Atividades de Reforço em Cálculo - WordPress Institucional · Exemplo. Considerando o triângulo...

Instituto de Física e Matemática

Pró-reitoria de Ensino

Universidade Federal de Pelotas

Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas

Atividades de Reforço em CálculoMódulo de

2018/1

Aula 01

GAMAGrupo de Apoio em

Matemática

Projeto

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Cateto Adjacenteao ângulo 𝛼

Vértice 𝐴 Vértice 𝐶

Cateto Oposto ao ângulo 𝛼

Vértice 𝐵Hipotenusa

Ângulo interno relativo ao vértice 𝐶

Considere o triângulo retângulo a seguir

Ângulo reto

𝐴

𝐵

𝐶𝑏

𝑐𝑎𝛽

𝛼

Ângulo interno relativo ao vértice 𝐵

Cateto Adjacente ao ângulo 𝛽

Cateto Opostoao ângulo 𝛽

Trigonometria no Triângulo Retângulo

sin 𝛼 =𝑐

𝑎

Razão SenoDivisão do cateto oposto pela hipotenusa

sin𝛽 =𝑏

𝑎

cos 𝛼 =𝑏

𝑎

Razão CossenoDivisão do cateto adjacente pela hipotenusa

cos 𝛽 =𝑐

𝑎

tan𝛼 =𝑐

𝑏

Razão TangenteDivisão do cateto oposto pelo cateto adjacente

tan𝛽 =𝑏

𝑐

cot 𝛼 =𝑏

𝑐

Razão CotangenteDivisão do cateto adjacente pelo cateto oposto

cot 𝛽 =𝑐

𝑏

sec 𝛼 =𝑎

𝑏

Razão SecanteDivisão da hipotenusa pelo cateto adjacente

sec 𝛽 =𝑎

𝑐

csc 𝛼 =𝑎

𝑐

Razão CossecanteDivisão da hipotenusa pelo cateto oposto

csc 𝛽 =𝑎

𝑏

𝐴

𝐵

𝐶𝑏

𝑐𝑎𝛽

𝛼

𝛼 + 𝛽 = 90∘

𝛽 = 90∘ − 𝛼

sin𝛼 = cos 𝛽

sin 𝛼 = cos(90∘ − 𝛼)

cos 𝛼 = sin 𝛽

cos 𝛼 = sin(90∘ − 𝛼)

Trigonometria no Triângulo Retângulo

sin 𝛼 =𝑐

𝑎

Razão SenoDivisão do cateto oposto pela hipotenusa

sin𝛽 =𝑏

𝑎

cos 𝛼 =𝑏

𝑎

Razão CossenoDivisão do cateto adjacente pela hipotenusa

cos 𝛽 =𝑐

𝑎

tan𝛼 =𝑐

𝑏

Razão TangenteDivisão do cateto oposto pelo cateto adjacente

tan𝛽 =𝑏

𝑐

cot 𝛼 =𝑏

𝑐

Razão CotangenteDivisão do cateto adjacente pelo cateto oposto

cot 𝛽 =𝑐

𝑏

sec 𝛼 =𝑎

𝑏

Razão SecanteDivisão da hipotenusa pelo cateto adjacente

sec 𝛽 =𝑎

𝑐

csc 𝛼 =𝑎

𝑐

Razão CossecanteDivisão da hipotenusa pelo cateto oposto

csc 𝛽 =𝑎

𝑏

𝐴

𝐵

𝐶𝑏

𝑐𝑎𝛽

𝛼

𝛼 + 𝛽 = 90∘

𝛽 = 90∘ − 𝛼

sin𝛼 = cos 𝛽

sin 𝛼 = cos(90∘ − 𝛼)

cos 𝛼 = sin 𝛽

cos 𝛼 = sin(90∘ − 𝛼)

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Exemplo. Considerando o triângulo abaixo, determine as razões trigonométricas pedidas

(a) sin 𝛼

𝐴

𝐵

𝐶𝑥

35𝛽

𝛼

32 + 𝑥2 = 52

9 + 𝑥2 = 25

𝑥2 = 16

𝑥 = 4(c) tan𝛼

(d) sec 𝛼

(b) cos 𝛼

(e) sin𝛽

(g) cot 𝛽

(h) csc 𝛽

(f) cos 𝛽

Solução:(a) sin 𝛼

(c) tan𝛼

(b) cos 𝛼

(d) sec 𝛼

(e) sin𝛽

(g) cot 𝛽

(h) csc 𝛽

(f) cos 𝛽

3

5

4

5

3

4

5

4

4

5

3

5

3

4

5

4

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Observações Importantes

𝐴

𝐵

𝐶𝑏

𝑐𝑎

𝛼

cot 𝛼 =1

tan𝛼

sec 𝛼 =1

cos𝛼

csc𝛼 =1

sin 𝛼

tan𝛼 =sin 𝛼

cos 𝛼

cot 𝛼 =cos𝛼

sin 𝛼

sin 𝛼

cos 𝛼=

𝑐𝑎𝑏𝑎

=𝑐

𝑎⋅𝑎

𝑏=𝑐

𝑏= tan 𝛼

pois:

cos 𝛼

sin 𝛼=

𝑏𝑎𝑐𝑎

=𝑏

𝑎⋅𝑎

𝑐=𝑏

𝑐= cot 𝛼

pois:

1

tan 𝛼=1𝑐𝑏

=𝑏

𝑐= cot 𝛼

pois:

1

cos 𝛼=1

𝑏𝑎

=𝑎

𝑏= sec 𝛼

pois:

1

sin 𝛼=1𝑐𝑎

=𝑎

𝑐= csc 𝛼

pois:

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Observações Importantes

𝐴

𝐵

𝐶𝑏

𝑐𝑎

𝛼

sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1

𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2Teorema de Pitágoras:

𝑏2

𝑎2+𝑐2

𝑎2=𝑎2

𝑎2

𝑏

𝑎

2

+𝑐

𝑎

2

= 1

cos2 𝛼 + sin2 𝛼 = 1

Dividindo ambos os lados por 𝑎2:

Propriedades das potências:

pois:

Portanto:

1 + tan2 𝛼 = sec2 𝛼

cot2 𝛼 + 1 = csc2 𝛼

𝑏2

𝑏2+𝑐2

𝑏2=𝑎2

𝑏2

1 +𝑐

𝑏

2

=𝑎

𝑏

2

1 + tan2 𝛼 = sec2 𝛼

Dividindo ambos os lados por 𝑏2:

Propriedades das potências:

Portanto:

𝑏2

𝑐2+𝑐2

𝑐2=𝑎2

𝑐2

𝑏

𝑐

2

+ 1 =𝑎

𝑐

2

cot2 𝛼 + 1 = csc2 𝛼

Dividindo ambos os lados por 𝑐2:

Propriedades das potências:

Portanto:

sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1

Ou seja:

Razões trigonométricas especiais

sin 30∘ =1

2

cos 30∘ =3

2

tan 30∘ =3

3

12 = ℎ2 +1

2

2

ℎ2 = 1 −1

4ℎ =

3

2

sin 60∘ =

321

=3

2

cos 60∘ =

121=1

2

tan 30∘ =

12

32

=1

2⋅2

3=

1

3=

3

3

Considere o triângulo equilátero de lado unitário abaixo:

Razões trigonométricas para 𝟑𝟎∘ e 𝟔𝟎∘

sin 30∘ =

121=1

2cos 30∘ =

321

=3

2

tan 60∘ =

3212

=3

2⋅2

1= 3

1 1

1

60∘ 60∘

60∘

13

2

1

2

60∘

30∘

1

2

1

2

1 1

60∘ 60∘

30∘

sin 60∘ =3

2

cos 60∘ =1

2

tan 60∘ = 3

ℎ =3

2

ℎ

Razões trigonométricas especiais

sin 45∘ =2

2

cos 45∘ =2

2

tan 45∘ = 1

𝑎2 = 12 + 12

Considere o triângulo retângulo isósceles abaixo:

Razões trigonométricas para 𝟒𝟓∘

sin 45∘ =1

2=

2

2

𝑎 = 2

𝑎1

1

45∘

45∘

𝑎2 = 2

𝑎 = 2

(teorema de Pitágoras)

cos 45∘ =1

2=

2

2

tan 45∘ =1

1= 1

1

22

2

3

2

3

2

2

2

3

3

Tabela das trigonométricas especiais

30∘ 45∘ 60∘

1 3

Seno

Cosseno

Tangente

1

2

O ciclo trigonométrico

Considere uma circunferência de raio unitário (𝑟 = 1) com centro na origem do plano cartesiano.

