Universidade Federal do Cear Centro de Tecnologia Data:
09/09/2014Curso de Engenharia de Energias e Meio Ambiente Mtodos
Numricos para EEMAAtividade Computacional Razes de Polinmios
2014.2Prof. Tarcisio Ferreira Maciel, Dr.-Ing.
Exerccio 1. Considere um polinmio pn(x) de grau n com n + 1
coeficientes reais da forma
pn(x) = anxn + an1xn1 + an2xn2 + . . . + a2x2 + a1x + a0,
=
ni=0
aixi, com an 6= 0,
(1)
e n razes reais x1, x2, x3, . . ., xn. Um algoritmo eficiente
para o clculo das razes de pn(x) o algoritmode
Briot-Ruffini-Horner, tambm chamado de algoritmo de deflao
polinomial, que obtido reescrevendopn(x) como
pn(x) = (. . . (
b0 b2
bn1 anbn
x + an1)x + an2)
bn2
x + . . . + a2)x + a1)
b1
x + a0 . (2)
De acordo com a equao acima, podemos definir
bn = an,
bn1 = anx + an1 = bnx + an1,bn2 = (anx + an1)x + an2 = bn1x +
an1,. . .
b2 = (. . . (anx + an1)x + an2)x + . . . + a2 = b3x + a2,b1 = (.
. . (anx + an1)x + an2)x + . . . + a2)x + a1) = b2x + a1,b0 = (. .
. (anx + an1)x + an2)x + . . . + a2)x + a1)x + a0 = b1x + a0 =
pn(x),
(3)
Na formulao acima, x uma raiz de pn(x) pn(x) = 0 b0 = 0.
Aplicando a bi para i = 1, 2, . . . , n, omesmo algoritmo aplicado
a ai para i = 0, 1, 2, . . . , n, podemos gerar
cn = bn,
cn1 = cnx + bn1,cn2 = cn1x + bn2,. . .
c2 = c3x + b2,
c1 = c2x + b1.
(4)
possvel mostrar que c1 = pn(x). Como pn(x) um polinmio, o mtodo
de Newton para o mesmo pode ser
expresso como xi+1 = xi b0(xi)c1(xi)
. Se x uma raiz de pn(x), ento os coeficientes bn, bn1, . . . ,
b2, b1, so
os coeficientes do polinmio qn1(x) de grau n 1 ondepn(x) = (x
x)qn1(x), (5)
e todas as razes de qn1(x) so tambm razes de pn(x). Assim, o
processo acima pode ser repetido paraqn1(x) gerando um novo
polinmio qn2(x) de grau n 2, e assim sucessivamente, permitindo
determinartodas as razes de p(x).
