes em planos perpendiculares so iguais, ou seja:3 2 1 = = =hSuprimindo-se os ndices das tenses cisalhantes, devido a igualdade destas, obtm-se:3 2 1 = = = =hI . b S . V= Eq. 14At o momento, ficou estabelecido que o momento fletor produz um M diagrama linear detenses normais y .IM= e que a fora cortante produz tenses de cisalhamento I . b S . V= ,entretanto a distribuio das tenses ao longo da seo no ficou estabelecida.Estudando-seaformadadistribuio,aolongodeumaseoretangular,dastensesdecisalhamento , obtm-se:FIG. 166 - Seo retangularI . b S . V= V = constante = fora cortante na seob = constante = largura da seoI = constante, pois =sdA . y I279dy . b dA =11 1 122yyyyyyyyCy. b dy . y . b dy . b . y dA . y S

+ = = = =212222 2 2 21y .by .bCyCy. b S + =

||.|

\|+ ||.|

\|+ = + = |.|

\|+ = =212 2122 2 2 2y .I .Vy .I .Vy .by .b.I . bVI . bS . Vequao de uma parbolaO ponto de mximo , ser obtido por:0 =dyd e 022 n . bOnde:b = nmero de barras;n = nmero de ns.FIG. 227 - Trelia hiperestticab) Quanto a lei de formaoQuanto a lei de formao as trelias isostticas podem ser:SIMPLES, so as trelias formadas a partir de trs barras, ligadas em tringulo, juntando-seaestasduasnovasbarrasparacadanovon.Afigura228apresentaalgumastreliasisostticas simples.COMPOSTAS, so as trelias formadas pela ligao de duas ou mais trelias simples, pormeio de rtulas ou barras bi-rotuladas. A figura 229 apresenta algumas trelias isostticascompostas.COMPLEXAS, so as trelias que no obedecem s regras de formao das anteriores. Afigura 230 apresenta alguns exemplos de trelias isostticas complexas.120FIG.228-Exemplosdetreliasisostticassimplesa)TRELIAHOWE-muitoutilizadanaconstruo de pontes de madeira ou ao.b)TRELIAPRATTouN-utilizadanaconstruo de pontes de madeira ou ao.c)TRELIAWARREN-tambmutilizadanaconstruodepontesdemadeira ou ao.d)TRELIAHOWEDECONTORNOTRIANGULAR-muitoutilizadanaconstruo de telhados.e)TRELIAPRATTDECONTORNOTRIANGULAR-utilizadanaconstruo de telhados.f)TRELIABELGADECONTORNOTRIANGULAR-tambmutilizadanaconstruo de telhados.a)TRELIAPONCELEAUouFINK-utilizadanaconstruodetelhados.b)PRTICOTRELIADOTRI-ARTICULADO-utilizadonaconstruodegalpesindustriais.comum,nestesgalpes,utilizar-senavedaolateraltelhasdefibrocimento ou chapas de madeiracompensada.FIG. 229 - Exemplos de trelias isostticas compostasOBS.:Nestecasoa"ChapaTerra"agecomobarrabi-rotulada121a)TRELIA DE SHUKHOVb)TRELIA DE DIAGONAISCONVERGENTESFIG. 230 - Exemplos de trelias isostticas complexas6.3. NOMENCLATURA UTILIZADA comum, utilizar-se, para as barras das trelias, a seguinte nomenclatura:Banzo superior - Barras do contorno superior da trelia.Banzo inferior - Barras do contorno inferior da trelia.Montantes - Barras verticais, e as vezes perpendicular ao banzo superior, internas datrelia.Diagonais - Barras inclinadas e internas da trelia.Diagonal(oumontante)deapoio-Soasdiagonais(oumontantes)datreliaquefazem parte de seu contorno e situam-se sobre um apoio.Afigura231exemplificaestanomenclatura,mostrandotambmumcasonoqualnopossvel identificar os banzos superior e inferior (item d).FIG. 231 - Nomenclatura utilizada nas trelias1226.4. CLCULO DE ESFOROS NAS BARRAS DE TRELIAS ISOSTTICASParaobtenodosesforosnormaisnasbarrasdetreliasisostticasplanasexistemmtodosanalticosemtodosgrficos.Entreosprimeirosdestacam-seoMTODODERITTEReoMTODODOSNS(Equilbriodens)eentreosmtodosgrficosdestacam-se o EQUILBRIO GRFICO DOS NS e o PLANO CREMONA.a) Mtodo de