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PROJETO E CONSTRUO
DE ESTRADAS PROJETO GEOMTRICO DE VIAS
3 - CURVAS HORIZONTAIS COM TRANSIO
3.1 - INTRODUO
A descontinuidade da curvatura que existe no ponto de passagem da tangente para a circular (ponto PC)
ou da circular para a tangente (ponto PT) no pode ser aceita em um traado racional. Na passagem do
trecho em tangente para o trecho circular e vice-versa, dever existir um trecho com curvatura progressi-
va para cumprir as seguintes funes:
permitir uma variao progressiva da superelevao, teoricamente nula nos trechos retos e constante
no trecho circular;
possibilitar uma variao contnua de acelerao centrpeta na passagem da tangente para o trecho
circular;
proporcionar um traado fluente, sem impresso de descontinuidade da curvatura e esteticamente
agradvel, graas variao suave da curvatura.
Essas curvas de curvatura progressiva so chamadas de curva de transio e so curvas cujo raio ins-
tantneo varia em cada ponto desde o valor Rc (na concordncia com o trecho circular de raio Rc) at o
valor infinito (na concordncia com o trecho em tangente). Os principais tipos de curvas usadas para a
transio so:
Y
X
45
P
R
L
O
[R . L = K]
Clotide ou Espiral
(Raio Varivel)
Lemniscata
[R . p = K]
p
Y
X
Parbola Cbica
[y = a . x3]
variao linear da curvatura
nica que possibilita giro
constante do volante: C = L / K
Embora mais trabalhosa, a espiral a curva que melhor atende as exigncias de um traado racional. A
espiral a curva descrita por um veculo que trafega a uma velocidade constante, enquanto o motorista
gira o seu volante a uma velocidade angular constante.
20
Y
45o
R
L P
o X
Equao da Espiral
RL = N
Para um ponto P genrico:
L = comprimento da curva desde a origem at o ponto P.
R = raio instantneo no ponto P
N = parmetro da espiral (constante)
3.2 - COMPRIMENTO DA TRANSIO (Ls)
O valor da constante N est relacionada ao valor do comprimento de transio (Ls) a ser adotado para a
curva. A condio necessria concordncia da transio com a circular impe: RcLs = N. Com o valor
do raio da curva circular (Rc) e o valor adotado para o comprimento de transio (Ls), define-se o valor
da constante N. O valor do comprimento de transio Ls a ser adotado ser necessariamente um valor
compreendido entre os limites: Lsmin e Lsmx.
3.2.1 - VALORES MNIMOS E MXIMOS DO COMPRIMENTO DE TRANSIO
a - Valor Mnimo do Comprimento de Transio (Lsmn)
A determinao do Lsmn feita de forma que a variao da acelerao centrpeta (ac) que atua sobre
um veculo que percorra a transio com uma velocidade (V) constante, no ultrapasse valores confort-
veis. A variao confortvel da acelerao centrpeta por unidade de tempo (J) no deve ultrapassar o
valor de 0,6m/s3. Para um veculo que percorra a curva de transio com velocidade constante em um
tempo ts, a variao da acelerao centrpeta ser:
ps
c2
p
s
c
V/L
R/V
t
aJ ou
c
3p
sRJ
VL
Adotando-se Jmx = 0,6 m/s3, determina-se o valor do comprimento de transio correspondente a essa
variao mxima de acelerao centrpeta:
c
p
sR
xVL
3036,0
min ou
423LY
3ss
ss
onde Lsmn = mnimo comprimento de transio em metros
Rc = raio do trecho circular em metros
Vp = velocidade em km/h
O valor de Ls est sujeito limitaes superiores:
quando existem outras curvas horizontais nas proximidades da curva estudada, o Ls adotado dever
ser tal que no interfira com as curvas imediatamente anterior e/ou posterior.
para que as curvas de transio no se cruzem, o valor adotado de Ls no pode ultrapassar o valor de
Lsmx correspondente ao valor nulo do desenvolvimento do trecho circular, isto , quando os pontos
SC e CS so coincidentes.
21
b - Valor Mximo do Comprimento de Transio (Lsmx)
Condio de mximo comprimento de transio (= 0)
= AC - 2s
para = 0 AC = 2s ousmx = AC/2
onde smx = mximo valor do ngulo de transio
Lsmx = 2 Rc. smx Lsmx = Rc. AC (em metros)
Rc = raio do trecho circular em metros
AC = ngulo central em radianos
3.2.2. - ESCOLHA DO VALOR DE LS
A escolha de comprimento de transio (Ls) muito grandes, geram grande valores de p (afastamento da
curva circular), criando um deslocamento do trecho circular em relao sua posio primitiva, excessi-
vamente grande. Por isso recomendado o uso de um valor mnimo para a variao da acelerao cen-
trpeta (Jmn) e um comprimento de transio que no ultrapasse ao valor (Ls) obtido com o uso desse
Jmn. Geralmente, recomenda-se adotar um valor para Ls igual a duas vezes o valor do Lsmn calculado,
ou seja Ls = 2.Lsmn.
3.3 - ESPIRAL DE TRANSIO (Clotide)
Clculo dos elementos necessrios definio da curva
SC
y d
L
dL
x
dy
Y
X dx
ESPIRAL
TS
Sendo Ls o comprimento de transio e Rc o raio do trecho circular temos:
R x L = N = Rc x Ls
dL = R x d
L
NR
N
dLLd
N2
L2
sc
2
LR2
L
dx = dL x cos
dy = dL x sen
22
Desenvolvendo-se sen e cos em srie e integrando:
....
216101LX
42
....
