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engenharia economica
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Captulo 1
JUROSSIMPLESSIMPLES
Juro e Consumo
Existe juro porque os recursos so escassos.
As pessoas tm preferncia temporal: As pessoas tm preferncia temporal: preferem consumir a poupar.
O prmio para quem poupa o juro.
Juro e Capital
O Capital tambm escasso.
O Juro a remunerao pelo uso do capital.capital.
O Juro a remunerao pelo custo do crdito.
Taxa de Juros
Juro e tempo andam juntos.
O juro determinado atravs de um coefi-ciente referido a um dado intervalo de tem-ciente referido a um dado intervalo de tem-po.
O coeficiente corresponde remunerao da unidade de capital empregado por um prazo igual quele da taxa.Ex.: 12 % ao ano.
Taxa de Juros
FORMA PORCENTUALFORMA PORCENTUAL
Na forma porcentual a taxa de juros aplicada a centos docapital.
Ex.: 12% ao ano.Ex.: 12% ao ano.
FORMA UNITRIAFORMA UNITRIA
Na forma unitria a taxa de juros aplicada a unidades docapital.
Ex.: 0,12 ao ano.
CLCULO DO JURO
JURO SIMPLES
A remunerao pelo capital inicial (o principal) diretamente proporcional:
- Ao valor aplicado;
- Ao tempo de aplicao.
(o principal) diretamente proporcional:
CLCULO DO JURO
FRMULA BSICA:
J = C . i . nJ = C . i . n
EXEMPLO
J = C . i . nJ = C . i . nonde:J = JuroC = Capital inicial (Principal)i = Taxa de Juros (na forma unitria)n = prazo de aplicao (na mesma unidade que a taxa)
Exemplo
Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00pelo prazo de 2 anos e taxa de 10% a.a. Qual ser o valora ser pago como juro ?
Resoluo: Capital Inicial (C) = 1.000,00Taxa de juros (i) = 10% a.a. Taxa de juros (i) = 10% a.a. Nmero de perodos (n) = 2 anos
Trabalhando com a taxa de juros na forma unitria, te-mos o juro do primeiro ano como sendo:
J1 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00
No segundo ano, teremos:J2 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00
O juro total ser a soma do juro devido no primeiro ano(J1) mais o juro devido no segundo ano (J2)
J = J1 + J2J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00
Ou ento, podemos resolver o problema diretamente:
Exemplo
Ou ento, podemos resolver o problema diretamente:
J = 1.000,00 X 0,10 X 1 + 1.000,00 X 0,10 X 1J = 1.000,00 X 0,10 X 2J = $ 200,00
CLCULO DO JURO
JURO SIMPLES
Variaes da frmula bsica.
J = C.i.nJ = C.i.n
inJC =
CnJi =
CiJ
n =
MONTANTE
JURO SIMPLES
Montante a soma do juro mais o capitalaplicado.
EXEMPLO
N = C + Jonde:C= principaln= prazo de aplicaoi = taxa de juros
N = C(1 + in)
ExemploQual o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado taxade 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ?
Resoluo: Capital Inicial (C) = 1.000,00Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. Nmero de perodos (n) = 2 anosNmero de perodos (n) = 2 anos
E sendo:N = C(1+in)
Substituindo-se os valores, tem-se:
N = 1.000(1+0,10 x 2)N = 1.000(1+0,20)N = 1.000 x 1,20N = $ 1.200,00
Exemplo
possvel resolver o problema, seguindo-se a definio dada pormontante:
a) Calculando o juro devido:J = CinJ = CinJ = 1.000,00 x 0,10 x 2 = $ 200,00
b) Somando-se o juro com o principal:N = C + JN = 1.000,00 + 2000,00 = $ 1.200,00
MONTANTE
N = C(1 + in)
JURO SIMPLES
inNC+
=
1 nC
Ni
1=
iC
Nn
1=
TAXA PROPORCIONAL
JURO SIMPLES
A taxa i1 (referida ao perodo n1) proporcional taxa i2 (referida ao perodo n2) se:
Ou ainda:
EXEMPLO
2
1
2
1
ii
n
n=
ii11.n.n22 = i= i22.n.n11
Ou, do mesmo modo, se:
Ou ainda:
2
2
1
1
n
in
i=
ExemploVerificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano so proporcionais.