RitterO mtodo de Ritter indicado quando se deseja determinar esforos em poucas barras datrelia,consisteem"cortar"atrelia,portrsbarrasnoconcorrentes,substituindoestasbarras pelos esforos normais (incgnitas) no sentido positivo (trao) e equilibrar uma daspartesdaestrutura.Conformeasequaesutilizadasnoequilbrioomtodosesubdivideem MTODO DOS MOMENTOS e MTODO DAS CORTANTES.O MTODO DOS MOMENTOS indicado quando as trs barras por onde se far o corteso concorrentes duas a duas. Neste caso, no ponto de interseo de duas barras, faz-seoequilbriodemomentosemumadaspartesdaestruturaobtendo-seoesforonormalnaterceira barra.EXEMPLO 1 - Calcular os esforos normais nas barras 2-4, 2-5 e 3-5 (N2-4, N2-5 e N3-5) datrelia representada na figura 232.FIG. 232 - Exemplo 1Calculando-se as reaes de apoio, obtm-se:123FIG. 233 - Reaes de apoio e posio do corte I-ICortando-seaestrutura,corteI-I,ecolocando-seosesforosnormaiscomseusentidopositivo, trao, obtm-se:FIG. 234 - Corte da estruturaFazendo-seoequilbriodemomentosnon5,pontodeinterseodasbarras2-5e3-5,para a parte esquerda da estrutura, pode-se obter o esforo na barra 2-4, isto , N2-4, comosegue:= 05M0 50 1 4000 00 3 2000 00 3 120001 4 2= + r . N , . , . , .14 224000rN= O valor de rl obtido atravs de relaes geomtricas, assim:Do tringulo formado pelos ns l, 6 e 7, obtm-se:124" ' ,,,tgo45 57 23 444 050 400 2 = Do tringulo formado pelos ns 1 e 5 e pelo ponto A, obtm-se:m , r sen . , r,rsen 218 1 00 300 31 11 = = Obtendo-se para N2-4:N N,NrN 19704218 124000 240004 2 4 214 2 = = (compresso)Fazendo-seoequilbriodemomentosnonl,pontodeinterseodasbarras2-4e3-5,para a parte esquerda da estrutura, pode-se obter o esforo na barra 2-5, isto N2-5, comosegue:= 01M 0 50 1 40002 5 2= + r . N , .25 26000rN= O valor de r2 obtido atravs de relaes geomtricas, assim:Os tringulos 1,2,3 e 2, 3, 5 so iguais, pois tm dois lados iguais (1,50m e r3) e um nguloigual (90). Desta forma, do tringulo formado pelos ns 1 e 5 e pelo ponto B, obtm-se:m , r sen . , r,rsen 218 1 00 300 32 22 = = Obtendo-se, para N2-5:N N,NrN 4926218 16000 60004 2 5 225 2 = = (compresso)Fazendo-seoequilbriodemomentosnon2,pontodeinterseodasbarras2-4e2-5,para a parte esquerda da estrutura, pode-se obter o es foro na barra 3-5, isto , N3-5, comosegue:= 02M 0 50 1 2000 50 1 120003 5 3= r . N , . , .35 315000rN = O valor de r3 obtido atravs de relaes geomtricas, assim:Do tringulo formado pelos ns 1,2 e 3, obtm-se: tg . , r,rtg 50 150 133= =125Do tringulo formado pelos ns 1,6 e 7, obtm-se:" ' ,,,tgo45 57 23 444 050 400 2 = Assim:m , r , . , tg . , r 667 0 444 0 50 1 50 13 3 = = Obtendo-se, para N3-5:N N,NrN 22500667 015000 150005 3 5 335 3 = = (trao)OMTODODASCORTANTES,poroutrolado,indicadoparaseobterosesforosnormaisemummontantee/ouumadiagonalem treliasdebanzosparalelos.Nestecaso,faz-se o equilbrio vertical em uma das partes, aps o "corte", da estrutura.EXEMPLO2-Calcularosesforosnormaisnasbarras5-6e5-8(N5-6eN5-8)datreliarepresentada na figura 235.FIG. 235 - Exemplo 2Calculando-se as reaes de apoio, obtm-se:126FIG. 236 - Reaes de apoio e posies dos cortes I-I e II-IICortando-se a estrutura, cortes I-I e II-II, e colocando-se esforos normais com seu sentidopositivo, trao, obtm-se:FIG. 237 - Corte I-I da estruturaFIG. 