1320423LY
53
No ponto SC quando L = Ls (ponto de concordncia da espiral com a circular)
c
ss
R2
L
216101LX
4s
2s
ss
423LY
3ss
ss
Resta o problema da localizao da espiral na curva de forma que haja concordncia da transio com o
trecho reto (tangente) no ponto TS e com o trecho circular no ponto SC.
3.4 - LOCALIZAO DA TRANSIO NA CURVA HORIZONTAL
Para isso h necessidade do afastamento da curva em relao tangente, para a introduo da espiral.
Esse afastamento que tem um valor determinado (p) pode ser obtido de trs maneiras diferentes:
com a reduo do raio Rc da curva circular para o valor (Rc -se o mesmo centro (o) da
curva circular (mtodo do centro conservado).
mantendo-se a curva circular na sua posio original e afastando-se a tangente a uma distncia (p) da
curva circular (mtodo do raio e centro conservados).
afastando-se o centro (o) da curva circular para uma nova posio (o'), de forma que se consiga o a-
fastamento (p) desejado, conservando-se o raio Rc da curva circular (mtodo do raio conservado).
PI
PC PT
O
p
Rc
PI
PC PT
O
Rc - p
p
Rc
mtodo do centro
conservado
mtodo do raio
e centro conservados
PI
PC PT
O
O'
Rc
Rc
mtodo do raio conservado
PI
p
(s o centro desloca-se)
O mtodo do raio conservado geralmente o mais usado, pois apresenta as vantagens de no alterar o
raio (Rc) pr-estabelecido para a curva circular e de no alterar a posio das tangentes (traz como con-
seqncia a modificao do traado e a alterao das curvas imediatamente anterior e posterior curva
estudada). Com os valores de Xs, Ys e s e escolhido o mtodo de afastamento, define-se a posio da
transio em relao curva circular. Para isso, determina-se o valor do afastamento da curva circular
(p) e a distncia dos pontos TS e ST ao PI (TT).
23
3.5 - CURVAS HORIZONTAIS COM TRANSIO
AC
PI
Y
p
SC
AC
E
k
Xs
Ys TT
A
ST
CS
TS
X
s
AC/2
O
Rc
O = centro do trecho circular afastado p = afastamento da curva circular
PI = ponto de interseo das tangentes = ngulo central do trecho circular
Xs = abscissa dos pontos SC e CS X = abscissa de um ponto genrico A
Ys = ordenada dos pontos SC e CS Y = ordenada de um ponto genrico A
k = abscissa do centro (O) da curva circular s = ngulo da transio
TT = distncia do TS ou ST ao PI = tangente total AC = deflexo das tangentes = ngulo central
p = Ys Rc x (1 cos s)
cc R
2
ACcos
)pR(E
k = Xs Rc x sen s
2
ACtg)pR(kTT c
pontos de concordncia: TS = tangente-espiral
SC = espiral-circular
CS = circular-espiral
ST = espiral-tangente
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3.6 - ESTAQUEAMENTO E LOCAO DAS TRANSIES
TS
SC
s
Ls
Xs
Ys Aproximaes:
[K Ls / 2] [Xs Ls] [TT L
s / 2 + R
c . tg (AC / 2)]
[p Ys / 4]
[dL = R . d]
[dL = (K / L) . d]
[d = dL . L / K]
[ = L2 / 2 K]
[ = L2 / 2 (Ls . Rc)]
3.6.1 - CLCULO DAS ESTACAS DOS PONTOS TS, SC, CS E ST
Definida a estaca do ponto de intersees das tangentes (PI) teremos:
Estaca do TS = Estaca do PI - TT
Estaca do SC = Estaca do TS + Ls
Estaca do CS = Estaca do SC + D
Estaca do ST = Estaca do CS + Ls
onde D = desenvolvimento do trecho circular
D = Rc.
no caso de espirais simtricas (mesmo comprimento Ls)
= AC - 2s
D = Rc (AC - 2s)
obs: necessariamente D 0
3.6.2 - EXECUO DE TABELA DE DADOS PARA A LOCAO DAS ESPIRAIS
Ys
p
js
PI
SC
X
Xs
TT
TS
Y
s
c is
i
25
....
216101LX
42
....
1320423LY
53
X
Yarctgi
s
ss
X
Yarctgi
s
s
icos
Xc
js = s is
TABELA DE LOCAO
ESTACA INTEIRA FRAO L X Y I
TS
:
SC Ls Xs Ys Is
PROJETO E CONSTRUO
DE ESTRADAS PROJETO GEOMTRICO DE VIAS
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EXERCCIOS SOBRE CURVAS HORIZONTAIS COM TRANSIO
1. Projeta-se uma rodovia para Vp = 100 km/h. Calcular os comprimentos de transio mnimo, mximo
e desejvel para uma curva horizontal cujo raio no trecho circular 600,00 m, sendo a superelevao
de 9% e o ngulo central igual a 60.
2. Com os dados do exerccio anterior e adotando-se Ls = 120,00 m, calcular os elementos da curva,
fazendo um croquis para indicar: s, Xs, Ys, K, p e TT.
3. Ainda com os dados do exerccio anterior e sabendo-se que a estaca do PI igual a 847+12,20 m,
calcular as estacas do TS, SC, CS e ST.
4. Fazer a tabela de locao para a primeira espiral do exerccio anterior.
5. Em uma curva de trevo, conforme esquema abaixo, tem-se Rc = 50,00 m e Ls = 60,00 m. A estaca da
estrada A no cruzamento 122+15,54 m. Calcular os quatro pontos notveis, adotando-se estaque-
amento em continuao estrada A e at o ST da curva.
[122 + 15,54]
A
Ls
120
122
121
110o
70o
Ls
B
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