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Aula Teorica 4: Diagrama de Blocos
Conteudo
• Representação de um sistema por meio de diagramas de blocos• Reduções básicas• Exemplo de redução de diagramas de blocos• Formula de Mason• Exemplo de Formula de Mason
Quando definimos Funções de Transferência, fizemos a seguinte figura:
Diagramas de Blocos:
G(s)X(s) Y(s)
Esse é, pois, o diagrama de blocos do sistema em questão
Essa representação significa que os sinais de entrada e saída estão relacionados por
As setas representam o sentido em que se dá o fluxo dos sinais.
)(sG
sXsGsY Assim (regra)O que está à saída do blocoé igual ao que está a sua entrada pelo que está dentro
Primeira definição
R(s) E(s)
C(s)
+
-
R(s) E(s)
C(s)
+-ou
E s R s C s
Segunda definição
Quando há sinais que se adicionam ou subtraem usamos um
Detector de Erro ou comparador
Assim
Se precisamos tomar o valor de uma variável usamos
Um ponto de bifurcação
Terceira definição
ConcluindoUm diagrama de blocos está formado por:
• Funções de transferência• Blocos• Flechas• Pontos de somas • Pontos de bifurcação
Dado o sistema
)(
)(
)(
sG
sG
sG
c
v
pDefine-se
)(sHm
Funções de transferência da planta, o elemento de controle final e o controlador
Função de transferência do elemento de medição
)(*)(*)( sGsGsG cvp
Define-se além disso
Função de transferência da trajetória direta
)(sHmFunção de transferência da trajetória de realimentação
Observe que as funções de transferência de blocos em série se podem multiplicar (regra)
Procuremos que relação guarda a saída controlada C(s) com a entrada de referência R(s)
)()()()()()()()()()(
)()()()()()()(
(1)en (2) doSubstituin
)2().........()()()(
)1)........(()()()()(
sCsHsGsGsGsRsGsGsGsC
sCsHsRsGsGsGsC
sCsHsRsE
sEsGsGsGsC
cvpcvp
mcvp
m
cvp
aberto laço de ..1
direta ia trajetór..
)()()()(1
)()()(
)(
)(
entrada a e saída a Dividindo
)()()()()()()()(1)(
saída a contêm que termosos Agrupando
TF
TF
sHsGsGsG
sGsGsG
sR
sC
sRsGsGsGsHsGsGsGsC
mcvp
cvp
cvpmcvp
Isto se chama Função de transferência de laço fechado
)()()( sGsGsGG cvpSe nomearmos
Então
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
A equação característica: A equação característica é o denominador da função de transferência de laço fechado igualada a zero.
a s a s a s an nn n0 1
11 0
As raízes da equação característica são os pólos de C(s)/R(s)
0)()(1 sHsG
Muito importante para aulas futuras
Orientação para o trabalho independente do estudante:
Demonstre que a função de transferência que relaciona a saída controlada com a entrada perturbadora é:
)()()()(1
)(
)(
)(
sHsGsGsG
sG
sN
sC
mpvc
p
Observe que o denominador( equação característica) é o mesmo que o que se obteve para a outra entrada
EXEMPLO ILUSTRATIVO
Motores de corrente direta em sistemas de controle
Este motor é um transductor que converte energia elétrica em energia mecânica
O par desenvolvido no eixo do motor é proporcional ao fluxo no campo e à corrente na armadura
O condutor que leva corrente está colocado em um fluxo magnético
A uma distância r do centro de rotação
Modelo matemático de sistemas dinâmicos
A relação entre o par desenvolvido, o fluxo e a corrente é:
(1) (t))()( am itKtTm Tm é o par do motor (N-m)
Km é constante de proporcionalidade