238 - Corte II-II da estrutura127Fazendo-seoequilbrioverticaldaparteesquerdadaestrutura,nocorteI-I,obtm-seoesforo na barra 5-6, isto , N5-6, como segue:( ) N N N Fv10000 0 10000 06 5 6 5= = + + = (trao)Fazendo-seoequilbrioverticaldaparteesquerdadaestrutura,nocorteII-II,obtm-seoesforo na barra 5-8, isto , N5-8, como segue:( )cosN cos . N Fv100000 10000 08 5 8 5= = + = O ngulo obtido de relaes geomtricas, assim:m , diagonal da o compriment 243 4 3 32 2 + =707 0243 400 3, cos,,cos = Obtendo-se, para N5-8:N N, cosN 14144707 010000 100008 5 8 5 == (compresso)b) Mtodo dos nsOmtododosns,tambmconhecidoporEQUILBRIODENS,omtodoanalticomaisindicadoquandosedesejaobterosesforosnormaisemtodasasbarrasdatrelia.Consistedoequilbriodecadanisoladamente,atravsdasequaes = 0xFe= 0yF. Para que o mtodo fique mecnico pode-se utilizar o seguinte roteiro:ROTEIROPARACLCULODOSESFOROSNASBARRASDEUMATRELIA PELO MTODO DOS NS.1.Clculo das reaes de apoio2.Clculo dos comprimentos das barras e dos ngulos entre as barras da trelia3.Clculo dos esforos nos ns3.1. Isolar um n, para o qual concorrem apenas duas barras, substituindo cadabarraporseuesforonormal(incgnita)admitidocomosendodetrao(saindodon).Emseguida,adotarumsistemadecoordenarx,ycomorigem no n e aplicar as equaes de equilbrio = 0xF e = 0yF,obtendo os esforos nas barras. O sinal do esforo obtido indica se a fora de trao (sinal +) ou de compresso (sinal -).3.2. Isolar outro n, em uma das barras do n anterior e para o qual concorramapenasduasnovasbarras.Repetirparaestenasmesmasoperaes128descritas no passo 3.1, aproveitando os resultados do n anterior e obtendoos esforos nestas duas novas barras.3.3.Repetiropasso3.2,atqueterminemosnsouqueseconheam,porsimetria, os esforos nas outras barras.4.Fornecer a soluoEXEMPLO 3 - Calcular os esforos, normais em todas as barras da trelia representada nafigura 239.FIG. 239 - Exemplo 3Conforme se viu anteriormente, a trelia uma estrutura formada por ns e barras, na qual,cadabarrapossuiumanicaforanormal.Separando-seoselementosdatreliaecolocando-se os esforos normais, no sentido positivo, obtm-se o esquema da figura 240,que ser bastante til no entendimento dos clculos expostos a seguir.FIG. 240 - Trelia: um conjunto de elementos em equilbrioCalculando-se as reaes de apoio, obtm-se:129FIG. 241 - Reaes de apoioOclculodoscomprimentosdasbarrasedosngulosentreasbarrasdatrelia,feitoatravs de relaes geomtricas e da aplicao do teorema de Pitgoras, obtendo-se, para oexemplo dado:FIG. 242 - Comprimentos das barras e ngulos entre as barrasClculo dos esforos no N 1FIG. 243 - N 1( ) = + = 0 45 57 23 02 1 3 1" ' cos . N N Fox2 1 3 19138 0 = N . , N( ) = + =0 15 2 66 2000 12000 02 1" ' cos . N FoyN N 246222 1 = (compresso)Substituindo-se na outra equao:( ) N N . , N 22500 24622 9138 03 1 3 1 = (trao)130Clculo dos esforos no N 3FIG. 244 - N 3 = =0 22500 05 3N FxN N 225005 3= (trao)N N Fy0 03 2= =Clculo dos esforos no N 2N2-3 no foi representado, poisN2-3=0NFIG. 245 - N 2( )+ + + = " ' cos . N N Fox30 55 47 24622 05 2 4 2( ) = 0 15 2 66 4000 " ' cos .o22997 6701 05 2 4 2 = + N . , N( )+ =" ' cos . Foy30 4 23 4000 0( ) = 0 30 4 425 2" ' cos . NoN N 49242 1 = (compresso)Substituindo-se na equao= 0xF , obtm-se:( ) = +22997 4924 6701 04 2. , NN N 196974 2 (compresso)Clculo dos esforos no N 5FIG. 246 - N 5( ) = + =0 45 57 23 4924 22500 07 5" ' cos . N FoxN N 180007 5(trao)( ) = =0 15 2 66 4924 05 4" ' cos . N FoyN N 20005 4= (trao)131Clculo dos esforos no N 4FIG. 247 - N 4( )+ + + = " ' cos . N N Fox46 35 65 19697 07 4 6 4( ) ( ) = 0 15 2 66 2000 15 2 66 4000 " ' cos . " ' cos .o