Cada ponto 𝑃 sobre esta circunferência determina um ângulo 𝑥 = 𝐴𝑂𝑃.

Fixe os pontos 𝑂(0,0) e 𝐴(1,0).

Estes ângulos podem ser medidos no sentido positivo (anti-horário) ou negativo (horário).

Assim, a circunferência é chamada de Ciclo Trigonométrico.

𝑥𝑟 = 1

𝑥𝑟 = 1

Sentido positivo

Sentido negativo

𝑂

𝐴

𝑃

𝑂

𝐴

𝑃

𝜋

2

5𝜋

3

Arcos e Ângulos no Ciclo Trigonométrico

Exemplo: Complete a tabela

30∘ 45∘ 60∘ 90∘ 120∘ 135∘ 150∘ 180∘

210∘ 225∘ 240∘ 270∘ 300∘ 315∘ 330∘ 360∘

𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6𝜋

Graus

Radianos

Graus

Radianos7𝜋

6

5𝜋

4

4𝜋

3

3𝜋

22𝜋

11𝜋

6

7𝜋

4

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋0∘

90∘

180∘

270∘

360∘

𝜋 ⟷ 180∘Conversão

grausradianos

Trigonometria no Ciclo Trigonométrico

Note que, cada arco 𝑥 está associado a um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) no plano,chamado de extremidade do arco 𝑥.

Arco

𝑃 𝑎, 𝑏Extremidade do arco 𝑥

𝑥

𝑟 = 1

𝑂

𝐴𝑎

𝑏

𝑃(𝑎, 𝑏)

Abscissa Ordenada

O arco de 90∘ está associado à

extremidade (0,1)

O arco de 0∘ está associado à

extremidade (1,0)

O arco de 270∘ está associado à

extremidade (0,−1)

O arco de 180∘ está associado à

extremidade (−1,0)

0∘

90∘

180∘

270∘

360∘

30∘

Imagem dos arcos especiais no ciclo

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

6

3

2,1

2

3

2

5𝜋

6

7𝜋

6

11𝜋

6

−3

2,1

2

−3

2, −

1

2

3

2, −

1

2

30∘

30∘30∘

5𝜋

6−

3

2,1

2

7𝜋

6−

3

2, −

1

2

11𝜋

6

3

2, −

1

2

𝜋

63

2,1

2

Extremidade do arco

𝜋

6

e de seus correspondentes nos demais quadrantes:

1

2

3

21

2

1

2

1

2

45∘

Imagem dos arcos especiais no ciclo

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

4

2

2,2

2

2

2

2

2

3𝜋

4

5𝜋

47𝜋

4

−2

2,2

2

−2

2, −

2

2

2

2, −

2

2

45∘

45∘45∘

3𝜋

4−

2

2,2

2

5𝜋

4−

2

2, −

2

2

7𝜋

4

2

2, −

2

2

𝜋

42

2,2

2

Extremidade do arco

𝜋

4

e de seus correspondentes nos demais quadrantes:

2

2

2

22

22

2

60∘

Imagem dos arcos especiais no ciclo

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

3

1

2,3

2

3

2

1

2

2𝜋

3

4𝜋

35𝜋

3

−1

2,3

2

−1

2, −

3

21

2, −

3

2

60∘

60∘

60∘

2𝜋

3−1

2,3

2

4𝜋

3−1

2, −

3

2

5𝜋

3

1

2, −

3

2

𝜋

31

2,3

2

Extremidade do arco

𝜋

3

e de seus correspondentes nos demais quadrantes:

3

2

1

23

23

2

Arcos côngruos

Dois arcos 𝛼1 e 𝛼2 são ditos côngruos ou congruentes se ambos possuem a mesma extremidade (mesma abscissa e mesma ordenada) no ciclo trigonométrico.

Note que, no ciclo trigonométrico, nada impede que um arco seja maior que uma volta completa, tanto no sentido positivo quanto no sentido negativo.

Por exemplo, o arco de 390∘ é um arco equivalente a uma volta completa (360∘) mais um arco de 30∘.

30∘

390∘

Note que os arcos de 30∘e de 390∘

determinam a mesma extremidade no ciclo!

Isto significa, em outras palavras, que 𝛼1 e 𝛼2 se diferenciam apenas por um certo número de voltas completas.

Solução:

Arcos côngruos

Note que, fixando um arco 𝛼0, a expressão geral que define todos os demais arcos congruentes a 𝛼0 é dada por

𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ⋅ (360∘)

Arcos dados em graus

𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ⋅ (2𝜋)

Arcos dados em radianos

Exemplo. Em cada caso, determine a expressão geral do arco dado.

(a) 150∘ (b) 4𝜋

3

(a)

150∘ + 𝑘 ⋅ (360∘)

(b) 4𝜋

3+ 𝑘 ⋅ 2𝜋 =

4𝜋

3+ 2𝑘𝜋

Número de voltas completas

Número de voltas completas

Menor determinação positiva

𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ⋅ (360∘)

Número de voltas completas

Primeira determinação positiva

0∘ ≤ 𝛼0 < 360∘

Arco dado em graus

𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ⋅ (2𝜋)

Número de voltas completas

Primeira determinação positiva

0 ≤ 𝛼0 < 2𝜋

Arco dado em radianos

A menor determinação positiva de um arco 𝛼 é o menor arco, congruente a 𝛼 tal que 0∘ ≤ 𝛼 < 360∘ (graus) ou 0 ≤ 𝛼 < 2𝜋 (radianos) .

Nas expressões acima, 𝑘 é um número inteiro 𝑘 ∈ ℤ .

𝑘 > 0 indica 𝑛 voltas no sentido anti-horário (sentido positivo do ciclo);

𝑘 < 0 indica 𝑛 voltas no sentido horário (sentido negativo do ciclo).

Menor determinação positiva

Exemplo. Em cada caso, encontre a menor determinação positiva do arco.

Solução:

(a) 390∘ (b) 840∘ (c) −120∘ (d) 17𝜋

6

(a) 390∘ = 30∘ + 1 ⋅ (360∘)

Primeira determinação positiva

Uma volta no sentido anti-horário

(b) 840∘ = 120∘ + 2 ⋅ (360∘)

Primeira determinação positiva

Duas voltas no sentido anti-horário

(c) −120∘= 240∘ − 1 ⋅ (360∘)

Primeira determinação positiva

Uma volta no sentido horário

(d) 17𝜋

6=5𝜋

6+ 1 ⋅ (2𝜋)

Primeira determinação positiva

Uma volta no sentido anti-horário

(e) −21𝜋

4=3𝜋

4− 3 ⋅ (2𝜋)

Primeira determinação positiva

Três voltas no sentido horário

(e) −21𝜋

4

Exercícios Propostos

Exercícios

1) Em cada caso, determine os valores de 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Resp.: 𝑥 =

10 3

3𝑦 = 4 2

𝑧 = 10

2) Determine o valor de 𝑥.