Quando o condutor se move no campo magnético, gera-se uma voltagem em seus terminais (força contraelectromotriz) que é proporcional à velocidade do eixo
(2) (t))( mmb tKe eb é a força contraelectromotriz (volts)
ωm é a velocidade do eixo
Estas equações são a base de operação do motor
Para modelar a armadura do motor utilizaremos este circuito equivalente
As variáveis e parâmetros do motor as definiremos como:
O par desenvolvido pelo motor é proporcional ao fluxo no entre ferro e a corrente da armadura
(3) )()()( titKtT amm
Já que φ é constante
(4) )()()( titKtT aim
As equações de causa e efeito no circuito podem escrever-se se começarmos com a voltagem )(tea
0)()()( tedt
diLtiRte b
aaaaa
Ao aplicar uma voltagem à armadura
A corrente ao circular produz o par que já tínhamos enunciado
)()( tiKtT aim
A força contraelectromotriz fica definida por
)()(
)( tKdt
tdKte mb
mbb
O par produz a velocidade angular e o deslocamento
dt
tdBm
dt
tdJmtTtT mm
Lm
)()()()(
2
Aplicando transformada do Laplace a todas as equações
0)()()()( sEsSILsIRsE baaaaa
)()( sIKsT aim
)()()( sKsSKsE mbmbb
)()()()( 2 sBmSsJmSsTsT mmLm
Com cada equação faremos um diagrama de blocos equivalentes
0)()()()( sEsSILsIRsE baaaaa
)()( sIKsT aim
Relação entre ambos
)()()( sKsSKsE mbmbb
)()()()( 2 sBmSsJmSsTsT mmLm
Tratemos agora de juntar tudo e fazer um diagrama completo
trocar o sentido
¿?Só multiplicando por S
Com este diagrama podemos achar duas funções de transferência
)(
)(
sEa
sm)(
)(
sT
sm
L
Utilize o que já sabe de função de transferência de laço fechado para as encontrar em trabalho independente
Para modelar e representar em diagramas um sistema fazemos os passos seguintes:
Concluindo até aqui
• Escrevemos as equações diferenciais lineares que relacionam seus parâmetros através de leis conhecidas;
• Transformamos pelo Laplace;• Convertemos as equações em representação em blocos;
Se quisermos a função de transferência que relaciona dois variáveis que estão em um laço fechado conhecemos já que é:
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
Se ao estabelecer as relações , os diagramas ficassem com múltiplos laços?
CN
TPD
V Processoref nivel
-
TF1
++
Gv
CF
TF2
vapor
-
+G2(s)
-G1(s)
G3(s)
++X Y
G1 G2
G3
G4
G5
G6
+
++
+
+U Y
1 2 3 4 5
6
7
8
9
EXEMPLOS
Reduções básicas
+G2(s)
-G1(s)
G3(s)
++X Y
EXEMPLO
1o Passo: Deslocar G1 para antes do comparador
+G2(s)
-G1(s)
G3(s)
++X Y
G1(s)
2o Passo: Intercambiar o comparador e o somador
+ G2(s)-
G1(s)
G3(s)
++X Y
G1(s)
3o Passo: Juntar G1 e G3
G2(s)-
G1(s)+ G3(s) +X Y
G1(s)
4o Passo: Reduzir a malha fechada
G1(s)+ G3(s)X YG
G G2
1 21
5o Passo: Agrupar os blocos em cascata
G G G
G G1 3 2
1 21
X Y
Fórmula do Mason
Dado um diagrama de blocos com N trajetórias diretas e L malhas
A relação entre a saída e a entrada é
N
k
kkM
Yent
YsalM
1
...........1 321 k
kj
ji
i LLL
Sumatoria de laços individuais
Sumatoria das combinações possíveis de multiplicação de dois laços que não se tocam
Sumatoria das combinações possíveis de multiplicação de três laços que não se tocam
kA parte de que não toca a trajetória k
+G2(s)
-G1(s)
G3(s)
++X Y
O MESMO EXEMPLO
N
k
kkM
Yent
YsaiM
1
212
231
GGM
GGM
As duas trajetórias diretas que há
211 GG
1
1
2
1
21
2123
1 GG
GGGGM
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