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Capítulo 17 – Oscilações
17.1 – Sistemas oscilantesSistemas oscilantes estão entre os mais recorrentes e importantes de toda a Física
Vibrações molecular
es
Circuitos elétricos Construçõ
es
http://www.youtube.com/watch?v=NisWbAXfyWI
http://www.youtube.com/watch?v=zeep0q97WHo
17.2 – Oscilador harmônico simples
Sistema massa-mola: Lei de Hooke
Robert Hooke (1635-1703)
Força restauradora: kxF
Constante elástica
Unidades S.I.: N/m
Kit LADIF: massa e mola
2a. Lei: 2
2
dt
xdmmakxF x
m
k
dt
xd
2
2
Equação diferencial ordinária linear homogênea de 2a. ordem
Propriedades (verifique!):
(A) Solução geral depende de duas constantes arbitrárias, determinadas pelas condições iniciais (exemplo: posição inicial e velocidade inicial)(B) Se x1(t) é solução, então ax1(t) também é solução, com a constante. (C) Se x1(t) e x2(t) são soluções, então qualquer combinação linear ax1(t)+ bx2(t) também é solução. (D) Se x1(t) e x2(t) são soluções linearmente independentes, então x(t) = ax1(t)+ bx2(t) é a solução geral.
Mas como encontrar x1(t) e x2(t) ?
MIT 8.01 Lec 10, 11min20s: http://www.youtube.com/watch?v=__2YND93ofE
xm
k
dt
xd
2
2
Qual função que, ao ser derivada duas vezes, é igual a ela mesma vezes uma constante?
Vamos tentar: ttx cos)(1 t
dt
dx sen1 tdt
xd cos221
2
É solução de com x
m
k
dt
xd
2
2
m
k2
Vamos tentar: ttx sen)(2 t
dt
dx cos2 tdt
xd sen22
22
Também é solução de com xm
k
dt
xd
2
2
m
k2
Solução geral: )()()( 21 tbxtaxtx
tbtatx sencos)(
Vamos mostrar que a solução geral
é equivalente a , com relações exatas entre as
constantes e (demonstração no quadro-negro)
txtx m cos)(
tbtatx sencos)(
ba, ,mx
sen
cos
m
m
xb
xa
17.3 – Movimento harmônico simples
txtx m cos)( : descreve o movimento harmônico simples
x(t)
t
xm : Amplitude, quantidade positiva, massa oscila entre as posições xm e - xm
Período (T ): intervalo de tempo depois do qual o movimento se repete
Cálculo do período :
txtx m cos)(
txTtx )(
txTtx mm coscos
txTtx mm coscos
2Tk
mT
22
Note que:
• O período não depende da amplitude do movimento!• Quanto maior a massa, maior o período (mais inércia)• Quanto maior constante elástica, menor o período (mais
“força”)
Freqüência: Hz)1/s (em 2
11
m
k
Tf
Freqüência angular: rad/s) (em 2
2m
k
Tf
(depende apenas das constantes físicas do oscilador)
Fase: rad) (em t Ângulo de fase: rad) (em
0
4
Velocidade no MHS:
txtx m cos)(
dt
dxtv )( txmsen
Aceleração no MHS:
dt
dvta )(
txtxm22 cos
tx
tv
ta
mx
mx
mx
mx
mx2
mx2
• Magnitude de v é máxima quando x=0 e vice-versa
• Diz-se que a fase da velocidade está deslocada por π/2 em relação à posição
• Curva v(t) está deslocada por T/4 em relação à curva x(t)
• a é máxima quando x é mínima e vice-versa
• Fase da aceleração está deslocada por π em relação à posição
• Curva a(t) está deslocada por T/2 em relação à curva x(t)
Para pensar:
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