𝑥 =3 2

2(1 + 3)

Exercícios

3) Considerando o arco 𝑥 representado no ciclo trigonométrico abaixo, determine e represente no ciclo os arcos e as respectivas coordenadas correspondentes ao arco 𝑥 nos demais quadrantes:

𝛼∘0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝑥

𝑎, 𝑏

𝑏

𝑎

𝜋 − 𝑥

𝜋 + 𝑥2𝜋 − 𝑥

−𝑎, 𝑏

−𝑎,−𝑏 𝑎, −𝑏

𝛼∘

𝛼∘𝛼∘

𝜋 − 𝑥 −𝑎, 𝑏

𝜋 + 𝑥 −𝑎,−𝑏

2𝜋 − 𝑥 𝑎,−𝑏

𝑥 𝑎, 𝑏

𝑏

𝑎

𝑏𝑏

Correspondente de 𝑥 no segundo quadrante

Correspondente de 𝑥 no terceiro quadrante

Correspondente de 𝑥 no quarto quadrante

Exercícios

4) Em cada caso, encontre a menor determinação positiva do arco dado.

(a) 2205∘ (b) −840∘ (c) −1440∘ (d) 9𝜋 (e) −37𝜋

345∘ 240∘ 0 𝜋

5𝜋

3

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Pró-reitoria de Ensino

Universidade Federal de Pelotas

Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas

Atividades de Reforço em CálculoMódulo de

2018/1

Aula 02

GAMAGrupo de Apoio em

Matemática

Projeto

Seno e cosseno no ciclo trigonométrico

Lembre que, para cada arco 𝑥, o ciclo trigonométrico associa um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) do plano cartesiano, chamado de extremidade do arco 𝑥.

𝑃 𝑎, 𝑏Extremidade do arco 𝑥

sin 𝑥

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥 sin 𝑥 =𝑏

1= 𝑏

cos 𝑥 =𝑎

1= 𝑎

1

𝑥

cos 𝑥

sin 𝑥

1

𝑥

𝑎

𝑏𝑃 cos 𝑥 , sin 𝑥

Extremidade do arco 𝑥

cos 𝑥

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1 𝑥

𝑏

𝑎

A abscissa de 𝑃 é igual ao cosseno do arco 𝑥 e a ordenada de 𝑃 é igual ao seno do arco 𝑥.

Seno dos arcos notáveis

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

6

5𝜋

6

7𝜋

6

11𝜋

6

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

seno

−1

2

seno

1

2

seno

−1

2seno

5𝜋

6

1

2

7𝜋

6−1

2

11𝜋

6−1

2

𝜋

6

1

2

Arco𝝅

𝟔Valor do seno

Arco

Seno dos arcos notáveis

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

4

3𝜋

4

5𝜋

4

7𝜋

4

2

2

2

2

seno

−2

2

seno

2

2

seno

−2

2

seno

3𝜋

4

2

2

5𝜋

4−

2

2

7𝜋

4−

2

2

𝜋

4

2

2

Arco𝝅

𝟒Valor do seno

Arco

2

2

2

2

2

2

Seno dos arcos notáveis

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

3

2𝜋

3

4𝜋

3

5𝜋

3

3

2

3

2

3

23

2

3

2

seno

−3

2

seno

3

2

seno

−3

2

seno

2𝜋

3

3

2

4𝜋

3−

3

2

5𝜋

3−

3

2

𝜋

3

3

2

Arco𝝅

𝟑Valor do seno

Arco

Função seno

GEOGEBRA - Seno

Função seno

Gráfico da função seno

Definição. A função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dada por

𝑓 𝑥 = sin 𝑥

é chamada de função seno.

Domínio

𝐷(𝑓) = ℝ

Imagem

𝐼𝑚 𝑓 = [−1,1]

Período

𝑃(𝑓) = 2𝜋

𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Função seno

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋

2

−2

𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

1

22

2

3

2

𝑥

sin 𝑥

Primeiro quadrante

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6

3

2

2

2

1

2

𝑥

sin 𝑥

Segundo quadrante

7𝜋

6

5𝜋

4

4𝜋

3

−1

2 −2

2−

3

2

𝑥

sin 𝑥

Terceiro quadrante

5𝜋

3

7𝜋

4

11𝜋

6

−3

2−

2

2−1

2

𝑥

sin 𝑥

Quarto quadrante

sin 0 = 0

sin𝜋

2= 1 sin 𝜋 = 0

sin 2𝜋 = 0

sin3𝜋

2= −1

Técnicas para esboço de gráficos

𝑓(𝑥) = 𝑎 sin 𝑚𝑥 + 𝑛 + 𝑏

Alonga ou comprime verticalmente o gráfico.

Inverte verticalmente o gráfico se 𝑎 < 0.

Desloca verticalmente o gráfico.

Alonga ou comprime horizontalmente o gráfico.

Inverte horizontalmente o gráfico se 𝑚 < 0.

Desloca horizontalmente o gráfico.

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função

Solução:

𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + 3

Deslocamento vertical do gráfico da função seno em três unidades para cima.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 + 3

Deslocamento vertical para cima

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = 2,4 𝑃 𝑓 = 2𝜋

𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

4

2

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

1

3

−1

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função

Solução:

𝑓(𝑥) = sin 𝑥 − 1

Deslocamento vertical do gráfico da função seno em uma unidade para baixo.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 − 1𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Deslocamento vertical para baixo

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −2,0 𝑃 𝑓 = 2𝜋

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função

Solução:

𝑓(𝑥) = 3 sin 𝑥

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

𝑦 = sin 𝑥

𝑦 = 3 sin 𝑥

Alongamento vertical do gráfico da função seno pelo fator 3.

Alongamento vertical

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−3,3] 𝑃 𝑓 = 2𝜋

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função

Solução:

𝑓(𝑥) =1

2sin 𝑥

Compressão verticalmente o gráfico da função seno pelo fator 1

2.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 =1

2sin 𝑥𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Compressão vertical

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1

2,1

2𝑃 𝑓 = 2𝜋

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função

Solução:

𝑓(𝑥) = − sin 𝑥

Reflete o gráfico da função seno em relação ao eixo horizontal.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = −sin 𝑥𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Reflexão em relação ao eixo horizontal

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 2𝜋

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função

Solução:

𝑓(𝑥) = sin 𝑥 +𝜋

2

Deslocamento horizontal do gráfico da função seno em 𝜋

2para a esquerda.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 +𝜋

2𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Deslocamento horizontal para a esquerda

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 2𝜋

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função

Solução:

𝑓(𝑥) = sin 𝑥 − 𝜋

Deslocamento horizontal do gráfico da função seno em 𝜋 unidades para a direita.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 − 𝜋𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Deslocamento horizontal para a direita

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 2𝜋

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função

Solução:

𝑓(𝑥) = sin 2𝑥

Compressão horizontal do gráfico da função seno pela metade.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 2𝑥𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Compressão horizontal

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 𝜋

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função

Solução:

𝑓(𝑥) = sin𝑥

2

Alongamento horizontal do gráfico da função seno em dobro.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin𝑥

2𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Alongamento horizontal

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 4𝜋

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função

Solução:

𝑓(𝑥) = sin −𝑥

Reflexão do gráfico da função seno em relação ao eixo vertical.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin −𝑥𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Reflexão em relação ao eixo vertical

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 2𝜋

Exemplo. Esboce o gráfico da função

Solução:

𝑓 𝑥 = 2sin 𝑥 + 𝜋 + 1

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = 2sin 𝑥 + 𝜋 + 1

Exemplo

𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

2

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

1

3

−1

𝑓 𝑥 = 2sin 𝑥 + 𝜋 + 1

Deslocamento horizontal do gráfico da função seno em 𝜋 unidades para a esquerda.

