Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica

Capítulo 4

Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica

Introdução

A maioria dos escoamentos são cizalhantes, os quais são anisotrópicos e não homogêneos, como pode ser visualizado na figura

Estruturas Coerentes:anisotrópicas

Pequenas Estruturas:tendência à isotropia e

homogeneidade

Introdução

•O cizalhamento é necessário para gerar instabilidades, as quais são anisotrópicas

•Logo, a nível das chamadas estruturas coerentes não existe isotropia, porém existe para as pequenas estruturas da turbulência;

Perturbações+ Instabilidades

Introdução

Anisotropia Isotropia

Introdução

Turbulência isotrópica na superfície do mar

Introdução

Turbulência de grelha

Introdução

• Homogeneidade: é a invariância estatística das propriedades dos escoamentos quando se promove uma translação do sistema de eixo

y

z

Translação de eixos

y

z

Introdução

•Caso não se observa variações em qualquer propriedade estatística, ou seja

f x r f x

•A homogeneidade é uma propriedade direcional

x

y

LDEscoamentodesenvolvido

Introdução

•Isotropia: é a invariância estatística das propriedades de um escoamento em relação a uma rotação no sistema de eixo. Compreende-se, então, que isotropia implica em homogeneidade. A recíproca não é verdadeira.

x

y

z

x'

y'

z'

Cinemática da Turbulência Isotrópica

Formalismo Estatístico

Supor um experimento no qual se interessa por uma propriedade genérica , onde , sendo uma amostra no espaço . A propriedade se refere a um escoamento. A figura ilustra um conjunto n de amostras.

f x ,t ,

f x ,t ,

Formalismo Estatístico

t

1,t,xf

w 1

1,xf

2,t,xf

t

w2

t

n,t,xf

nw

Formalismo Estatístico

•Dadas as n amostras, pode-se proceder a definições estatísticas, como segue:

•Média de conjunto

N1

f x,t f x ,t ,wiN i 1

Média temporal

M1

f x,w f x ,t ti j ,w jiT j 1

Formalismo Estatístico

Hipótese de Ergodicidade

f x f x

Momentos estatísticos de ordem n:

Seja o conjunto de variáveis abaixo:

a1f x ,t ,w velocidade

a2f x ,t ,w pressão

a3f x ,t ,w temperatura

anf x ,t ,w . . .

Formalismo Estatístico

Define-se um momento estatístico de ordem n como sendo:

aa a n1 2f f ... f x ,t

N1 aa a n1 2lim f x,t ,w f x ,t ,w ... f x ,t ,wi i iNN i 1

•Exemplo: a a1 2f f u Tem-se, a intensidade turbulenta:

2u u u Momento de segunda ordem

Formalismo Estatístico

•Ilustração:

t

xu

t,xu

t

t,xut,xut,xu

t

2u 2u

Formalismo Estatístico

•Estendendo este exemplo às três componentes de velocidade, pode-se obter o tensor de Reynolds, composto de seis momentos de segunda ordem:

2u u u w

2x u w

2w u w w

Formalismo Estatístico

•Observa-se que este tensor é simétrico e pode ser rescrito em notação tensorial como segue:

u uij i j

•O seu traço fornece a energia cinética turbulenta:

1 1 2 2 2k u u u wi i2 2

Classificação da turbulência

Turbulência não homogênea e não isotrópica.Turbulência homogênea e não isotrópica.Turbulência homogênea e isotrópica.

Neste último caso, tem-se:

a aa a a an n1 2 1 2f f ... f x ,t f f ... f x r ,t

Transformação das Equações de Navier-Stokes do espaço físico para o espaço de Fourier

Transformada de Fourier

•Seja uma função periódica qualquer. Define-se a sua transformada de Fourier como segue:

31 ik .xf k ,t e f x ,t dx

2V

1 1 1k 2 , ,

1 2 3

k k ,k ,k1 2 3

2

k1

Transformação das Equações de Navier-Stokes do espaço físico para o espaço de Fourier

Transformada Inversa de Fourier

ik .x ˆf x ,t e f k ,t dk

V

Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes

Transformada da derivada de uma função

f x ,t ik .x ˆg x ,t e f k ,t dkx x

V

ik .x ˆe ik f k ,t dk ik f x ,t

V

Seja

3f 1 fik .xg k ,t TF e dxx 2 x

V31 ik .x ˆik e f x ,t dx ik f k ,t

2V

Logo

Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes

Transformada do gradiente de uma função

f f f ˆ ˆTF f TF , , i k ,k ,k f k ,t ikf k ,tx y zx y z

Transformada do divergente de um vetor

TF .V ik .V

Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes

Transformada do laplaciano de um vetor

2 2TF V k V

Transformada do produto de duas funções

ˆ ˆˆ ˆTF f x ,t g x ,t f * g k ,t f p,t g k p,t dp

p

Integral de convolução: interações triádicas não lineares.

Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes

Os parâmetros de transformação de f e g são:

p

e q

onde k p q

Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes

2u upi iu ui jt x x x xj i j j

ui 0xi

•Consideremos as equações de NS no espaço físico

•Transformada da conservação da massa

uˆTF ik u TF .u ik .u

x

Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes

^2uk

^u

k

Plano

Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes

Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes

u uTF

t t

k .u 0

Sendo

^ ^^ u u

k .u k . 0 ao planot t t

Então,

Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes

2 2TF u k u Este Termo transformado

também pertence ao plano .

ˆTF p ikp Nota-se, então, que a

transformada da pressão é colinear com o vetor número de onda, sendo portanto, perpendicular ao plano .

Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes

Transformada do Termo Não Linear

u 2TF u TF uu p 0t

Pertence ao plano

Também pertence ao

plano •A transformada do primeiro termo já é conhecida. Basta agora determinar a projeção do segundo termo sobre o plano .

Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes

Transformada do Termo Não Linear

k ki jkij ij 2k

•Seja o tensor projeção no plano defino abaixo

k k ki j i.a a a a a a k aij j j ij j i j j pi2 2k k

•Projetando-se um vetor qualquer com este tensor

Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes

Transformada do Termo Não Linear

k ki ia k a k a k 0pi i i i j j 2k

•Fazendo-se o produto escalar da projeção do vetor com o o vetor número de onda

•Isto demonstra que o tensor definido assim, projeta qualquer vetor no plano .

k

pik

kqpjj pduuik

Projeção de kqp

jj pduuik

sobre o plano ^R

Logo,

u 2 ˆ ˆ ˆk u ik k u p u q dpm jm jtp q k

•Observa-se que Navier-Stokes no espaço de Fourier não depende do conceito de pressão.

•Cada termo desta equação pode ser interpretado fisicamente, sendo esta interpretação mais rica no espaço de Fourier, como está ilustrado abaixo.

u

t

Taxa de variação da quantidade de

movimento

2 ˆk u Fluxo líquido difusivo de quantidade de movimento.

ˆ ˆik k u p u q dpm jm jp q k

Transferência líquida não linear de quantidade de movimento. Observa-se que este processo é o resultado das interações físicas entre as estruturas turbilhonares que compõem o escoamento. Aqui elas são modeladas pelas interações não lineares triádicas que compõem a integral de convolução

•Comentários sobre a solução desta equação.

Tensor Espectral e Espectro de Energia Cinética Turbulenta

•Ele é definido como sendo a TF da correlação de segunda ordem das flutuações de velocidade relativas a duas direções

31 ik .rU k ,t e U r ,t drij ij2

V

U r ,t u r ,t u r x ,tij i j

onde

é um momento de Segunda ordem.

•Observa-se que foi feita a hipótese de homogeneidade e isotropia.

•Fazendo-se i=j obtém-se o traço do tensor:

31 ik .rU k ,t e U r ,t drij ii2

V

•Define-se, a partir do traço do tensor espectral o espectro de energia cinética turbulenta

1U r 0,t E k ,t dkii2

0

Na figura abaixo visualiza-se a distribuição espectral de energia cinética turbulenta, o que é uma forma poderosa de se entender como a atividade turbulenta de um escoamento se dá, em função dos tamanhos das diferentes estruturas turbilhonares que o caracterizam.

Log [E(k)]

Log(k)kI

Efeitos viscosospredominantes

Zona inercial doespectro

I

Escoamento sobre um degrau, ilustrando o processo de transmissão de injeção de energia do escoamento médio para os turbilhões da camada cizalhante e para o interior da cavidade.

I

Redistribuição deenergia

•Turbilhões maiores são formados de turbilhões menores.

• A energia de formação e manutenção destes turbilhões menores deve ser fornecida pelos turbilhões receptores de energia, pelo processo já explicado. Desta feita explica-se o processo físico da chamada cascata direta de energia, ou seja, o transporte não linear das grandes para as menores estruturas.

Equação de Conservação da Energia Cinética Turbulenta

•Partindo-se das equações de Navier-Stokes, a qual é também válida para as flutuações de velocidade, multiplicando-as por u k ,ti

•Fazendo-se a média < >, manipulando-se algebricamente, obtém-se a equação de transporte para o tensor espectral e consequentemente para o seu traço:

^

^ ^ ^ ^U k ,tij 22 k U k ,t I u k ,t u p,t u q ,t dpdqij ijm i j mt

A função I depende de momentos de terceira ordem. Ela está bem definida em Lesieur (1995).

P k k ,t k k ,tijm m ij j im

O tensor

Fazendo-se a soma sobre as três componentes do traço do tensor espectral (U11, U22 e U33) e utilizando-se a definição de energia cinética turbulenta, obtém-se a sua equação de transporte:

E k ,t 22 k E k ,t T k ,tt

• O primeiro termo desta equação representa a taxa de variação da energia cinética turbulenta;

• O segundo representa a transferência de energia ou a sua dissipação, por efeitos moleculares, dependendo do número de onda em questão;

• O termo do lado direito representa a transferência não linear entre os turbilhões de diferentes números de onda;

kI k

E(k) Transferência não linearde energia: T(k,t)

Dissipaçãoviscosa

kI k

E(k,t)

t

Transiente de umespectro de energia

Teoria de Kolmogorov (Kolmogorov, 1941)

•Esta é a teoria mais famosa sobre a turbulência isotrópica. Sua base é a análise dimensional.