Resoluo: Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.
i2 = 20% a.a. = 0,20 a.a.n1 = 3 mesesn = 12 meses
2
1
2
1
n
n
ii
=
n2 = 12 meses
Como:
Substituindo-se os valores:
que so grandezas proporcionais, porque o produto dos meios(0,20 x 3) igual ao produto dos extremos (0,15 x 12). Logo, as taxas dadas so proporcionais.
123
20,005,0
=
ExemploSendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxaproporcional mensal.
Resoluo: Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.
n1 = 12 mesesi = ?
2
1
2
1
n
n
ii
=
11224,0
2=
i
i2 = ?n2 = 1 ms
E, como: tem-se:
0,24 x 1 = i2 x 12 ou i = 2% a.m...02,01224,0
2 mai ==
TAXA EQUIVALENTE
Duas taxas de juros so equivalentes se:
aplicadas ao mesmo capital;
EXEMPLO
pelo mesmo intervalo de tempo.
=> Ambas produzem o mesmo juro.
No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais so igualmente equivalentes.
ExemploSeja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativa-mente taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo deaplicao de 2 anos, verificar se as taxas so equivalentes.
Resoluo:
Aplicando o principal taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2anos, teremos o juro de:anos, teremos o juro de:
J1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00Aplicando o mesmo principal taxa de 24% a.a. por 2 a-
nos, teremos um juro igual a:J2 = 10.000,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00
Constatamos que o juro ser gerado igual nas duas hi-pteses e, nestas condies, conclumos que a taxa de 2% a.m. equivalente taxa de 24% a.a.
PERODOS NO-INTEIROS
Quando o prazo de aplicao no um nmero in-teiro de perodos a que se refere a taxa de juros, faz-se o seguinte:
I) Calcula-se o juro correspondente parte inteira de pe-
EXEMPLO
I) Calcula-se o juro correspondente parte inteira de pe-rodos.
II) Calcula-se a taxa proporcional frao de perodo queresta e o juro correspondente.
O juro total a soma do juro referente parte in-teira com o juro da parte fracionria.
ExemploQual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que aplicado taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses ?
Resoluo:
Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem:Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem:5 x 2 semestres = 10 semestres9 meses = 1 semestre e 3 mesesOu seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 semestres e 3
meses.
a) Clculo do juro:1 etapa:
J1 = 1.000,00 x 0,12 x 11 = $ 1.320,00
Exemplo2 etapa: Calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre:
Portanto: J2 = 1.000,00 x 0,06 x 1 = $ 60,00Logo, o total de juros :
..06,0212,0
tam
iim ===
..06,0212,0
tam
iim ===
Logo, o total de juros :
J = J1 + J2J = 1.320,00 + 60,00J = =$ 1.320,00 ====== CORRIGIR
Observe-se que a soluo se obtm mais rapidamente lembran-do-se que 3 meses igual a 0,5 semestre e, nestas condies,5 anos e 9 meses equivalem a 11,5 semestres:
Exemplo
J = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = 1.380,00
b) Montante:
O montante :
N = C + JN = 1.000,00 + 1.380,00 N = $ 2.380,00
Evidentemente poderamos obter o mesmo resultado ra-ciocinando por etapas para obter o montante.
JURO EXATO
Juro Exato aquele em que:
o perodo a que se refere a taxa est expresso em dias.
EXEMPLO
dias.
adotada a conveno do ano civil.
365CinJe =
ExemploQual o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que aplicadopor 40 dias e taxa de 36% a.a. ?
Resoluo:
Cin365CinJe =
52,394$365
4036,0000.10==
xxJe
JURO COMERCIAL
Juro comercial aquele em que:
o perodo a que se refere a taxa est expresso em dias.