Alongamento vertical do gráfico da função seno em dobro.

Deslocamento vertical do gráfico da função seno em 1 unidade para cima.

Função cosseno

GEOGEBRA - Cosseno

Função cosseno

Gráfico da função cosseno

Definição. A função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dada por

𝑓 𝑥 = cos 𝑥

é chamada de função cosseno.

Domínio

𝐷(𝑓) = ℝ

Imagem

𝐼𝑚 𝑓 = [−1,1]

Período

𝑃(𝑓) = 2𝜋

𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Cosseno dos arcos notáveis

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

6

5𝜋

6

7𝜋

6

11𝜋

6

3

2

cosseno

3

2

cosseno

−3

2

cosseno

−3

2

cosseno

5𝜋

6−

3

2

7𝜋

6−

3

2

11𝜋

6

3

2

𝜋

6

3

2

Arco𝝅

𝟔Valor do cosseno

Arco

3

2

3

2

3

2

3

2

Cosseno dos arcos notáveis

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

4

3𝜋

4

5𝜋

4

7𝜋

4

2

2

cosseno

2

2

cosseno

−2

2

cosseno

−2

2

cosseno

3𝜋

4−

2

2

5𝜋

4−

2

2

7𝜋

4

2

2

𝜋

4

2

2

Arco𝝅

𝟒Arco

Valor do cosseno

2

2

2

2

2

2

2

2

Cosseno dos arcos notáveis

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

3

2𝜋

3

4𝜋

3

5𝜋

3

1

2cosseno

1

2

cosseno

−1

2

cosseno

−1

2

cosseno

2𝜋

3−1

2

4𝜋

3−1

2

5𝜋

3

1

2

𝜋

3

1

2

Arco𝝅

𝟑Arco

Valor do cosseno

1

2

1

2

1

2

1

2

Função cosseno

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋

2

−2

𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

3

2

2

2

1

2

𝑥

cos 𝑥

Primeiro quadrante

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6

−1

2 −2

2−

3

2

𝑥

cos 𝑥

Segundo quadrante

7𝜋

6

5𝜋

4

4𝜋

3

−3

2−

2

2−1

2

𝑥

cos 𝑥

Terceiro quadrante

5𝜋

3

7𝜋

4

11𝜋

6

1

22

2

3

2

𝑥

cos 𝑥

Quarto quadrante

cos 0 = 1

cos𝜋

2= 0

cos 2𝜋 = 1

cos3𝜋

2= 0

cos 𝜋 = −1

Exemplo. Esboce o gráfico da função

Solução:

𝑓 𝑥 = −cos 2𝑥 − 1

𝑦 = cos 𝑥 𝑦 = − cos 2𝑥 − 1

Exemplo

Compressão horizontal do gráfico da função cosseno pela metade.

Reflexão do gráfico da função cosseno em relação ao eixo vertical.

Deslocamento vertical do gráfico da função cosseno em 1 unidade para baixo.

𝑓 𝑥 = −cos 2𝑥 − 1

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

−2

−3

Exercícios Propostos

Exercícios

e) 𝑦 = 3 cos 2𝑥 +𝜋

2

d) 𝑦 = 3 sin 2𝜋𝑥

c) 𝑦 = −3 cos(0,5𝑥)

b) 𝑦 = 2 sin 4𝑥

a) 𝑦 = 2 + sin 𝑥

1) Esboce o gráfico das funções trigonométricas, e determine o período (T),

amplitude (A), domínio e imagem das funções:

𝑇 = 2𝜋 𝐴 = 1 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [1,3]

𝑇 =𝜋

2𝐴 = 2 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−2,2]

𝑇 = 4𝜋 𝐴 = 3 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−3,3]

𝑇 = 1 𝐴 = 3 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−3,3]

𝑇 = 𝜋 𝐴 = 3 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−3,3]

Monitorias!!

Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!!

O GAMA possui monitorias de:

Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes)

ALGA – Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes)

Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto:

http://wp.ufpel.edu.br/projetogama/

Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes)

Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

Instituto de Física e Matemática

Pró-reitoria de Ensino

Universidade Federal de Pelotas

Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas

Atividades de Reforço em CálculoMódulo de

2018/1

Aula 03

GAMAGrupo de Apoio em

Matemática

Projeto

Tangente no ciclo trigonométrico

Lembre que, para cada arco 𝑥, o ciclo trigonométrico associa um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) do plano cartesiano, chamado de extremidade do arco 𝑥.

Eixo das tangentes

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥tan 𝑥 =

𝑚

1= 𝑚

𝑚 1

𝑚

𝑥

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏tan 𝑥

𝑥

Tangente no ciclo trigonométrico

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

65𝜋

6

7𝜋

6 11𝜋

6

5𝜋

6−

3

3

7𝜋

6

3

3

11𝜋

6−

3

3

𝜋

6

3

3

Arco Valor da tangente

3

3

3

3

Arco𝝅

𝟔e de seus correspondentes nos demais quadrantes.

Tangente no ciclo trigonométrico

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

43𝜋

4

5𝜋

4 7𝜋

4

3𝜋

4−1

5𝜋

41

7𝜋

4−1

𝜋

41

Arco Valor da tangente

1

1

Arco𝝅

𝟒e de seus correspondentes nos demais quadrantes.

Tangente no ciclo trigonométrico

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

32𝜋

3

4𝜋

35𝜋

3

2𝜋

3− 3

4𝜋

33

5𝜋

3− 3

𝜋

33

Arco Valor da tangente

3

3

Arco𝝅

𝟑e de seus correspondentes nos demais quadrantes.

Função tangente

GEOGEBRA - Tangente

Função tangente

Definição. A função 𝑓 dada por

𝑓 𝑥 = tan 𝑥

é chamada de função tangente.

Domínio

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Imagem

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Período

𝑃(𝑓) = 𝜋tan 𝑥 =sin 𝑥

cos 𝑥

Lembre que: Assíntotas

𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Gráfico da função tangente𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−1

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

𝑦 = tan 𝑥

Função tangente

𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

3

31 3

𝑥

tan 𝑥

Primeiro quadrante

A tangente não está definida(Assíntota vertical)

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋

2

−2

−3

3

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6

−3

3−1− 3

𝑥

tan 𝑥

Segundo quadrante

7𝜋

6

5𝜋

4

4𝜋

3

3

31 3

𝑥

tan 𝑥

5𝜋

3

7𝜋

4

11𝜋

6

−3

3−1− 3

𝑥

tan 𝑥

Terceiro quadrante

Quarto quadrante

tan 0 = 0

tan 2𝜋 = 0

tan 𝜋 = 0

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período e as assíntotas da função

Solução:

𝑓(𝑥) = tan𝑥 + 1

Deslocamento vertical do gráfico da função tangente em uma unidade para cima.

Exemplos

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ 𝑃 𝑓 = 𝜋

𝑦 = tan 𝑥 𝑦 = tan 𝑥 + 1

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período e as assíntotas da função

Solução:

𝑓(𝑥) = tan 𝑥 +𝜋

2Deslocamento horizontal do gráfico da função tangente em uma

𝜋

2unidades para a esquerda.

𝑦 = tan 𝑥 𝑦 = tan 𝑥 +𝜋

2

Exemplos

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ 𝑃 𝑓 = 𝜋

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

𝑥

Cotangente no ciclo trigonométrico

Lembre que, para cada arco 𝑥, o ciclo trigonométrico associa um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) do plano cartesiano, chamado de extremidade do arco 𝑥.