•Hipótese de equilíbrio: toda energia injetada no espectro deve ser dissipada pelos efeitos viscosos.

•Na teoria de Kolmogorov, assume-se que o espectro de energia, para números de onda maiores que kI , depende apenas de e de k.

•Fazendo-se uma análise dimensional baseada no teorema dos de Vaschy-Buckingham, Kolmogorov chegou à seguinte expressão:

E k k

•Determinando-se os valores de e de tem-se que:

2 / 3 5 / 3E k C kK

onde CK=1,4 é a constante universal de Kolmogorov, determinada analiticamente.

•Uma variedade de experimentos em laboratório e de experimentos numéricos têm sido realizados objetivando-se a comprovação desta lei, para uma variedade de valores do número de Reynolds. Todos eles têm resultado na lei de Kolmogorov

Zona inercial

Zona dedissipação

viscosa

log [E(k)]

log (k)kI

k-5/3

Escalas da turbulência

Antes de aprofundar qualquer tipo de estudo sobre os escoamentos turbulentos é interessante fazer uma análise das escalas características da turbulência:

•Tempo

•Comprimento

•Energia

•VorticidadeGrandes escalas Pequenas escalas

Escalas da turbulência

•Escalas dissipativas de Kolmogorov: toma-se um turbilhão de tamanho característico r com uma velocidade característica vr originário em um fluido de viscosidade . Define-se então um número de Reynolds local:

v rrRer

•O quadrado deste parâmetro representa a importância relativa das forças de inércia e das forças viscosas.

•Pela lteoria de Kolmogorov, , ver Lesieur (1994)

1 / 3v rr

Escalas de Kolmogorov

Escalas da turbulência

•Substituindo-se esta última equação na precedente, tem-se que:

1 / 34Re r /r

•Situando-se a escala r tal que os efeitos viscosos sejam pequenos pode-se afirmar que Rer é maior que 1. Se r diminui Rer diminui também e se r<ld , onde ld é definido abaixo,

1 / 43l /d

então Rer torna-se menor que 1 e os efeitos viscosos passam a dominar os efeitos de inércia. Esta escala é a escala dissipativa de Kolmogorov.

•Logo os turbilhões de tamanhos menores que ld são dissipados por efeitos viscosos e não podem se desenvolver.

•Esta análise permite entender porque o espectro de energia cinética cai tão rapidamente quando se aproxima do número de onda dissipativo de Kolmogorov,

Zona inercial

Zona dedissipação

viscosa

log [E(k)]

log (k)kI

•A título de exemplo, a escala de Kolmogorov no interior da camada limite atmosférica é da ordem de 1 mm, enquanto que no caso de uma turbulência de grelha é da ordem de 0,1 mm.

•Fazendo-se uma análise dimensional e expressando-se o tempo característico em função de e , chega-se à seguinte expressão para este parâmetro, relativo às estruturas dissipativas de Kolmogorov.

1 / 2

•De forma semelhante deduz-se as escalas de velocidade, de vorticidade e de energia cinética turbulenta de Kolmogorov:

1 / 4v

1 / 2

1 / 2e

Escalas da turbulência

Grandes Escalas da Turbulência

•As maiores estruturas de um escoamento são determinadas pela geometria que lhes dão origem.

•Sejam as escalas típicas do escoamento: L a escala de comprimento (por exemplo, o diâmetro de um cilindro) e U a escala de velocidade (a velocidade de transporte das grandes estruturas).

•Estabelece-se as seguintes relações:

Lt

U U

WL

2E U

Escalas da turbulência

Taxa de dissipação viscosa

•Para os escoamentos turbulentos completamente desenvolvidos pode-se fazer a hipótese do equilíbrio: a dissipação viscosa é igual à taxa de injeção de energia cinética nas grandes escalas. • Desta forma, pode-se expressar a dissipação viscosa como uma função de grandezas independentes da viscosidade.

Zona inercial

Zona dedissipação

viscosa

log [E(k)]

log (k)kI

Escalas da turbulência

Taxa de dissipação viscosa

•Desta forma pode-se expressar a taxa de dissipação como segue:

2 3U U

t L

•Com esta equação diz-se que a taxa de dissipação pode ser estimada a partir de parâmetros relativos às grandes escalas, sem a participação da viscosidade.

Escalas da turbulência

Relações Entre as Escalas da turbulência

•Dividindo-se as escalas de Kolmogorov pelas escalas das grandes estruturas da turbulência tem-se as relações procuradas:

L 3 / 4ReLld

URe 1 / 4Lvr

1 / 2ReLW

E 1 / 2ReLe

Escalas Moleculares Versus Escalas de Kolmogorov

•Pela teoria cinética dos gases

c

c

3 / 4U 1 / 4l Ld

•Já tinha sido visto que:

•Dividindo-se uma equação pela outra, tem-se que

M1 / 4ld ReL

•Com este resultado, chega-se à conclusão que as escalas de Kolmogorov são sempre maiores que as escalas moleculares, pelo menos para M<15.