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Universidade Federal do Cear Centro de Tecnologia Data: 09/09/2014Curso de Engenharia de Energias e Meio Ambiente Mtodos Numricos para EEMAAtividade Computacional Razes de Polinmios 2014.2Prof. Tarcisio Ferreira Maciel, Dr.-Ing.
Exerccio 1. Considere um polinmio pn(x) de grau n com n + 1 coeficientes reais da forma
pn(x) = anxn + an1xn1 + an2xn2 + . . . + a2x2 + a1x + a0,
=
ni=0
aixi, com an 6= 0,
(1)
e n razes reais x1, x2, x3, . . ., xn. Um algoritmo eficiente para o clculo das razes de pn(x) o algoritmode Briot-Ruffini-Horner, tambm chamado de algoritmo de deflao polinomial, que obtido reescrevendopn(x) como
pn(x) = (. . . (
b0 b2
bn1 anbn
x + an1)x + an2)
bn2
x + . . . + a2)x + a1)
b1
x + a0 . (2)
De acordo com a equao acima, podemos definir
bn = an,
bn1 = anx + an1 = bnx + an1,bn2 = (anx + an1)x + an2 = bn1x + an1,. . .
b2 = (. . . (anx + an1)x + an2)x + . . . + a2 = b3x + a2,b1 = (. . . (anx + an1)x + an2)x + . . . + a2)x + a1) = b2x + a1,b0 = (. . . (anx + an1)x + an2)x + . . . + a2)x + a1)x + a0 = b1x + a0 = pn(x),
(3)
Na formulao acima, x uma raiz de pn(x) pn(x) = 0 b0 = 0. Aplicando a bi para i = 1, 2, . . . , n, omesmo algoritmo aplicado a ai para i = 0, 1, 2, . . . , n, podemos gerar
cn = bn,
cn1 = cnx + bn1,cn2 = cn1x + bn2,. . .
c2 = c3x + b2,
c1 = c2x + b1.
(4)
possvel mostrar que c1 = pn(x). Como pn(x) um polinmio, o mtodo de Newton para o mesmo pode ser
expresso como xi+1 = xi b0(xi)c1(xi)
. Se x uma raiz de pn(x), ento os coeficientes bn, bn1, . . . , b2, b1, so
os coeficientes do polinmio qn1(x) de grau n 1 ondepn(x) = (x x)qn1(x), (5)
e todas as razes de qn1(x) so tambm razes de pn(x). Assim, o processo acima pode ser repetido paraqn1(x) gerando um novo polinmio qn2(x) de grau n 2, e assim sucessivamente, permitindo determinartodas as razes de p(x).
1. Com base no exposto acima e nas referncias bibliogrficas do curso, implemente em Octave (ou MATLAB)o algoritmo de Briot-Ruffini-Horner para o clculo das razes de um polinmio.
2. Apresente um relatrio sucinto contendo uma introduo sobre o tema "clculo de razes de polinmios",uma descrio matemtica do mtodo Briot-Ruffini-Horner apresentando seus principais aspectos, umaimplementao do algoritmo em Octave (ou MATLAB) e um exemplo de aplicao comparando o resultadodo seu cdigo (e.g., em termos de tempo de execuo e preciso dos resultados) ao das funes proprietriasdo Octave (ou MATLAB).
3. A atividade dever ser desenvolvida em grupo de no mais que 03 alunos. Todos os membros do grupodevem ter domnio completo sobre todo o contedo da atividade. A atividade deve ser entregue na forma derelatrio obedecendo o Guia de Normalizao de Trabalhos Acadmicos da UFC.
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