EXEMPLO
adotada a conveno do ano comercial:
360CinJe =
ExemploCalcular o juro comercial correspondente ao exerccio do item an-terior.
Resoluo:
360CinJc =360
00,400$360
4036,0000.10==
xxJc
Observe que, nas mesmas condies de aplicao, o juro comer-cial maior que o juro exato.
DIAGRAMAS DE CAPITAL NO TEMPO
Representam o fluxo de dinheiro no tempo;
Representam o fluxo de caixa: entradas e sadas de di-nheiro;nheiro;
Graficamente:
(PERODOS)
Entradas (+)
Sadas (-)
1 20
1000
500
2000
VALOR NOMINAL
quanto vale um compromisso na data do seuvencimento.
Exemplo:Uma pessoa aplicou uma quantia hoje evai resgat-la por 20.000 daqui a 12 me-vai resgat-la por 20.000 daqui a 12 me-ses.
20.000 o valor nominal da aplicao no ms 12.
20.000
120(meses)
VALOR ATUAL
o valor que um compromisso tem em uma dataque antecede ao seu vencimento.
20.000
6 120
c
c o valor atual da aplicao de 20.000, na data 6.=> Para calcular c, precisamos saber qual a taxa dejuros.
(meses)
VALOR FUTURO
Corresponde ao valor do ttulo em qualquer dataposterior que estamos considerando no momento.
Exemplo: Uma pessoa possui 10.000 hoje.
EXEMPLO
60
10.000
c
(meses)
c o valor futuro de 10.000 na data 6.=> Para calcular c, precisamos saber qual a taxa dejuros.
Exemplo1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e que recebeu, pela aplicao, um ttulo que ir valer $ 24.000,00 noms 12.
a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de $ 15.000,00.Ento, podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplica-o, do seguinte modo:
Resoluo:
N = C (1+in)N = 24.000,00C = 15.000,00i = ?n = 12 meses
ExemploNestas condies:
24.000 = 15.000 (1+ i.12)
Dividindo os dois lados da igualdade por 15.000, a mesma no se altera:
)12.1(000.15000.24 i+000.15
)12.1(000.15000.15000.24 i+
=
Logo: 1,6 = 1 + i.12Somando-se -1 aos dois lados da igualdade, a mesma no se
altera:1,6 -1 = 1 -1 + i.120,6 = i.12
ExemploE dividindo-se de novo os dois lados da igualdade por 12, te-mos:
1212.
126,0 i
=
Logo: i = 0,05
1212.
126,0 i
=
Observe que, como a unidade de tempo utilizada foi oms, a taxa tambm fica referida ao mesmo intervalo de tem-po.Ou seja:
i = 0,05 ao msOu, o que d no mesmo:
i = 5% ao ms.
Exemplob) Vamos admitir agora que no sabemos qual o valor aplicado, masque conhecemos a taxa de aplicao, que de 6% ao ms. Neste caso podemos calcular o valor atual hoje (na data 0), que correspon-de ao prprio valor aplicado:
N = C (1 + i.n)Onde: N = 24.000,00Onde: N = 24.000,00
C = ?i = 0,06 (note que, para usar a frmula deste modo, a taxa
deve ser colocada na forma unitria)n = 12 meses
Ento:24.000 = C (1 + 0,06 x 12)24.000 = C (1 + 0,72)24.000 = C.1,72
Exemplo
Ou seja: C = 13.953,49
Logo:
72,172,1.
72,1000.24 C
=
Ou seja: C = 13.953,49
que o valor atual na data 0, isto , quanto a pessoaaplicou hoje.
Exemplo2) Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000,00.Qual ser o valor futuro se a pessoa aplicar esta importncia taxade 5% ao ms, daqui a 3 meses ?
Temos: N = C (1 + i.n)Onde: N = ?
C = 10.000,00C = 10.000,00i = 0,05n = 3 meses
Logo:N = 10.000 (1 + 0,05 x 3)N = 10.000 (1,15)N = 11.500,00
O valor futuro ser de $ 11.500,00 daqui a 3 meses.
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