o17260 4132 07 4 5 4 + N . , N( ) ( )+ =" ' cos . " ' cos . Fo oy45 57 23 2000 45 57 23 4000 0( ) = 0 14 24 247 4" ' cos . NoN N 60217 4 = (compresso)Substituindo-se na equao= 0xF , obtm-se:( ) +17260 6021 4132 05 4. , NN N 147726 4 (compresso)Clculo dos esforos no N 6FIG. 248 - N 6( ) ( ) = + =0 45 57 23 14772 45 57 23 08 6" ' cos . " ' cos . N Fo oxN N 147728 6 (compresso)( )+ + =" ' cos . N Foy15 2 66 14772 4000 07 6( ) = 0 15 2 668 6" ' cos . No( ) 1999 15 2 668 6 7 6= + " ' cos . N NoSubstituindo-se o valor de N6-8, obtm-se:( ) ( ) = +1999 15 2 66 147727 6" ' cos . NoN N 79987 6 (trao)Nesteponto,porsimetria,conhece-se,emfunodosresultadosobtidos,osesforosemtodasasbarrasdatrelia.Sendocomumfornecerasoluo,emformadetabela,comosegue:132TAB. 1 - TABELA DE ESFOROS NORMAIS (EXEMPLO 3)TIPO BARRA FORA NORMALN (N)BANZOSUPERIOR1-22-44-66-88-1010-12-24622-19697-14772-14772-19697-24622BANZOINFERIOR1-33-55-77-99-1111-12225002250018000180002250022500MONTANTES2-34-56-78-910-11Zero200079982000ZeroDIAGONAIS2-54-77-89-10-4924-6021-6021-4924CONVENO DE SINAIS() Barra comprimida(+) Barra tracionadac)Equilbrio grfico dos nsO equilbrio grfico dos ns, um mtodo grfico para se deter minar os esforos normaisnasbarrasdeumatrelia.Estemtodoequivalenteaomtododosns,expostoanteriormente,tendocomodiferenaseroequilbriodecadanfeitograficamente,emescala,traando-seopolgonodeforaseimpondoseufechamento.Osesforosnormaissomedidos,emescala,nodesenhoeseusinalobtidodacomparaoentreosentidoobtidonodesenhoeosentidodoesforopositivo(saindodon).usual,naaplicaodestemtodo,fazertodososequilbriosemumanicafolha,naqual,desenha-seinicialmenteatrelia,emescala,possibilitando,porparalelismo,obteradireodecadafora normal.EXEMPLO4-Obtergraficamenteosesforos,normais,emtodasasbarrasdatreliarepresentada na figura 249. As reaes de apoio foram obtidas analiticamente.133FIG. 249 - Exemplo 4, j com suas reaes de apoioClculo dos esforos no n 1FIG. 250 - Equilbrio grfico do n 1Clculo dos esforos no n 3FIG. 251 - Equilbrio grfico do n 3134Clculo dos esforos do n 2FIG. 252 - Equilbrio grfico do n 2Clculo dos esforos do n 5FIG. 253 - Equilbrio grfico do n 5Clculo dos esforos no n 4FIG. 254 - Equilbrio grfico do n 4135Clculo dos esforos no n 6FIG. 255 - Equilbrio grfico do n 6Osdemaisesforos,porsimetria,soconhecidoseoresultadopodeserapresentadoconforme a figura 256.FIG. 256 - Soluo do exemplo 4Oerrogrficocometidonestemtododesprezvel,frenteamagnitudedosesforosnormaisnasbarras,nocasodoexemploobservou-se,emrelaoaoexemplo3,umerromximo de 2,22%.d ) Plano CremonaOPlanoCremona,omtodogrficomaisutilizadoparadeterminaodeesforosemtrelias, consiste no equilbrio grfico dos ns em um nico desenho, sem isolar cada n. Omtodo segue um roteiro bem determinado, descrito a seguir:ROTEIROPARAOTRAADOEINTERPRETAODOPLANOCREMONA1.Clculo das reaes de apoio;1362.Desenharatreliaemescalaeadotarumsentidodecaminhamento,esteprocedimento til para a seqencializao e interpretao do Plano Cremona;3.Enumerar,seguindoosentidodecaminhamento,oscamposentreduasforas(oubarras).comumutilizar-seletrasmaisculasparaenumeraroscamposentreforasexternaseletrasminsculasparaoscamposentreforas(barras)internas;4.Adotar uma escala de foras;5.Traaropolgono deforas externas, emescala,nestepassopode-severificar,atravs do fechamento do polgono de foras, se o clculo das reaes de apoioest correto, entretanto a equao = 0OM , no verificada;6.Traa-seoPlanoCremona,lembrandoqueparamudardeumcampooutroexiste