Eixo das cotangentes

cot 𝑥 =𝑚

1= 𝑚

𝑥

𝑚

𝑥

1

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥

cot 𝑥

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥

𝑚

Cotangente no ciclo trigonométrico

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

65𝜋

6

7𝜋

6 11𝜋

6

5𝜋

6− 3

7𝜋

63

11𝜋

6− 3

𝜋

63

Arco Valor da cotangente 3

Arco𝝅

𝟔e de seus correspondentes nos demais quadrantes.

cot𝜋

6=

1

tan𝜋6

=1

33

=3

3= 3

Cotangente no ciclo trigonométrico

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

43𝜋

4

5𝜋

4 7𝜋

4

3𝜋

4−1

5𝜋

41

7𝜋

4−1

𝜋

41

Arco Valor da cotangente11

Arco𝝅

𝟒e de seus correspondentes nos demais quadrantes.

cot𝜋

4=

1

tan𝜋4

=1

1= 1

Cotangente no ciclo trigonométrico

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

32𝜋

3

4𝜋

35𝜋

3

2𝜋

3−

3

3

4𝜋

3

3

3

5𝜋

3−

3

3

𝜋

3

3

3

Arco Valor da cotangente3

3

Arco𝝅

𝟑e de seus correspondentes nos demais quadrantes.

3

3

cot𝜋

3=

1

tan𝜋3

=1

3=

3

3

Função cotangente

GEOGEBRA - Cotangente

Função cotangente

Definição. A função 𝑓 dada por

𝑓 𝑥 = cot 𝑥

é chamada de função cotangente.

Domínio

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Imagem

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Período

𝑃(𝑓) = 𝜋cot 𝑥 =cos 𝑥

sin 𝑥

Lembre que: Assíntotas

𝑥 = 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Gráfico da função cotangente𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−1

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

𝑦 = cot 𝑥

Função cotangente

𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

3

313

𝑥

cot 𝑥

Primeiro quadrante

A cotangente não está definida(Assíntota vertical)

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋

2

−2

−3

3

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6

−3

3−1 − 3

𝑥

cot 𝑥

Segundo quadrante

7𝜋

6

5𝜋

4

4𝜋

3

3

313

𝑥

cot 𝑥

5𝜋

3

7𝜋

4

11𝜋

6

−3

3−1 − 3

𝑥

cot 𝑥

Terceiro quadrante

Quarto quadrante

tan𝜋

2= 0

cot𝜋

2= 0

Exercícios Propostos

Exercícios

a) 𝑦 = tan 2𝑥 + 1

1) Esboce o gráfico das funções trigonométricas, e determine o período (T), o

domínio e imagem das funções:

𝑇 =𝜋

2𝐷 𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠

𝜋4+𝑘𝜋2; 𝑘 ∈ ℤ 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

d) 𝑦 =1

2cot 𝑥 − 𝜋

c) 𝑦 = cot 𝑥 +𝜋

2

b) 𝑦 = 2 tan 3𝑥 𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠𝜋6+𝑘𝜋3; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 =

𝜋

3𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ ; 𝑇 = 𝜋 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 𝜋 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Monitorias!!

Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!!

O GAMA possui monitorias de:

Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes)

ALGA – Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes)

Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto:

http://wp.ufpel.edu.br/projetogama/

Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes)

Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

Instituto de Física e Matemática

Pró-reitoria de Ensino

Universidade Federal de Pelotas

Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas

Atividades de Reforço em CálculoMódulo de

2018/1

Aula 04

GAMAGrupo de Apoio em

Matemática

Projeto

Secante no ciclo trigonométrico

Lembre que, para cada arco 𝑥, o ciclo trigonométrico associa um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) do plano cartesiano, chamado de extremidade do arco 𝑥.

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥

𝑚

𝑥

1

𝑚

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥

sec 𝑥

sec 𝑥 =Cateto adjacente

Hipotenusa=𝑚

1= 𝑚

Secante no ciclo trigonométrico

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

65𝜋

6

7𝜋

6 11𝜋

6

5𝜋

6−2 3

3

7𝜋

6−2 3

3

11𝜋

6

2 3

3

𝜋

6

2 3

3

Arco𝝅

𝟔e de seus correspondentes nos demais quadrantes.

Arco Valor da secante

2 3

3

sec𝜋

6=

1

cos𝜋6

Lembre que:

2 3

3

=1

32

=2

3=2 3

3

Secante no ciclo trigonométrico

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

43𝜋

4

5𝜋

4 7𝜋

4

3𝜋

4− 2

5𝜋

4− 2

7𝜋

42

𝜋

42

Arco𝝅

𝟒e de seus correspondentes nos demais quadrantes.

Arco Valor da secante

2

sec𝜋

4=

1

cos𝜋4

Lembre que:

2

=1

22

=2

2= 2

Secante no ciclo trigonométrico

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

32𝜋

3

4𝜋

3 5𝜋

3

2𝜋

3−2

4𝜋

3−2

5𝜋

32

𝜋

32

Arco𝝅

𝟑e de seus correspondentes nos demais quadrantes.

Arco Valor da secante

2

sec𝜋

3=

1

cos𝜋3

Lembre que:

2

=1

12

= 2

Função secante

GEOGEBRA - Secante

Função secante

Definição. A função 𝑓 dada por

𝑓 𝑥 = sec 𝑥

é chamada de função secante.

Domínio

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Imagem

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ − (−1,1)

Período

𝑃(𝑓) = 2𝜋sec 𝑥 =1

cos 𝑥

Lembre que: Assíntotas

𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Gráfico da função secante𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−1

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

𝑦 = sec 𝑥

Função secante

Relação gráfica entre as funções secante e cosseno

𝑓 𝑥 = sec 𝑥 =1

cos 𝑥

𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−1

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

Onde o cosseno cresce, a secante decresce, e vice-versa;

Onde o cosseno se anula, a secante não está definida;

O sinal da secante acompanha o sinal do cosseno, em cada quadrante.

Observações Importantes:

𝑥

Cossecante no ciclo trigonométrico

Lembre que, para cada arco 𝑥, o ciclo trigonométrico associa um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) do plano cartesiano, chamado de extremidade do arco 𝑥.

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥

𝑚

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥

csc 𝑥

csc 𝑥 =Cateto oposto

Hipotenusa=𝑚

1= 𝑚

𝑚

1

𝑥

Cossecante no ciclo trigonométrico

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

65𝜋

6

7𝜋

6 11𝜋

6

5𝜋

62

7𝜋

6−2

11𝜋

6−2

𝜋

62

Arco𝝅

𝟔e de seus correspondentes

Arco Valor da cossecante

csc𝜋

6=

1

sin𝜋6

Lembre que:

2

=1

12

= 2

2

nos demais quadrantes.

Cossecante no ciclo trigonométrico

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

43𝜋

4

5𝜋

4 7𝜋

4

3𝜋

42

5𝜋

4 − 2

7𝜋

4− 2

𝜋

42

Arco Valor da cossecante

csc𝜋

4=

1

sin𝜋4

Lembre que:

2

2

=1

22

=2

2= 2

Arco𝝅

𝟒e de seus correspondentes nos demais quadrantes.

Cossecante no ciclo trigonométrico

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

32𝜋

3

4𝜋

3

5𝜋

3

2𝜋

3

2 3

3

4𝜋

3−2 3

3

5𝜋

3−2 3

3

𝜋

3

2 3

3

Arco Valor da cossecante

csc𝜋

3=

1

sin𝜋3

Lembre que:

2 3

3

2 3

3

Arco𝝅

𝟑e de seus correspondentes nos demais quadrantes.