uma fora de direo definida pela barra da trelia entre os campos;7.Verifica-se,atravsdoerrodefechamento,aqualidadedoPlanoCremona,refazendo-o se necessrio. Aceita-se, na prtica, um erro no superior a 5%;8.Finalmente,procede-seaLEITURADOSESFOROSobtidosnoPlanoCremona.Paraistocadabarraassociadaaoscamposquealadeiam(pardeletras):8.1. A MAGNITUDE, OU VALOR, DO ESFORO a distncia, na escala deforas, entre o par de letras, no Plano Cremona, que representam os camposque ladeia a barra;8.2. O SENTIDO, OU SINAL, DO ESFORO obtido aplicando-se a seguinteseqncia de operaes:a)Fixa-se, no desenho da trelia, um dos ns da barra que se deseja obter osentido;b)Aplica-se,nestabarra(aindanodesenhodatrelia),osentidodaforade trao (saindo do n, previamente fixado);c)Aplica-se,aonpreviamentefixado(aindanodesenhodatrelia),osentidodecaminhamento(adotadoem2.)eobserva-seaseqnciadopar de letras que representam os campos que ladeiam a barra;d)Aplica-se, agora no Plano Cremona, a seqncia do par de letras (obtidaem 8.2.c) definindo um sentido para o esforo na barra (da letra inicial final);e)Finalmente, compara-se o sentido do esforo, obtido em 8.2.d (no PlanoCremona),comodaforadetrao,definidaem8.2.b(nodesenhodatrelia),seforemiguaisaforanabarradetrao(sinal+),sediferentes a fora de compresso (sinal ).OBS.:Quandoatreliaeocarregamentososimtricospossveltraar-seoPlanoCremonaapenas para meia trelia. Entretanto, a verificao,atravsdoerrode fechamento, da qualidade do Plano Cremona, depende de cada caso.Paramelhorentendimentodomtodo,apresentam-seaseguiralgunsexemplos,paraosquais as reaes de apoio foram previamente obtidas, analiticamente.137FIG. 257 - Exemplo 5 (Plano Cremona)138FIG. 258 - Exemplo 6 (Plano Cremona)139FIG. 259 - Exemplo 7 (Plano Cremona)140FIG. 260 - Exemplo 8 (Plano Cremona)6.5. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS LINEARESObtidos os esforos nas barras de uma trelia, a verificao da resistncia, destas barras, traooucompressoimediata(veritem4.1).Almdaresistncia,oestudodosdeslocamentos(flechas)causadospelasdeformaesdasdiversasbarrasdatrelia,sefaznecessrio.141OcaminhomaissimplesparaseobterosdeslocamentosatravsdoPrincipiodosTrabalhos Virtuais.Naexposiosobreoassuntoaparecemtermos,cujossignificadosdevemsercompreendidospriri.Como,porexemplo,apalavraVIRTUALquesignifica:"susceptvel de exercer-se, embora no esteja em exerccio".PorDESLOCAMENTOVIRTUALentende-seumdeslocamentohipotticoinfinitesimal,deumpontoousistemadepontosmateriais.Odeslocamentosupostoinfinitesimaldemodoanoalteraraconfiguraoestticaegeomtricadosistemaedasforasqueneleatuam, no violando as condies de equilbrio a que tais foras obedecem. Alm disso odeslocamentovirtualcausadoporumaaoexternaqualquer,cujaorigemnoobjetodediscusso.Cumpreressaltar,todavia,queaaoexternacausadoradodeslocamentovirtual independente das foras externas que mantm a estrutura em equilbrio.O estudo sobre o assunto ser apresentado em etapas. Inicialmente estudar-se- o PrincipiodosTrabalhosVirtuaisaplicadoacorposrgidosideais,comentando-se,emseguida,suaaplicaoaoscorposdeformveis,chegando-seasuaaplicaostrelias,motivopeloqualseiniciouoestudoe,finalmente,generalizandosuaaplicaoaestruturasformadaspor chapas.a)Princpio dos trabalhos virtuais aplicado a corpos rgidos ideaisO Principio dos Trabalhos Virtuais, quando aplicado a corpos rgidos ideais, afirma que: "acondio necessria e suficiente para o equilbrio ser nula a soma dos trabalhos virtuaisdetodasas"foras"externas,emtodososdeslocamentosvirtuaisindependentes,compatveis com as ligaes do sistema".A assertiva do principio, assenta-se em que: se o corpo rgido est em equilbrio ento:= o Fh= o Fv= o MoOsdeslocamentosindependentesdeumcorporgidoso:translaohorizontal(),translao vertical () e rotao ().Assim o trabalho realizado pelas foras externas (Text) ser: + + =o v h extM . F . F . T + + =o v h extM . F . F . T 1420 =extTEq. 24A equao 24, conduz assertiva do princpio, descrita anteriormente.Por outro lado, o trabalho total (T) a soma dos trabalhos das foras externas (Text) e dasforas internas (Tint).int extT T T + = Eq. 25Entretanto,otrabalhodasforasinternas,quecausariamdeformaesnocorpo,nulo,pois corpos rgidos no se deformam sob a ao de um sistema de foras, ento:0 =intT0 = + =int extT T T0 = T Eq. 26Podendo-sedizer,deformageral,que:"Corposemequilbrioteronulo,seutrabalhototal".b)Princpio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos deformveisParaoscorposdeformveis,oprincipio,afirmaque:"emestruturasdeformveisemequilbrio, a soma dos trabalhos virtuais das "foras" externas em um deslocamento virtualcompatvelcomassuasligaes,igualaotrabalhovirtualinterno,realizadopelosesforos internos na deformao dos elementos da estrutura".Esta assertiva tem por fundamentao as equaes 25 e 26 e ainda o fato de que o trabalhodasforasinternas,queprocuraimpedirodeslocamento,seopeaotrabalhodasforasexternas.Assimossentidosdestestrabalhossoopostos,oqueimplicaaalteraodaequao 25, para:int extT T T =Aplicando-se a equao 26, pois a estrutura est em equilbrio, obtm-se:0 = =int extT T Tint extT T = Eq. 27A equao 27, conduz assertiva do principio descrita anteriormente.c)Aplicao do princpio dos trabalhos virtuais s treliasSeja uma trelia em equilbrio sob a ao de um sistema de foras, a deformao de cadabarra, tracionada ou comprimida, desta trelia ser dada, segundo a lei de Hooke, por:143i ii iiA . E . Nll = Sendo:li = deformao da barra i;Ni= fora normal atuante na barra i;li = comprimento da barra i;Ei

= mdulo de elasticidade da barra i, eAi= rea da seo transversal da barra i.Sedeterminadondatreliasofrerumdeslocamento(v),causadoporumaforaexterna(Fv), aplicada a este n com a direo e sentido do deslocamento. Para equilibrar esta foraapareceronasbarrasdatreliaesforos(Nvi).Nestasituaootrabalhodasforasexternas ser:v . F Tv ext =e o trabalho interno, realizado por cada barra, ser:i vi i. N T l =i ii i viiA . E. N . NTl=ficando o trabalho interno, de todas as barras, de:==nii ii i viintA . E. N . NT1lAplicando-se o Principio dos Trabalhos Virtuais, na forma da equao 27, obtm-se:int extT T ===nii ii i vivA . E. N . Nv . F1lSabendo-se que os esforos (Nvi) nas barras so proporcionais fora (Fv) aplicada, ento:v i viF . N N =( )==nii ii i v ivA . E. N . F . Nv . F1l144==nii ii i iv vA . E. N . N. F v . F1l==nii ii i iA . E. N . Nv1lEq. 28Sendo:v= deslocamento (flecha) de um n da trelia;iN = esforo, na barra i, devido a um carregamento unitrio, na posio e direo de v;iN = esforo, na barra i, devido ao carregamento da trelia, em equilbrio;li = comprimento, da barra i;Ei = mdulo de elasticidade, da barra i;Ai = rea da seo transversal, da barra i, en = nmero de barras da trelia.Desta forma, para se obter o deslocamento (flecha) em um determinado n, de uma trelia,pode-se utilizar o seguinte roteiro:ROTEIROPARACLCULODAFLECHAEMUMNDEUMATRELIA1.Obter