=1

32

=2

3=2 3

3

Função cossecante

GEOGEBRA - Cossecante

Função cossecante

Definição. A função 𝑓 dada por

𝑓 𝑥 = csc 𝑥

é chamada de função cossecante.

Gráfico da função cossecante𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−1

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

Domínio

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Imagem

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ − (−1,1)

Período

𝑃(𝑓) = 2𝜋csc 𝑥 =1

sin 𝑥

Lembre que: Assíntotas

𝑥 = 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

𝑦 = csc 𝑥

Função cossecante

Relação gráfica entre as funções cossecante e seno

𝑓 𝑥 = csc 𝑥 =1

sin 𝑥

𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−1

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

Onde o seno cresce, a cossecante decresce, e vice-versa;

Onde o seno se anula, a cossecante não está definida;

O sinal da cossecante acompanha o sinal do seno, em cada quadrante.

Observações Importantes:

Exercícios Propostos

Exercícios

1) Esboce o gráfico das funções trigonométricas, e determine o período (T), o

domínio e imagem das funções:

a) 𝑦 = sec 2𝑥 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−1,1)𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋

4+

𝑘𝜋

2; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 𝜋

c) 𝑦 = −sec 𝑥 +𝜋

2

b) 𝑦 = 2 sec 3𝑥 𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋

6+

𝑘𝜋

3; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 =

2𝜋

3𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−2,2)

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 2𝜋 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−1,1)

f) 𝑦 = 2 − csc(𝑥)

e) 𝑦 = −csc(2𝜋𝑥)

d) 𝑦 = 3 csc(3𝑥) 𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝑘𝜋3; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 =

2𝜋

3𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−3,3)

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝑘2; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 1 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−1,1)

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 2𝜋 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (1,3)

Monitorias!!

Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!!

O GAMA possui monitorias de:

Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes)

ALGA – Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes)

Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto:

http://wp.ufpel.edu.br/projetogama/

Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes)

Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

Instituto de Física e Matemática

Pró-reitoria de Ensino

Universidade Federal de Pelotas

Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas

Atividades de Reforço em CálculoMódulo de

2018/1

Aula 05

GAMAGrupo de Apoio em

Matemática

Projeto

Função exponencial

Definição. Dado 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dada por

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥

é chamada de função exponencial de base 𝒂.

Exemplos. São exemplos de funções exponenciais:

𝑦 = 2𝑥

função exponencial de base 2

𝑦 = 3𝑥

função exponencial de base 3

𝑦 = 10𝑥

função exponencial de base 10

𝑦 = 𝜋𝑥

função exponencial de base 𝜋

𝑦 =1

2

𝑥

função exponencial

de base 1

2

𝑦 = 𝑒𝑥

função exponencial de base 𝑒

O número 𝑒 acima é um número irracional (assim como o 𝜋, por exemplo) chamado de número de Euler. O valor aproximado de 𝑒 com três casas decimais é 2,718.

𝑓(𝑥) = 2𝑥

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

7

8

3

2

−4 4

4

Gráfico

𝑓 −3 = 2−3 =1

23=1

8

𝑓 −2 = 2−2 =1

22=1

4

𝑓 −1 = 2−1 =1

21=1

2

𝑓 0 = 20 = 1

𝑓 1 = 21 = 2

𝑓 2 = 22 = 4

𝑓 3 = 23 = 8

−1,1

2

1,2

2,4

3,8

0,1−2,1

4−3,1

8

Exemplo. Esboce o gráfico da função𝑓(𝑥) = 2𝑥

Obs.: 𝑎 = 2 (crescente)

Solução: Determinando alguns pontos do gráfico de 𝑓, tem-se:

GráficoExemplo. Esboce o gráfico da função

Solução: Determinando alguns pontos do gráfico de 𝑓, tem-se:

𝑓(𝑥) =1

2

𝑥

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

7

8

3

2

−4 4

4

−1,21,1

22,1

4 3,1

80,1

−2,4

−3,8

𝑓 −3 =1

2

−3

= 23 = 8

𝑓 1 =1

2

1

=1

2

𝑓 2 =1

2

2

=1

4

𝑓 3 =1

2

3

=1

8

𝑓 0 =1

2

0

= 1

𝑓 𝑥 =1

2

𝑥

𝑓 −2 =1

2

−2

= 22 = 4

𝑓 −1 =1

2

−1

= 21 = 2

Obs.: 𝑎 =1

2(decrescente)

Gráfico, domínio e imagem

Primeiro caso: 𝑎 > 1

𝑦

𝑥

Segundo caso: 0 < 𝑎 < 1

𝑦

𝑥

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐷 𝑓 = ℝ

crescentedecrescente

Em ambos os casos (crescente ou decrescente), reta 𝑦 = 0 é chamada de assíntota horizontal do gráfico da função.

O gráfico de uma função exponencial pode assumir dois formatos distintos:

Observação: Para esboçar o gráfico de uma função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, basta identificar o comportamento do gráfico (crescente ou decrescente) e lembrar que os pontos (0,1) e (1, 𝑎) sempre pertencem ao gráfico destas funções, pois

𝑓 0 = 𝑎0 = 1 ⟹ 0,1 ∈ 𝑓 𝑓 1 = 𝑎1 = 𝑎 ⟹ 1, 𝑎 ∈ 𝑓

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ+∗ .

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ+∗ .

−1

𝑦

𝑥1 2 3

1

2

−1−2

3

4

5

−3−1

𝑦

𝑥1 2 3

1

2

−1−2

3

4

5

−3

Gráfico

Exemplo. Esboce os gráficos das funções

(c) 𝑓 𝑥 =1

3

𝑥

(d) 𝑓 𝑥 =1

4

𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 4𝑥(a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥

Solução: Em cada caso, tem-se

1,3

0,1

(a)

𝑓 0 = 30 = 1 𝑓 1 = 31 = 3

𝑎 > 1crescente

𝑓 0 = 40 = 1 𝑓 1 = 41 = 4

1,4

0,1

(b) 𝑎 > 1crescente

−1

𝑦

𝑥1 2 3

1

2

−1−2

3

4

5

−3−1

𝑦

𝑥1 2 3

1

2

−1−2

3

4

5

−3

Gráfico

Exemplo. Esboce os gráficos das funções

(c) 𝑓 𝑥 =1

3

𝑥

(d) 𝑓 𝑥 =1

4

𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 4𝑥(a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥

Solução: Determinando alguns pontos do gráfico de 𝑓, tem-se:

1,1

3

0,1

(c)

𝑓 0 =1

3

0

= 1

0 < 𝑎 < 1decrescente

1,1

4

0,1

(d) 0 < 𝑎 < 1decrescente

𝑓 1 =1

3

1

=1

3𝑓 0 =

1

4

0

= 1 𝑓 1 =1

4

1

=1

4

Exercícios Propostos

Exercícios

1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.

(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2

(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1

(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1

(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2

(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

3

2

−4 4−1

4

Exercícios

1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.

𝑦 = 2𝑥𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

3

2

−4 4−1

4

𝑦 = 2𝑥 + 2

𝐷 𝑓 = ℝ

𝐼𝑚 𝑓 = (2,+∞)

Assíntota: 𝑦 = 2

(a) 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟐

(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1

(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1

(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2

(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑦 = 2

Exercícios

1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.

𝑦 = 3𝑥 − 1

𝑦 = 3𝑥

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

3

2

−4 4−1

4

𝐷 𝑓 = ℝ

𝐼𝑚 𝑓 = (−1,+∞)

Assíntota: 𝑦 = −1

(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2

(b) 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟏

(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1

(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2

(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥

𝑦 = −1

Exercícios

1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.