os esforos (iN ), nas barras da trelia para o carregamento dado.2.Obterosesforos(iN ),nasbarrasdatreliaparaumcarregamentounitrio,aplicado ao n considerado e com a direo do deslocamento (v) desejado.3.Aplicar a equao 28, obtendo o valor do deslocamento (v) desejado.EXEMPLODEAPLICAO-Calcularodeslocamentoverticaldon7,datreliarepresentada na figura 261. A figura 262 fornece as reas das sees transversais das barrase respectivos mdulos de elasticidade. A figura 263 fornece os comprimentos das barras.FIG. 26l - Exemplo dado145FIG. 262 - rea e Mdulo de Elasticidade das barrasFIG. 263 - Comprimentos das barrasO primeiro passo, na resoluo do problema, obter os esforos (iN ), nas barras da treliapara o carregamento dado. Estes esforos podem ser obtidos, por exemplo, atravs de umPlano Cremona (ver figura 259), cujos resultados so apresentados na figura 264.FIG. 264 - Esforos nas barras devido ao carregamento dadoEmseguida,devemserobtidososesforos(iN ),nasbarrasdatreliaparaumcarregamentounitrioaplicadoaon7,nadireododeslocamentodesejado.Estesesforos podem ser obtidos, atravs do Plano Cremona representado na figura 265.Finalmente,aplicando-seaequao28,comoauxiliodatabela2,obtm-seodeslocamento (v) desejado.146FIG. 265 - Clculo dos esforos, devido ao carregamento unitrio147TAB. 2 - TABELA AUXILIAR PARA O CLCULO DA FLECHAEsforosTipo BarraComprimentoli (mm)Mdulo deElasticidadeEi (MPa)reaAi(mm2)iN(N)iNi ii i iA . E. N . N l(mm)BanzoSuperior1-22-44-66-88-1010-12164116411641164116411641923192319231923192319231960096009600960096009600-24400-19500-14600-14600-19500-24400-1,23-1,23-1,23-1,23-1,23-1,230,5560,4440,3330,3330,4440,556BanzoInferior1-33-55-77-99-1111-121500150015001500150015009231923192319231923192317200720072007200720072002220022200178001780022200222001,121,121,121,121,121,120,5610,5610,4500,4500,5610,561Montantes2-34-56-78-910-116671333200013336679231923192319231923172007200720072007200020008000200000,000,001,000,000,000,0000,0000,2410,0000,000Diagonais2-54-77-89-10164120072007164192319231923192313600720072003600-5000-6000-6000-50000,000,000,000,000,0000,0000,0000,000= ==nii ii i iA . E. N . Nv1l6,051 mmd)Aplicao do princpio dos trabalhos virtuais s estruturas formadas por chapasEmsuaformageral,oclculododeslocamento(v)deumdeterminadopontodeumaestrutura,assumeaformadaequao29.Estaequao,advmdaaplicaodoPrincipiodos Trabalhos Virtuais s estruturas formadas por chapas, cuja deduo ser, aqui, omitida. + + =Estrutura Estrutura EstruturadxI . EM . MdxA . GV . V. c dxA . E N . NvEq. 29( I )( II )( III )Sendo:v= deslocamento (flecha) de um determinado ponto da estrutura;148M,NeV=diagramasde:momentofletor,foranormaleforacortante,paraocarregamento aplicado estrutura;M ,NeV= diagramas de: momento fletor, fora normaleforacortante,paraumacarga unitria aplicada na posio e direo do deslocamento (v) desejado;E= mdulo de elasticidade;A= rea da seo transversal;G= mdulo de elasticidade transversal, eI = momento de inrcia da seo.Aequao29,paratreliasficareduzidaequao28,vistaanteriormente,poisemtreliasasintegrais(II)e(III)seanulamporserV=0eM=0.Discretizando-se,ento,aintegral (I), obtm-se:== =nii ii i iEstruturaA . E. N . NdxA . E N . Nv1lPara o clculo de deslocamentos verticais, em vigas, a integral (I) se anula, pois N=0, e aintegral(II)podeserdesprezada,frenteamagnitudedosresultadosobtidosdaintegral(III).Assim,aflecha(v)emdeterminadaseodeumaviga,cujarigidezcontraflexo(E.I) constante, dada