𝑦 = 2𝑥−1

𝑦 = 2𝑥

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

3

2

−4 4−1

4

𝐷 𝑓 = ℝ

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ+∗

Assíntota: 𝑦 = 0

(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2

(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1

(c) 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙−𝟏

(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2

(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥

𝑦 = 0

Exercícios

1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.

𝑦 = 4𝑥+2 𝑦 = 4𝑥𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

3

2

−4 4−1

4

𝐷 𝑓 = ℝ

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ+∗

Assíntota: 𝑦 = 0

(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2

(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1

(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1

(d) 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙+𝟐

(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥

𝑦 = 0

Exercícios

1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.

𝐷 𝑓 = ℝ

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ−∗

Assíntota: 𝑦 = 0

(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2

(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1

(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1

(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2

(e) 𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙

(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥

𝑦 = −2𝑥

𝑦 = 2𝑥𝑦

𝑥1 2 3−2−3

1

−1

−3

2

3

4

−1

−2

−4

−4 4

𝑦 = 0

Exercícios

𝑦 = 2−𝑥

1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.

𝑦 = 2𝑥

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

3

2

−4 4−1

4

𝐷 𝑓 = ℝ

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ+∗

Assíntota: 𝑦 = 0

(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2

(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1

(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1

(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2

(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥

(f) 𝒇 𝒙 = 𝟐−𝒙

𝑦 = 0

Exercícios

4) A função exponencial é injetora? É sobrejetora? É bijetora? Justifique.

2) Em cada caso, determine a composta 𝑓𝑜𝑔.

(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5 e 𝑔 𝑥 = 3𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 2𝑥

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 2 ⋅ 3𝑥 + 5

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 5𝑥2+3𝑥

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 22𝑥 − 2𝑥

3) Em cada caso, escreva a função dada como uma composta de duas funções.

a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2−2𝑥+1 𝑓 = 𝑓2𝑜𝑓1 𝑓1 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑓2 𝑥 = 3𝑥

b) 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 𝑓 = 𝑓2𝑜𝑓1 𝑓1 𝑥 = 𝑥 𝑓2 𝑥 = 2𝑥

5) Esboce o gráfico das funções inversas das seguintes funções exponenciais:

𝑓 𝑥 =1

2

𝑥

(b)(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥

Dica para a questão 05: Utilize o método da reflexão em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares!

Monitorias!!

Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!!

O GAMA possui monitorias de:

Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes)

ALGA – Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes)

Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto:

http://wp.ufpel.edu.br/projetogama/

Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes)

Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

Instituto de Física e Matemática

Pró-reitoria de Ensino

Universidade Federal de Pelotas

Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas

Atividades de Reforço em CálculoMódulo de

2018/1

Aula 06

GAMAGrupo de Apoio em

Matemática

Projeto

Logaritmos

Definição. Dados 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 e 𝑎 ≠ 1, o número 𝑥 quesatisfaz a equação exponencial

𝑎𝑥 = 𝑏

é chamado de logaritmo de 𝒃 na base 𝒂.

Exemplo. Resolva a equação exponencial

3 = log2 8.

𝑥 = log𝑎 𝑏.

2𝑥 = 8.

2𝑥 = 8 ⟹ 2𝑥 = 23 ⟹ 𝑥 = 3.

portanto, se diz que 3 é o logaritmo de 8 na base 2, ou seja,

Notação:

Da definição acima segue que

log𝑎 𝑏 = 𝑥 ⟺ 𝑎𝑥 = 𝑏.O logaritmo é a solução de uma equação exponencial!!

Solução: Neste caso, igualando as bases, tem-se:

Logaritmos

2𝑦 = 64 ⟹ 2𝑦 = 26 ⟹ 𝑦 = 6

Exemplo. Calcule log2 64.

Solução: Usando a definição de logaritmo, tem-se

Portanto,

Resolvendo a equação 2𝑦 = 64, tem-se

log2 64 = 𝑦 ⟺ 2𝑦 = 64.

log2 64 = 6.

log𝑏 𝑎 = 𝑦 ⟺ 𝑏𝑦 = 𝑎, então

Exemplo. Calcule log4 0,25.

Solução: Usando a definição de logaritmo, tem-se

log4 0,25 = 𝑦 ⟺ 4𝑦 = 0,25 ⟺ 4𝑦 =1

4⟺ 4𝑦= 4−1 ⟺ 𝑦 = −1.

Portanto, log4 0,25 = −1.

Logaritmos

Exemplo. Calcule log2 1.

Solução: Usando a definição de logaritmo, tem-se

log2 1 = 𝑥 ⟺ 2𝑥 = 1 ⟺ 2𝑥 = 20 ⟺ 𝑥 = 0.

Portanto, log2 1 = 0.

Exemplo. Calcule log5 5.

Solução: Usando a definição de logaritmo, tem-se

log5 5 = 𝑥 ⟺ 5𝑥 = 5 ⟺ 𝑥 = 1.

Portanto, log5 5 = 1.

Observações.

log10 𝑎 = log 𝑎

Quando a base do logaritmo é 10, se escreve log 𝑎 para representar log10𝑎

log𝑒 𝑎= ln 𝑎

Quando a base do logaritmo é 𝑒, se escreve ln 𝑎 para representar log𝑒𝑎

Logaritmos

Propriedades decorrentes da definição.

log𝑏 1 = 0

(pois 𝑏0 = 1, para qualquer base 𝑏)

O logaritmo de 𝟏, em qualquer base, é sempre igual a 𝟎

log𝑏 𝑏 = 1

(pois 𝑏1 = 𝑏, para qualquer base 𝑏)

O logaritmo de um número na própria base, é sempre igual a 𝟏

Exemplos.

log2 1 = 0 log5 1 = 0

log 1 = 0ln 1 = 0

Exemplos.

log2 2 = 1 log5 5 = 1

ln 𝑒 = 1 log 10 = 1

Função logarítmicas

Definição. Dado 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, a função 𝑓 ∶ ℝ+∗ → ℝ dada por

𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥

é chamada de função logarítmica de base 𝒂.

Exemplos. São exemplos de funções logarítmicas:

𝑦 = log2 𝑥

função logarítmica de base 2

𝑦 = log3 𝑥

função logarítmicade base 3

𝑦 = log 𝑥

função logarítmicade base 10

𝑦 = log𝜋 𝑥

função logarítmicade base 𝜋

𝑦 = log12𝑥

função logarítmica

de base 1

2

𝑦 = ln 𝑥

função logarítmicade base 𝑒

GráficoExemplo. Esboce o gráfico da função

Obs.: 𝑎 = 2 (crescente)Solução: Destacando alguns pontos do gráfico, tem-se:

𝑓(𝑥) = log2 𝑥

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2

1

8,−3

1

4,−2

1

2, −1

1,02,1

4,2

8,3𝑓1

8= log2

1

8= − 3

𝑓1

4= log2

1

4= − 2

𝑓1

2= log2

1

2= − 1

𝑓 1 = log2 1 =0

𝑓 2 = log2 2 =1

𝑓 4 = log2 4 =2

𝑓 8 = log2 8 =3

𝑓(𝑥) = log2 𝑥

GráficoExemplo. Esboce o gráfico da função

Obs.: 𝑎 =1

2(decrescente)

Solução: Destacando alguns pontos do gráfico, tem-se: 𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2

1

8, 3

1

4, 2

1

2, 1

1,0

2, −1

4,2

8,3

𝑓(𝑥) = log12𝑥

𝑓(𝑥) = log12𝑥

𝑓1

8= log1

2

1

8=3

𝑓1

4= log1

2

1

4=2

𝑓1

2= log1

2

1

2=1

𝑓 1 = log121 =0

𝑓 2 = log122 = − 1

𝑓 4 = log124 = − 2

𝑓 8 = log128 = − 3

Gráfico, domínio e imagem

O gráfico de uma função logarítmica pode assumir dois formatos distintos:

Primeiro caso: 𝑎 > 1

𝑦

𝑥

Segundo caso: 0 < 𝑎 < 1

𝐷 𝑓 = ℝ+∗

𝐷 𝑓 = ℝ+∗

crescente

decrescente

Em ambos os casos (crescente ou decrescente), a reta 𝑥 = 0 é chamada de assíntota vertical do gráfico da função.

𝑦

𝑥

Observação: Para esboçar o gráfico de uma função 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 , basta identificar o comportamento do gráfico (crescente ou decrescente) e lembrar que os pontos (1,0) e (𝑎, 1) sempre pertencem ao gráfico destas funções, pois

𝑓 1 = log𝑎 1 = 0 ⟹ 1,0 ∈ 𝑓 𝑓 𝑎 = log𝑎 𝑎 = 1 ⟹ 𝑎, 1 ∈ 𝑓

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ.

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ.

Gráfico

Exemplo. Esboce os gráficos das funções

(c) 𝑓 𝑥 = log13𝑥 (d) 𝑓 𝑥 = log1

4𝑥(b) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥(a) 𝑓 𝑥 = log3 𝑥

Solução: Em cada caso, tem-se

(a)

𝑓 1 = log3 1 = 0

𝑎 > 1crescente𝑦

𝑥3 4 5−1

−3

1

1

2

3

−1 2

−2

1,0

3,1

𝑓 3 = log3 3 = 1

(b)

𝑓 1 = ln 1 = 0

𝑎 > 1crescente𝑦

𝑥3 4 5−1

−3

1

1

2

3

−1 2

−2

1,0

𝑒, 1

𝑓 𝑒 = ln 𝑒 = 1

Gráfico

Exemplo. Esboce os gráficos das funções

(c) 𝑓 𝑥 = log13𝑥 (d) 𝑓 𝑥 = log1

4𝑥(b) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥(a) 𝑓 𝑥 = log3 𝑥

Solução: Em cada caso, tem-se

(c)

𝑓 1 = log131 = 0

0 < 𝑎 < 1decrescente𝑦

𝑥3 4 5−1

−3

1

1

2

3

−1 2

−2

1,0

1

3, 1

(d) 0 < 𝑎 < 1decrescente𝑦

𝑥3 4 5−1

−3

1

1

2

3

−1 2

−2

1,0

1

4, 1

𝑓1

3= log1

3

1

3= 1 𝑓 1 = log1

41 = 0 𝑓

1

4= log1

4

1

4= 1

Gráfico

Em outras palavras, função exponencial de base 𝑎

é bijetora, e sua função inversa é a função logarítmica de base 𝑎.

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑓:ℝ ⟶ ℝ+∗

𝑓−1 𝑥 = log𝑎 𝑥 𝑓−1: ℝ+∗ ⟶ℝ

Observação: A inversa da função exponencial de base 𝑎 é a função logarítmica de mesma base.

Observação: Lembre que existe simetria , em relação à reta 𝑦 = 𝑥, entre os gráficos de uma função 𝑓 e de sua inversa 𝑓−1.

Exemplo. Em cada caso, determine a função inversa da função dada.

(a) 𝑓 𝑥 = log5 𝑥 (b) 𝑓 𝑥 = 4𝑥

Solução: Em cada caso, tem-se

(a) 𝑓−1 𝑥 = 5𝑥

(b) 𝑓−1 𝑥 = log4 𝑥

A inversa da função logarítmica de base 5 é a função exponencial de base 5.

A inversa da função exponencial de base 4 é a função logarítmica de base 4.

Gráfico

Exemplo. Determine a função inversa da função exponencial

𝑦

𝑥1 2 3 4 5

1

2

−1

−2

−1−2

3

4

5𝑦

𝑥1 2 3 4 5

1

2

−1

−2

−1−2

3

4

5𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥𝑦 = 2𝑥

𝑦 = log2 𝑥

𝑓 𝑥 = 2𝑥

Solução: A função inversa da função exponencial é a função

𝑓−1 𝑥 = log2 𝑥

Esboce os gráficos de 𝑓 e 𝑓−1.

Exercícios Propostos

Exercícios

2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.

(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)

(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)

(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2

Exercícios

2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.

(a) 𝒇 𝒙 = 𝟏 + 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙

(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)

(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)

(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2𝐷 𝑓 = ℝ+

∗

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Assíntota: 𝑥 = 0

𝑦 = 1 + log2 𝑥

𝑦 = log2 𝑥

𝑥 = 0

Exercícios

2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.

(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥

(b) 𝒇 𝒙 = 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙

(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)

(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)

(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2𝐷 𝑓 = ℝ+

∗

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Assíntota: 𝑥 = 0

𝑦 = 2 log2 𝑥

𝑦 = log2 𝑥

𝑥 = 0

Exercícios

2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.

(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥

(c) 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝒙 − 𝟐)

(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)

(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2𝐷 𝑓 = (2, +∞)

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Assíntota: 𝑥 = 2

𝑦 = log3(𝑥 − 2)

𝑦 = log3 𝑥

𝑥 = 2

Exercícios

2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.

(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)

(d) 𝒇 𝒙 = 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝒙 + 𝟏)

(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2𝐷 𝑓 = (−1,+∞)

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Assíntota: 𝑥 = −1

𝑦 = log3(𝑥 − 2)

𝑦 = log3 𝑥

𝑥 = −1

Exercícios

2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.

(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)

(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)

(e) 𝒇 𝒙 = − 𝐥𝐧𝒙

(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2𝐷 𝑓 = (0, +∞)

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Assíntota: 𝑥 = 0

𝑦 = − ln 𝑥

𝑦 = ln 𝑥

𝑥 = 0

Exercícios

2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.

(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)

(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)

(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥

(f) 𝒇 𝒙 = − 𝐥𝐧(−𝒙)

𝐷 𝑓 = (−∞, 0)

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Assíntota: 𝑥 = 0𝑥 = 0

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

1

−1

−3

2

3

4

−1

−2

−4

−4 4

𝑦 = ln 𝑥

𝑦 = − ln(−𝑥)

Exercícios

3) Determine o domínio das seguintes funções:

(b) 𝑓 𝑥 = log(𝑥2 − 1)

(a) 𝑓 𝑥 = 1 + 3 log2(𝑥 − 5)

(c) 𝑓 𝑥 = log5(𝑥2 − 𝑥 − 12) + ln(𝑥 + 2)

4) Em cada caso, determine a composta 𝑓𝑜𝑔.

(a) 𝑓 𝑥 = log2(𝑥) e 𝑔 𝑥 = 12 − 3𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = log5(𝑥) e 𝑔 𝑥 = 5𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 e 𝑔 𝑥 = log5(𝑥)

(d) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥2+ 𝑥

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = log2(12 − 3𝑥)

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑥

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑥

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥

𝐷 𝑓 = (5, +∞)

𝐷 𝑓 = −∞,−1 ∪ (1, +∞)

𝐷 𝑓 = (4, +∞)

5) Em cada caso, escreva a função dada como uma composta de duas funções.

a) 𝑓 𝑥 = log(𝑥3 + 2𝑥) 𝑓 = 𝑓2𝑜𝑓1 𝑓1 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥 𝑓2 𝑥 = log(𝑥)

b) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 𝑓 = 𝑓2𝑜𝑓1 𝑓1 𝑥 = ln 𝑥 𝑓2 𝑥 = 𝑥

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