por:=EstruturadxI . EM . Mv=Estruturadx . M . MI . Ev1 Eq. 30Oclculodaintegral,constantedaequao30,podeserfeitoatravsdatabelaparaintegrais de produtos de duas funes (tabela 3), tornando-se relativamente simples.Assim o clculo de flechas, em vigas de seo constante de um mesmo material, pode serrealizado atravs do seguinte roteiro:ROTEIROPARACLCULODAFLECHAEMDETERMINADAPOSIO DE UMA VIGA DE SEO CONSTANTE1.Traar o diagrama de momento fletor (M), para o carregamento dado.2.Traarodiagramademomentofletor( M ),paraumcarregamentounitrio,aplicado na posio e com a direo do deslocamento (v) desejado.Utilizando-seatabelaparaintegraisdeprodutosdeduasfunes(tabela3)calcular: Estruturadx . M . M3.Aplicar a equao 30, obtendo o valor do deslocamento (v) desejado.149TAB. 3 - INTEGRAIS DE PRODUTOS DE DUAS FUNESl0dx ). x ( ). x ( f Nmero I II III IV VNmero) x ( ) x ( f1 . a . .21l . a . .31l ( ) + . . a . . 261l . a . .31l . a . .41l2 . b . .21l . b . .61l ( ) . . b . . 261+ l . b . .31l . b . .121l3( ) . b a . . +21l ( ) . b a . . . + 261l( ) + + . . a .[ . 261l( )] . . b 2 + +( ) . b a . . +31l ( ) . b a . . . + 3121l4 . a . .31l . a . .41l ( ) + . . a . . 3121l . a . .51l . a . .51l5 . b . .31l . b . .121l ( ) . . b . . 3121+ l . b . .51l . b . .301l6 . a . .32l . a . .125l ( ) . . . a . . 3 5121+ l . a . .157l . a . .103l7 . b . .32l . b . .41l ( ) . . . b . . 5 3121+ l . b . .157l . b . .152l8 . c . .32l . c . .31l ( ) + . c . .31l . c . .158l . c . .151l9 . c . .21l . c . .41l ( ) + . c . .41l . c . .1215l . c . .487l10 . c . .21l . c . .62l( ) + 261.. .[ c . . l( )] . + + 1 . c . .312 +l . c . .312+ +l11 . a . .41l . a . .61l ( ) + . . a . . 4201l . a . .152l . a . .61l12 . b . .41l . b . .201l ( ) . . b . . 4201+ l . b . .152l . b . .601l[ ]l02dx . ) x ( 2 . l 231 . . l( )2 231 + + . . . l2158 . . l251 . . l ou o ponto significa que a tangente curva horizontal150EXEMPLO DE APLICAO - Calcular a flecha (deslocamento vertical), na seo sob acarga concentrada, para a viga representada na figura 266.FIG. 266 - Exemplo dadoOprimeiropasso,naresoluodoproblema,traarodiagramademomentofletor(M)para o carregamento dado, conforme figura 267.FIG. 267 - Diagrama de momento fletor (M), para o carregamento dadoO segundo passo, na resoluo do problema, traar o diagrama demomento fletor ( M )paraumcarregamentounitrio,naposioedireodaflechadesejada,conformerepresentao na figura 268.O terceiro passo, na resoluo do problema, calcular, utilizando a tabela 3, a integral, aolongo da estrutura, do produtoM . M , para isto deve-se separar a estrutura em trechos, deforma a se obter produtos constantes da tabela 3. + + = =m ,m ,m ,m ,m ,m ,m ,m , Estruturadx . M . M dx . M . M dx . M . M dx . M . M dx . M . M00 650 450 400 300 300 000 600 0151FIG. 268 - Diagrama de momento fletor ( M ), para o carregamento unitrioTrechoABFIG. 269 - Decomposio, para o trechoAB , em produtos tabeladosCalculando-se, com o auxilio da tabela 3, estas integrais de produtos, obtm-se:300 300 04078 5 562 75 03100 3 4875 75 03100 3 m . N , . , . . , . , . . , dx . M . Mm ,m ,+=(1.II) (1.IV)152TrechoBCFIG. 270 - Produto tabelado, para o trechoBCCalculando-se, com o auxilio da tabela 3, a integral deste produto, obtm-se:( ) ( ) [ ]350 400 37840 5 6187 2 4875 125 1 5 6187 4875 2 75 06150 1 m . N , . . , , . . , . . , dx . M . Mm ,m , + + + =(3.III)TrechoCDFIG. 271 - Produto tabelado, para o trechoCDCal